第五章圆 知识要点解析
知识点
（1） 圆心和半径：圆心确定位置，半径确定大小。等圆或同圆的半径都相等。 （2） 弦：圆上任意两点之间的线段。直径是圆中最长的弦。
（3） 弧：圆上任意两点之间的部分。完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等） （4） 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。 （5） 经过不在同一条直线上的三个点唯一确定一个圆。
1．如图1，AB 为⊙O 直径，点C 、D 在⊙O 上，已知∠BOC ＝70°，AD ∥OC ，则∠AOD ＝__________．
2．如图2,AB 是⊙O的直径，CD 是⊙O的弦，AB 与CD 的延长线交于点E ，且AB
＝
2DE ，∠E ＝18°，求 ∠AOC 的度数。
图1 图2 知识点2 圆的有关性质
（1）圆是中心对称图形，也是轴对称图形。
(2) 弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，也平分弦所对的优弧和劣弧。
(4) 圆周角的性质：① 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半
②直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
【解题方法1】半径、弦长、弓高、圆心到弦的距离这四个量的关系是只要知道其中的两个就能求出另两个。
【解题方法2】当弦长=R时，弦所对的圆心角=60°, 当弦长=2R 时，弦所对的圆心角=90° 当弦长=3R 时，弦所对的圆心角=120°，一条弦所对的圆周角中，同侧相等，异侧互补。 【圆周角定理1的理解】①同弧所对的圆周角相等；②等弧所对的圆心角相等；③圆周角的度数等于它所对弧所对圆心角的一半；④圆周角的度数等于它所对弧度数的一半；
【常作辅助线2】过圆心向弦作垂线，形成垂径定理的条件，构造直角三角形应用勾股定理进行计算。 【常作辅助线3】利用直径，构造直角。
A ．5 B ．7 C ． D ．
73737
图4
B
图7
图
8
5. 如图5，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（ ）
A ．2cm
B
C
．
D
．
6. 已知⊙O的半径为R ，弦AB 的长也是R ，则∠AOB的度数是________．
7. 如图6，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠BAC =50，则∠ADC = ．
8. 如图7，⊙O 中，OA ⊥BC , ∠AOB ＝60°, 则∠ADC ＝ .
⌒的度数为320°，则圆周角∠MAN ＝___________ 9. 如图8，⊙O 中，MAN
10. 如图9，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，以AE 为直径画圆，经过点B 、C ，求证：∠BAE=∠CAD 图
9
知识点3 与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系：圆的半径为r ,点到圆心的距离为d
①点在圆内⇔d r （2）直线与圆的位置关系圆的半径为r ,直线到圆的距离为d
①直线与圆相交点在圆内⇔d r
（1）圆与圆的位置关系①两圆外离⇔d >R +r ②两圆外切⇔d =R +r ③两圆相交
⇔R -r
（2）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
（3）切线的判定：经过半径的外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线。 （4）切线长定义：从圆外一点作圆的切线，该点到切点的距离叫切线长。
（5）切线长定理：从圆外一点作出圆的两条切线，它们的切线长相等，且该点到圆心的连线平分两切线的夹角。
（6）三角形的内心：是三个角的平分线的交点，它到三边的距离相等。
【解题方法3】证切线的两种方法：①当直线与圆有交点字母时，连接，证垂直②当直线与圆无交点字母时，作垂直，证d =r
【解题方法4】求线段的长：把要求的线段放进一个已知一边长的△中，再找一个已知三边长的△，证相似，运用比例线段计算。
【常作辅助线4】连接圆心和切点得垂直。
【常作辅助线5】当直径垂直于圆内一条不是弦的线段时，延长该线段与圆相交，形成直径垂直于弦。
【常作辅助线6】遇三角形的内心时，连接内心和三角形的顶点，形成角平分线。 12．（2006·邵阳市）已知⊙O 的半径为3cm ，点P 是直线l 上一点，OP 长为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能
13．（2010 山东淄博）如图11，D 是半径为R 的⊙O 上一点，过点D 作⊙O 直径AB 的延长线于点C ，下列四个条件：①AD ＝CD ；②∠A ＝30°；③∠ADC ＝120°；④DC ＝3R ．其中, 使得BC ＝R 的有（ ）
A ．①② B 。①③④ C 。②③④ D 。①②③④ 14．（2009仙桃）如图12，AB 为⊙O 的直径，D 是⊙O 上的一点，过O 点作AB 的垂线交AD 于点E ，交BD 的延长线于点C ，F 为CE 上一点，且FD ＝FE ． (1)请探究FD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O 的半径为2，BD ＝，求BC 的长．
C
图C F
B
A O
图12
15．如图13，P 是∠BAC 的平分线上一点，PD ⊥AC ，垂足为D. AB与以P 为圆心、PD 为半径的圆相切吗？为什么？
16．已知如图14，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，CE ⊥AD ，点E 为垂足，2
的延长线交AB 于点F 。求证：AC =AB ⋅AF
B A
图13
17．如图15，△ABC 中， I 为内心，AI 交边BC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E ，连BE ，试说明：BE=EC=IE。
结
图14
B
E
图15 18．（2010湖南长沙）已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是r 1=2、r 2=4，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是（ ）．
A 、2 B、4 C、6 D、8
知识点4 圆中的计算 （1）弧长公式：l =
n πR
180
n πR 2
（2）扇形面积：S =
360
或 S =
1lR 2
（3）圆锥的侧面积：S 侧=πrl （ｒ指底面圆的半径，l 指母线长）
【解题方法5】在扇形中，弧长、半径、圆心角、面积四个量中只要已知两个量就能求出其余两个。 【解题方法6】在圆锥的侧面展开图中，底面圆周长等于扇形弧长。 19．（2006·宿迁市）如图16，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若
圆的半径为r ，扇形的半径为R ，扇形的圆心角等于120°，则r 与R 之间的关系是（ ） A ．R ＝2r
B．R
．R ＝3r
D ．R ＝4r
20．一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为______． (结果保留π)
21. （2010浙江宁波）如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，弦DF 与半径OB 相交于点P ，连结EF 、EO ，若DE =23，∠DP A =45°. (1)求⊙O 的半径；
(2)求图中阴影部分的面积.
图
16
B 图17
第五章圆 知识要点解析
知识点
（1） 圆心和半径：圆心确定位置，半径确定大小。等圆或同圆的半径都相等。 （2） 弦：圆上任意两点之间的线段。直径是圆中最长的弦。
（3） 弧：圆上任意两点之间的部分。完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等） （4） 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。 （5） 经过不在同一条直线上的三个点唯一确定一个圆。
1．如图1，AB 为⊙O 直径，点C 、D 在⊙O 上，已知∠BOC ＝70°，AD ∥OC ，则∠AOD ＝__________．
2．如图2,AB 是⊙O的直径，CD 是⊙O的弦，AB 与CD 的延长线交于点E ，且AB
＝
2DE ，∠E ＝18°，求 ∠AOC 的度数。
图1 图2 知识点2 圆的有关性质
（1）圆是中心对称图形，也是轴对称图形。
(2) 弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，也平分弦所对的优弧和劣弧。
(4) 圆周角的性质：① 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半
②直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
【解题方法1】半径、弦长、弓高、圆心到弦的距离这四个量的关系是只要知道其中的两个就能求出另两个。
【解题方法2】当弦长=R时，弦所对的圆心角=60°, 当弦长=2R 时，弦所对的圆心角=90° 当弦长=3R 时，弦所对的圆心角=120°，一条弦所对的圆周角中，同侧相等，异侧互补。 【圆周角定理1的理解】①同弧所对的圆周角相等；②等弧所对的圆心角相等；③圆周角的度数等于它所对弧所对圆心角的一半；④圆周角的度数等于它所对弧度数的一半；
【常作辅助线2】过圆心向弦作垂线，形成垂径定理的条件，构造直角三角形应用勾股定理进行计算。 【常作辅助线3】利用直径，构造直角。
A ．5 B ．7 C ． D ．
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图4
B
图7
图
8
5. 如图5，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（ ）
A ．2cm
B
C
．
D
．
6. 已知⊙O的半径为R ，弦AB 的长也是R ，则∠AOB的度数是________．
7. 如图6，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠BAC =50，则∠ADC = ．
8. 如图7，⊙O 中，OA ⊥BC , ∠AOB ＝60°, 则∠ADC ＝ .
⌒的度数为320°，则圆周角∠MAN ＝___________ 9. 如图8，⊙O 中，MAN
10. 如图9，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，以AE 为直径画圆，经过点B 、C ，求证：∠BAE=∠CAD 图
9
知识点3 与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系：圆的半径为r ,点到圆心的距离为d
①点在圆内⇔d r （2）直线与圆的位置关系圆的半径为r ,直线到圆的距离为d
①直线与圆相交点在圆内⇔d r
（1）圆与圆的位置关系①两圆外离⇔d >R +r ②两圆外切⇔d =R +r ③两圆相交
⇔R -r
（2）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
（3）切线的判定：经过半径的外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线。 （4）切线长定义：从圆外一点作圆的切线，该点到切点的距离叫切线长。
（5）切线长定理：从圆外一点作出圆的两条切线，它们的切线长相等，且该点到圆心的连线平分两切线的夹角。
（6）三角形的内心：是三个角的平分线的交点，它到三边的距离相等。
【解题方法3】证切线的两种方法：①当直线与圆有交点字母时，连接，证垂直②当直线与圆无交点字母时，作垂直，证d =r
【解题方法4】求线段的长：把要求的线段放进一个已知一边长的△中，再找一个已知三边长的△，证相似，运用比例线段计算。
【常作辅助线4】连接圆心和切点得垂直。
【常作辅助线5】当直径垂直于圆内一条不是弦的线段时，延长该线段与圆相交，形成直径垂直于弦。
【常作辅助线6】遇三角形的内心时，连接内心和三角形的顶点，形成角平分线。 12．（2006·邵阳市）已知⊙O 的半径为3cm ，点P 是直线l 上一点，OP 长为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能
13．（2010 山东淄博）如图11，D 是半径为R 的⊙O 上一点，过点D 作⊙O 直径AB 的延长线于点C ，下列四个条件：①AD ＝CD ；②∠A ＝30°；③∠ADC ＝120°；④DC ＝3R ．其中, 使得BC ＝R 的有（ ）
A ．①② B 。①③④ C 。②③④ D 。①②③④ 14．（2009仙桃）如图12，AB 为⊙O 的直径，D 是⊙O 上的一点，过O 点作AB 的垂线交AD 于点E ，交BD 的延长线于点C ，F 为CE 上一点，且FD ＝FE ． (1)请探究FD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O 的半径为2，BD ＝，求BC 的长．
C
图C F
B
A O
图12
15．如图13，P 是∠BAC 的平分线上一点，PD ⊥AC ，垂足为D. AB与以P 为圆心、PD 为半径的圆相切吗？为什么？
16．已知如图14，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，CE ⊥AD ，点E 为垂足，2
的延长线交AB 于点F 。求证：AC =AB ⋅AF
B A
图13
17．如图15，△ABC 中， I 为内心，AI 交边BC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E ，连BE ，试说明：BE=EC=IE。
结
图14
B
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图15 18．（2010湖南长沙）已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是r 1=2、r 2=4，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是（ ）．
A 、2 B、4 C、6 D、8
知识点4 圆中的计算 （1）弧长公式：l =
n πR
180
n πR 2
（2）扇形面积：S =
360
或 S =
1lR 2
（3）圆锥的侧面积：S 侧=πrl （ｒ指底面圆的半径，l 指母线长）
【解题方法5】在扇形中，弧长、半径、圆心角、面积四个量中只要已知两个量就能求出其余两个。 【解题方法6】在圆锥的侧面展开图中，底面圆周长等于扇形弧长。 19．（2006·宿迁市）如图16，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若
圆的半径为r ，扇形的半径为R ，扇形的圆心角等于120°，则r 与R 之间的关系是（ ） A ．R ＝2r
B．R
．R ＝3r
D ．R ＝4r
20．一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为______． (结果保留π)
21. （2010浙江宁波）如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，弦DF 与半径OB 相交于点P ，连结EF 、EO ，若DE =23，∠DP A =45°. (1)求⊙O 的半径；
(2)求图中阴影部分的面积.
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B 图17