§2.4.1 平面向量的数量积运算
【课程学习目标】：
1. 知识与技能：了解平面向量数量积的概念及几何意义
2. 过程与方法：掌握数量积的运算法则
3. 情感、态度与价值观：提高学生分析问题、解决问题的能力
【教学重难点】：
1. 重点：平面向量的坐标运算与共线的坐标表示.
2. 难点：平面向量坐标表示的原理.
【课时】：2
自主学习过程 平面向量的夹角：已知两个 向量与，作=，=，
则∠AOB =θ叫做向量a 与b 的夹角.
1. 向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量_________________叫做向量与
b 的数量积（或内积）. 记作 ，即 . 其中，θ是与的夹角， 叫做向量在方向上的投影. 叫 做向量在方向上的投影.
规定：零向量与任何一向量的数量积为_____________.
2. 向量数量积的几何意义 a ⋅b 的几何意义是：数量积a ⋅b 等于 与b 在a 方向上的投影 的乘积. 3. 平面向量数量积的性质 若与是非零向量，θ是与的夹角，则：
（1）⊥⇔ .
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（2）当a 与b 同向时，a ⋅b = . 当a 与b 反向时，a ⋅b = .
（3）⋅== = .
（4）cos θ= .
（5.
4. 数量积的运算律
①交换律：_____________________________
②数乘结合律：_________________________
③分配律：_____________________________ 问题1：向量的数量积是一个向量还是数量？向量的投影是向量还是数量？ 问题2：对于向量a , b , c ，等式(a ⋅b ) ⋅c =a ⋅(b ⋅c ) 一定成立吗？为什么？
2问题3：等式(+) =+2⋅+和(+) ⋅(-) =-成立吗？若成立，请2222
给出证明.
问题4：非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，那么
（1）当a ⋅b >0，θ的范围是 ； （2）当a ⋅b
（3）当⋅=0，θ的范围是 ；
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（1）a //b （2）a ⊥b （3）a , b 夹角为
例2. 在直角∆ABC =3=3=32，
求⋅+⋅+⋅.
例3. =3=4=5π 621。
（1）求, 夹角θ （2）(+2) ⋅(a -3) （3
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例4. 设e 1, e 2是两个夹角为
例5. 设两个向量e 1, e 2=2=1，e 1, e 2的夹角为3的单位向量，求向量a =2e 1+e 2与b =-3e 1+2e 2的夹角. π，若向量2t e 1+7e 2与向3
量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
结论： . 1. 向量数量积的定义:⋅=
2. 平面向量数量积的性质： （1）⊥⇔ .
（2）当a 与b 同向时，a ⋅b = . 当a 与b 反向时，a ⋅b = .
（3）⋅== = . cos θ= .
（4.
4. 数量积的运算律：
①交换律：____________________________
②数乘结合律：_________________________
③分配律：_____________________________
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§2.4.1 平面向量的数量积运算
【课程学习目标】：
1. 知识与技能：了解平面向量数量积的概念及几何意义
2. 过程与方法：掌握数量积的运算法则
3. 情感、态度与价值观：提高学生分析问题、解决问题的能力
【教学重难点】：
1. 重点：平面向量的坐标运算与共线的坐标表示.
2. 难点：平面向量坐标表示的原理.
【课时】：2
自主学习过程 平面向量的夹角：已知两个 向量与，作=，=，
则∠AOB =θ叫做向量a 与b 的夹角.
1. 向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量_________________叫做向量与
b 的数量积（或内积）. 记作 ，即 . 其中，θ是与的夹角， 叫做向量在方向上的投影. 叫 做向量在方向上的投影.
规定：零向量与任何一向量的数量积为_____________.
2. 向量数量积的几何意义 a ⋅b 的几何意义是：数量积a ⋅b 等于 与b 在a 方向上的投影 的乘积. 3. 平面向量数量积的性质 若与是非零向量，θ是与的夹角，则：
（1）⊥⇔ .
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（2）当a 与b 同向时，a ⋅b = . 当a 与b 反向时，a ⋅b = .
（3）⋅== = .
（4）cos θ= .
（5.
4. 数量积的运算律
①交换律：_____________________________
②数乘结合律：_________________________
③分配律：_____________________________ 问题1：向量的数量积是一个向量还是数量？向量的投影是向量还是数量？ 问题2：对于向量a , b , c ，等式(a ⋅b ) ⋅c =a ⋅(b ⋅c ) 一定成立吗？为什么？
2问题3：等式(+) =+2⋅+和(+) ⋅(-) =-成立吗？若成立，请2222
给出证明.
问题4：非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，那么
（1）当a ⋅b >0，θ的范围是 ； （2）当a ⋅b
（3）当⋅=0，θ的范围是 ；
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（1）a //b （2）a ⊥b （3）a , b 夹角为
例2. 在直角∆ABC =3=3=32，
求⋅+⋅+⋅.
例3. =3=4=5π 621。
（1）求, 夹角θ （2）(+2) ⋅(a -3) （3
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例4. 设e 1, e 2是两个夹角为
例5. 设两个向量e 1, e 2=2=1，e 1, e 2的夹角为3的单位向量，求向量a =2e 1+e 2与b =-3e 1+2e 2的夹角. π，若向量2t e 1+7e 2与向3
量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
结论： . 1. 向量数量积的定义:⋅=
2. 平面向量数量积的性质： （1）⊥⇔ .
（2）当a 与b 同向时，a ⋅b = . 当a 与b 反向时，a ⋅b = .
（3）⋅== = . cos θ= .
（4.
4. 数量积的运算律：
①交换律：____________________________
②数乘结合律：_________________________
③分配律：_____________________________
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