摘 要： 高斯定理是电磁学中的重要定理。文章对高斯定理的物理意义，证明方法的选择，高斯面的选择，及高斯定理教学与实际生活的联系方面作了进一步说明。 关键词： 电通量 高斯定理 高斯面 高斯定理反映了静电场的一个基本性质，静电场是有源场 ，电荷是静电场的源。是电磁学中的一个重要定理，它的表达式为： 。它表示：在静电场中 ，通过任意闭合曲面的电通量 ，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的�^0分之一倍，是电磁学最基本的定理之一。学生在初学时会存在一些疑惑。如：为什么要学习高斯定理？电通量有何含义？高斯定理是如何得来的？在什么情况下应用高斯定理？高斯面怎么选择？大部分大学物理教材，对高斯定理的推导、各物理量的含义，高斯定理的应用讲解得比较详细。而对于学习高斯定理的出发点、高斯面的选择、高斯定理与生活的联系方面常一笔带过。本文就教学中另需强调的几点谈谈自己的想法。 1 必须讲透高斯定理的意义 学习物理概念、物理规律、定理时，应让学生理解其物理意义。高斯定理的意义是揭示静电场与场源之间的关系。物理学上，场指物体某种属性在空间中的分布情况，是一个以时空为变量的物理量，可分为矢量场、标量场和张量场，静电场为矢量场。对于标量场，常用等值线进行直观描述，如等温度线、等势线；而常用场线描述矢量场，如电场线、速度场线。对场的进一步研究需弄清"场"与"场源"的关系，即该"场"是"有源场"还是 "无源场"。 "有源场"的数学描述是通过闭合曲面的"通量"不为零。因此，在大学物理教学中，务必讲清"通量"的物理意义。"通量"指的是单位时间内流经某单位面积的某种属性量，是表示某属性量输送强度的物理量。或者说是单位时间垂直通过单位面积所传递的某种物理量。在流体力学中，流量就是通量。静电场中，这个流量就是电通量。若计算结果得 ，则表明闭合曲面内有正电荷， 有自曲面内向外发出的通量； 若计算得 ，则闭合曲面内有负电荷，有来自四周的通量向曲面内汇集； 若计算 ，则表明闭合曲面内无净电荷，通过该曲面的通量为零。高斯定理就是计算通过某一闭合曲面的电通量，从而反映了静电场的性质的物理定理。 2 选择合适的方法的证明高斯定理 高斯定理的证明常见有三种方法：（1）利用电场线模型。首先从点电荷位于球面内球心处的情况来证明高斯定理， 然后根据电通量表示通过某一面的电场线的条数这一形象说法，将结论推广到任意的闭合曲面 。这种方法相对比较简单，近几来的大学物理教材一般采用这种方法，这种方法基于电通量就是电场线条数这一理解，缺乏严谨性，适合一般高等院校工科生选择。（2）利用立体角的概念间接证明高斯定理[1]。此方法严谨， 对学生空间想象力及微积分知识要求较高，难度较大，适合能力较强的理工科学生选择。（3）利用纯数学和电场强度概念证明。这种方法物理含义不清晰，且运算非常繁杂和抽象。适合物理专业的学生选择。[2] 另外，文章[3]提出一种新的证明方法-"光影法"。该方法先借助"光"与" 影"的概念来分析立体角的有关结论，然后用得到的结论证明高斯定理。证明时从真空中点电荷的特例出发，最后推广到一般情况。这种方法直观、生动又不缺严谨性，适合理工科学生选择。 3 区分易混淆概念 静电场中的高斯定理内容较简单，但涉及到一些概念容易混淆。（1）区分场强E与通量。这两个量一个是标量，一个是矢量，一个是空间点函数，一个是对某个面元而言，不能简单地认为通过一个面元的电通量为零，则面元上各点场强为零。（2）区分总通量和部分通量。总通量由只由闭合曲面内电荷决定，而部分通量与闭合曲面内外电荷有关，还与该面积有关。闭合曲面总能量为零，部分通量不一定为零；部分能量为零时，总通量不一定为零。（3）区分电荷代数和为零和曲面内无电荷。电荷代数和为零和曲面内无电荷，总电通量都为零，但是因为电荷分布情况不同，曲面上各点的场强分布不同。 4 明确高斯面的选择 静电场中的高斯定理，提示了静电场是有源场。它最重要的应用在于在已知电荷分布的情况下简捷地求场强的分布情况。当场强具有对称性时， 用高斯定理来求场强的分布情况，可以简化运算。一般教材都会用来处理轴对称、柱对称、面对称三种情形的场强问题。应用时分4个环节，一是分析电场对称性；二是作出高斯面；三 是表示出通过高斯面的电通量；四是表示出高斯面内的电荷代数和；五是用高斯定理列方程求解。其中高斯面的选择是最关键的一个环节。若选择的高斯面合适，电场强度E便能从积分号中提出来，场强E就能用高斯定理求解得到。对于轴对称模型，选择圆柱体的表面为高斯面，见图一； 球对称模型，则选球面为高斯面，见图二；平面对称模型高斯面为圆柱面，见图三。因此，选择高斯面时应注意：（1） 需求场强的场点要在高斯面上；（2）高斯面上各部分面积方向应与场强E方向垂直、平行或有恒定的夹角；（3）高斯面上垂直于高斯面的场强各处数值相等，这部分Ecos�a为常数；（4）高斯面的形状应是规则的。 5 强调高斯定理与生活的联系 在简化计算具有对称性的电场时，高斯定理有着重要应用，比如：轴对称分布的均匀无限长带电直线、圆柱体、圆筒；球对称分布的均匀带电球面、球壳、球体，球形电容器；平对称分布的均匀带电的平面、平板等的电场的计算.但因为所提到的模型生活当中不太常见，给学生一种神秘感。因此，教师在讲高斯定理的应用时，除了教材中的模型，应将高斯定理与生活联系起来，适当补充高斯定理在实际生活中的应用，以增强学生的学习兴趣。 下面的案例为用高斯定理处理闪电问题。 闪电的可见部分之前有一个不可见的阶段，在该阶段一根电子柱从浮云向下延伸到地面。这些电子来自浮云和在该柱内被电离的空气分子。沿该柱的线电荷密度一般为-1*10-3C/m。一旦电子柱到达地面，柱内的电子迅速地倾泄到地面，在倾泄期间，运动电子与柱内空气的碰撞导致明亮的闪光。倘若空气分子在超过3*106N/C的电场中被击穿，则电子柱的半径有多大？[4] 教师可将该问题融入课堂教学，增强学生学习兴趣。 参考文献 [1] 赵凯华， 陈熙谋. 电磁学[ M ] . 北京： 高等教育出版社. 2003： 20-24 [2] 王泽忠， 全玉生， 卢斌先. 工程电磁场[ M] . 北京： 清华大学出版社. 2004： 39-4 [3] 韦芙芽，张小林，叶爱华.高斯定理的直观教学[J].电气电子教学学报，2009，31（2）：42-44. [4] 滕小瑛 马廷钧 李椿.哈里德大学物理学（下）（M）. 机械工业出版社 ，2012 作者简介：刘文华，江西科技学院理科部， 硕士 ，从事凝聚态物理及物理教育研究 。
摘 要： 高斯定理是电磁学中的重要定理。文章对高斯定理的物理意义，证明方法的选择，高斯面的选择，及高斯定理教学与实际生活的联系方面作了进一步说明。 关键词： 电通量 高斯定理 高斯面 高斯定理反映了静电场的一个基本性质，静电场是有源场 ，电荷是静电场的源。是电磁学中的一个重要定理，它的表达式为： 。它表示：在静电场中 ，通过任意闭合曲面的电通量 ，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的�^0分之一倍，是电磁学最基本的定理之一。学生在初学时会存在一些疑惑。如：为什么要学习高斯定理？电通量有何含义？高斯定理是如何得来的？在什么情况下应用高斯定理？高斯面怎么选择？大部分大学物理教材，对高斯定理的推导、各物理量的含义，高斯定理的应用讲解得比较详细。而对于学习高斯定理的出发点、高斯面的选择、高斯定理与生活的联系方面常一笔带过。本文就教学中另需强调的几点谈谈自己的想法。 1 必须讲透高斯定理的意义 学习物理概念、物理规律、定理时，应让学生理解其物理意义。高斯定理的意义是揭示静电场与场源之间的关系。物理学上，场指物体某种属性在空间中的分布情况，是一个以时空为变量的物理量，可分为矢量场、标量场和张量场，静电场为矢量场。对于标量场，常用等值线进行直观描述，如等温度线、等势线；而常用场线描述矢量场，如电场线、速度场线。对场的进一步研究需弄清"场"与"场源"的关系，即该"场"是"有源场"还是 "无源场"。 "有源场"的数学描述是通过闭合曲面的"通量"不为零。因此，在大学物理教学中，务必讲清"通量"的物理意义。"通量"指的是单位时间内流经某单位面积的某种属性量，是表示某属性量输送强度的物理量。或者说是单位时间垂直通过单位面积所传递的某种物理量。在流体力学中，流量就是通量。静电场中，这个流量就是电通量。若计算结果得 ，则表明闭合曲面内有正电荷， 有自曲面内向外发出的通量； 若计算得 ，则闭合曲面内有负电荷，有来自四周的通量向曲面内汇集； 若计算 ，则表明闭合曲面内无净电荷，通过该曲面的通量为零。高斯定理就是计算通过某一闭合曲面的电通量，从而反映了静电场的性质的物理定理。 2 选择合适的方法的证明高斯定理 高斯定理的证明常见有三种方法：（1）利用电场线模型。首先从点电荷位于球面内球心处的情况来证明高斯定理， 然后根据电通量表示通过某一面的电场线的条数这一形象说法，将结论推广到任意的闭合曲面 。这种方法相对比较简单，近几来的大学物理教材一般采用这种方法，这种方法基于电通量就是电场线条数这一理解，缺乏严谨性，适合一般高等院校工科生选择。（2）利用立体角的概念间接证明高斯定理[1]。此方法严谨， 对学生空间想象力及微积分知识要求较高，难度较大，适合能力较强的理工科学生选择。（3）利用纯数学和电场强度概念证明。这种方法物理含义不清晰，且运算非常繁杂和抽象。适合物理专业的学生选择。[2] 另外，文章[3]提出一种新的证明方法-"光影法"。该方法先借助"光"与" 影"的概念来分析立体角的有关结论，然后用得到的结论证明高斯定理。证明时从真空中点电荷的特例出发，最后推广到一般情况。这种方法直观、生动又不缺严谨性，适合理工科学生选择。 3 区分易混淆概念 静电场中的高斯定理内容较简单，但涉及到一些概念容易混淆。（1）区分场强E与通量。这两个量一个是标量，一个是矢量，一个是空间点函数，一个是对某个面元而言，不能简单地认为通过一个面元的电通量为零，则面元上各点场强为零。（2）区分总通量和部分通量。总通量由只由闭合曲面内电荷决定，而部分通量与闭合曲面内外电荷有关，还与该面积有关。闭合曲面总能量为零，部分通量不一定为零；部分能量为零时，总通量不一定为零。（3）区分电荷代数和为零和曲面内无电荷。电荷代数和为零和曲面内无电荷，总电通量都为零，但是因为电荷分布情况不同，曲面上各点的场强分布不同。 4 明确高斯面的选择 静电场中的高斯定理，提示了静电场是有源场。它最重要的应用在于在已知电荷分布的情况下简捷地求场强的分布情况。当场强具有对称性时， 用高斯定理来求场强的分布情况，可以简化运算。一般教材都会用来处理轴对称、柱对称、面对称三种情形的场强问题。应用时分4个环节，一是分析电场对称性；二是作出高斯面；三 是表示出通过高斯面的电通量；四是表示出高斯面内的电荷代数和；五是用高斯定理列方程求解。其中高斯面的选择是最关键的一个环节。若选择的高斯面合适，电场强度E便能从积分号中提出来，场强E就能用高斯定理求解得到。对于轴对称模型，选择圆柱体的表面为高斯面，见图一； 球对称模型，则选球面为高斯面，见图二；平面对称模型高斯面为圆柱面，见图三。因此，选择高斯面时应注意：（1） 需求场强的场点要在高斯面上；（2）高斯面上各部分面积方向应与场强E方向垂直、平行或有恒定的夹角；（3）高斯面上垂直于高斯面的场强各处数值相等，这部分Ecos�a为常数；（4）高斯面的形状应是规则的。 5 强调高斯定理与生活的联系 在简化计算具有对称性的电场时，高斯定理有着重要应用，比如：轴对称分布的均匀无限长带电直线、圆柱体、圆筒；球对称分布的均匀带电球面、球壳、球体，球形电容器；平对称分布的均匀带电的平面、平板等的电场的计算.但因为所提到的模型生活当中不太常见，给学生一种神秘感。因此，教师在讲高斯定理的应用时，除了教材中的模型，应将高斯定理与生活联系起来，适当补充高斯定理在实际生活中的应用，以增强学生的学习兴趣。 下面的案例为用高斯定理处理闪电问题。 闪电的可见部分之前有一个不可见的阶段，在该阶段一根电子柱从浮云向下延伸到地面。这些电子来自浮云和在该柱内被电离的空气分子。沿该柱的线电荷密度一般为-1*10-3C/m。一旦电子柱到达地面，柱内的电子迅速地倾泄到地面，在倾泄期间，运动电子与柱内空气的碰撞导致明亮的闪光。倘若空气分子在超过3*106N/C的电场中被击穿，则电子柱的半径有多大？[4] 教师可将该问题融入课堂教学，增强学生学习兴趣。 参考文献 [1] 赵凯华， 陈熙谋. 电磁学[ M ] . 北京： 高等教育出版社. 2003： 20-24 [2] 王泽忠， 全玉生， 卢斌先. 工程电磁场[ M] . 北京： 清华大学出版社. 2004： 39-4 [3] 韦芙芽，张小林，叶爱华.高斯定理的直观教学[J].电气电子教学学报，2009，31（2）：42-44. [4] 滕小瑛 马廷钧 李椿.哈里德大学物理学（下）（M）. 机械工业出版社 ，2012 作者简介：刘文华，江西科技学院理科部， 硕士 ，从事凝聚态物理及物理教育研究 。