高二数学必修二综合测试题
班级_______________ 姓名___________________ 总分：________________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．下面四个命题：
①分别在两个平面内的两直线是异面直线；
②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )
A ．①② B ．②④ C ．①③ D ．②③ 2．过点P (-1,3) 且垂直于直线x -2y +3=0 的直线方程为（ ） A ．2x +y -1=0 B ．2x +y -5=0 C ．x +2y -5=0 D ．x -2y +7=0 3．圆(x －1) ＋y ＝1的圆心到直线y ＝
2
2
3
3的距离是( )
13
A ．2 B ．2 C ．1 D
x 2y 2
4．已知F 1, F 2+ = 1 的左右焦点，P 为椭圆上一个点，且PF 则1:PF 2=1:2，95
cos ∠F 1PF 2等于( )
1112 A ．2 B ． C ． D ．
342
5．已知空间两条不同的直线m,n 和两个不同的平面α, β, 则下列命题中正确的是( ) A ．若m //α, n ⊂α, 则m //n B ．若α⋂β=m , m ⊥n , 则n ⊥α C．若m //α, n //α, 则m //n
D．若m //α, m ⊂β, α β=n , 则m //n
6．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34
D ．－68
7．已知ab
B ．第一、二、四象限 D ．第二、三、四象限
8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的
大小是（ ）
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办学理念：以美益德 以美启智 以美怡情
A．
1 5
B．
11
C ． D
3 2
9. 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是 ( ) A．30 B．45 C．60 D．90
10．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：
①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角 是60°.其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A' P
C'
11．如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A．
Q C
A
V V V V
B． C． D． （11题） 2345
12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 1
E 、F ， 且EF ＝，则下列结论错误的是( )
2
A ．AC ⊥BE B ．EF ∥平面ABCD （12题） C ．三棱锥A —BEF 的体积为定值 D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) 如图所示， 则该几何体的侧面积为_ ______cm2
俯视图
2
2
2
14. 两圆x +y =1和(x +4) +(y -a ) =25相切， 则实数a 的值为15．已知F 1, F 2是椭圆的两个焦点，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，PF 1⊥PQ 且PF 1=, 则椭圆的离心率为
16. 过点A (4,0)的直线l 与圆(x －2) 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 三、解答题
17．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ，F 、F 1
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办学理念：以美益德 以美启智 以美怡情
2
分别是AC ，A 1C 1的中点． 求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ； (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.
（17题）
18．已知点P (x , y ) 在圆x +(y -1) =1上运动. （1）求
19． 如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°， P ，Q 分别为AE ，AB 的中点． （1）证明：PQ ∥平面ACD ；
（2）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值
（19题）
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办学理念：以美益德 以美启智 以美怡情
2
2
y -1
的最大值与最小值；（2）求2x +y 的最大值与最小值. x -2
20．已知圆C 1：x 2+y 2－2x －4y +m =0， （1）求实数m 的取值范围；
（2）若直线l ：x +2y －4=0与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值。
21．如图所示，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD所在的平面，BC ＝2，M 为BC 的中点． （1）证明：AM ⊥PM ；
（2）求二面角P －AM －D 的大小．
（21题）
22．如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点． （1）求证：GF ∥底面ABC ；
（2）求证：AC ⊥平面EBC ； （22题） （3）求几何体ADEBC 的体积V.
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办学理念：以美益德 以美启智 以美怡情
22
高二数学必修二综合测试题
参考答案
一、选择题：1-5 BAACD 6-10 BCACC 11-12 BD
二、填空题
13 . 80 14.±或0 15 .6-3 16.⎢-
⎡⎣⎤, ⎥ 33⎦
三、解答题
17 .证明:(1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，
∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点，
∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F.
又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ， ∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF.
(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，
∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1， ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1. 18 .解：（1）设
y -1
=k ，则k 表示点P (x , y ) 与点（2，1）连线的斜率. 当该直线与圆相切x -2
2k k 2+1
=1，解得k =±
3y -1，∴的最大值为，3x -23
时，k 取得最大值与最小值. 由
最小值为-
. 3
（2）设2x +y =m ，则m 表示直线2x +y =m 在y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时，m
取得最大值与最小值. 由
-m 5
=1，解得m =1±，∴2x +y 的最大值为1+，最小
值为1-.
19. （1）证明：因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点，
所以PQ ∥EB. 又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 又PQ ⊄平面ACD ， 从而PQ ∥平面ACD.
（2）如图，连接CQ ，DP ，因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥
AB.
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办学理念：以美益德 以美启智 以美怡情
因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ， 所以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB. 故CQ ⊥平面ABE.
由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ ，
因此DP ⊥平面ABE ，
∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角， 在Rt △DPA 中，AD ＝5，DP ＝1，
sin ∠DAP ＝，因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为
2
2
12
555
20. 解：（1）配方得(x－1) +(y－2) =5－m ，所以5－m>0，即m
（2）设M(x1，y 1) 、N(x2，y 2) ，∵ OM⊥ON ，所以x 1x 2+y1y 2=0，
x +2y -4=0⎧2
由⎨2 得5x －16x+m+8=0， 2
⎩x +y -2x -4y +m =0
因为直线与圆相交于M 、N 两点， 所以△=16－20(m+8)>0，即m
2
24， 5
16m +84m -16，x 1x 2=， y1y 2=(4－2x 1)(4－2x 2)=16－8(x1+x2)+4x1x 2=， 5558824
代入解得m=满足m
555
21.(1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，
连接PE ，EM ，EA ， ∵△PCD 为正三角形，
∴PE ⊥CD ，PE ＝PDsin ∠PDE ＝2sin603. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，
∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM. ∵四边形ABCD 是矩形，
∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM 3，AM ＝6，AE ＝3，
∴EM ＋AM ＝AE . ∴AM ⊥EM.
又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM. (2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角． PE 3
∴tan ∠PME ＝1，∴∠PME ＝45°.
EM 3∴二面角P －AM －D 的大小为45°.
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办学理念：以美益德 以美启智 以美怡情
2
2
2
22.(1)证明：连接AE ，如下图所示．
∵ADEB 为正方形，
∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点， 又G 是EC 的中点，
∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC.
(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，
又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ， ∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC. 又∵AC ＝BC 2
2
2
AB ， 2
2
∴CA ＋CB ＝AB ， ∴AC ⊥BC.
又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE. (3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝
22＝ 22
1
∴CH ⊥AB ，且CH ＝，又平面ABED ⊥平面ABC
2
111
∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝1×326
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高二数学必修二综合测试题
班级_______________ 姓名___________________ 总分：________________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．下面四个命题：
①分别在两个平面内的两直线是异面直线；
②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )
A ．①② B ．②④ C ．①③ D ．②③ 2．过点P (-1,3) 且垂直于直线x -2y +3=0 的直线方程为（ ） A ．2x +y -1=0 B ．2x +y -5=0 C ．x +2y -5=0 D ．x -2y +7=0 3．圆(x －1) ＋y ＝1的圆心到直线y ＝
2
2
3
3的距离是( )
13
A ．2 B ．2 C ．1 D
x 2y 2
4．已知F 1, F 2+ = 1 的左右焦点，P 为椭圆上一个点，且PF 则1:PF 2=1:2，95
cos ∠F 1PF 2等于( )
1112 A ．2 B ． C ． D ．
342
5．已知空间两条不同的直线m,n 和两个不同的平面α, β, 则下列命题中正确的是( ) A ．若m //α, n ⊂α, 则m //n B ．若α⋂β=m , m ⊥n , 则n ⊥α C．若m //α, n //α, 则m //n
D．若m //α, m ⊂β, α β=n , 则m //n
6．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34
D ．－68
7．已知ab
B ．第一、二、四象限 D ．第二、三、四象限
8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的
大小是（ ）
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A．
1 5
B．
11
C ． D
3 2
9. 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是 ( ) A．30 B．45 C．60 D．90
10．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：
①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角 是60°.其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A' P
C'
11．如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A．
Q C
A
V V V V
B． C． D． （11题） 2345
12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 1
E 、F ， 且EF ＝，则下列结论错误的是( )
2
A ．AC ⊥BE B ．EF ∥平面ABCD （12题） C ．三棱锥A —BEF 的体积为定值 D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) 如图所示， 则该几何体的侧面积为_ ______cm2
俯视图
2
2
2
14. 两圆x +y =1和(x +4) +(y -a ) =25相切， 则实数a 的值为15．已知F 1, F 2是椭圆的两个焦点，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，PF 1⊥PQ 且PF 1=, 则椭圆的离心率为
16. 过点A (4,0)的直线l 与圆(x －2) 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 三、解答题
17．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ，F 、F 1
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2
分别是AC ，A 1C 1的中点． 求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ； (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.
（17题）
18．已知点P (x , y ) 在圆x +(y -1) =1上运动. （1）求
19． 如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°， P ，Q 分别为AE ，AB 的中点． （1）证明：PQ ∥平面ACD ；
（2）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值
（19题）
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2
2
y -1
的最大值与最小值；（2）求2x +y 的最大值与最小值. x -2
20．已知圆C 1：x 2+y 2－2x －4y +m =0， （1）求实数m 的取值范围；
（2）若直线l ：x +2y －4=0与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值。
21．如图所示，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD所在的平面，BC ＝2，M 为BC 的中点． （1）证明：AM ⊥PM ；
（2）求二面角P －AM －D 的大小．
（21题）
22．如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点． （1）求证：GF ∥底面ABC ；
（2）求证：AC ⊥平面EBC ； （22题） （3）求几何体ADEBC 的体积V.
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22
高二数学必修二综合测试题
参考答案
一、选择题：1-5 BAACD 6-10 BCACC 11-12 BD
二、填空题
13 . 80 14.±或0 15 .6-3 16.⎢-
⎡⎣⎤, ⎥ 33⎦
三、解答题
17 .证明:(1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，
∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点，
∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F.
又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ， ∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF.
(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，
∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1， ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1. 18 .解：（1）设
y -1
=k ，则k 表示点P (x , y ) 与点（2，1）连线的斜率. 当该直线与圆相切x -2
2k k 2+1
=1，解得k =±
3y -1，∴的最大值为，3x -23
时，k 取得最大值与最小值. 由
最小值为-
. 3
（2）设2x +y =m ，则m 表示直线2x +y =m 在y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时，m
取得最大值与最小值. 由
-m 5
=1，解得m =1±，∴2x +y 的最大值为1+，最小
值为1-.
19. （1）证明：因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点，
所以PQ ∥EB. 又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 又PQ ⊄平面ACD ， 从而PQ ∥平面ACD.
（2）如图，连接CQ ，DP ，因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥
AB.
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因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ， 所以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB. 故CQ ⊥平面ABE.
由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ ，
因此DP ⊥平面ABE ，
∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角， 在Rt △DPA 中，AD ＝5，DP ＝1，
sin ∠DAP ＝，因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为
2
2
12
555
20. 解：（1）配方得(x－1) +(y－2) =5－m ，所以5－m>0，即m
（2）设M(x1，y 1) 、N(x2，y 2) ，∵ OM⊥ON ，所以x 1x 2+y1y 2=0，
x +2y -4=0⎧2
由⎨2 得5x －16x+m+8=0， 2
⎩x +y -2x -4y +m =0
因为直线与圆相交于M 、N 两点， 所以△=16－20(m+8)>0，即m
2
24， 5
16m +84m -16，x 1x 2=， y1y 2=(4－2x 1)(4－2x 2)=16－8(x1+x2)+4x1x 2=， 5558824
代入解得m=满足m
555
21.(1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，
连接PE ，EM ，EA ， ∵△PCD 为正三角形，
∴PE ⊥CD ，PE ＝PDsin ∠PDE ＝2sin603. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，
∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM. ∵四边形ABCD 是矩形，
∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM 3，AM ＝6，AE ＝3，
∴EM ＋AM ＝AE . ∴AM ⊥EM.
又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM. (2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角． PE 3
∴tan ∠PME ＝1，∴∠PME ＝45°.
EM 3∴二面角P －AM －D 的大小为45°.
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2
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22.(1)证明：连接AE ，如下图所示．
∵ADEB 为正方形，
∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点， 又G 是EC 的中点，
∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC.
(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，
又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ， ∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC. 又∵AC ＝BC 2
2
2
AB ， 2
2
∴CA ＋CB ＝AB ， ∴AC ⊥BC.
又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE. (3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝
22＝ 22
1
∴CH ⊥AB ，且CH ＝，又平面ABED ⊥平面ABC
2
111
∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝1×326
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