02 三角.反三角函数

第二章三角、反三角函数

一、考纲要求

1. 理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。

2. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3. 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4. 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。

5. 了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+ϕ) 的简图，理解A 、w 、ϕ的物理意义。

6. 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctgx 表示。

7. 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。

8. 理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。

9. 能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。二、知识结构

1. 角的概念的推广： (1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。

(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。 (3)象限角：由角的终边所在位置确定。

第一象限角：2k π＜α＜2k π+,k ∈Z

第二象限角：2k π+

＜α＜2k π+π,k ∈Z

3π2

第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+第四象限角：2k π+

3π2

,k ∈Z

＜α＜2k π+2π,k ∈Z

(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角) ，可以表示为k ²360°+α，k ∈Z 。

(5)特殊角的集合：

k π

终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝，k ∈Z ｝

终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π+终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-π

，k ∈Z ｝，k ∈Z ｝

，k ∈Z ｝

2. 弧度制：

(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。 (2)角度与弧度的互化：

π180

1°＝弧度，1弧度＝() °

180π

(3)两个公式：(R为圆弧半径，α为圆心角弧度数) 。弧长公式：l=｜α｜R

扇形面积公式：S=

lR=

｜α｜R

3. 周期函数：

(1)定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得x 取定义域内的任意值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T 叫做这个函数的一个周期，如果T 中存在一个最小的正数，则这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。

(2)几个常见结论：

①如果T 是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z ，且k ≠0)

也是y=f(x)的周期。 (1)

③一个周期函数不一定有最小正周期，如常函数y=f(x)=c。 4. 三角函数定义： (1)定义：设α是一个任意大小的角，P(x，y) 是角α终边上任意一点，它与原点的距离｜

x y

PO ｜=r,那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sin α=,cos α=,tg α

r r

x y r x

=,ctg α=,Sec α=,csc α= (如图(1))。

r r y y

②如果T 是函数y=f(x)的一个周期，那么

也是y=f(wx)(w≠0) 的周期。

(2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如图(2))

(3)同角三角函数的基本关系式：

倒数关系：sin α²csc α=1,cosα²sec α=1,tgα²ctg α=1

sin αcos α

商数关系：tg α=,ctg α=

cos αsin α22

平方关系：sin α+cosα=1,1+tg2α=sec2α,1+ctg2α=csc2α

5. 已知三角函数值求角

6. 三角函数的图象和性质： (1)三角函数线：

如图(3)，sin α=MP,cosα=OM,tgα=AT,ctgα=BS

函数y=Asin(wx+ϕ) 的图像可以通过下列两种方式得到： ϕ＞0，图像左移ϕ

ϕ) ϕ＜0，图像右移｜ϕ｜ w＞1，横坐标缩短为原来的

倍

ϕ)

0＜w ＜1，横坐标伸长为原来的

倍

A＞1，纵坐标伸长为原来的A 倍

ϕ) 0＜A ＜1，纵坐标缩短为原来的A 倍 w＞1, 横坐标缩短为原来的

倍

0＜w ＜1, 横坐标伸长为原来的 ϕ＞0，图像左移 ϕ＜0, 图像右移

倍

A＞1，纵坐标伸长为原来A 倍

y=sin(wx+ϕϕ) 0＜A ＜1，纵坐标缩短为原来A 倍

8. 两角和与差的三角函数： (1)常用公式：

两角和与差的公式：

sin(α±β) ＝sin αcos β±cos αsin β， cos(α±β)=cosαcos β sin αsin β，

tg α±tg β

tg(α±β)=

1 tg αtg β倍角公式：

sin2α=2sinαcos α，

cos2α=cos2α-sin 2α=2cos2α-1=1-2sin2α，

2tg α

tg2α=. 2

1-tg α半角公式： sin cos tg

=±=±

1-cos α

21+cos α

21-cos α

, , =

sin α

1+cos α1+cos αsin α

积化和差公式：

sin αcos β=〔sin(α+β)+sin(α-β) 〕,

cos αsin β= 〔sin(α+β)-sin(α-β) 〕

cos αcos β= 〔cos(α+β)+cos(α-β) 〕,

sin αsin β=- 〔cos(α+β)-cos(α-β) 〕

和差化积公式：

α+βα-β

sin α+sinβ=2sincos ,

22α+βα-β

sin α-sin β=2cossin

22α+βα-β

cos α+cosβ=2coscos ,

22α+βα-β

cos α-cos β=-2sinsin

万能公式：

=±=

1-cos α

2tg

α2

1-tg

αα,tg α=2

2tg 1-tg

α2

sin α=

1+tg

，cos α=

1+tg

α2

(2)各公式间的内在联系：

(3)应注意的几个问题：

①凡使公式中某个式子没有意义的角，都不适合公式。 ②灵活理解各公式间的和差倍半的关系。

③在半角公式中，根号前的符号由半角所在像限来决定。

sin 2α1-cos 2α1+cos 2α22

④常具的变形公式有：cos α=,sin α=,cos α=,tg α+tg

2sin α22

β＝tg(α+β)(1-tgαtg β).

⑤asin α+bcosα=a +b sin(α+ϕ).(其中ϕ所在位置由a ，b 的符号确定，ϕ的值由tg ϕ=

b a

确定) 。

9. 解斜三角形：

11. 三角方程：

三、知识点、能力点提示

三角函数是中学数学的主要内容之一，也是每年高考的必考内容，其主要内容由以下三部分构成：三角函数的定义，图像和性质；三角恒等变形；反三角函数。在高考中，第二部分为主要内容，进行重点考查，当然也不放弃前后两部的考查，对近几年高考试题进行分析后，可以看出：对三角函数的考查主要有两种方式：单独考查三角函数或与其它学科综合考查，前一部分通常是容易题或中等题，而后一部分有一定难度。

下面对常见考点作简单分析：

1. 角、三角函数定义的考点：这是对三角基础知识的直接考查，一般不会单独成题，更多地是结合其它方面的内容(如：三角恒等变形，三角函数性质等) 对多个知识点作综合考查。

2. 三角函数图像的考查：通常有三种方式：由图像到解析式：由图像到性质；图像的应用。

3. 三角函数性质的考查 (1)定义域和值域： (2)周期性：通常结合恒等变形考查如何求三角函数的最小正周期，或考查与周期性相关的问题，如：设f(x)是(-∞，+∞) 上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=( )

(3)单调性：通常以处理最值问题的形式出现，总与恒等变形联系在一起，一般地二次函数，对数函数等的最值问题相结合。

4. 三角恒等变形：以化简、求值、证明等各种题型出现，以题中通常考查和、差、倍、半各公式的运用，大题中通常考查和积互化公式的运用，这是三角函数的重要内容。

5. 反三角函数：对这部分的考查多属于容易题或中档题，重点是反三角函数的定义和性质。

6. 代数、三角、解几、立几，不等式等的综合考查。

进行三角恒等变形是处在三角问题最常用的技能，下面分析几种常见的解题思路： 1. 角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角。 2. 函数名的变换：观察、比较题设与结论之间，等号的左右两边的函数名差异，化异名为同名。

3. 常数的变换：常用方式有1=sin2α+cos2α=sec2α-tg 2α=tg

=sin

等。

4. 次数的变化：常用方式是升次或降次：主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用。 5. 结构变化：对条件，结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变除为乘，或求差等

6. 和积互化：这既是一种基本技能，也是一种常见解题思路，且应用比较广泛。 7. 综合运用上述各种方式。例1 sin600°的值是( )

. B.-

D.-

解：sin600°=sin(360°+240°)=sin240°

=sin(180°+60°)=-sin60°

=-∴应选D.

例2 已知sin θ+cosθ=

, θ∈(0,π), 则ctg θ的值是_______.

解:sinθ+cosθ=

⇒(sinθ+cosθ) 2

) ⇒sin θ²cos θ=-

1225

∴sin θ和cos θ是方程t 2-15

1225

=0,即方程25t 2-5t-12=0的两根.

25t 2-5t-12=(5t+3)(5t-4)=0的两根为t 41=5

,t 2=-

∵θ∈(0.π) ⇒sin θ＞0. ∴sin θ=45 ,从而cos θ=-35

∴ctg θ=cos θsin θ

.=-34

应填-34

例3 tg20°+tg40°+3tg20°²tg40°的值是_______.

解：∵3=tg60°=tg(20°+40°)=

tg 20+tg 401-tg 20 tg 40

∴tg20°+tg40°=3 (1-tg20°²tg40°).

∴原式=3(1-tg20°²tg40°)+ 3 tg20°²tg40°).

应填3. 例4 求值：cos 5ππ

²cos 8

=________.

解：cos 5π8²cos π

1(cos

3π2

+cos

1222

+0)=-

例5 关于函数f(x)=4sin(2x+

) (x∈R), 有下列命题：

①由f(x1)=f(x2)=0可得x 1-x 2必是π的整数倍；

②y=f(x)的表达可以改写为y=4cos(2x-π

) ；

③y=f(x)的图像关于点(-

,0)对称； ④y=f(x)的图像关于直线x=-π

对称；

其中正确命题的序号是___________. (注：把你认为正确的命题序号都填上) 解：分别讨论四个命题.

①令4sin(2x+π3

)=0,得2x+π3

=kπ (k∈Z),x=k π2

-π

x 1π

k 2-

6,x 2π

k 2

6 ,k1≠k 2,k 1,k 2∈Z,

则f(x1)=f(x2)=0,

但x π

1-x 2=2

(k1-k 2), 当k 1-k 2为奇数时，x 1-x 2不是π的整数倍

∴命题①不正确.

∈Z), 设

②y=f(x)=4sin(2x+∵命题②正确

)=4cos［

-(2x+

) ］=4cos(-2x+

)=4cos(2x-

)

作出y=f(x)=4sin(2x+) 的草图，如图

由图知，f(x)的图像关于点(-∴命题③正确

，0) 对称，

④由图知，y=f(x)的图像不关于直线x=-∴命题④不正确应填②、③ 例6 函数y=sin(x-π

对称

) ²cosx 的最小值是_______.

解：利用积化和差公式(注：今后高考试卷中会印写公式) ，得 1ππ

y=［sin(2x-) ］+sin(-) ］

sin(2x-π

∵sin(2x-∴y min =-应填-3434

)∈［-1,1］,

sin3x ⋅sin x +cos3x ⋅cos x

例7 y=

cos 2x

解：利用3倍公式：

sin3x=3sinx-4sin3x,cos3x=4cos3x-3cosx.

+sin2x,则y 的最小值是_____.

y======

(3sinx-4sin x) ⋅sin x +(4cosx -3cosx)cos

cos 2x

+sin2x

3sin x -4sin x +4cos x -3cos x

cos 2x

3(sinx -cos x) +4(cosx -sin x)

cos 2x

+sin2x +sin2x

3(sinx -cos x) +4(cosx -sin x)(1-cos xsin x)

cos 2x

-3cos2x +4cos2x -4sin xcos xcos x

cos 2x

1-sin 2x cos2x

+sin2x

=cos2x+sin2x

=2sin(2x+)

∴y min =-2.

应填-2

例8 在直角三角形中，两锐角为A 和B ，则sinA ²sinB( ) A. 有最大值12和最小值0 B. 有最大值

但无最小值

C. 既无最大值也无最小值 D. 有最大值1但无最小值

解：∵A+B=π

∴sinA ²sinB=sinA²cosA=12

sin2A,

A ∈(0,

) ⇒2A ∈(0,π)

∴sinAcosA 有最大值12

但无最小值.

应选B.

例9 求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2

的最大值解：∵2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x=1+cos2x

∴y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x

=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2

x =1+sin2x+2²

1+cos2x

=sin2x+cos2x+2 =2(sin2x²cos π

+cos2x²sin

)+2

=2 sin(2x+π

)+2

∴当2x+π

+2kπ时,y max =2+2

即x=

+Kπ(K∈Z) ，y 的最大值为2+2

例10 已知α是第三象限角，且sin α=-2425

则tg

=( )

4 B.

3 C.-

343

D.- 3

2tg

α解：∵sin α=

,sin α=-

241+tg

α25

∴-

2425

2tg

α2

=1+tg

α2

. α

化简得12tg 2+25tg2 +12=0，

αα

即(4tg2+3)(3tg2+4)=0.

α4

解出tg 2 =-4,tg 2 =-3 .

又已知α是第三象限角，即α∈(π+2kπ，

3π

∴2∈2+kπ，+kπ) ，

∴tg 2 ∈(-∞，-1) ，

3π2

+2kπ) ，

απ

α4α

∴tg 2 =-3 (舍去tg 2=-1). 应选D.

例11 sin20°+cos80°+3sin20°²cos80°=___________. 22

解：sina 20°+cos80°+3sin20°²cos80°

1-cos40

1+cos160

3232

²2sin20°²cos80° (sin100°-sin60°)

=1-(cos40°+cos20°)+

=1-cos30°cos10°+=

cos10°-

应填.

例12 求sin 220°+cos250°＋sin20°²cos50°的值_____________. 解:sin220°+cos250°+sin20°cos50° =sin220°+sin240°+sin20°sin40° =(sin20°+sin40°) 2-sin20°sin40° =(2sin30°cos10°) +==

cos 20+1

(cos60°-cos20°)

(

-cos20°)

应填.

例13 tg20°+4sin20°=________. 解：tg20°+4sin20°

=sin20︒+4sin20︒cos20︒

cos 20︒

=sin20︒+2sin40︒

cos 20︒

=(sin20︒+sin40︒) +sin40︒

cos 20︒

=cos10︒+sin40︒cos 20︒ =sin80︒+sin40︒

cos 20︒

3cos 20︒

cos 20︒

=3.

例14 cos275°＋cos 215°＋cos75°²cos15°的值等于( ) A.

6 B.

3 C.

532

D.1+

解：cos 2

75°+cos2

15°＋cos75°cos15°

=(sin215°+cos215°)+12

sin15°

=1+14

54.

应选C. 例15 已知ctg

=3,则cos θ=_________. 解：由已知有tg

. 1-tg

θ1-

1∴cos θ=

291+tg

θ=

1=45

. 2

9例16 已知tgA+ctgA=m,则sin2A___________. 解：tgA+ctgA=m⇒tg 2A+1=mtgA

∴sin2A=2tgA 2tgA

21+tg 2

A =mtgA

=m . 例17 已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.

(1)b≠0时，求tg3A 的值(用a 、b 表示) ；

(2)求(1+2cos2A)2

（用a 、b 表示）. 解：(1)利用和差化积公式可得： a=sin3A(1+2cos2A), b=cos3A(1+2cos2A), ∴tg3A=

a b

(2)由上可知ab=sin3Acos3A(1+2cos2A)2

∴(1+2cos2A) 2=

2ab sin 6A

又sin6A=

2tg 3A 1+tg 3A

2⋅

a b a

2ab a

1+()

∴(1+2cos2A)2=

2ab 2ab

=a2+b2.

a +b

例18 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( )

A.arcos C.arccos

5-121-2

B.arcsin D.arcsin

5-121-25

解：不妨设此直角三角形三内角为A 、B 、C 且A ＜B ＜C=90°. 由已知，sinA,sinB,sin90°=1成等比数列， ∴sin 2B=sinA

又A+B=90°，得sinB=cosA, ∴cos 2A=sinA,1-sin2A=sinA，

即sin A+sinA-1=0. 解出sinA=∴A=arcsin

-1+

25-12

(舍去sinA=

-1-

)

应选B.

例19 如图，若sin 2x ＞cos 2x ，则x 的取值范围是( ).

3ππ

A. ｛x ｜2k π-＜x ＜2k π+,k ∈Z ｝

B. ｛x ｜2k π+C. ｛x ｜k π-D. ｛x ｜k π+

＜x ＜2k π+

43π4

5π4

,k ∈Z ｝

＜x ＜k π+＜x ＜k π+

,k ∈Z ｝ ,k ∈Z ＝

解：由于sin 2x 和cos 2x 的周期都是π，故可先研究在［0, π］上不等式的解. 在同一坐标系在区间［0，π］上作出sinx 和cosx 的图像.

3ππ

把［，π］的cosx 的图像沿x 轴上翻后，求出两曲线交点的横坐标为x 1=,x 2＝.

∴在(

+2kπ，

3π4

+2kπ) 上有sin 2x ＞cos 2x.

应选D.

例20 下列四个命题中的假命题是( ) A. 存在这样的α和β的值，使得

cos(α+β)=cosαcos β+sinαsin β B. 不存在无穷多个α和β的值，使得 cos(α+β)=cosαcos β+sinαsin β C. 对于任意的α和β，使得

cos(α+β)=cosαcos β-sin αsin β D. 不存在这样的α和β的值，使得

cos(α+β) ≠cos αcos β-sin αsin β

解：C 是两角和的余弦展开公式，当然正确，从而D 也正确.

对于A ，取α=β=0，则cos(0+0)=cos0cos0+sin0sin0,∴A 正确.

对于B ，取α=β=2kπ，k ∈Z ，则cos(2kπ+cos2kπ)=cos2kπcos2k π+sin2kπsin2k ,

∴B. 不正确. 应选B.

例21 解不等式(arctgx) 2-3arctgx+2＞0. 解：〔(arctgx)-1〕〔(arctgx)-2〕＞0. ∴arctgx ＜1或arctgx ＞2.

又-π2＜arctgx ＜π

∴-

＜arctgx ＜1, 即有-∞＜x ＜tg1.

例22 满足arccos(1-x)≥arccosx 的x 的取值范围是( ) A. ［-1,- 12

］ B.［-12

,0］

C. ［0,

1 ］ D.［122

,1］

解：反余弦函数的定义域为［-1,1］, 且为减函数. ≤1-x ≤1 ≤x ≤1 ⇒12

≤x ≤1

≤x 应选D.

例23 已知cos2α=

725, α∈(0,

52),sin β=-

, β∈(π,

3π2

)

求α+β(用反三角函数表示). 解：由题设得sin α=

-cos 2

5, 从而cos α=

5, 且cos β=-

又α+β∈(π,2π) (α+β-π) ∈(0,π),

cos(α+β)=cosαcos β-sin αsin β=-33

65. ∴cos(α+β-π)=cos〔π-(α+β) 〕=-33

. ∴-π+(α+β)=arccos33

即α+β=π+arccos33

例24 记函数y=1

的图像为l 1，y=arctgx的图像为l 2，那么l 1和l 2的交点个数是( )

A. 无穷多个 B.2个 C.1个 D.0个解：作出函数草图可知有2个交点.

又x:0→π

时,arctgx:0→+∞, 1x :+∞→0.

∴x ＞0时，l 1和l 2有一个交点.

又arctgx 和1

都是奇函数，

∴x ＜0时，l 1和l 2也有一个交点. 应选B.

四、能力训练

1. 设M ＝｛第一像限角｝，N ＝｛小于90°角｝，则M ∩N 是( )

(A)｛第一像限角｝ (B)｛锐角｝ (C)｛小于90°角｝ (D)非以上答案

(考查象限角的概念)

2. 扇形圆心角为60°，半径为a ，则扇形内切圆面积与扇形面积之比是( ) (A)1∶3 (B)2∶3 (C)4∶3 (D)4∶9

(考查扇形面积公式)

θθθ

3. θ是第四象限角，且｜cos ｜＝cos ，则在( )

(A)第一象限 (B)第四象限 (C)第一四象限 (D)第二、三象限

(考查象限角与三角函数值的符号)

222

4.sin 1°+sin2°+„+sin90°的值属于区间( )

(A)（43，44） (B)（44，45） (C)（45，46） (D)（46，47）

(考查同角三角函数的关系及三角函数的有界性)

5. 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边为射线4x+3y=0(x＞0) ，则sin

α(sinα+ctgα)+cosα的值是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

(考查三角函数定义和直线方程)

6. 己知0＜a ＜1，α)

logasin α

＜α＜

，则下列元数M=(sinα)

logasin α

,N=(cosα)

log αcos α

,P=(cos

的大小关系是( )

(A)M＞N ＞P (B)M＞P ＞N (C)M＜N ＜P (D)M＜P ＜N

(考查对数函数，指数函数的单调性，同角三角函数关系)

7. 若f(sinx)=sin3x,则cos3x 等于( )

(A)f(cosx) (B)-f(cosx) (C)f(sinx) (D)-f(sinx)

(考查诱导公式与函数解析式)

8. 方程sinx=lgx的实根个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都错

(考查三角函数与对数函数的图像)

5π

9. 函数y=sin(2x+) 的图像中的一条对称轴方程是( )

(A)x=-

(B)x=-

(C)x=

(D)x=

5π4

(考查三角函数图像的特征)

10. 如图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图像，那么f(x)的解析式可以写成( ) (A)f(x)=sin(1+x) (B)f(x)=-sin(1+x) (C)f(x)=sin(x-1) (D)f(x)=sin(1-x)

(考查三角函数的图像与解析式)

11. 对于函数y=cos(sinx)，正确的命题是( ) (A)它的定义域是［-1，1］ (B)它是奇函数 (C)y∈［cos1,1］ (D)不是周期函数

(考查三角函数有关性质及弧度制) 12. 函数y=tg

x 2

1sinx

的最小正周期是

( )

(A)

(B)π (C)

3π2

(D)2π

(考查三角函数的周期和恒等变形)

13. 函数y=cscxcos3x-cscxcos5x是( )

ππ

(A)周期为的奇函数 (B)周期为的偶函数

(C)周期为π的奇函数 (D)周期为π的偶函数

(考查三角函数的性质，同角三角函数关系)

14. 若a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，则下列不等式中成立的是( ) (A)a＞

＞b (B)a＜

b 2

＜b (C)a＜b ＜

b 2

(D)b＜a ＜

(考查辅助角公式，三角函数的单调性)

15. 下列四个命题中的假命题是( )

(A)存在这样的α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcos β+sinαsin β

(B)不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcos β+sinαsin β (C)对于任意的α和β，都有cos(α+β)=cosαcos β-sin αsin β

(D)不存在这样的α和β的值，使得cos(α+β) ≠cos αcos β-sin αsin β

(考查公式的记忆，理解和逻辑语言的理解)

16.tg α、tg β是方程7x -8x+1=0的二根，则 sin 2(α+β)-(A)

sin(α+β)cos(α+β)+

cos 2(α+β) 的值是( )

(B) (C)

(D)

(考查两角和的正切公式，同角三角函数关系及有关求值) 333ππ

17.sin(α+β)=-，sin(α-β)= ，且α-β∈(，π) ，α+β∈(，2π) 。则

cos2β＝( )

(A)-1 (B)1 (C)

242512

(D)-

(考查同角三角函数关系，两角差的余弦公式)

18. 若ctgx=3，则cos 2x+(A)-65

sin2x 的值是( )

(B)-

(考查同角三角函数关系，半角公式，万能公式) 19.tg9°-tg27°+tg63°+tg81°的值为( ) (A)-4 (B)4 (C)2 (D)-2

(考查同角三角函数关系，倍角公式，和积互化公式) 20. 在△ABC 中，(1)已知tgA=tgA=

125

512

sinB=

，则∠C 有且只有一解，(2)已知

,sinB=

, 则∠C 有且只有一解，其中正确的是( )

(A)只有(1) (B)只有(2) (C)(1)与(2)都正确 (D)(1)与(2)均不正确

(考查综合有关公式，灵活处理三角形中的计算)

21. 在△ABC 中，若a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且cos2B+cosB+cos(A-C)=1，则( ) (A)a，b ，c 成等差数列 (B)a，c ，b 成等差数列 (C)a，c ，b 成等比数列 (D)a，b ，c 成等比数列

(考查三角形的内角和定理，正弦定理，和差化积，倍角公式，两个基本数列) 22. 给出下列四个命题：

①若sin2A=sin2B，则△ABC 是等腰三角形；

②若sinA=cosB，则△ABC 是直角三角形；

222

③若sin A+sinB+sinC ＜2，则△ABC 是钝角三角形；

④若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，则△ABC 是等边三角形，以上命题正确的个数是( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

(考查灵活运用公式判断三角形形状和判断正误的能力)

23. 函数y=cosx(π≤x ≤2π) 的反函数是( )

(A)y=π+arccosx (B)y=(C)y=

π-arcsinx

π+arcsinx (D)y=π-arccosx

(考查反函数的求法，诱异公式，反三角弦函数定义)

24. 下列各组函数中表示同一函数的一组是( ) (A)y=arcsin(cosx)与y=arccos(sinx) (B)y=sin(arccosx)与y=cos(arcsinx) (C)y=arctgx与y=arcctg

(D)y=sin(arcsinx)与y=tg(arctgx)

(考查有关反三角恒等式及其运算，函数的定义) 12

25. 设m=arcsin,n=arccos,p=arctg2，则m ，n ，p 的大小关系是( )

(A)p＞n ＞m (B)n＞m ＞p (C)p＞m ＞n (D)m＞n ＞p

(考查反三角函数的运算及其单调性) 2ππ

26. 设函数y=2arcsin(cosx)的定义域为(-，) ，则其值域是( )

(A)(

，

) (B)(

，π) ，π)

(C)(-

，

) (D)(-

(2cosx+1)

(考查三角函数与反三角函数的定义域和值域) 27. 函数y=logsinx 的定义域是__________。

(考查函数定义域的求法，数形结合解三角不等式)

28.f(x)=sinx-sin｜x ｜的值域是____________

(考查绝对值定义，诱异公式，正弦函数的简图，函数值域) 29. 把y=sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的左平移

(纵坐标不变) 。然后将新得图像向

单位，这样得到的图像的解析式是______________。

(考查三角函数图像的变换)

30. 若函数y=sin(x+ϕ)+cos(x+ϕ) 是偶函数，则ϕ的值是_________。

(考查函数的奇偶性，三角恒等变形，最简单三角方程)

31：(1)tg70°+tg50°-3tg70°tg50°=________

(2)△ABC 中，(1+tgA)(1+tgB)=2，则log 2sinc=_________ (3)(1+tg1°)(1+tg2°)(1+tg3°) „„(1+tg45°)=________ (4)己知tgA+tgB+3=3tgAtgB ，且sinAcosB=

，则△ABC 的形状是______

(5)己知A 、C 是锐角△ABC 的两个内角，且tgA,tgC 是方程x 2-3px+1-p＝0(p≠0，且p ∈R) ，的两个实根，则tg(A+C)=________，tgA,tgC 的取值范围分别是_____和_____，P 的取值范围是__________

(考查两角和的正切公式的变形运用，倍角公式，韦达定理，对数值计算)

32. 函数y=cosx-1(0≤x ≤2π) 的图像与x 轴所围成图形的面积是_________。

(考查三角函数图形的对称变换) 33. 函数y=arcsin

x +arctgx的值域是___________

(考查反三角函数的定义域、值域、单调性)

34. 关于函数f(x)=4sin(2x+

)(x∈R) ，有下列命题

①由f(x1)=f(x2)=0，可得x 1-x 2必是π的整数倍；

②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-) ；

③y=f(x)的图像关于点(-

，0) 对称； π

④y=f(x)的图像关于直线x=-对称

其中正确命题的序号是______________

(考查简单三角方程，诱导公式，图像的对称性)

kx π

35. 设三角函数f(x)=sin(+) ，其中k ≠0

(1)写出f(x)的极大值M ，极小值m ，最小正周期T 。

(2)试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间(包括整数本身) 变化时，函数f(x)至少有一个值是M 与一个值m ，

(考查三角函数的最值、周期，以及分析问题、解决问题的能力)

36. 己知x+

=2cosθ，试求x +

(n∈N) 的值

(结合三角函数，考查数学归纳法，增量法)

37. 求值： (1)

3tg 12︒-3) csc 12︒4cos 12︒-2

(2)sec50°+tg10°

(考查同角三角函数关系，倍角公式，辅助角公式，和差化积等)

38. 解答下列各题：

(1)己知A 、B 均为钝角，且sinA=

,sinB=

, 求A+B

(2)己知α、β∈(0,π), 且tg(α-β)=,tg β=-, 求2α-β

(3)己知α、β都是锐角，且3sin 2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=(4)求证：arcsin

+arcsin(-

513

) ＝arcsin

1665

(考查如何求角，如何证明关于角的等式) 39. 根据下列所给条件，分别求出cos(α+β) 的值： (1)己知sin α-sin β=

，cos α-cos β=

(2)己知α、β是方程2cosx-sinx+b=0的两个根(α≠2k π+β,k ∈z) ； (3)己知z 1=cosα+isinα，z 2=cosβ+isinβ，z 1-z 2=

i ；

(4)己知直线y=2x+m与圆x 2+y2=1有两个公共点M ，N ，且x 轴正半轴逆转到两射线OM ，ON(O为原点) 的最小正角依次为α、β

(考查三角与方程、复数、解几的联系，万能公式的运用)

40. 解答下列各题：

(1)锐角△ABC 中，求证：sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC (2)锐角△ABC 中，求证：tgAtgBtgC ＞1 (3)α、β∈［0，

］，己知

sin

cos α

sin cos

αβ

=2，求证：α+β=

(考查三角函数的单调性)

41. 解答下列各题：

(1)若y=acosx+b的最大值是1，最小值是-7，求acosx+bsinx的最大值。 (2)求y=

2-sinx 2-cosx

的最值

(3)设函数y=-2sin2x-2cosx-2a+1的最小值是f(a)，①写出f(a)的表达式； ②试确定能使f(a)= (4)求f(x)=

sin x cos x

的a 的值。

的值域

1+sinx +cosx

(5)求y=2sinxsin2x的最大值 (6)若θ为钝角，求y=(7)己知sinxsiny=

cos θ

sin θ

(a＞b ＞0) 的最小值

，求cosxcosy 的取值范围

(8)己知3sin α+2sinβ=2sinα，求cos α+cosβ的最值

(考查三角函数常见最值的求法) 42.a 、b 、c 是△ABC 的三边，求证：

1+cos(A-B)cosC 1+cos(A -C ) cos B

a +b a +c

222

(考查三角形中恒等式的证明)

43. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a+c=2b，A-C ＝，求sinB 的值。

(考查三角形中的有关计算) 44. 在△ABC 中，sinAcosB-sinB=sinC-sinAcosC,若△ABC 的周长为12，求其面积的最大值。(考查三角形中的最值问题)

1ππ

45. 己知f(x)=tgx,x∈(0,) ，若x 1,x 2∈(0, ) ，且x 1≠x 2，证明：［f(x1)+f(x2) ］

＞f(

x 1+x 2

)

(综合考查三角函数与不等式)

46. 己知实数x ，y 满足x -y +y-x =1，问

x 2+y2是否为定值? 若是，请求该值：否则求其取值范围。

(考查代数与三角的综合题)

47. 在高出地面30m 的小山顶C 处建造一座电视塔CD(如图) ，今在距离B 点60m 的地面上取一点A ，若测得CD 对A 所张的角为45°，求电视塔的高度。

(考查应用数学知识处理实际问题的能力)

48. 如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，船向正南航行，在B 处测得小岛A 在船的角偏东30°，在C 处测得A 在船的南偏东60°，如果此船不改变航向，有无触礁的危险?

(考查应用正弦定理处理实际问题的能力)

49. 外国船只，除特许者外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域，设A ，B 是我们的观测站，A 与B 间的距离是S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船只在P 点，在A 处测得∠BAP=α，同时在B 处测得∠ABP=β，问α及β满足什么三角不等式时，就应当问这艘未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域

(考查灵活应用三角知识处理实际问题的能力)

50. 半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆周长的动点，以AB 为边，向形外作等边△ABC ，问B 点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大? 并求出这个最大值。

(考查分析问题和解决问题的能力)

51. 己知半径为1，圆心角为的扇形，求一边在半径上的扇形的

内接矩形的最大面积。

(考查三角函数在圆形最值中的运用)

52. 腰为a 的等腰△ABC 中，∠A=90°，当A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，且点C 与原点O 在AB 的两侧时，求OC 长的最大值。

(综合考查三角、解几、最值问题)

53. 如图所示，水渠横断面为等腰梯形，渠深为h ，梯形面积为S ，为使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底边长之和最小，问此时腰与下底夹角α应该是多少?

(考查代数与三角的综合)

54. 用一块长为a ，宽为b(a＞b) 的矩形木块，在二面角为α

的墙角处围出一个直三棱柱的储物仓(使木板垂直于地面的两边紧贴墙面，另一边与地面紧贴) 试问，怎样围才能使储物仓的容积最大? 并求出这个最大值

(考查代数、三角、立几的综合运用)

55. 如图所示，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴上给定两点A ，B ，试在x 轴正半轴上求一点C ，使∠ACB 最大。

(考查代数，三角，解几的综合运用)

能力训练参考答案

1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.B 13.C 14.B 15.B 16.C 17.A 18.D 19.B 20.B 21.D 22.B 23.C 24.B 25.D 26.D

2ππ

27. ｛x ｜2k π＜x ＜2k π+，且x ≠2k π+，k ∈z ＝ 28. ［-2，2］

29.y=sin(2x+

) 30.ϕ=kπ+

412

(k∈z) 31.(提示：应用公式tg α+tgβ＝tg(α+ (3)223(提示：用(2)的结论) (4)正三角形 (5) ，1) 32.2π 33.［0，

β)(1-tgαtg β))(1)-3 (2)-3；(0，

3) ；(0，

3) ；［

π］ 34.①②

35.(1)M=1,m=-1，T=

10πk

(2)k=32 (提示：令T ≤1)

36.2cos θ

方法(一) ：用数学归纳法方法(二) ：设x=cosθ+t,则

1cos θ+t

=cosθ-t

∴t =-sinθ

于是取t=isinθ ∴x=cosθ+isinθ 代入即可 37.(1)-43 (2) 3

38.(1)∵A+B∈(0，π) ，sin(A+B)=1 ∴A+B=(2)tgα=tg［(α+β)-β］=∴β∈(

3π4

∈(0,1) α∈(0,) tgβ=-

∈(-1,0)

, π)

∴2α-β∈(-π,- (3)α+2β∈(0，(4)arcsin等

∴等式成立。

) 又∵tg(2α+β)=tg［α+(α-β) ］=1 ∴2α-β=-π

3π4

π) sin(α+2β) ＝1 ∴α+2β=

513

+arcsin(-) ∈(-

，

) ， arcsin

1665

∈(0, ) 又两边正弦相

39. 提示：问题都可归结为tg 40. 提示： (1)～(2)A+B＞

α+β

cos α-cos βsin α-sin β

⇒cos(α+β)=

∴

＞A ＞

-B ＞0 ∴sinA ＞sin(

-B) ＝cosB

同理：sinB ＞cosC,sinC ＞cosA (3)显然：

sin αcos 2β

sin β

cos α

必定一个大于1，一个不小于1，不妨设sin 2α≤cos 2β π

sin 2β≥cos 2α ∴α+β≤

41.(1)5 (2)ymax =

4+37

α+β≥

4-37

∴α+β＝

，y min =(提示：有三种解法：万能公式，解析法：转

化为asinx+bcosx=c(处理)

≤-2)

(3)①a

≥2)

②a=-1(提示：通过换元转化为二次函数在闭区间上的最值问题)

-2a-1 (-2＜a ＜2＝

(4)［-2

2+12

,-1］∪(-1,

2-12

］ (5)y=4sinxcosx ∴y =8sinx ²sin ²x2cos x

22222

≤8(

sin x +sin x +2cos x

839

) 2

∴y max = (6)y=a2(1+tg2θ)+b2(1+ctg2θ)=a2+b2+(a2tg 2θ+b2ctg 2θ) ≥(a+b)2

∴y min =(a+b)2

(7)设cosxcosy=M,则M+∴M ∈［-12

=cos(x-y)∈［-1,1］ M-12

＝cos(x+y)∈［-1，1］又sin 2β=sinα-149

］ (8)cos2α+cos2β=

(sinα-

) 2+sin 2

α∈［0，1］

∴sin α∈［0,

］ ∴ (cos2α+cos2β) max =2，(cos2α+cos2β) min =

42. 提示：左=

398

1-cos(A +B ) cos(A -B ) 1-cos(A +C ) cos(A -C )

2-cos 2A -cos 2B 2-cos2A -cos2C

sin A +sin B sin

A +sin

=右

43.

44. 由条件可知cosA=0 ∴ A=

∴12=b+c+b 2+c 2≥2bc +2bc

∴bc =6(2-2) ∴S max =108-722 45. 分析

：

⇐

sin(x

+x 2)

cos x 1cos x 2

＞

2sin(x

+x 2)

1+cos(x 1+x 2)

⇐1+cos(x1+x2) ＞

2cosx 1cosx 2⇐cos(x1-x 2) ＜1

46. 设x=cosα，y=cosβ(α, β∈［0, π］), 则sin(α+β)=1，∴α+β＝47.150m

48. ∵A 离航向所在直线的距离为153＞20 ∴继续航行没有触礁的危险

49. 设P 到AB 的距离为d ，则S=d(ctgα+ctgβ) 当d ≤D ，即ctg α+ctgβ≤

S D

∴ x+y=1

时，应向外国船发出警告。

534

50. 设∠AOB=α(0°＜α＜180°＝，则S=∴α=150°时，Smax=2+51. 设∠BOC=α，则S ＝∴α＝

+2sin(α-60°)

53433

(cos(2α-)-

)

时，S max =

52. 设∠BAO=α，则OC 2=a2(∴｜OC ｜max =-53. 三边之和l=

5+12S h

+sin2θ+

cos2θ)

2-cos αsin α

∴α=30°时，l min =

S h

+3h

54. 设木板在地面上的两顶点在墙角的距变分别是x 、y (1)若长边紧贴地面，则a 2=x2+y2-2xycos α≥2xy(1-cosα)

12α

∴此时V max =a bctg =V1

(2)若短边紧贴地面，则b =x+y-2xycos α≥2xy(1-cosα)

12α

∴ 此时V max =b actg =V2

222

∵a ＞b ＞0 ∴V 1＞V 2

∴当长边紧贴地面，且仓的底面是以a 为底边的等腰三角形时容积最大，最大值为12α

a bctg

55. 设A(0,a),B(0,b),C(x,0) 则tg ∠ACB=tg(∠ACO-∠BCO)=

ab (

a -b x ab

ab x )

∴当x=ab 时，(∠ACB) max =arctg

a -b 2ab

第二章三角、反三角函数

一、考纲要求

1. 理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。

5. 了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+ϕ) 的简图，理解A 、w 、ϕ的物理意义。

6. 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctgx 表示。

7. 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。

8. 理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。

9. 能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。二、知识结构

(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。 (3)象限角：由角的终边所在位置确定。

第一象限角：2k π＜α＜2k π+,k ∈Z

第二象限角：2k π+

＜α＜2k π+π,k ∈Z

3π2

第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+第四象限角：2k π+

3π2

,k ∈Z

＜α＜2k π+2π,k ∈Z

(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角) ，可以表示为k ²360°+α，k ∈Z 。

(5)特殊角的集合：

k π

终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝，k ∈Z ｝

，k ∈Z ｝，k ∈Z ｝

，k ∈Z ｝

2. 弧度制：

(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。 (2)角度与弧度的互化：

π180

1°＝弧度，1弧度＝() °

180π

(3)两个公式：(R为圆弧半径，α为圆心角弧度数) 。弧长公式：l=｜α｜R

扇形面积公式：S=

lR=

｜α｜R

3. 周期函数：

(2)几个常见结论：

①如果T 是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z ，且k ≠0)

也是y=f(x)的周期。 (1)

x y

PO ｜=r,那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sin α=,cos α=,tg α

r r

x y r x

=,ctg α=,Sec α=,csc α= (如图(1))。

r r y y

②如果T 是函数y=f(x)的一个周期，那么

也是y=f(wx)(w≠0) 的周期。

(2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如图(2))

(3)同角三角函数的基本关系式：

倒数关系：sin α²csc α=1,cosα²sec α=1,tgα²ctg α=1

sin αcos α

商数关系：tg α=,ctg α=

cos αsin α22

平方关系：sin α+cosα=1,1+tg2α=sec2α,1+ctg2α=csc2α

5. 已知三角函数值求角

6. 三角函数的图象和性质： (1)三角函数线：

如图(3)，sin α=MP,cosα=OM,tgα=AT,ctgα=BS

函数y=Asin(wx+ϕ) 的图像可以通过下列两种方式得到： ϕ＞0，图像左移ϕ

ϕ) ϕ＜0，图像右移｜ϕ｜ w＞1，横坐标缩短为原来的

倍

ϕ)

0＜w ＜1，横坐标伸长为原来的

倍

A＞1，纵坐标伸长为原来的A 倍

ϕ) 0＜A ＜1，纵坐标缩短为原来的A 倍 w＞1, 横坐标缩短为原来的

倍

0＜w ＜1, 横坐标伸长为原来的 ϕ＞0，图像左移 ϕ＜0, 图像右移

倍

A＞1，纵坐标伸长为原来A 倍

y=sin(wx+ϕϕ) 0＜A ＜1，纵坐标缩短为原来A 倍

8. 两角和与差的三角函数： (1)常用公式：

两角和与差的公式：

sin(α±β) ＝sin αcos β±cos αsin β， cos(α±β)=cosαcos β sin αsin β，

tg α±tg β

tg(α±β)=

1 tg αtg β倍角公式：

sin2α=2sinαcos α，

cos2α=cos2α-sin 2α=2cos2α-1=1-2sin2α，

2tg α

tg2α=. 2

1-tg α半角公式： sin cos tg

=±=±

1-cos α

21+cos α

21-cos α

, , =

sin α

1+cos α1+cos αsin α

积化和差公式：

sin αcos β=〔sin(α+β)+sin(α-β) 〕,

cos αsin β= 〔sin(α+β)-sin(α-β) 〕

cos αcos β= 〔cos(α+β)+cos(α-β) 〕,

sin αsin β=- 〔cos(α+β)-cos(α-β) 〕

和差化积公式：

α+βα-β

sin α+sinβ=2sincos ,

22α+βα-β

sin α-sin β=2cossin

22α+βα-β

cos α+cosβ=2coscos ,

22α+βα-β

cos α-cos β=-2sinsin

万能公式：

=±=

1-cos α

2tg

α2

1-tg

αα,tg α=2

2tg 1-tg

α2

sin α=

1+tg

，cos α=

1+tg

α2

(2)各公式间的内在联系：

(3)应注意的几个问题：

①凡使公式中某个式子没有意义的角，都不适合公式。 ②灵活理解各公式间的和差倍半的关系。

③在半角公式中，根号前的符号由半角所在像限来决定。

sin 2α1-cos 2α1+cos 2α22

④常具的变形公式有：cos α=,sin α=,cos α=,tg α+tg

2sin α22

β＝tg(α+β)(1-tgαtg β).

⑤asin α+bcosα=a +b sin(α+ϕ).(其中ϕ所在位置由a ，b 的符号确定，ϕ的值由tg ϕ=

b a

确定) 。

9. 解斜三角形：

11. 三角方程：

三、知识点、能力点提示

下面对常见考点作简单分析：

2. 三角函数图像的考查：通常有三种方式：由图像到解析式：由图像到性质；图像的应用。

(3)单调性：通常以处理最值问题的形式出现，总与恒等变形联系在一起，一般地二次函数，对数函数等的最值问题相结合。

5. 反三角函数：对这部分的考查多属于容易题或中档题，重点是反三角函数的定义和性质。

6. 代数、三角、解几、立几，不等式等的综合考查。

3. 常数的变换：常用方式有1=sin2α+cos2α=sec2α-tg 2α=tg

=sin

等。

6. 和积互化：这既是一种基本技能，也是一种常见解题思路，且应用比较广泛。 7. 综合运用上述各种方式。例1 sin600°的值是( )

. B.-

D.-

解：sin600°=sin(360°+240°)=sin240°

=sin(180°+60°)=-sin60°

=-∴应选D.

例2 已知sin θ+cosθ=

, θ∈(0,π), 则ctg θ的值是_______.

解:sinθ+cosθ=

⇒(sinθ+cosθ) 2

) ⇒sin θ²cos θ=-

1225

∴sin θ和cos θ是方程t 2-15

1225

=0,即方程25t 2-5t-12=0的两根.

25t 2-5t-12=(5t+3)(5t-4)=0的两根为t 41=5

,t 2=-

∵θ∈(0.π) ⇒sin θ＞0. ∴sin θ=45 ,从而cos θ=-35

∴ctg θ=cos θsin θ

.=-34

应填-34

例3 tg20°+tg40°+3tg20°²tg40°的值是_______.

解：∵3=tg60°=tg(20°+40°)=

tg 20+tg 401-tg 20 tg 40

∴tg20°+tg40°=3 (1-tg20°²tg40°).

∴原式=3(1-tg20°²tg40°)+ 3 tg20°²tg40°).

应填3. 例4 求值：cos 5ππ

²cos 8

=________.

解：cos 5π8²cos π

1(cos

3π2

+cos

1222

+0)=-

例5 关于函数f(x)=4sin(2x+

) (x∈R), 有下列命题：

①由f(x1)=f(x2)=0可得x 1-x 2必是π的整数倍；

②y=f(x)的表达可以改写为y=4cos(2x-π

) ；

③y=f(x)的图像关于点(-

,0)对称； ④y=f(x)的图像关于直线x=-π

对称；

其中正确命题的序号是___________. (注：把你认为正确的命题序号都填上) 解：分别讨论四个命题.

①令4sin(2x+π3

)=0,得2x+π3

=kπ (k∈Z),x=k π2

-π

x 1π

k 2-

6,x 2π

k 2

6 ,k1≠k 2,k 1,k 2∈Z,

则f(x1)=f(x2)=0,

但x π

1-x 2=2

(k1-k 2), 当k 1-k 2为奇数时，x 1-x 2不是π的整数倍

∴命题①不正确.

∈Z), 设

②y=f(x)=4sin(2x+∵命题②正确

)=4cos［

-(2x+

) ］=4cos(-2x+

)=4cos(2x-

)

作出y=f(x)=4sin(2x+) 的草图，如图

由图知，f(x)的图像关于点(-∴命题③正确

，0) 对称，

④由图知，y=f(x)的图像不关于直线x=-∴命题④不正确应填②、③ 例6 函数y=sin(x-π

对称

) ²cosx 的最小值是_______.

解：利用积化和差公式(注：今后高考试卷中会印写公式) ，得 1ππ

y=［sin(2x-) ］+sin(-) ］

sin(2x-π

∵sin(2x-∴y min =-应填-3434

)∈［-1,1］,

sin3x ⋅sin x +cos3x ⋅cos x

例7 y=

cos 2x

解：利用3倍公式：

sin3x=3sinx-4sin3x,cos3x=4cos3x-3cosx.

+sin2x,则y 的最小值是_____.

y======

(3sinx-4sin x) ⋅sin x +(4cosx -3cosx)cos

cos 2x

+sin2x

3sin x -4sin x +4cos x -3cos x

cos 2x

3(sinx -cos x) +4(cosx -sin x)

cos 2x

+sin2x +sin2x

3(sinx -cos x) +4(cosx -sin x)(1-cos xsin x)

cos 2x

-3cos2x +4cos2x -4sin xcos xcos x

cos 2x

1-sin 2x cos2x

+sin2x

=cos2x+sin2x

=2sin(2x+)

∴y min =-2.

应填-2

例8 在直角三角形中，两锐角为A 和B ，则sinA ²sinB( ) A. 有最大值12和最小值0 B. 有最大值

但无最小值

C. 既无最大值也无最小值 D. 有最大值1但无最小值

解：∵A+B=π

∴sinA ²sinB=sinA²cosA=12

sin2A,

A ∈(0,

) ⇒2A ∈(0,π)

∴sinAcosA 有最大值12

但无最小值.

应选B.

例9 求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2

的最大值解：∵2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x=1+cos2x

∴y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x

=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2

x =1+sin2x+2²

1+cos2x

=sin2x+cos2x+2 =2(sin2x²cos π

+cos2x²sin

)+2

=2 sin(2x+π

)+2

∴当2x+π

+2kπ时,y max =2+2

即x=

+Kπ(K∈Z) ，y 的最大值为2+2

例10 已知α是第三象限角，且sin α=-2425

则tg

=( )

4 B.

3 C.-

343

D.- 3

2tg

α解：∵sin α=

,sin α=-

241+tg

α25

∴-

2425

2tg

α2

=1+tg

α2

. α

化简得12tg 2+25tg2 +12=0，

αα

即(4tg2+3)(3tg2+4)=0.

α4

解出tg 2 =-4,tg 2 =-3 .

又已知α是第三象限角，即α∈(π+2kπ，

3π

∴2∈2+kπ，+kπ) ，

∴tg 2 ∈(-∞，-1) ，

3π2

+2kπ) ，

απ

α4α

∴tg 2 =-3 (舍去tg 2=-1). 应选D.

例11 sin20°+cos80°+3sin20°²cos80°=___________. 22

解：sina 20°+cos80°+3sin20°²cos80°

1-cos40

1+cos160

3232

²2sin20°²cos80° (sin100°-sin60°)

=1-(cos40°+cos20°)+

=1-cos30°cos10°+=

cos10°-

应填.

例12 求sin 220°+cos250°＋sin20°²cos50°的值_____________. 解:sin220°+cos250°+sin20°cos50° =sin220°+sin240°+sin20°sin40° =(sin20°+sin40°) 2-sin20°sin40° =(2sin30°cos10°) +==

cos 20+1

(cos60°-cos20°)

(

-cos20°)

应填.

例13 tg20°+4sin20°=________. 解：tg20°+4sin20°

=sin20︒+4sin20︒cos20︒

cos 20︒

=sin20︒+2sin40︒

cos 20︒

=(sin20︒+sin40︒) +sin40︒

cos 20︒

=cos10︒+sin40︒cos 20︒ =sin80︒+sin40︒

cos 20︒

3cos 20︒

cos 20︒

=3.

例14 cos275°＋cos 215°＋cos75°²cos15°的值等于( ) A.

6 B.

3 C.

532

D.1+

解：cos 2

75°+cos2

15°＋cos75°cos15°

=(sin215°+cos215°)+12

sin15°

=1+14

54.

应选C. 例15 已知ctg

=3,则cos θ=_________. 解：由已知有tg

. 1-tg

θ1-

1∴cos θ=

291+tg

θ=

1=45

. 2

9例16 已知tgA+ctgA=m,则sin2A___________. 解：tgA+ctgA=m⇒tg 2A+1=mtgA

∴sin2A=2tgA 2tgA

21+tg 2

A =mtgA

=m . 例17 已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.

(1)b≠0时，求tg3A 的值(用a 、b 表示) ；

(2)求(1+2cos2A)2

（用a 、b 表示）. 解：(1)利用和差化积公式可得： a=sin3A(1+2cos2A), b=cos3A(1+2cos2A), ∴tg3A=

a b

(2)由上可知ab=sin3Acos3A(1+2cos2A)2

∴(1+2cos2A) 2=

2ab sin 6A

又sin6A=

2tg 3A 1+tg 3A

2⋅

a b a

2ab a

1+()

∴(1+2cos2A)2=

2ab 2ab

=a2+b2.

a +b

例18 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( )

A.arcos C.arccos

5-121-2

B.arcsin D.arcsin

5-121-25

解：不妨设此直角三角形三内角为A 、B 、C 且A ＜B ＜C=90°. 由已知，sinA,sinB,sin90°=1成等比数列， ∴sin 2B=sinA

又A+B=90°，得sinB=cosA, ∴cos 2A=sinA,1-sin2A=sinA，

即sin A+sinA-1=0. 解出sinA=∴A=arcsin

-1+

25-12

(舍去sinA=

-1-

)

应选B.

例19 如图，若sin 2x ＞cos 2x ，则x 的取值范围是( ).

3ππ

A. ｛x ｜2k π-＜x ＜2k π+,k ∈Z ｝

B. ｛x ｜2k π+C. ｛x ｜k π-D. ｛x ｜k π+

＜x ＜2k π+

43π4

5π4

,k ∈Z ｝

＜x ＜k π+＜x ＜k π+

,k ∈Z ｝ ,k ∈Z ＝

解：由于sin 2x 和cos 2x 的周期都是π，故可先研究在［0, π］上不等式的解. 在同一坐标系在区间［0，π］上作出sinx 和cosx 的图像.

3ππ

把［，π］的cosx 的图像沿x 轴上翻后，求出两曲线交点的横坐标为x 1=,x 2＝.

∴在(

+2kπ，

3π4

+2kπ) 上有sin 2x ＞cos 2x.

应选D.

例20 下列四个命题中的假命题是( ) A. 存在这样的α和β的值，使得

cos(α+β)=cosαcos β+sinαsin β B. 不存在无穷多个α和β的值，使得 cos(α+β)=cosαcos β+sinαsin β C. 对于任意的α和β，使得

cos(α+β)=cosαcos β-sin αsin β D. 不存在这样的α和β的值，使得

cos(α+β) ≠cos αcos β-sin αsin β

解：C 是两角和的余弦展开公式，当然正确，从而D 也正确.

对于A ，取α=β=0，则cos(0+0)=cos0cos0+sin0sin0,∴A 正确.

对于B ，取α=β=2kπ，k ∈Z ，则cos(2kπ+cos2kπ)=cos2kπcos2k π+sin2kπsin2k ,

∴B. 不正确. 应选B.

例21 解不等式(arctgx) 2-3arctgx+2＞0. 解：〔(arctgx)-1〕〔(arctgx)-2〕＞0. ∴arctgx ＜1或arctgx ＞2.

又-π2＜arctgx ＜π

∴-

＜arctgx ＜1, 即有-∞＜x ＜tg1.

例22 满足arccos(1-x)≥arccosx 的x 的取值范围是( ) A. ［-1,- 12

］ B.［-12

,0］

C. ［0,

1 ］ D.［122

,1］

解：反余弦函数的定义域为［-1,1］, 且为减函数. ≤1-x ≤1 ≤x ≤1 ⇒12

≤x ≤1

≤x 应选D.

例23 已知cos2α=

725, α∈(0,

52),sin β=-

, β∈(π,

3π2

)

求α+β(用反三角函数表示). 解：由题设得sin α=

-cos 2

5, 从而cos α=

5, 且cos β=-

又α+β∈(π,2π) (α+β-π) ∈(0,π),

cos(α+β)=cosαcos β-sin αsin β=-33

65. ∴cos(α+β-π)=cos〔π-(α+β) 〕=-33

. ∴-π+(α+β)=arccos33

即α+β=π+arccos33

例24 记函数y=1

的图像为l 1，y=arctgx的图像为l 2，那么l 1和l 2的交点个数是( )

A. 无穷多个 B.2个 C.1个 D.0个解：作出函数草图可知有2个交点.

又x:0→π

时,arctgx:0→+∞, 1x :+∞→0.

∴x ＞0时，l 1和l 2有一个交点.

又arctgx 和1

都是奇函数，

∴x ＜0时，l 1和l 2也有一个交点. 应选B.

四、能力训练

1. 设M ＝｛第一像限角｝，N ＝｛小于90°角｝，则M ∩N 是( )

(A)｛第一像限角｝ (B)｛锐角｝ (C)｛小于90°角｝ (D)非以上答案

(考查象限角的概念)

2. 扇形圆心角为60°，半径为a ，则扇形内切圆面积与扇形面积之比是( ) (A)1∶3 (B)2∶3 (C)4∶3 (D)4∶9

(考查扇形面积公式)

θθθ

3. θ是第四象限角，且｜cos ｜＝cos ，则在( )

(A)第一象限 (B)第四象限 (C)第一四象限 (D)第二、三象限

(考查象限角与三角函数值的符号)

222

4.sin 1°+sin2°+„+sin90°的值属于区间( )

(A)（43，44） (B)（44，45） (C)（45，46） (D)（46，47）

(考查同角三角函数的关系及三角函数的有界性)

5. 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边为射线4x+3y=0(x＞0) ，则sin

α(sinα+ctgα)+cosα的值是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

(考查三角函数定义和直线方程)

6. 己知0＜a ＜1，α)

logasin α

＜α＜

，则下列元数M=(sinα)

logasin α

,N=(cosα)

log αcos α

,P=(cos

的大小关系是( )

(A)M＞N ＞P (B)M＞P ＞N (C)M＜N ＜P (D)M＜P ＜N

(考查对数函数，指数函数的单调性，同角三角函数关系)

7. 若f(sinx)=sin3x,则cos3x 等于( )

(A)f(cosx) (B)-f(cosx) (C)f(sinx) (D)-f(sinx)

(考查诱导公式与函数解析式)

8. 方程sinx=lgx的实根个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都错

(考查三角函数与对数函数的图像)

5π

9. 函数y=sin(2x+) 的图像中的一条对称轴方程是( )

(A)x=-

(B)x=-

(C)x=

(D)x=

5π4

(考查三角函数图像的特征)

10. 如图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图像，那么f(x)的解析式可以写成( ) (A)f(x)=sin(1+x) (B)f(x)=-sin(1+x) (C)f(x)=sin(x-1) (D)f(x)=sin(1-x)

(考查三角函数的图像与解析式)

11. 对于函数y=cos(sinx)，正确的命题是( ) (A)它的定义域是［-1，1］ (B)它是奇函数 (C)y∈［cos1,1］ (D)不是周期函数

(考查三角函数有关性质及弧度制) 12. 函数y=tg

x 2

1sinx

的最小正周期是

( )

(A)

(B)π (C)

3π2

(D)2π

(考查三角函数的周期和恒等变形)

13. 函数y=cscxcos3x-cscxcos5x是( )

ππ

(A)周期为的奇函数 (B)周期为的偶函数

(C)周期为π的奇函数 (D)周期为π的偶函数

(考查三角函数的性质，同角三角函数关系)

14. 若a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，则下列不等式中成立的是( ) (A)a＞

＞b (B)a＜

b 2

＜b (C)a＜b ＜

b 2

(D)b＜a ＜

(考查辅助角公式，三角函数的单调性)

15. 下列四个命题中的假命题是( )

(A)存在这样的α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcos β+sinαsin β

(B)不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcos β+sinαsin β (C)对于任意的α和β，都有cos(α+β)=cosαcos β-sin αsin β

(D)不存在这样的α和β的值，使得cos(α+β) ≠cos αcos β-sin αsin β

(考查公式的记忆，理解和逻辑语言的理解)

16.tg α、tg β是方程7x -8x+1=0的二根，则 sin 2(α+β)-(A)

sin(α+β)cos(α+β)+

cos 2(α+β) 的值是( )

(B) (C)

(D)

(考查两角和的正切公式，同角三角函数关系及有关求值) 333ππ

17.sin(α+β)=-，sin(α-β)= ，且α-β∈(，π) ，α+β∈(，2π) 。则

cos2β＝( )

(A)-1 (B)1 (C)

242512

(D)-

(考查同角三角函数关系，两角差的余弦公式)

18. 若ctgx=3，则cos 2x+(A)-65

sin2x 的值是( )

(B)-

(考查同角三角函数关系，半角公式，万能公式) 19.tg9°-tg27°+tg63°+tg81°的值为( ) (A)-4 (B)4 (C)2 (D)-2

(考查同角三角函数关系，倍角公式，和积互化公式) 20. 在△ABC 中，(1)已知tgA=tgA=

125

512

sinB=

，则∠C 有且只有一解，(2)已知

,sinB=

, 则∠C 有且只有一解，其中正确的是( )

(A)只有(1) (B)只有(2) (C)(1)与(2)都正确 (D)(1)与(2)均不正确

(考查综合有关公式，灵活处理三角形中的计算)

(考查三角形的内角和定理，正弦定理，和差化积，倍角公式，两个基本数列) 22. 给出下列四个命题：

①若sin2A=sin2B，则△ABC 是等腰三角形；

②若sinA=cosB，则△ABC 是直角三角形；

222

③若sin A+sinB+sinC ＜2，则△ABC 是钝角三角形；

④若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，则△ABC 是等边三角形，以上命题正确的个数是( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

(考查灵活运用公式判断三角形形状和判断正误的能力)

23. 函数y=cosx(π≤x ≤2π) 的反函数是( )

(A)y=π+arccosx (B)y=(C)y=

π-arcsinx

π+arcsinx (D)y=π-arccosx

(考查反函数的求法，诱异公式，反三角弦函数定义)

24. 下列各组函数中表示同一函数的一组是( ) (A)y=arcsin(cosx)与y=arccos(sinx) (B)y=sin(arccosx)与y=cos(arcsinx) (C)y=arctgx与y=arcctg

(D)y=sin(arcsinx)与y=tg(arctgx)

(考查有关反三角恒等式及其运算，函数的定义) 12

25. 设m=arcsin,n=arccos,p=arctg2，则m ，n ，p 的大小关系是( )

(A)p＞n ＞m (B)n＞m ＞p (C)p＞m ＞n (D)m＞n ＞p

(考查反三角函数的运算及其单调性) 2ππ

26. 设函数y=2arcsin(cosx)的定义域为(-，) ，则其值域是( )

(A)(

，

) (B)(

，π) ，π)

(C)(-

，

) (D)(-

(2cosx+1)

(考查三角函数与反三角函数的定义域和值域) 27. 函数y=logsinx 的定义域是__________。

(考查函数定义域的求法，数形结合解三角不等式)

28.f(x)=sinx-sin｜x ｜的值域是____________

(考查绝对值定义，诱异公式，正弦函数的简图，函数值域) 29. 把y=sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的左平移

(纵坐标不变) 。然后将新得图像向

单位，这样得到的图像的解析式是______________。

(考查三角函数图像的变换)

30. 若函数y=sin(x+ϕ)+cos(x+ϕ) 是偶函数，则ϕ的值是_________。

(考查函数的奇偶性，三角恒等变形，最简单三角方程)

31：(1)tg70°+tg50°-3tg70°tg50°=________

(2)△ABC 中，(1+tgA)(1+tgB)=2，则log 2sinc=_________ (3)(1+tg1°)(1+tg2°)(1+tg3°) „„(1+tg45°)=________ (4)己知tgA+tgB+3=3tgAtgB ，且sinAcosB=

，则△ABC 的形状是______

(考查两角和的正切公式的变形运用，倍角公式，韦达定理，对数值计算)

32. 函数y=cosx-1(0≤x ≤2π) 的图像与x 轴所围成图形的面积是_________。

(考查三角函数图形的对称变换) 33. 函数y=arcsin

x +arctgx的值域是___________

(考查反三角函数的定义域、值域、单调性)

34. 关于函数f(x)=4sin(2x+

)(x∈R) ，有下列命题

①由f(x1)=f(x2)=0，可得x 1-x 2必是π的整数倍；

②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-) ；

③y=f(x)的图像关于点(-

，0) 对称； π

④y=f(x)的图像关于直线x=-对称

其中正确命题的序号是______________

(考查简单三角方程，诱导公式，图像的对称性)

kx π

35. 设三角函数f(x)=sin(+) ，其中k ≠0

(1)写出f(x)的极大值M ，极小值m ，最小正周期T 。

(2)试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间(包括整数本身) 变化时，函数f(x)至少有一个值是M 与一个值m ，

(考查三角函数的最值、周期，以及分析问题、解决问题的能力)

36. 己知x+

=2cosθ，试求x +

(n∈N) 的值

(结合三角函数，考查数学归纳法，增量法)

37. 求值： (1)

3tg 12︒-3) csc 12︒4cos 12︒-2

(2)sec50°+tg10°

(考查同角三角函数关系，倍角公式，辅助角公式，和差化积等)

38. 解答下列各题：

(1)己知A 、B 均为钝角，且sinA=

,sinB=

, 求A+B

(2)己知α、β∈(0,π), 且tg(α-β)=,tg β=-, 求2α-β

(3)己知α、β都是锐角，且3sin 2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=(4)求证：arcsin

+arcsin(-

513

) ＝arcsin

1665

(考查如何求角，如何证明关于角的等式) 39. 根据下列所给条件，分别求出cos(α+β) 的值： (1)己知sin α-sin β=

，cos α-cos β=

(2)己知α、β是方程2cosx-sinx+b=0的两个根(α≠2k π+β,k ∈z) ； (3)己知z 1=cosα+isinα，z 2=cosβ+isinβ，z 1-z 2=

i ；

(4)己知直线y=2x+m与圆x 2+y2=1有两个公共点M ，N ，且x 轴正半轴逆转到两射线OM ，ON(O为原点) 的最小正角依次为α、β

(考查三角与方程、复数、解几的联系，万能公式的运用)

40. 解答下列各题：

(1)锐角△ABC 中，求证：sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC (2)锐角△ABC 中，求证：tgAtgBtgC ＞1 (3)α、β∈［0，

］，己知

sin

cos α

sin cos

αβ

=2，求证：α+β=

(考查三角函数的单调性)

41. 解答下列各题：

(1)若y=acosx+b的最大值是1，最小值是-7，求acosx+bsinx的最大值。 (2)求y=

2-sinx 2-cosx

的最值

(3)设函数y=-2sin2x-2cosx-2a+1的最小值是f(a)，①写出f(a)的表达式； ②试确定能使f(a)= (4)求f(x)=

sin x cos x

的a 的值。

的值域

1+sinx +cosx

(5)求y=2sinxsin2x的最大值 (6)若θ为钝角，求y=(7)己知sinxsiny=

cos θ

sin θ

(a＞b ＞0) 的最小值

，求cosxcosy 的取值范围

(8)己知3sin α+2sinβ=2sinα，求cos α+cosβ的最值

(考查三角函数常见最值的求法) 42.a 、b 、c 是△ABC 的三边，求证：

1+cos(A-B)cosC 1+cos(A -C ) cos B

a +b a +c

222

(考查三角形中恒等式的证明)

43. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a+c=2b，A-C ＝，求sinB 的值。

(考查三角形中的有关计算) 44. 在△ABC 中，sinAcosB-sinB=sinC-sinAcosC,若△ABC 的周长为12，求其面积的最大值。(考查三角形中的最值问题)

1ππ

45. 己知f(x)=tgx,x∈(0,) ，若x 1,x 2∈(0, ) ，且x 1≠x 2，证明：［f(x1)+f(x2) ］

＞f(

x 1+x 2

)

(综合考查三角函数与不等式)

46. 己知实数x ，y 满足x -y +y-x =1，问

x 2+y2是否为定值? 若是，请求该值：否则求其取值范围。

(考查代数与三角的综合题)

47. 在高出地面30m 的小山顶C 处建造一座电视塔CD(如图) ，今在距离B 点60m 的地面上取一点A ，若测得CD 对A 所张的角为45°，求电视塔的高度。

(考查应用数学知识处理实际问题的能力)

(考查应用正弦定理处理实际问题的能力)

(考查灵活应用三角知识处理实际问题的能力)

(考查分析问题和解决问题的能力)

51. 己知半径为1，圆心角为的扇形，求一边在半径上的扇形的

内接矩形的最大面积。

(考查三角函数在圆形最值中的运用)

52. 腰为a 的等腰△ABC 中，∠A=90°，当A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，且点C 与原点O 在AB 的两侧时，求OC 长的最大值。

(综合考查三角、解几、最值问题)

(考查代数与三角的综合)

54. 用一块长为a ，宽为b(a＞b) 的矩形木块，在二面角为α

(考查代数、三角、立几的综合运用)

55. 如图所示，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴上给定两点A ，B ，试在x 轴正半轴上求一点C ，使∠ACB 最大。

(考查代数，三角，解几的综合运用)

能力训练参考答案

1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.B 13.C 14.B 15.B 16.C 17.A 18.D 19.B 20.B 21.D 22.B 23.C 24.B 25.D 26.D

2ππ

27. ｛x ｜2k π＜x ＜2k π+，且x ≠2k π+，k ∈z ＝ 28. ［-2，2］

29.y=sin(2x+

) 30.ϕ=kπ+

412

(k∈z) 31.(提示：应用公式tg α+tgβ＝tg(α+ (3)223(提示：用(2)的结论) (4)正三角形 (5) ，1) 32.2π 33.［0，

β)(1-tgαtg β))(1)-3 (2)-3；(0，

3) ；(0，

3) ；［

π］ 34.①②

35.(1)M=1,m=-1，T=

10πk

(2)k=32 (提示：令T ≤1)

36.2cos θ

方法(一) ：用数学归纳法方法(二) ：设x=cosθ+t,则

1cos θ+t

=cosθ-t

∴t =-sinθ

于是取t=isinθ ∴x=cosθ+isinθ 代入即可 37.(1)-43 (2) 3

38.(1)∵A+B∈(0，π) ，sin(A+B)=1 ∴A+B=(2)tgα=tg［(α+β)-β］=∴β∈(

3π4

∈(0,1) α∈(0,) tgβ=-

∈(-1,0)

, π)

∴2α-β∈(-π,- (3)α+2β∈(0，(4)arcsin等

∴等式成立。

) 又∵tg(2α+β)=tg［α+(α-β) ］=1 ∴2α-β=-π

3π4

π) sin(α+2β) ＝1 ∴α+2β=

513

+arcsin(-) ∈(-

，

) ， arcsin

1665

∈(0, ) 又两边正弦相

39. 提示：问题都可归结为tg 40. 提示： (1)～(2)A+B＞

α+β

cos α-cos βsin α-sin β

⇒cos(α+β)=

∴

＞A ＞

-B ＞0 ∴sinA ＞sin(

-B) ＝cosB

同理：sinB ＞cosC,sinC ＞cosA (3)显然：

sin αcos 2β

sin β

cos α

必定一个大于1，一个不小于1，不妨设sin 2α≤cos 2β π

sin 2β≥cos 2α ∴α+β≤

41.(1)5 (2)ymax =

4+37

α+β≥

4-37

∴α+β＝

，y min =(提示：有三种解法：万能公式，解析法：转

化为asinx+bcosx=c(处理)

≤-2)

(3)①a

≥2)

②a=-1(提示：通过换元转化为二次函数在闭区间上的最值问题)

-2a-1 (-2＜a ＜2＝

(4)［-2

2+12

,-1］∪(-1,

2-12

］ (5)y=4sinxcosx ∴y =8sinx ²sin ²x2cos x

22222

≤8(

sin x +sin x +2cos x

839

) 2

∴y max = (6)y=a2(1+tg2θ)+b2(1+ctg2θ)=a2+b2+(a2tg 2θ+b2ctg 2θ) ≥(a+b)2

∴y min =(a+b)2

(7)设cosxcosy=M,则M+∴M ∈［-12

=cos(x-y)∈［-1,1］ M-12

＝cos(x+y)∈［-1，1］又sin 2β=sinα-149

］ (8)cos2α+cos2β=

(sinα-

) 2+sin 2

α∈［0，1］

∴sin α∈［0,

］ ∴ (cos2α+cos2β) max =2，(cos2α+cos2β) min =

42. 提示：左=

398

1-cos(A +B ) cos(A -B ) 1-cos(A +C ) cos(A -C )

2-cos 2A -cos 2B 2-cos2A -cos2C

sin A +sin B sin

A +sin

=右

43.

44. 由条件可知cosA=0 ∴ A=

∴12=b+c+b 2+c 2≥2bc +2bc

∴bc =6(2-2) ∴S max =108-722 45. 分析

：

⇐

sin(x

+x 2)

cos x 1cos x 2

＞

2sin(x

+x 2)

1+cos(x 1+x 2)

⇐1+cos(x1+x2) ＞

2cosx 1cosx 2⇐cos(x1-x 2) ＜1

46. 设x=cosα，y=cosβ(α, β∈［0, π］), 则sin(α+β)=1，∴α+β＝47.150m

48. ∵A 离航向所在直线的距离为153＞20 ∴继续航行没有触礁的危险

49. 设P 到AB 的距离为d ，则S=d(ctgα+ctgβ) 当d ≤D ，即ctg α+ctgβ≤

S D

∴ x+y=1

时，应向外国船发出警告。

534

50. 设∠AOB=α(0°＜α＜180°＝，则S=∴α=150°时，Smax=2+51. 设∠BOC=α，则S ＝∴α＝

+2sin(α-60°)

53433

(cos(2α-)-

)

时，S max =

52. 设∠BAO=α，则OC 2=a2(∴｜OC ｜max =-53. 三边之和l=

5+12S h

+sin2θ+

cos2θ)

2-cos αsin α

∴α=30°时，l min =

S h

+3h

54. 设木板在地面上的两顶点在墙角的距变分别是x 、y (1)若长边紧贴地面，则a 2=x2+y2-2xycos α≥2xy(1-cosα)

12α

∴此时V max =a bctg =V1

(2)若短边紧贴地面，则b =x+y-2xycos α≥2xy(1-cosα)

12α

∴ 此时V max =b actg =V2

222

∵a ＞b ＞0 ∴V 1＞V 2

∴当长边紧贴地面，且仓的底面是以a 为底边的等腰三角形时容积最大，最大值为12α

a bctg

55. 设A(0,a),B(0,b),C(x,0) 则tg ∠ACB=tg(∠ACO-∠BCO)=

ab (

a -b x ab

ab x )

∴当x=ab 时，(∠ACB) max =arctg

a -b 2ab

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