必修1 第二章 基本初等函数（Ⅰ）基本题型分类
题型一：指数与指数幂的运算和对数与对数的运算
（一）化简求值：
1．化简(1+
1．解：(1+
2．化简4
2．解：42+12) 3+(1-2) 4= 2) 3+(1-2) 4=(1+2) +(2-1) =22． ⋅23-22-⋅64-23=． 2+1⋅23-22⋅642
3=2
1
22(2+1) ⋅2(2-1) 2⋅(2) 6-23=222+2+(2-1) 2-4=1．
3．化简a -b
a +b
a -b
a +b 1
2121212-a +b -2a b a -b 121212= 3．解：-a +b -2a b a -b 1
2121212=a -b -1212(a -b ) 2a -b 1
2121212=0．
（二）含附加条件的幂的求值
4．已知a +a
2-2-1=5，求下列各式的值． 12-1
2(1)a +a ；(2)a -a
4．解：(1)由a +a
(2)(a -a 1
2-1
22-1； =5两边平方得：a 2+2aa -1+a -2=25，即a 2+a -2=23． -112-1
2) =a +a -2=5-2=3，∴a -a =±．
题型二：指数函数、对数函数、幂函数的定义
5．(1)下列以x 为自变量的函数，其中为指数函数的是（ ）
A. y =(-5) B. y =e (e ≈2.71828) C. y =-5 D. y =π
(2)如果函数(a -3a +3) a 是指数函数，则有（ ）
A. a =1或a =2 B. a =1 C. a =2 D. a >0且a ≠1
x 5．解：(1)B；(2)C；由指数函数的三大特征：①a 的系数为1；②底数a >0, 且a ≠1的常数；③指数位置上仅有自x x x x +2 2x
变量x ．
【规律总结】
①系数为1；②底数为大于0且不等于1的常数；
③指数函数的指数仅有自变量x ．
6．函数f (x ) =(a 2-a +1) log (a +1) x 是对数函数，则实数a =．
⎧a 2-a +1=16．解：⎨解得：a =1．
⎩a +1>0
【规律总结】
判断一个函数是否为对数函数的方法：
判断一个函数是对数函数必须是形如y =log a x (a >0, 且a ≠1) 的形式，即必须满足以下条件：
7．函数f (x ) =(m -m -1) x
22m 2+m -3是幂函数，且当x ∈(0, +∞) 时，f (x ) 是增函数，则f (x ) 的解析式为 m 2+m -32⎧⎪m -m -1=1是幂函数，所以⎨2解得：m =2；f (x ) =x 3． ⎪⎩m +m -3>07．解：因为函数f (x ) =(m -m -1) x
【规律总结】
由幂函数的特征：①指数α为常数；②底数为自变量；③系数为1．
题型三：指数函数、对数函数、幂函数的图象
8．(1)函数y =a x -3+3(a >0, 且a ≠1) 的图象过定点
8．解：(1)令x -3=0，x =3，y =4，所以函数y =a x -3+3(a >0, 且a ≠1) 的图象过定点(3, 4) ．
【归纳总结】：函数y =a f (x ) +m 恒过定点问题，令f (x ) =0解出x ，则定点为(x , 1+m ) ．
(2)如图是指数函数(1)y =a ，(2)y =b ，(3)y =c ，(4)y =d 的图象，
则a , b , c , d 与1的大小关系为（ ）
A. a C. 1
(2)令x =1，这时各自的函数值就是它们的底数，从而大小显而易见；答案：B ．
9．(1)函数x x x x y =log a (x +1) -2(a >0, 且a ≠1) 的图象恒过点 ．
(2)如图所示的曲线是对数函数y =log a x ，y =log b x ，y =log c x ，
y =log d x 图象，则a , b , c , d 与1的大小关系为．
9．解：(1)令x +1=1，x =0，所以函数
【规律总结】
对数函数恒过定点问题
(1)求函数y y =log a (x +1) -2(a >0, 且a ≠1) 的图象恒过点(0, -2) =m +log a f (x )(a >0, 且a ≠1) 的图象过的定点时，只需令f (x ) =1求出x ，即得定点为(x , m ) ．
(2)令y =1，这时各自的真数就是它们的底数，从而大小显而易见；答案：b >a >1>d >c >0．
n 10．如图所示，曲线是幂函数y =x 在第一象限内的图象，已知n 分别取-1, 1, , 2四个值，相应于曲线C 1, C 2,
C 3, C 412
的n 依次为（ ）
A, -1, , 1, 2 B. 2, 1, 1
2111, -1 C. , 1, 2, -1 D. 2, 1, -1, 222
10．解：由幂函数的性质得：答案：D ．
题型四：指数函数、对数函数、幂函数的性质
(一) 比较大小
(1)已知a =0. 80. 7, b =0. 80. 9, c =1. 20. 8，则a , b , c 的大小关系是（ ）
(A)a >b >c (B)b >a >c (C)c >b >a (D)c >a >b
(1)解：D
【规律总结】：
1. 底数相同，指数不同，利用指数函数的单调性解决；
2. 底数不同，指数相同，利用指数函数的图象解决；在同一个平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a 对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数函数所取值对应的函数值即可．
3. 底数不同，指数也不同：采用中间量法．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如要比较a 与b 的大小，可取a 或b 为中间量，a 与a 利用函数的单调性比较大小，b 与a 利用函数的图象比较大小．
(2)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )
A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．c ＞a ＞b
(2)解：B
【规律总结】：
1. 若底数为同一常数，则可根据对数函数的单调性直接进行比较；
2. 若底数为同一字母，则可根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；
3. 若底数不同，真数相同，则可以根据对数函数的图象进行比较；
4. 若底数和真数均不相同，则常借助1,0等中间值进行比较． d d c d d c c d
322(3)设a =() 5, b =() 5, c =() 5，则a , b , c 的大小关系是（ ） 555
A. a >c >b B. a >b >c C. c >a >b D. b >c >a
(3)解：A
【规律总结】：
1. 若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；
2. 若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；
3. 若指数与底数都不相同，则考虑取中间量法；取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或以其中一个指数式
的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如要比较a 与b 的大小，可取a 或b 为中间量，a 与a 利用函数的单调性比较大小，b 与a 利用函数的图象比较大小．
(二) 求函数值域或最值
11．求函数y =() -() +1在[-3, 2]上的值域．
11．解：y =() -() +1=()
设t =() ，∵x ∈[-3, 2]∴
d d c d d c c d 23214x x 12x x 1412122x 1-() x +1 212x 1≤t ≤8， 4
3111，所以函数y =g (t ) 在t ∈[, ]上单调递减，在t ∈[, 8]上单调递增， 4422
13123∴当t =时，y min =；当t =8时，y max =(8-) +=57； 4242
1x 1x 3所以函数y =() -() +1在[-3, 2]上的值域为[, 57]． 424∴y =g (t ) =t -t +1=(t -) +2212
【规律总结】
求形如：函数y =as 2x +bs x +c , x ∈[m , n ]的值域．
使用“换元法”设t =s ，从而原函数y =as 2x +bs x +c 变为关于t 的一元二次函数y =g (t ) =at 2+bt +c ；由x
x ∈[m , n ]，求出t =s x 的值域[p , q ]，即t 的范围为[p , q ]，进而转化为求一元二次函数y =g (t ) =at 2+bt +c 在t ∈[p , q ]上的值域．此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想．
12．求函数y =() 1
2x 2-2x -3的值域．
的定义域为R ；设t =x 2-2x -3=(x -1) 2-4≥-4，所以y =() , t ∈[-4, +∞) ， 12．解：函数y =() 1
2x 2-2x -31
2t
所以0
【规律总结】
求形如函数y =a f (x ) 12x 2-2x -3的值域为(0, 16]． 的值域．
t 使用“换元法”设t =f (x ) ，求出t =f (x ) 的值域[m , n ]，从而转化为y =g (t ) =a 在t ∈[m , n ]的值域（使用指数函
数的单调性）．
13．已知x 满足不等式2(log0. 5x ) 2+7log 0. 5x ≤-3，求函数f (x ) =(log2x x ) ⋅(log2) 的最值． 24
1， 213．解：由2(log0. 5x ) 2+7log 0. 5x ≤-3得(log0. 5x +3)(2log 0. 5x +1) ≤0，则-3≤log 0. 5x ≤-
即log 0. 50. 5-3≤log 0, 5x ≤log 0. 50. 5，∴2≤x ≤8； x x ) ⋅(log2) =(log2x -1)(log2x -2) 24-12又f (x ) =(log2
=(log2x ) 2-3log 2x +2
令t =log 2x ，∵2≤x ≤8，∴
21≤t ≤3， 2则y =h (t ) =t -3t +2, t ∈[, 3]， ∴y min =h () =-
【规律总结】
求形如：x ∈[m , n ]时，函数y =a (logs x ) 2+b log s x +c (s >0, s ≠1) 的值域．
使用“换元法”设t =log s x ，由x ∈[m , n ]，求出t =log s x 值域[p , q ]，即t 的范围为[p , q ]，进而转化为求一元二次函数y =g (t ) =at +bt +c 在t ∈[p , q ]上的值域．此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想．
212321，y max =h (3) =2． 4
14．求函数y =log 2(x 2-2x +2), x ∈[2, +∞) 的值域．
14．解：设t =x 2-2x +2=(x -1) 2+1，∵x ∈[2, +∞) ，从而t ≥2，∴y =g (t ) =log 2t , t ∈[2, +∞) ， ∴y ≥g (2) =1，所以函数y =log 2(x 2-2x +2), x ∈[2, +∞) 的值域为[1, +∞) ．
【规律总结】
求形如函数y =log a f (x ), x ∈[m , n ]的值域．
使用“换元法”设t =f (x ) ，求出t =f (x ), x ∈[m , n ]的值域[p , q ]，从而转化为求函数y =g (t ) =log a t , t ∈[p , q ]的值域．此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想．
（三）解不等式
15．(1).已知0. 2
(1).解：∵25=()
(2). 求不等式a 2x -7x 15-2=0. 2-2，∴0. 2x -2；所以实数x 的取值范围是(-2, +∞) ． >a 4x -1(a >0，且a ≠1) 中x 的取值范围．
(2).解：①若a >1，则2x -7>4x -1，∴x
②若0-3；
2x -7综上，当a >1时，不等式a >a 4x -1(a >0，且a ≠1) 中x 的取值范围为(-∞, -3) ；
2x -7当0a 4x -1(a >0，且a ≠1) 中x 的取值范围为(-3, +∞) ．
【规律总结】
1．形如a f (x ) x >a g (x ) 的不等式，借助于指数函数y =a (a >0, a ≠1) 的单调性求解；如果a 的值不确定，需分a >1与0
x 2．形如a >b 的不等式，注意将b 转化为以a 底的指数幂的形式，再借助指数函数y =a (a >0, a ≠1) 的单调性求
x
⎧2x >0⎪②若00解得：x >1；
⎪2x >x -1⎩
综上，当a >1时，不等式log a 2x
当0
【规律总结】
1. 形如log a x >log a b 的不等式，可借助指数函数的单调性求解，若底数a 的值不确定，则需对其分a ＞1和0＜a ＜1两种情况讨论．
2. 形如log a x >b 的不等式，要首先将b 化为以a 为底数的对数形式，再进行求解．
3. 形如log a x >log b x 的形式，可借助对数函数的图象求解．
题型五：复合函数的单调性判断及应用
17．判断函数f (x ) =log 2(x 2-2x ) 的单调性，并指出它的单调区间．
217．解：令x -2x >0，得x 2
∴函数f (x ) =log 2(x 2-2x ) 的定义域为{x |x 2}，
设x 1, x 2∈(2, +∞) ，且x 1
f (x 1) -f (x 2) =log 2(x 1-2x 1) -log 2(x 2-2x 2) =log 222x 1(x 1-2) x 2(x 2-2)
x 1(x 1-2) 0, x 2-2>0，又∵x 1
∴log 2x 1(x 1-2)
2函数f (x ) =log 2(x -2x ) 在(2, +∞) 上单调递增．
同理可证：函数f (x ) =log 2(x -2x ) 在(-∞, 0) 上单调递减．
所以函数f (x ) =log 2(x -2x ) 的单调递减区间为(-∞, 0) ；单调递增区间为(2, +∞) ．
【规律总结】
嵌套式复合函数的单调性：“同增异减”．
形如：y =f (g (x )) ，设t =g (x ) 为内函数，y =f (t ) 为外函数；当内函数t =g (x ) 和外函数y =f (t ) 在定义域内单调性相同时，此时这个复合函数y =f (g (x )) 在该定义域上为增函数，即“同增”；
当内函数t =g (x ) 和外函数y =f (t ) 在定义域内单调性相异时，此时这个复合函数y =f (g (x )) 在该定义域上为减函数，即“异减”．
形如：复合函数y =log a f (x ) `，先令f (x ) >0求出函数的定义域，
当a >1时，若f (x ) 在定义域上为增函数，则复合函数y =log a f (x ) 在该定义域上为增函数，若f (x ) 在定义域上为22
减函数，则复合函数y =log a f (x ) 在该定义域上为减函数； 若0
必修1 第二章 基本初等函数（Ⅰ）基本题型分类
题型一：指数与指数幂的运算和对数与对数的运算
（一）化简求值：
1．化简(1+
1．解：(1+
2．化简4
2．解：42+12) 3+(1-2) 4= 2) 3+(1-2) 4=(1+2) +(2-1) =22． ⋅23-22-⋅64-23=． 2+1⋅23-22⋅642
3=2
1
22(2+1) ⋅2(2-1) 2⋅(2) 6-23=222+2+(2-1) 2-4=1．
3．化简a -b
a +b
a -b
a +b 1
2121212-a +b -2a b a -b 121212= 3．解：-a +b -2a b a -b 1
2121212=a -b -1212(a -b ) 2a -b 1
2121212=0．
（二）含附加条件的幂的求值
4．已知a +a
2-2-1=5，求下列各式的值． 12-1
2(1)a +a ；(2)a -a
4．解：(1)由a +a
(2)(a -a 1
2-1
22-1； =5两边平方得：a 2+2aa -1+a -2=25，即a 2+a -2=23． -112-1
2) =a +a -2=5-2=3，∴a -a =±．
题型二：指数函数、对数函数、幂函数的定义
5．(1)下列以x 为自变量的函数，其中为指数函数的是（ ）
A. y =(-5) B. y =e (e ≈2.71828) C. y =-5 D. y =π
(2)如果函数(a -3a +3) a 是指数函数，则有（ ）
A. a =1或a =2 B. a =1 C. a =2 D. a >0且a ≠1
x 5．解：(1)B；(2)C；由指数函数的三大特征：①a 的系数为1；②底数a >0, 且a ≠1的常数；③指数位置上仅有自x x x x +2 2x
变量x ．
【规律总结】
①系数为1；②底数为大于0且不等于1的常数；
③指数函数的指数仅有自变量x ．
6．函数f (x ) =(a 2-a +1) log (a +1) x 是对数函数，则实数a =．
⎧a 2-a +1=16．解：⎨解得：a =1．
⎩a +1>0
【规律总结】
判断一个函数是否为对数函数的方法：
判断一个函数是对数函数必须是形如y =log a x (a >0, 且a ≠1) 的形式，即必须满足以下条件：
7．函数f (x ) =(m -m -1) x
22m 2+m -3是幂函数，且当x ∈(0, +∞) 时，f (x ) 是增函数，则f (x ) 的解析式为 m 2+m -32⎧⎪m -m -1=1是幂函数，所以⎨2解得：m =2；f (x ) =x 3． ⎪⎩m +m -3>07．解：因为函数f (x ) =(m -m -1) x
【规律总结】
由幂函数的特征：①指数α为常数；②底数为自变量；③系数为1．
题型三：指数函数、对数函数、幂函数的图象
8．(1)函数y =a x -3+3(a >0, 且a ≠1) 的图象过定点
8．解：(1)令x -3=0，x =3，y =4，所以函数y =a x -3+3(a >0, 且a ≠1) 的图象过定点(3, 4) ．
【归纳总结】：函数y =a f (x ) +m 恒过定点问题，令f (x ) =0解出x ，则定点为(x , 1+m ) ．
(2)如图是指数函数(1)y =a ，(2)y =b ，(3)y =c ，(4)y =d 的图象，
则a , b , c , d 与1的大小关系为（ ）
A. a C. 1
(2)令x =1，这时各自的函数值就是它们的底数，从而大小显而易见；答案：B ．
9．(1)函数x x x x y =log a (x +1) -2(a >0, 且a ≠1) 的图象恒过点 ．
(2)如图所示的曲线是对数函数y =log a x ，y =log b x ，y =log c x ，
y =log d x 图象，则a , b , c , d 与1的大小关系为．
9．解：(1)令x +1=1，x =0，所以函数
【规律总结】
对数函数恒过定点问题
(1)求函数y y =log a (x +1) -2(a >0, 且a ≠1) 的图象恒过点(0, -2) =m +log a f (x )(a >0, 且a ≠1) 的图象过的定点时，只需令f (x ) =1求出x ，即得定点为(x , m ) ．
(2)令y =1，这时各自的真数就是它们的底数，从而大小显而易见；答案：b >a >1>d >c >0．
n 10．如图所示，曲线是幂函数y =x 在第一象限内的图象，已知n 分别取-1, 1, , 2四个值，相应于曲线C 1, C 2,
C 3, C 412
的n 依次为（ ）
A, -1, , 1, 2 B. 2, 1, 1
2111, -1 C. , 1, 2, -1 D. 2, 1, -1, 222
10．解：由幂函数的性质得：答案：D ．
题型四：指数函数、对数函数、幂函数的性质
(一) 比较大小
(1)已知a =0. 80. 7, b =0. 80. 9, c =1. 20. 8，则a , b , c 的大小关系是（ ）
(A)a >b >c (B)b >a >c (C)c >b >a (D)c >a >b
(1)解：D
【规律总结】：
1. 底数相同，指数不同，利用指数函数的单调性解决；
2. 底数不同，指数相同，利用指数函数的图象解决；在同一个平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a 对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数函数所取值对应的函数值即可．
3. 底数不同，指数也不同：采用中间量法．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如要比较a 与b 的大小，可取a 或b 为中间量，a 与a 利用函数的单调性比较大小，b 与a 利用函数的图象比较大小．
(2)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )
A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．c ＞a ＞b
(2)解：B
【规律总结】：
1. 若底数为同一常数，则可根据对数函数的单调性直接进行比较；
2. 若底数为同一字母，则可根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；
3. 若底数不同，真数相同，则可以根据对数函数的图象进行比较；
4. 若底数和真数均不相同，则常借助1,0等中间值进行比较． d d c d d c c d
322(3)设a =() 5, b =() 5, c =() 5，则a , b , c 的大小关系是（ ） 555
A. a >c >b B. a >b >c C. c >a >b D. b >c >a
(3)解：A
【规律总结】：
1. 若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；
2. 若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；
3. 若指数与底数都不相同，则考虑取中间量法；取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或以其中一个指数式
的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如要比较a 与b 的大小，可取a 或b 为中间量，a 与a 利用函数的单调性比较大小，b 与a 利用函数的图象比较大小．
(二) 求函数值域或最值
11．求函数y =() -() +1在[-3, 2]上的值域．
11．解：y =() -() +1=()
设t =() ，∵x ∈[-3, 2]∴
d d c d d c c d 23214x x 12x x 1412122x 1-() x +1 212x 1≤t ≤8， 4
3111，所以函数y =g (t ) 在t ∈[, ]上单调递减，在t ∈[, 8]上单调递增， 4422
13123∴当t =时，y min =；当t =8时，y max =(8-) +=57； 4242
1x 1x 3所以函数y =() -() +1在[-3, 2]上的值域为[, 57]． 424∴y =g (t ) =t -t +1=(t -) +2212
【规律总结】
求形如：函数y =as 2x +bs x +c , x ∈[m , n ]的值域．
使用“换元法”设t =s ，从而原函数y =as 2x +bs x +c 变为关于t 的一元二次函数y =g (t ) =at 2+bt +c ；由x
x ∈[m , n ]，求出t =s x 的值域[p , q ]，即t 的范围为[p , q ]，进而转化为求一元二次函数y =g (t ) =at 2+bt +c 在t ∈[p , q ]上的值域．此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想．
12．求函数y =() 1
2x 2-2x -3的值域．
的定义域为R ；设t =x 2-2x -3=(x -1) 2-4≥-4，所以y =() , t ∈[-4, +∞) ， 12．解：函数y =() 1
2x 2-2x -31
2t
所以0
【规律总结】
求形如函数y =a f (x ) 12x 2-2x -3的值域为(0, 16]． 的值域．
t 使用“换元法”设t =f (x ) ，求出t =f (x ) 的值域[m , n ]，从而转化为y =g (t ) =a 在t ∈[m , n ]的值域（使用指数函
数的单调性）．
13．已知x 满足不等式2(log0. 5x ) 2+7log 0. 5x ≤-3，求函数f (x ) =(log2x x ) ⋅(log2) 的最值． 24
1， 213．解：由2(log0. 5x ) 2+7log 0. 5x ≤-3得(log0. 5x +3)(2log 0. 5x +1) ≤0，则-3≤log 0. 5x ≤-
即log 0. 50. 5-3≤log 0, 5x ≤log 0. 50. 5，∴2≤x ≤8； x x ) ⋅(log2) =(log2x -1)(log2x -2) 24-12又f (x ) =(log2
=(log2x ) 2-3log 2x +2
令t =log 2x ，∵2≤x ≤8，∴
21≤t ≤3， 2则y =h (t ) =t -3t +2, t ∈[, 3]， ∴y min =h () =-
【规律总结】
求形如：x ∈[m , n ]时，函数y =a (logs x ) 2+b log s x +c (s >0, s ≠1) 的值域．
使用“换元法”设t =log s x ，由x ∈[m , n ]，求出t =log s x 值域[p , q ]，即t 的范围为[p , q ]，进而转化为求一元二次函数y =g (t ) =at +bt +c 在t ∈[p , q ]上的值域．此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想．
212321，y max =h (3) =2． 4
14．求函数y =log 2(x 2-2x +2), x ∈[2, +∞) 的值域．
14．解：设t =x 2-2x +2=(x -1) 2+1，∵x ∈[2, +∞) ，从而t ≥2，∴y =g (t ) =log 2t , t ∈[2, +∞) ， ∴y ≥g (2) =1，所以函数y =log 2(x 2-2x +2), x ∈[2, +∞) 的值域为[1, +∞) ．
【规律总结】
求形如函数y =log a f (x ), x ∈[m , n ]的值域．
使用“换元法”设t =f (x ) ，求出t =f (x ), x ∈[m , n ]的值域[p , q ]，从而转化为求函数y =g (t ) =log a t , t ∈[p , q ]的值域．此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想．
（三）解不等式
15．(1).已知0. 2
(1).解：∵25=()
(2). 求不等式a 2x -7x 15-2=0. 2-2，∴0. 2x -2；所以实数x 的取值范围是(-2, +∞) ． >a 4x -1(a >0，且a ≠1) 中x 的取值范围．
(2).解：①若a >1，则2x -7>4x -1，∴x
②若0-3；
2x -7综上，当a >1时，不等式a >a 4x -1(a >0，且a ≠1) 中x 的取值范围为(-∞, -3) ；
2x -7当0a 4x -1(a >0，且a ≠1) 中x 的取值范围为(-3, +∞) ．
【规律总结】
1．形如a f (x ) x >a g (x ) 的不等式，借助于指数函数y =a (a >0, a ≠1) 的单调性求解；如果a 的值不确定，需分a >1与0
x 2．形如a >b 的不等式，注意将b 转化为以a 底的指数幂的形式，再借助指数函数y =a (a >0, a ≠1) 的单调性求
x
⎧2x >0⎪②若00解得：x >1；
⎪2x >x -1⎩
综上，当a >1时，不等式log a 2x
当0
【规律总结】
1. 形如log a x >log a b 的不等式，可借助指数函数的单调性求解，若底数a 的值不确定，则需对其分a ＞1和0＜a ＜1两种情况讨论．
2. 形如log a x >b 的不等式，要首先将b 化为以a 为底数的对数形式，再进行求解．
3. 形如log a x >log b x 的形式，可借助对数函数的图象求解．
题型五：复合函数的单调性判断及应用
17．判断函数f (x ) =log 2(x 2-2x ) 的单调性，并指出它的单调区间．
217．解：令x -2x >0，得x 2
∴函数f (x ) =log 2(x 2-2x ) 的定义域为{x |x 2}，
设x 1, x 2∈(2, +∞) ，且x 1
f (x 1) -f (x 2) =log 2(x 1-2x 1) -log 2(x 2-2x 2) =log 222x 1(x 1-2) x 2(x 2-2)
x 1(x 1-2) 0, x 2-2>0，又∵x 1
∴log 2x 1(x 1-2)
2函数f (x ) =log 2(x -2x ) 在(2, +∞) 上单调递增．
同理可证：函数f (x ) =log 2(x -2x ) 在(-∞, 0) 上单调递减．
所以函数f (x ) =log 2(x -2x ) 的单调递减区间为(-∞, 0) ；单调递增区间为(2, +∞) ．
【规律总结】
嵌套式复合函数的单调性：“同增异减”．
形如：y =f (g (x )) ，设t =g (x ) 为内函数，y =f (t ) 为外函数；当内函数t =g (x ) 和外函数y =f (t ) 在定义域内单调性相同时，此时这个复合函数y =f (g (x )) 在该定义域上为增函数，即“同增”；
当内函数t =g (x ) 和外函数y =f (t ) 在定义域内单调性相异时，此时这个复合函数y =f (g (x )) 在该定义域上为减函数，即“异减”．
形如：复合函数y =log a f (x ) `，先令f (x ) >0求出函数的定义域，
当a >1时，若f (x ) 在定义域上为增函数，则复合函数y =log a f (x ) 在该定义域上为增函数，若f (x ) 在定义域上为22
减函数，则复合函数y =log a f (x ) 在该定义域上为减函数； 若0