秦九韶算法

课题：§1.3 秦九韶算法

一．教学任务分析:

（1）在理解了算法的三种不同表示方式的基础上，结合算法案例2----秦九韶算法，让学生经历设计算法解决问题的过程，体验算法在解决问题中的作用.

(2)通过对具体实例的算法分析，画程序框图，编制程序，上机验证的方法理解掌握秦九韶算法.

(3)通过秦九韶算法所蕴涵的算法思想,培养学生利用算法解决问题的意识. 提高逻辑思维能力.发展有条理的思考与数学表达的能力.

二．教学重点与难点：

教学重点：理解秦九韶算法求一元多项式的值的方法.

教学难点：把秦九韶算法的方法转换成程序框图与程序语言.

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1．创设情景，揭示课题

我们在初中已经学过了多项式的有关知识,主要解决求多项式的值,那里是把多项式看作代数式,在这里我们用函数的观点考察多项式.因此,求自变量取某个实数时的函数值问题,即求多项式的值.那么:

5432怎样求多项式f(x)xxxxx1,当x5时的值?

教师引导学生交流讨论解决,归纳学生的解法,对解法的运算效率进行比较分析. 通过统计乘法和加法的运算次数来衡量算法的“好坏”

作法1：把x=5代入f（x），计算各项的值，然后把它们加起来.

一共作了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算.

作法2：先计算x,然后依次计算x2x,(x2x)x,((x2x)x)x的值,这样每次都可以利用上一次的计算结果, 即多项式变形为f(x)x2(1x(1x(1x)))x1

一共作了4次乘法运算,5次加法运算.

显然作法2比作法1少了6次乘法运算,提高了运算效率.这种算法就叫秦九韶算法.

2.秦九韶算法

(1)秦九韶 ：（公元1202-1261年）南宋，数学家。他在1247年（淳佑七年）著成『数书九章』十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。这是一部划时代的巨著，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对「大衍求一术」﹝一次同余组解法）和「正负开方术」﹝高次方程的数值解法）等有十分深入的研究.

(2) 秦九韶算法 2

f(x)anxnan1xn1an2xn2a1xa0

(anxn1an1xn2an2xn3a1)xa0

((anxn2an1xn3a2)xa1)xa0



(((anxan1)xan2)xa1)a0

求多项式在x=x0时的值时，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=x0的值.

v0x0

v1anx0an1

v2v1x0an2

v3v2x0an3



vnvn1x0a0

这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值。上述方法就是秦九韶算法.

3. 秦九韶算法举例

例1 :已知一个5次多项式为f(x)5x52x43.5x32.6x21.7x0.8

用秦九韶算法求这个多项式当x5时的值.

解：f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8

按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5的值.

v05

v155227

v22753.5138.5

v3138.552.6689.9

v4689.951.73451.2

v53451.250.817255.2

所以, 当x5时,多项式的值是17255.2.

思考：（1）例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？

（2）在利用秦九韶算法计算n次多项式当xx0时需要多少次乘法计算和多少次加法计算？（要考虑最高次数的系数和项是否缺少某次项，这里1×2=2，1+0=0，可否算作做了一次乘法和一次加法运算？）

4. 秦九韶算法分析

例2 设计利用秦九韶算法计算n多项式

f(x)anxnan1xn1a1xa0,xx0时的值的程序框图.

解：观察上述例题的算法,在计算vk时要用到vk1.若令v0an,

v0an vkvk1xank(k1,2,,n)

其算法步骤是:

第一步：输入多项式最高次数n，最高次数的系数an和x的值.

第二步：将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1.

第三步：输入i次项的系数ai.

第四步：v=vx+ai,i=i-1.

第五步：判断i是否大于或等于0.若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值v. 程序框图如下：

程序语言

5.课堂练习：

（1）用秦九韶算法求多项式:f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x.

当x=3时的值.

（2） 设计利用秦九韶算法计算5次多项式： f(x)a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0

当xx0时的值的程序框图.

解：程序框图如下：

6.课后作业：

P15-16.

课题：§1.3 秦九韶算法

一．教学任务分析:

（1）在理解了算法的三种不同表示方式的基础上，结合算法案例2----秦九韶算法，让学生经历设计算法解决问题的过程，体验算法在解决问题中的作用.

(2)通过对具体实例的算法分析，画程序框图，编制程序，上机验证的方法理解掌握秦九韶算法.

(3)通过秦九韶算法所蕴涵的算法思想,培养学生利用算法解决问题的意识. 提高逻辑思维能力.发展有条理的思考与数学表达的能力.

二．教学重点与难点：

教学重点：理解秦九韶算法求一元多项式的值的方法.

教学难点：把秦九韶算法的方法转换成程序框图与程序语言.

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1．创设情景，揭示课题

我们在初中已经学过了多项式的有关知识,主要解决求多项式的值,那里是把多项式看作代数式,在这里我们用函数的观点考察多项式.因此,求自变量取某个实数时的函数值问题,即求多项式的值.那么:

5432怎样求多项式f(x)xxxxx1,当x5时的值?

教师引导学生交流讨论解决,归纳学生的解法,对解法的运算效率进行比较分析. 通过统计乘法和加法的运算次数来衡量算法的“好坏”

作法1：把x=5代入f（x），计算各项的值，然后把它们加起来.

一共作了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算.

作法2：先计算x,然后依次计算x2x,(x2x)x,((x2x)x)x的值,这样每次都可以利用上一次的计算结果, 即多项式变形为f(x)x2(1x(1x(1x)))x1

一共作了4次乘法运算,5次加法运算.

显然作法2比作法1少了6次乘法运算,提高了运算效率.这种算法就叫秦九韶算法.

2.秦九韶算法

(1)秦九韶 ：（公元1202-1261年）南宋，数学家。他在1247年（淳佑七年）著成『数书九章』十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。这是一部划时代的巨著，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对「大衍求一术」﹝一次同余组解法）和「正负开方术」﹝高次方程的数值解法）等有十分深入的研究.

(2) 秦九韶算法 2

f(x)anxnan1xn1an2xn2a1xa0

(anxn1an1xn2an2xn3a1)xa0

((anxn2an1xn3a2)xa1)xa0



(((anxan1)xan2)xa1)a0

求多项式在x=x0时的值时，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=x0的值.

v0x0

v1anx0an1

v2v1x0an2

v3v2x0an3



vnvn1x0a0

这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值。上述方法就是秦九韶算法.

3. 秦九韶算法举例

例1 :已知一个5次多项式为f(x)5x52x43.5x32.6x21.7x0.8

用秦九韶算法求这个多项式当x5时的值.

解：f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8

按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5的值.

v05

v155227

v22753.5138.5

v3138.552.6689.9

v4689.951.73451.2

v53451.250.817255.2

所以, 当x5时,多项式的值是17255.2.

思考：（1）例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？

（2）在利用秦九韶算法计算n次多项式当xx0时需要多少次乘法计算和多少次加法计算？（要考虑最高次数的系数和项是否缺少某次项，这里1×2=2，1+0=0，可否算作做了一次乘法和一次加法运算？）

4. 秦九韶算法分析

例2 设计利用秦九韶算法计算n多项式

f(x)anxnan1xn1a1xa0,xx0时的值的程序框图.

解：观察上述例题的算法,在计算vk时要用到vk1.若令v0an,

v0an vkvk1xank(k1,2,,n)

其算法步骤是:

第一步：输入多项式最高次数n，最高次数的系数an和x的值.

第二步：将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1.

第三步：输入i次项的系数ai.

第四步：v=vx+ai,i=i-1.

第五步：判断i是否大于或等于0.若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值v. 程序框图如下：

程序语言

5.课堂练习：

（1）用秦九韶算法求多项式:f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x.

当x=3时的值.

（2） 设计利用秦九韶算法计算5次多项式： f(x)a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0

当xx0时的值的程序框图.

解：程序框图如下：

6.课后作业：

P15-16.