排序不等式的应用

排序不等式的应用

新课程将排序不等式作为高中数学选修内容之一与柯西不等式一道放在选修4-5不等式专题中，成为高中数学新增内容。排序不等式作为基础而重要的不等式，它结构优美、思想简单明了，便于记忆和理解。但在如何运用它来解决问题，同学们却常显束手无策，不得要领。其实，应用排序不等式解题的关键在于构造出它所需要的两组数列，然而构造数列的过程却奥妙无穷，需要不断分析探讨，才能积累经验运用得法。

一． 排序不等式的另一种表述形式

设a1a2an,b1b2bn为两组实数，c1,c2,,cn是b1,b2bn的任一排列，则三个矩阵

a1a2ana1a2an

 C： A： B：b1b2bnc1c2cn

我们称A为顺序矩阵，B为乱序矩阵，C为反序矩阵

它们的列积和（同列相乘再相加）：

a1a2an

bbb

1nn1

a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1

即：顺序和乱序和反序和

在此，我们没必要知道矩阵的更多知识，而只是利用它这种形式。因为它更直观，便于在解题中寻找数列b1,b2,bn的一个我们需要的乱序，学生更易掌握和应用。

二． 应用举例 1.排序不等式的基本应用。

排序不等式在解决一些常见不等式时，具有简单直观的特点，其证明常令人耳目一新,赞叹不已。

例1 求证 ⑴ ab2ab

⑵ xyzxyyzxz

分析：不等式没有给定各数之间的大小关系，但不等式却具有对称特征，此时可以假设各元素的大小关系，从而合理运用排序不等式证明。 证明： ⑴ 不妨设ab， 构造两个矩阵： A： 

2

2

2

2

2

ab

 （顺序矩阵） B： ab

2

2

abba （乱序矩阵） 

A的列积和；ab B的列积和：abab 顺序和乱序和，即ab2ab。

⑵ 不妨设xyz ，构造两个矩阵： A： 

2

2

xyz

 （顺序矩阵） B： 

xyzxyzyzx （乱序矩阵） 

A的列积和：x2y2z2 B的列积和：xyyzxz 顺序和乱序和：即有 x2y2z2xyyzxz

在构造矩阵时，关键在于合理选择矩阵的每一行数字的排列顺序，特别是乱序矩阵的第二行数字的排列更为关键。构造时我们可以不断调整它们的次序以达到证明的目的。 例2（教材P45页第4题）设a1,a2,,an为正数，证明

222

anana12a21

a1a2an a2a3ana1

证明：不妨设a1a2an，构造矩阵

222

a21a2an1an A： 1111 （乱序矩阵） B：

aaaa

n123

22

a12a2an

1 （反序矩阵） 11

aaa

n12

A的列积和为不等式的左边 B的列积和为不等式的右边

由排序不等式：乱序和反序和，即命题得证。

例3（教材P10页第11题）已知a,b,cR,abc1，求证 abc

2

2

2

1 3

证明 为了利用已知条件，需要构造一个列积和含有abc的矩阵，为此我们巧妙设计乱序矩阵，不妨设abc，构造矩阵

aaabbbcccaaabbbcccA； aaabbbccc（顺序矩阵） B：abcabcabc（乱序矩阵）



A的列积和： 3(abc) B的列积和：(abc) 顺序和乱序和：3(abc)(abc)

2

2

2

2

2

2

2

2

(abc)21

 命题得证。 即：abc

33

2

2

2

在这里我们巧妙地构造了一个乱序矩阵，使得其列积和为

a(abc)b(abc)c(abc)(abc)2

达到运用已知条件的目的。

(x1x2xn)222

x12x2xn利用类似的方法我们可以证明：

n

2.证明不等式时两次或多次运用排序不等式，将结果相加，也是常见方法。 例4若a,b,c0，则

ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abc 证明：不妨设abc0,构造矩阵 

abcabc

（乱序） 

acb

2

2

2

abcabcbac（乱序） abcabc

cba（反序） 

乱序和反序和，abcabc3abc

abcabc3abc

两式相加可得：ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abc 例5．已知abc均为正数，

2

2

2

a2b2c21

(abc) 求证：

bccaab2

证明： 由不等式的对称性，不妨设abc0，构造矩阵

a21

bc

b21caa2c2b2c2

（顺序矩阵）111（乱序矩阵） 1abcaabbcc2



1（乱序矩阵）

ca

a2b2

11



abbc

a2b2c2a2b2c2

由顺序和乱序和得到两个不等式： bccaabcaabbca2b2c2a2b2c2

 bccaababbccaa2b2c2b2c2c2a2a2b2

)两式相加得： 2( bccaabbccaabb2c21

(bc),注意到：

bc2

c2a21

(ca),ca2

a2b21

(ab)

ab2

a2b2c2111

)(bc)(ca)(ab)abc ∴2(

bccaab222a2b2c21

(abc) 故

bccaab2

3．经过适当变形后再运用排序不等式的问题，常见于一些比较难的习题或竞赛题。

c2a2a2b2b2c2

0 例6设a,b,c为正数，求证；

abbccac2b2a2a2b2c2

证明；将原不等式变形为 abacbcabbcca

不妨设0abc则abacbc,构造矩阵：

111

 abacbc

c21

abb21acc2a2

（同序矩阵）11bccab2

1bca2



1（乱序矩阵）

ac

c2b2a2a2b2c2

由同序和乱序和得即原不等式得证 abacbcabbcca

例7在ABC中，求证

a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc

（第六届国际数学竞赛题）

证明：由于三角形三边存在“二边之和大于第三边”的要求，我们不能将三边当成任意正数对待，为了将几何问题代数化，设三角形的内切圆的三个切点将三边分为：

ayz,bzx,cxy,

2

2

x,y,z0

2

原式可化为 x(yz)y(zx)z(xy)6xyz 设xyz，则yzxzxy，构造矩阵： 

yzyzxzxzx和xyyzxz

2

2

y

（乱序矩阵） xy

2

yx

yzxz

2

2

z（反序矩阵） xy

2

反序和最小，则有：yzzxxy3xyz 和 zyxzyx3xyz 两式相加得 x(yz)y(zx)z(xy)6xyz

这里将几何问题代数化的思想是非常重要的一种转换，运用类似的方法可以证明：

在ABC中，求证

ab(ab)bc(bc)ca(ca)0（24届国际数学竞赛题） 排序不等式原理简单，却变化无穷，是数学之美的又一体现。在教学过程中教师要充分调动学生学习数学的兴趣，但对不同基础的学生要区别对待，不能让学生产生畏难情绪而失去了学习数学之信心。

参考文献：微微对偶不等式及其应用（张运筹 湖南教育出版社）

2

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排序不等式的应用

新课程将排序不等式作为高中数学选修内容之一与柯西不等式一道放在选修4-5不等式专题中，成为高中数学新增内容。排序不等式作为基础而重要的不等式，它结构优美、思想简单明了，便于记忆和理解。但在如何运用它来解决问题，同学们却常显束手无策，不得要领。其实，应用排序不等式解题的关键在于构造出它所需要的两组数列，然而构造数列的过程却奥妙无穷，需要不断分析探讨，才能积累经验运用得法。

一． 排序不等式的另一种表述形式

设a1a2an,b1b2bn为两组实数，c1,c2,,cn是b1,b2bn的任一排列，则三个矩阵

a1a2ana1a2an

 C： A： B：b1b2bnc1c2cn

我们称A为顺序矩阵，B为乱序矩阵，C为反序矩阵

它们的列积和（同列相乘再相加）：

a1a2an

bbb

1nn1

a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1

即：顺序和乱序和反序和

在此，我们没必要知道矩阵的更多知识，而只是利用它这种形式。因为它更直观，便于在解题中寻找数列b1,b2,bn的一个我们需要的乱序，学生更易掌握和应用。

二． 应用举例 1.排序不等式的基本应用。

排序不等式在解决一些常见不等式时，具有简单直观的特点，其证明常令人耳目一新,赞叹不已。

例1 求证 ⑴ ab2ab

⑵ xyzxyyzxz

分析：不等式没有给定各数之间的大小关系，但不等式却具有对称特征，此时可以假设各元素的大小关系，从而合理运用排序不等式证明。 证明： ⑴ 不妨设ab， 构造两个矩阵： A： 

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ab

 （顺序矩阵） B： ab

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abba （乱序矩阵） 

A的列积和；ab B的列积和：abab 顺序和乱序和，即ab2ab。

⑵ 不妨设xyz ，构造两个矩阵： A： 

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xyz

 （顺序矩阵） B： 

xyzxyzyzx （乱序矩阵） 

A的列积和：x2y2z2 B的列积和：xyyzxz 顺序和乱序和：即有 x2y2z2xyyzxz

在构造矩阵时，关键在于合理选择矩阵的每一行数字的排列顺序，特别是乱序矩阵的第二行数字的排列更为关键。构造时我们可以不断调整它们的次序以达到证明的目的。 例2（教材P45页第4题）设a1,a2,,an为正数，证明

222

anana12a21

a1a2an a2a3ana1

证明：不妨设a1a2an，构造矩阵

222

a21a2an1an A： 1111 （乱序矩阵） B：

aaaa

n123

22

a12a2an

1 （反序矩阵） 11

aaa

n12

A的列积和为不等式的左边 B的列积和为不等式的右边

由排序不等式：乱序和反序和，即命题得证。

例3（教材P10页第11题）已知a,b,cR,abc1，求证 abc

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证明 为了利用已知条件，需要构造一个列积和含有abc的矩阵，为此我们巧妙设计乱序矩阵，不妨设abc，构造矩阵

aaabbbcccaaabbbcccA； aaabbbccc（顺序矩阵） B：abcabcabc（乱序矩阵）



A的列积和： 3(abc) B的列积和：(abc) 顺序和乱序和：3(abc)(abc)

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 命题得证。 即：abc

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在这里我们巧妙地构造了一个乱序矩阵，使得其列积和为

a(abc)b(abc)c(abc)(abc)2

达到运用已知条件的目的。

(x1x2xn)222

x12x2xn利用类似的方法我们可以证明：

n

2.证明不等式时两次或多次运用排序不等式，将结果相加，也是常见方法。 例4若a,b,c0，则

ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abc 证明：不妨设abc0,构造矩阵 

abcabc

（乱序） 

acb

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abcabcbac（乱序） abcabc

cba（反序） 

乱序和反序和，abcabc3abc

abcabc3abc

两式相加可得：ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abc 例5．已知abc均为正数，

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a2b2c21

(abc) 求证：

bccaab2

证明： 由不等式的对称性，不妨设abc0，构造矩阵

a21

bc

b21caa2c2b2c2

（顺序矩阵）111（乱序矩阵） 1abcaabbcc2



1（乱序矩阵）

ca

a2b2

11



abbc

a2b2c2a2b2c2

由顺序和乱序和得到两个不等式： bccaabcaabbca2b2c2a2b2c2

 bccaababbccaa2b2c2b2c2c2a2a2b2

)两式相加得： 2( bccaabbccaabb2c21

(bc),注意到：

bc2

c2a21

(ca),ca2

a2b21

(ab)

ab2

a2b2c2111

)(bc)(ca)(ab)abc ∴2(

bccaab222a2b2c21

(abc) 故

bccaab2

3．经过适当变形后再运用排序不等式的问题，常见于一些比较难的习题或竞赛题。

c2a2a2b2b2c2

0 例6设a,b,c为正数，求证；

abbccac2b2a2a2b2c2

证明；将原不等式变形为 abacbcabbcca

不妨设0abc则abacbc,构造矩阵：

111

 abacbc

c21

abb21acc2a2

（同序矩阵）11bccab2

1bca2



1（乱序矩阵）

ac

c2b2a2a2b2c2

由同序和乱序和得即原不等式得证 abacbcabbcca

例7在ABC中，求证

a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc

（第六届国际数学竞赛题）

证明：由于三角形三边存在“二边之和大于第三边”的要求，我们不能将三边当成任意正数对待，为了将几何问题代数化，设三角形的内切圆的三个切点将三边分为：

ayz,bzx,cxy,

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x,y,z0

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原式可化为 x(yz)y(zx)z(xy)6xyz 设xyz，则yzxzxy，构造矩阵： 

yzyzxzxzx和xyyzxz

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（乱序矩阵） xy

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yx

yzxz

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z（反序矩阵） xy

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反序和最小，则有：yzzxxy3xyz 和 zyxzyx3xyz 两式相加得 x(yz)y(zx)z(xy)6xyz

这里将几何问题代数化的思想是非常重要的一种转换，运用类似的方法可以证明：

在ABC中，求证

ab(ab)bc(bc)ca(ca)0（24届国际数学竞赛题） 排序不等式原理简单，却变化无穷，是数学之美的又一体现。在教学过程中教师要充分调动学生学习数学的兴趣，但对不同基础的学生要区别对待，不能让学生产生畏难情绪而失去了学习数学之信心。

参考文献：微微对偶不等式及其应用（张运筹 湖南教育出版社）

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