2011级经济学专业（1-2班）
《博弈论》期中考试试卷（开卷）
班级 学号 姓名 成绩
1、不能用铅笔答题，违反者按缺考处理；
2、开卷考试，给足够时间答题，请认真完成考试；卷面务必保持清楚整洁，每涂改一处扣10分； 3、每一道题的解务必写出完整的解题过程，没有过程，只有答案不给分； 4、如果发现雷同卷，一律按零分处理。
一、下面的支付矩阵表示一个两人的静态博弈。问当a 、b 、c 、d 、f 、g 、h 之间满足什么条件时，该博弈存在严格优势策略均衡（20分） 博弈方2
L R
U a ，b c ，d
博弈方1 e ，f g ，h D
参考答案：
1、严格优势策略均衡是由各博弈方的严格优势策略组成的策略组合。（2分）
2、对于博弈方1，如果a ＞e 且c ＞g ，则U 是相对于D 的严格优势策略；如果a ＜e 且c ＜g ，则D 是相对于U 的严格优势策略；（3分）
3、对于博弈方2，如果b ＞d 且f ＞h 则L 是相对于R 的严格优势策略；如果b ＜d 且f ＜h ，则R 是相对于L 的严格优势策略。（3分）
4、上述两个博弈方各自有两种严格优势策略的相对支付情况的组合，总共可能构成四种严格优势策略均衡：（12分）
1）如果a ＞e 且c ＞g ，b ＞d 且f ＞h ，严格优势策略均衡是（U ，L ） 2）如果a ＞e 且c ＞g ，b ＜d 且f ＜h ，严格优势策略均衡是（U ，R ） 3）如果a ＜e 且c ＜g ，b ＞d 且f ＞h ，严格优势策略均衡是（D ，L ） 4）如果a ＜e 且c ＜g ，b ＜d 且f ＜h ，严格优势策略均衡是（D ，R ）
（在求解本题时，如果前面三点没有写，但这四条都能写出来，可以按每条5分计算，共20分）
二、一个工人给一个老板干活，工资标准是100元。工人可以选择是否偷懒，老板则选择是否克扣工资。假设工人不偷懒有相当于50元的负效用，老板想克扣工资总有借口扣掉60元工资，工人不偷懒老板有150元产出，而工人偷懒时老板只有80元产出，但老板在支付工资之前无法知道实际产出，这些情况是双方都知道的。请问：（1）如果老板完全能够看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用支付矩阵或博弈树表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示，并求出博弈的所有Nash 均衡及博弈的结果（2）如果老板无法看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用支付矩阵或博弈树表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示，并求出博弈的均衡解。（共30分） 参考答案
（1）
①动态博弈、完全信息的动态博弈、完全且完美信息的动态博弈（2分） ②该博弈的博弈树是：（2分） 40，40）
100，-20） -10，110）
50，50）
③用以下两种方法可求出该博弈的所有Nash 均衡（16分）
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash 均衡（偷懒，{克扣，克扣}) 40，40）40
，40） 100，-20）100，-20） -10，110）-10，110）
50，50）
50，50）
（偷懒，{克扣，克扣})对局（偷懒，{克扣，不克扣})对局
40，40） 40，40）
100，-20）100，-20）
-10，110）-10，110）
50，50）50，50）
（偷懒，{不克扣，克扣})对局（偷懒，{不克扣，不克扣})对局
40，40）40，40）
100，-20）100，-20） -10，110）-10，110）
50，50
）50，50）
（不偷懒，{克扣，克扣})对局（不偷懒，{克扣，不克扣})对局
40，40）100，-20）-10，110）50，50）
（不偷懒，{不克扣，克扣})对局
40，40）100，-20）-10，110）50，50）
（不偷懒，{不克扣，不克扣})对局
方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash 均衡。该博弈的Nash 均衡是（偷懒，{克扣，克扣})
老板
{克扣，克扣}{克扣，不克扣}
{不克扣，克扣}{不克扣，不克扣}
偷懒，
40，，-20，-20
工人
不偷懒-10，，50-10，50，50
④博弈的结果：用倒推法（剪枝法）求得该博弈的结果是（偷懒，克扣）（4分）
40，40）
100，-20） -10，110） 50，50）
（2）
①静态博弈、完全信息静态博弈 （2分） ②该博弈的支付矩阵是：（2分）
老板
偷懒
工人
③用划线法可求出该博弈的Nash 均衡是（偷懒，克扣） （2分） （本题也可以用反应函数法来做）
老板
克扣不克扣q 1-q
偷懒P
40，40-10，110
100，-2050，50
工人
不偷懒1-P
解：设工人、老板选择纯策略的概率如上图所示 1）求期望支付函数
U 工人=40pq＋100p （1－q ）－10（1－p ）q ＋50（1－p ）（1－q ）
=40pq＋100p －100pq －10q ＋10pq ＋50－50p －50q ＋50pq =50p－60q ＋50
U 老板=40pq－20p （1－q ）＋110（1－p ）q ＋50（1－p ）（1－q ）
=40pq－20p ＋20pq ＋110q －110pq ＋50－50p －50q ＋50pq =60q－70p ＋50
2）根据期望支付函数写出反应函数 p=1 q=[0,1] q=1 p=[0,1] 3）作图
，1）
4）图中交点（1,1）即该博弈的混合Nash 均衡→（偷懒，克扣）
三、在一条狭窄的巷子里，两个年轻人骑着自行车相向而行。每人都有两个策略，即或者选择“冲过去”或者选择“避让”。如果选择“避让”，不管对方采取什么策略，他得到的收益都是0。如果其中一人采取“冲过去”的策略，如果对方采取“避让”，那么他得到的支付是9；如果对方不避让，那么他得到的支付是－36。请用反应函数法求出该博弈的全部纳什均衡。（10分） 参考答案
1、由所给条件可求得支付矩阵（如下图）；用划线法可求得这个博弈有两个纯策略Nash 均衡（避让，冲过去）、（冲过去，避让）（2分）
乙
避让
甲
2、根据支付矩阵求期望支付函数；设甲、乙选择纯策略的概率如下图所示（2分） 乙 避让冲过去
q 1-q
0，00，9 避让P
甲
冲过去1-P
9，0-36，-36
u 甲=9（1－p ）q －36（1－p ）（1－q ） =9q－9pq －36＋36p ＋36q －36pq =－45pq ＋36p ＋45q －36
=－9p （5q －4）＋45q －36 u 乙=9p（1－q ）－36（1－p ）（1－q ） =9p－9pq －36＋36p ＋36q －36pq =－45pq ＋36q ＋45p －36 =－9q （5p －4）＋45p －36
3、根据期望支付函数写出反应函数（2分） 甲的反应函数
p=0 当q ＜0.8 p=[0，1] 当q ＝0.8 p=1 当q ＞0.8 乙的反应函数
q=0 当p ＜0.8 q=[0，1] 当p ＝0.8 q=1 当p ＞0.8
4、根据反应函数画反应函数曲线（2分）
q
10.8
q
10.8
q
10.8
1
00.81
0.81
5、反应曲线的交点（0，0）、（1,1）、（0.8，0.8）→该博弈的混合策略Nash 均衡（2分） 四、假定甲、乙两寡头垄断的市场需求函数是Q=12－P ，生产成本为零。如果两厂商都只能要么生产垄断产量的一半，要么生产古诺产量，证明这是一个囚犯困境型的博弈。（20分） 参考答案
1）垄断产量和垄断利润的计算（5分）
由于假定生产成本为零，所以利润π=TR －TC= TR
2
π=TR=PQ =（a －Q ）Q=aQ－Q 令π′=0；即a －2Q=0 → Q=a/2 →所以q 甲=a/4，q 乙=a/4 ∵Q=12－P ∴P=a －Q=a－a/2=a/2
2
π甲= Pq甲=a/2×a/4=a/8
2
π乙= Pq乙=a/2×a/4=a/8
2）古诺产量和利润的计算（5分） 根据已知条件P=a －Q=a－q 1－q 2；c=0 所以π甲=Pq1=（a －q 1－q 2）q 1
π乙=Pq2=（a －q 1－q 2）q 2 令π甲′= a－2q 1－q 2=0 π乙′=a－q 1－2q 2=0
2a a
可求得q 1=a/3 q 2=a/3 →Q=q1＋q 2→P=a －Q=
33
a a a
π甲=Pq1= 339
2
a a a
π乙=Pq2=
339
a a a a 5a
3）如果一厂商生产垄断产量的一半 ，→P=a －Q=a－＋ ）=
4343125a a 5a
前者利润=× =
124485a a 5a
后者利润=× =
12336
（5分）
4）上述博弈用支付矩阵来表示就是：
a/4
a/4甲
a/3
22
2
乙
a/3
a 2/8，a 2/85a 2/36，5a 2/48
5a 2/48，5a 2/36a 2/9，
a 2/9
垄断产量一半为a/4；古诺产量为a/3
1515a 5a 5a a ∵ =0.125≈0.139； ≈0.111，≈0.104→ ＜ ,＜ [1**********]9
a a
∴两厂商垄断产量的一半都是相对于古诺产量的严格劣势策略；所以该博弈唯一的Nash
43a a a
均衡，也是严格优势策略均衡，是（ ），这个Nash 均衡的双方的支付 ，显然不如双方都
339a a
采用 的支付 ，因此这个博弈是一个囚徒困境型的博弈
48
（5分）
五、考虑下述两个人玩的称为“力争上游”的卡片游戏：桌子上，面朝下放着3张卡片，分别写着1、2和3，甲先拿一张卡片，然后乙拿一张卡片，他们相互看不到对方写着的数字（但每人都清楚自己手上拿着的卡片上的数字）。现在，甲先动，他可以选择是否和乙交换卡片，如果甲选择交换，乙必须和他交换；然后乙行动，他可以选择是否和桌面上剩余的那张卡片交换。这一切做完之后，手上卡片数字小的人，输给手上卡片数字大的人1根火柴。试把这个游戏表达为序贯博弈，并求出Nash 均衡和博弈的结果。（20分）
参考答案：该博弈可分为6种情况（1、2各给4分，3、4、5、6各给3分）
1、甲取到3，乙取到1 ⑴该博弈的博弈树是：
1，2）
1，3）
3，2）
3，1）
⑵求该博弈的Nash 均衡
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash 均衡
2
2
2222
1，2）1，3）3，2）3，1）
1，2）1，3
）
3，2）3，1）
（换，{换，换})对局（换，{换，不换})对局
1，2）1，3）3，2）3，1）
1，2）1，3）3，2）3，1）
（换，{不换，换})对局
（换，{不换，不换})对局
1，2）1，3）3，2）3，1）
1，2）1，3）3，2）3，1）
（不换，{换，换})对局（不换，{换，不换})对局
1，2）1，3）3，2）3，1）
1，2）1，3）3，2）3，1）
（不换，{不换，换})对局（不换，{不换，不换})对局
8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash 均衡是（不换，{换，换})和（不换，{不换，换})；博弈的结果是（不换，换）
方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash 均衡。该博弈的Nash 均衡是（不换，{换，换})和（不换，{不换，换})
乙
{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}
换1，21，21，1，甲
不换，，1，，1
⑶该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（不换，换），得到的支付是（3,2），乙输甲1根火柴。 1，2）
1，3）
3，2）
3，1）
2、甲取到3，乙取到2 ⑴该博弈的博弈树是：
2，1） 2，3）
3，1）
3，2）
⑵求该博弈的Nash 均衡
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash 均衡
2，1）2
，1） 2，3）2，3）
3，1）3，1）
3，2）3，2）
（换，{换，不换})对局（换，{换，换})对局
2，1）2，1） 2，3）2，3）
3，1）3，1）
3，2）3，2）
（换，{不换，不换})对局（换，{不换，换})对局
2，1）2，3）3，1）3，2）
2，1）2，3）3，1）3，2
）
（不换，{换，换})对局
（不换，{换，不换})对局
2，1）2，3）3，1）3，2）
2，1）2，3）3，1）3，2）
（不换，{不换，换})对局（不换，{不换，不换})对局
8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash 均衡是（不换，{换，不换})和（不换，{不换，换})； 博弈的结果是（不换，不换）
方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash 均衡。该博弈的Nash 均衡是（不换，{换，换})和（不换，{不换，不换})
乙
{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}
换 2，12，12，2，甲
不换，1，，1，
⑶该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（不换，不换），得到的支付是（3,2），乙输甲1根火柴。 2，1）
2，3）
3，1）
3，2
）
3、甲取到2，乙取到1 ⑴该博弈的博弈树是：
1，3）1，2）2，3）2，1）
⑵求该博弈的Nash 均衡
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash 均衡
1，3）1
，3） 1，2）1，2）
2，3）2，3）
2，1）2，1）
（换，{换，不换})对局
（换，{换，换})对局
1，3）
1，3）
1，2）1，2）
2，3）2，3）
2，1）2，1）
（换，{不换，不换})
对局（换，{不换，换})对局
1，3）1，3）
1，2）1，2） 2，3）2，3）
2，1）2，1
）
（不换，
{换，不换})对局 （不换，{换，换})对局
1，3）1，3）
1，2）1，2） 2，3）2，3）
2，1）2，1）
（不换，{不换，不换})对局（不换，{不换，换})对局
8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash 均衡是（不换，{换，换})和（不换，{不换，换})； 博弈的结果是（不换，换）
方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash 均衡。该博弈的Nash 均衡是（不换，{换，换})和（不换，{不换，换})
乙
{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}
换 1，1，1，21，2甲
不换，
，，，1
⑶该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（不换，换），得到的支付是（2,3），甲输乙1根火柴。 1，3）
1，2）
2，3）
2，1）
4、甲取到2，乙取到3 ⑴该博弈的博弈树是：
3，1）
3，2）
2，1）
2，3）
⑵求该博弈的Nash 均衡
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash 均衡 3，1）3，1）
3，2） 3，2） 2，1）2，1）
2，3） 2，3）
（换，{换，不换})对局（换，{换，换})对局
3，1）3，2）2，1）
3，1）3，2）2，1）
2，3）
（换，{不换，换})对局
2，3）
（换，{不换，不换})对局
3，1）3，2）2，1）2，3）
3，1）3，2）2，1）2，3）
（不换，{换，换})对局
（不换，{换，不换})
对局
3，1）3，2）2，1）2，3）
3，1）3，2）2，1）2，3）
（不换，{不换，换})对局
（不换，{不换，不换})对局
8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash 均衡是（换，{不换，换})和（换，{不换，不换})； 博弈的结果是（换，不换）
方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash 均衡。该博弈的Nash 均衡是（换，{不换，换})和（换，{不换，不换})
乙
{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}
换，1，1，，甲
不换2，12，2，12，3
⑶该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（换，不换），得到的支付是（3,2），乙输甲1根火柴。 3，1）
3，2）
2，1）
2，3）
5、甲取到1，乙取到2 ⑴该博弈的博弈树是：
2，3）2，1）1，3）1，2）
⑵求该博弈的Nash 均衡
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash 均衡
2，3）2，3） 2，1）2，1）
1，3）1，3）
1，2）1，2）
（换，{换，不换})对局
（换，{换，换})对局
2，3）
2，3）
2，1）2，1）
1，3） 1，3）
1，2）1，2）
（换，{不换，不换})对局
（换，{不换，换})对局
2，3）
2，3） 2，1）2，1）
1，3）1，3）
1，2）1，2）
（不换，{换，不换})
对局
（不换，{换，换})对局
2，3）2，3） 2，1）2，1）
1，3）1，3） 1，2）1，2）
（换，{不换，换})对局
（换，{不换，不换})对局
8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash 均衡是（换，{换，换})和（换，{换，不换})
方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash 均衡。该博弈的Nash 均衡是（换，{换，换})和（换，{换，不换})
乙
{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}
换 ，，，1，1甲
不换1，
1，21，1，2
⑶该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（换，换），得到的支付是（2,3），甲输乙1根火柴。 2，3）
2，1）
1，3）
1，2）
6、甲取到1，乙取到3 ⑴该博弈的博弈树是： 3，2）
3，1）
1，2）
1，3
）
⑵求该博弈的Nash 均衡
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash 均衡
3，2）3，2） 3，1）3，1）
1，2）1，2） 1，3）1，3）
（换，{换，不换})对局（换，{换，换})对局
3，2）3，1）1，2）
3，2）3，1）1，2）
1，3）
（换，{不换，换})对局
1，3）
（换，{不换，不换})对局
3，2）3，1）1，2）1，3）
3，2）3，1）1，2）1，3）
（不换，{换，换})对局
（不换，{换，不换})对局
3，2）3，1）1，2）1，3）
3，2）3，1）1，2）1，3）
（不换，{不换，换})对局
（不换，{不换，不换})对局
8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash 均衡是（换，{换，换})和（换，{换，不换}) 方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash 均衡。该博弈的Nash 均衡是（换，{换，换})和（换，{换，不换}) 乙
{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}
换，，，1，1 甲
不换1，21，31，21，
⑶该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（换，换），得到的支付是（3,2），乙输甲1根火柴。
3，2）
3，1）
1，2）
1，3）
2011级经济学专业（1-2班）
《博弈论》期中考试试卷（开卷）
班级 学号 姓名 成绩
1、不能用铅笔答题，违反者按缺考处理；
2、开卷考试，给足够时间答题，请认真完成考试；卷面务必保持清楚整洁，每涂改一处扣10分； 3、每一道题的解务必写出完整的解题过程，没有过程，只有答案不给分； 4、如果发现雷同卷，一律按零分处理。
一、下面的支付矩阵表示一个两人的静态博弈。问当a 、b 、c 、d 、f 、g 、h 之间满足什么条件时，该博弈存在严格优势策略均衡（20分） 博弈方2
L R
U a ，b c ，d
博弈方1 e ，f g ，h D
参考答案：
1、严格优势策略均衡是由各博弈方的严格优势策略组成的策略组合。（2分）
2、对于博弈方1，如果a ＞e 且c ＞g ，则U 是相对于D 的严格优势策略；如果a ＜e 且c ＜g ，则D 是相对于U 的严格优势策略；（3分）
3、对于博弈方2，如果b ＞d 且f ＞h 则L 是相对于R 的严格优势策略；如果b ＜d 且f ＜h ，则R 是相对于L 的严格优势策略。（3分）
4、上述两个博弈方各自有两种严格优势策略的相对支付情况的组合，总共可能构成四种严格优势策略均衡：（12分）
1）如果a ＞e 且c ＞g ，b ＞d 且f ＞h ，严格优势策略均衡是（U ，L ） 2）如果a ＞e 且c ＞g ，b ＜d 且f ＜h ，严格优势策略均衡是（U ，R ） 3）如果a ＜e 且c ＜g ，b ＞d 且f ＞h ，严格优势策略均衡是（D ，L ） 4）如果a ＜e 且c ＜g ，b ＜d 且f ＜h ，严格优势策略均衡是（D ，R ）
（在求解本题时，如果前面三点没有写，但这四条都能写出来，可以按每条5分计算，共20分）
二、一个工人给一个老板干活，工资标准是100元。工人可以选择是否偷懒，老板则选择是否克扣工资。假设工人不偷懒有相当于50元的负效用，老板想克扣工资总有借口扣掉60元工资，工人不偷懒老板有150元产出，而工人偷懒时老板只有80元产出，但老板在支付工资之前无法知道实际产出，这些情况是双方都知道的。请问：（1）如果老板完全能够看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用支付矩阵或博弈树表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示，并求出博弈的所有Nash 均衡及博弈的结果（2）如果老板无法看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用支付矩阵或博弈树表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示，并求出博弈的均衡解。（共30分） 参考答案
（1）
①动态博弈、完全信息的动态博弈、完全且完美信息的动态博弈（2分） ②该博弈的博弈树是：（2分） 40，40）
100，-20） -10，110）
50，50）
③用以下两种方法可求出该博弈的所有Nash 均衡（16分）
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash 均衡（偷懒，{克扣，克扣}) 40，40）40
，40） 100，-20）100，-20） -10，110）-10，110）
50，50）
50，50）
（偷懒，{克扣，克扣})对局（偷懒，{克扣，不克扣})对局
40，40） 40，40）
100，-20）100，-20）
-10，110）-10，110）
50，50）50，50）
（偷懒，{不克扣，克扣})对局（偷懒，{不克扣，不克扣})对局
40，40）40，40）
100，-20）100，-20） -10，110）-10，110）
50，50
）50，50）
（不偷懒，{克扣，克扣})对局（不偷懒，{克扣，不克扣})对局
40，40）100，-20）-10，110）50，50）
（不偷懒，{不克扣，克扣})对局
40，40）100，-20）-10，110）50，50）
（不偷懒，{不克扣，不克扣})对局
方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash 均衡。该博弈的Nash 均衡是（偷懒，{克扣，克扣})
老板
{克扣，克扣}{克扣，不克扣}
{不克扣，克扣}{不克扣，不克扣}
偷懒，
40，，-20，-20
工人
不偷懒-10，，50-10，50，50
④博弈的结果：用倒推法（剪枝法）求得该博弈的结果是（偷懒，克扣）（4分）
40，40）
100，-20） -10，110） 50，50）
（2）
①静态博弈、完全信息静态博弈 （2分） ②该博弈的支付矩阵是：（2分）
老板
偷懒
工人
③用划线法可求出该博弈的Nash 均衡是（偷懒，克扣） （2分） （本题也可以用反应函数法来做）
老板
克扣不克扣q 1-q
偷懒P
40，40-10，110
100，-2050，50
工人
不偷懒1-P
解：设工人、老板选择纯策略的概率如上图所示 1）求期望支付函数
U 工人=40pq＋100p （1－q ）－10（1－p ）q ＋50（1－p ）（1－q ）
=40pq＋100p －100pq －10q ＋10pq ＋50－50p －50q ＋50pq =50p－60q ＋50
U 老板=40pq－20p （1－q ）＋110（1－p ）q ＋50（1－p ）（1－q ）
=40pq－20p ＋20pq ＋110q －110pq ＋50－50p －50q ＋50pq =60q－70p ＋50
2）根据期望支付函数写出反应函数 p=1 q=[0,1] q=1 p=[0,1] 3）作图
，1）
4）图中交点（1,1）即该博弈的混合Nash 均衡→（偷懒，克扣）
三、在一条狭窄的巷子里，两个年轻人骑着自行车相向而行。每人都有两个策略，即或者选择“冲过去”或者选择“避让”。如果选择“避让”，不管对方采取什么策略，他得到的收益都是0。如果其中一人采取“冲过去”的策略，如果对方采取“避让”，那么他得到的支付是9；如果对方不避让，那么他得到的支付是－36。请用反应函数法求出该博弈的全部纳什均衡。（10分） 参考答案
1、由所给条件可求得支付矩阵（如下图）；用划线法可求得这个博弈有两个纯策略Nash 均衡（避让，冲过去）、（冲过去，避让）（2分）
乙
避让
甲
2、根据支付矩阵求期望支付函数；设甲、乙选择纯策略的概率如下图所示（2分） 乙 避让冲过去
q 1-q
0，00，9 避让P
甲
冲过去1-P
9，0-36，-36
u 甲=9（1－p ）q －36（1－p ）（1－q ） =9q－9pq －36＋36p ＋36q －36pq =－45pq ＋36p ＋45q －36
=－9p （5q －4）＋45q －36 u 乙=9p（1－q ）－36（1－p ）（1－q ） =9p－9pq －36＋36p ＋36q －36pq =－45pq ＋36q ＋45p －36 =－9q （5p －4）＋45p －36
3、根据期望支付函数写出反应函数（2分） 甲的反应函数
p=0 当q ＜0.8 p=[0，1] 当q ＝0.8 p=1 当q ＞0.8 乙的反应函数
q=0 当p ＜0.8 q=[0，1] 当p ＝0.8 q=1 当p ＞0.8
4、根据反应函数画反应函数曲线（2分）
q
10.8
q
10.8
q
10.8
1
00.81
0.81
5、反应曲线的交点（0，0）、（1,1）、（0.8，0.8）→该博弈的混合策略Nash 均衡（2分） 四、假定甲、乙两寡头垄断的市场需求函数是Q=12－P ，生产成本为零。如果两厂商都只能要么生产垄断产量的一半，要么生产古诺产量，证明这是一个囚犯困境型的博弈。（20分） 参考答案
1）垄断产量和垄断利润的计算（5分）
由于假定生产成本为零，所以利润π=TR －TC= TR
2
π=TR=PQ =（a －Q ）Q=aQ－Q 令π′=0；即a －2Q=0 → Q=a/2 →所以q 甲=a/4，q 乙=a/4 ∵Q=12－P ∴P=a －Q=a－a/2=a/2
2
π甲= Pq甲=a/2×a/4=a/8
2
π乙= Pq乙=a/2×a/4=a/8
2）古诺产量和利润的计算（5分） 根据已知条件P=a －Q=a－q 1－q 2；c=0 所以π甲=Pq1=（a －q 1－q 2）q 1
π乙=Pq2=（a －q 1－q 2）q 2 令π甲′= a－2q 1－q 2=0 π乙′=a－q 1－2q 2=0
2a a
可求得q 1=a/3 q 2=a/3 →Q=q1＋q 2→P=a －Q=
33
a a a
π甲=Pq1= 339
2
a a a
π乙=Pq2=
339
a a a a 5a
3）如果一厂商生产垄断产量的一半 ，→P=a －Q=a－＋ ）=
4343125a a 5a
前者利润=× =
124485a a 5a
后者利润=× =
12336
（5分）
4）上述博弈用支付矩阵来表示就是：
a/4
a/4甲
a/3
22
2
乙
a/3
a 2/8，a 2/85a 2/36，5a 2/48
5a 2/48，5a 2/36a 2/9，
a 2/9
垄断产量一半为a/4；古诺产量为a/3
1515a 5a 5a a ∵ =0.125≈0.139； ≈0.111，≈0.104→ ＜ ,＜ [1**********]9
a a
∴两厂商垄断产量的一半都是相对于古诺产量的严格劣势策略；所以该博弈唯一的Nash
43a a a
均衡，也是严格优势策略均衡，是（ ），这个Nash 均衡的双方的支付 ，显然不如双方都
339a a
采用 的支付 ，因此这个博弈是一个囚徒困境型的博弈
48
（5分）
五、考虑下述两个人玩的称为“力争上游”的卡片游戏：桌子上，面朝下放着3张卡片，分别写着1、2和3，甲先拿一张卡片，然后乙拿一张卡片，他们相互看不到对方写着的数字（但每人都清楚自己手上拿着的卡片上的数字）。现在，甲先动，他可以选择是否和乙交换卡片，如果甲选择交换，乙必须和他交换；然后乙行动，他可以选择是否和桌面上剩余的那张卡片交换。这一切做完之后，手上卡片数字小的人，输给手上卡片数字大的人1根火柴。试把这个游戏表达为序贯博弈，并求出Nash 均衡和博弈的结果。（20分）
参考答案：该博弈可分为6种情况（1、2各给4分，3、4、5、6各给3分）
1、甲取到3，乙取到1 ⑴该博弈的博弈树是：
1，2）
1，3）
3，2）
3，1）
⑵求该博弈的Nash 均衡
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash 均衡
2
2
2222
1，2）1，3）3，2）3，1）
1，2）1，3
）
3，2）3，1）
（换，{换，换})对局（换，{换，不换})对局
1，2）1，3）3，2）3，1）
1，2）1，3）3，2）3，1）
（换，{不换，换})对局
（换，{不换，不换})对局
1，2）1，3）3，2）3，1）
1，2）1，3）3，2）3，1）
（不换，{换，换})对局（不换，{换，不换})对局
1，2）1，3）3，2）3，1）
1，2）1，3）3，2）3，1）
（不换，{不换，换})对局（不换，{不换，不换})对局
8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash 均衡是（不换，{换，换})和（不换，{不换，换})；博弈的结果是（不换，换）
方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash 均衡。该博弈的Nash 均衡是（不换，{换，换})和（不换，{不换，换})
乙
{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}
换1，21，21，1，甲
不换，，1，，1
⑶该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（不换，换），得到的支付是（3,2），乙输甲1根火柴。 1，2）
1，3）
3，2）
3，1）
2、甲取到3，乙取到2 ⑴该博弈的博弈树是：
2，1） 2，3）
3，1）
3，2）
⑵求该博弈的Nash 均衡
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash 均衡
2，1）2
，1） 2，3）2，3）
3，1）3，1）
3，2）3，2）
（换，{换，不换})对局（换，{换，换})对局
2，1）2，1） 2，3）2，3）
3，1）3，1）
3，2）3，2）
（换，{不换，不换})对局（换，{不换，换})对局
2，1）2，3）3，1）3，2）
2，1）2，3）3，1）3，2
）
（不换，{换，换})对局
（不换，{换，不换})对局
2，1）2，3）3，1）3，2）
2，1）2，3）3，1）3，2）
（不换，{不换，换})对局（不换，{不换，不换})对局
8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash 均衡是（不换，{换，不换})和（不换，{不换，换})； 博弈的结果是（不换，不换）
方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash 均衡。该博弈的Nash 均衡是（不换，{换，换})和（不换，{不换，不换})
乙
{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}
换 2，12，12，2，甲
不换，1，，1，
⑶该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（不换，不换），得到的支付是（3,2），乙输甲1根火柴。 2，1）
2，3）
3，1）
3，2
）
3、甲取到2，乙取到1 ⑴该博弈的博弈树是：
1，3）1，2）2，3）2，1）
⑵求该博弈的Nash 均衡
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash 均衡
1，3）1
，3） 1，2）1，2）
2，3）2，3）
2，1）2，1）
（换，{换，不换})对局
（换，{换，换})对局
1，3）
1，3）
1，2）1，2）
2，3）2，3）
2，1）2，1）
（换，{不换，不换})
对局（换，{不换，换})对局
1，3）1，3）
1，2）1，2） 2，3）2，3）
2，1）2，1
）
（不换，
{换，不换})对局 （不换，{换，换})对局
1，3）1，3）
1，2）1，2） 2，3）2，3）
2，1）2，1）
（不换，{不换，不换})对局（不换，{不换，换})对局
8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash 均衡是（不换，{换，换})和（不换，{不换，换})； 博弈的结果是（不换，换）
方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash 均衡。该博弈的Nash 均衡是（不换，{换，换})和（不换，{不换，换})
乙
{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}
换 1，1，1，21，2甲
不换，
，，，1
⑶该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（不换，换），得到的支付是（2,3），甲输乙1根火柴。 1，3）
1，2）
2，3）
2，1）
4、甲取到2，乙取到3 ⑴该博弈的博弈树是：
3，1）
3，2）
2，1）
2，3）
⑵求该博弈的Nash 均衡
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash 均衡 3，1）3，1）
3，2） 3，2） 2，1）2，1）
2，3） 2，3）
（换，{换，不换})对局（换，{换，换})对局
3，1）3，2）2，1）
3，1）3，2）2，1）
2，3）
（换，{不换，换})对局
2，3）
（换，{不换，不换})对局
3，1）3，2）2，1）2，3）
3，1）3，2）2，1）2，3）
（不换，{换，换})对局
（不换，{换，不换})
对局
3，1）3，2）2，1）2，3）
3，1）3，2）2，1）2，3）
（不换，{不换，换})对局
（不换，{不换，不换})对局
8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash 均衡是（换，{不换，换})和（换，{不换，不换})； 博弈的结果是（换，不换）
方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash 均衡。该博弈的Nash 均衡是（换，{不换，换})和（换，{不换，不换})
乙
{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}
换，1，1，，甲
不换2，12，2，12，3
⑶该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（换，不换），得到的支付是（3,2），乙输甲1根火柴。 3，1）
3，2）
2，1）
2，3）
5、甲取到1，乙取到2 ⑴该博弈的博弈树是：
2，3）2，1）1，3）1，2）
⑵求该博弈的Nash 均衡
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash 均衡
2，3）2，3） 2，1）2，1）
1，3）1，3）
1，2）1，2）
（换，{换，不换})对局
（换，{换，换})对局
2，3）
2，3）
2，1）2，1）
1，3） 1，3）
1，2）1，2）
（换，{不换，不换})对局
（换，{不换，换})对局
2，3）
2，3） 2，1）2，1）
1，3）1，3）
1，2）1，2）
（不换，{换，不换})
对局
（不换，{换，换})对局
2，3）2，3） 2，1）2，1）
1，3）1，3） 1，2）1，2）
（换，{不换，换})对局
（换，{不换，不换})对局
8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash 均衡是（换，{换，换})和（换，{换，不换})
方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash 均衡。该博弈的Nash 均衡是（换，{换，换})和（换，{换，不换})
乙
{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}
换 ，，，1，1甲
不换1，
1，21，1，2
⑶该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（换，换），得到的支付是（2,3），甲输乙1根火柴。 2，3）
2，1）
1，3）
1，2）
6、甲取到1，乙取到3 ⑴该博弈的博弈树是： 3，2）
3，1）
1，2）
1，3
）
⑵求该博弈的Nash 均衡
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash 均衡
3，2）3，2） 3，1）3，1）
1，2）1，2） 1，3）1，3）
（换，{换，不换})对局（换，{换，换})对局
3，2）3，1）1，2）
3，2）3，1）1，2）
1，3）
（换，{不换，换})对局
1，3）
（换，{不换，不换})对局
3，2）3，1）1，2）1，3）
3，2）3，1）1，2）1，3）
（不换，{换，换})对局
（不换，{换，不换})对局
3，2）3，1）1，2）1，3）
3，2）3，1）1，2）1，3）
（不换，{不换，换})对局
（不换，{不换，不换})对局
8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash 均衡是（换，{换，换})和（换，{换，不换}) 方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash 均衡。该博弈的Nash 均衡是（换，{换，换})和（换，{换，不换}) 乙
{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}
换，，，1，1 甲
不换1，21，31，21，
⑶该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（换，换），得到的支付是（3,2），乙输甲1根火柴。
3，2）
3，1）
1，2）
1，3）