考研数学：高数中不等式证明的六种方法（Ⅰ）
来源：文都教育
不等式证明是考研数学高数中的重要内容，也是考研数学的常考知识点，但也是学生很难掌握牢固的内容。只要方法和技巧掌握得恰当，同学们攻克不等式的证明不在话下。下面文都考研数学教研老师介绍六种常见的证明方法，希望帮助广大考生掌握不等式证明。首先，介绍三种比较常用的方法和典型例题，后续会继续介绍另外三种重要的方法和相关例题。
1、利用函数的单调性证明不等式
利用单调性证明不等式是高等数学中一种最常用的方法，使用范围非常广。主要思路是将所证明的不等式做一些适当或必要的变形后，构造适当函数F (x ) 及区间[a , b ]，利用导数确定函数在区间内的单调性。如果一阶导数不能确定函数的单调性是，再利用高阶导数来判断函数的单调性。
下面来看一道典型例题：
例1 证明：当x >0时，ln(1+x )
证明：构造函数F (x ) =ln(1+x ) -x ，则F '(x ) =
调减少，则F (x ) 0时，F '(x )
类似可证明：当x >0时，e >1+x ．这两个不等式是经常会使用到的，同学们务必牢记。
2、利用函数的最值证明不等式
利用函数的最大值、最小值证明不等式是一种比较特殊的方法，主要利用连续函数的最大值最小值定理或利用导数求出函数的最值。具体思路是求出函数f (x ) 在给定区间内的最大值M 、最小值m ，则函数在该区间内满足m ≤f (x ) ≤M 。 x
例2 证明：11+
则F '(x ) =1+1x -ln(1-x ) -=-ln(1-x ) ，当x
00，F (x ) 单调递增，所以x =0是F (x ) 的极小值点，也是最小值点．又F (0)=0，故F (x ) >F (0)(∀x >1且x ≠0) ，即x +ln(1-x ) >x ln(1-x ) . 又x ln(1-x )
3、利用函数的凸凹性证明不等式
分按定义和依据定理两种请况证明不等式，具体如下：
（1）如果要证明的不等式中包含形如f ⎛x 1+x 2⎫1⎪、2[f (x 1) +f (x 2)]的项，那么往往可以找⎝2⎭到合适的函数，并利用该函数的凸凹性证明不等式。
例3 已知x >0，y >0且x ≠y ，证明：x ln x +y ln y >(x +y ) ln x +y ． 2
1>0，从而可知F (x ) x (x ) =1+l n x ，F "(x ) = 证明：构造函数F (x ) =x ln x ，(x >0) ，则F '
在x >0时是凹的．所以由凹函数的性质可得，F (x ) +F (y ) x +y >F () ，即22
x ln x +y ln y >(x +y ) ln x +y ． 2
0（2）利用定理：设f (x ) 在[a , b ]上二阶可导，若f ''(x 0) >0，则f (x ) ≥f (x ) 0f +(' x () x 0x ) -，
等号成立当且仅当x =x 0；若f ''(x 0)
例4 设f (x ) 在[0,1]上二阶可导且f "(x ) >0，证明：⎰1
01f (x 2) dx ≥f () ． 3
证明：因为f "(x ) >0，所以有f (x ) ≥f () +f '()(x -) ，于是 1
31313
111f (x 2) ≥f () +f '()(x 2-) ，两边同时在[0,1]上积分得， 333
⎰1
0111111f (x 2) dx ≥f () +f '() ⎰(x 2-) dx ，即⎰f (x 2) dx ≥f () 033303
以上就是三种比较常用的不等式证明方法和典型例题，同学们在做题的过程中，要注意灵活选用、恰当运用。
考研数学：高数中不等式证明的六种方法（Ⅰ）
来源：文都教育
不等式证明是考研数学高数中的重要内容，也是考研数学的常考知识点，但也是学生很难掌握牢固的内容。只要方法和技巧掌握得恰当，同学们攻克不等式的证明不在话下。下面文都考研数学教研老师介绍六种常见的证明方法，希望帮助广大考生掌握不等式证明。首先，介绍三种比较常用的方法和典型例题，后续会继续介绍另外三种重要的方法和相关例题。
1、利用函数的单调性证明不等式
利用单调性证明不等式是高等数学中一种最常用的方法，使用范围非常广。主要思路是将所证明的不等式做一些适当或必要的变形后，构造适当函数F (x ) 及区间[a , b ]，利用导数确定函数在区间内的单调性。如果一阶导数不能确定函数的单调性是，再利用高阶导数来判断函数的单调性。
下面来看一道典型例题：
例1 证明：当x >0时，ln(1+x )
证明：构造函数F (x ) =ln(1+x ) -x ，则F '(x ) =
调减少，则F (x ) 0时，F '(x )
类似可证明：当x >0时，e >1+x ．这两个不等式是经常会使用到的，同学们务必牢记。
2、利用函数的最值证明不等式
利用函数的最大值、最小值证明不等式是一种比较特殊的方法，主要利用连续函数的最大值最小值定理或利用导数求出函数的最值。具体思路是求出函数f (x ) 在给定区间内的最大值M 、最小值m ，则函数在该区间内满足m ≤f (x ) ≤M 。 x
例2 证明：11+
则F '(x ) =1+1x -ln(1-x ) -=-ln(1-x ) ，当x
00，F (x ) 单调递增，所以x =0是F (x ) 的极小值点，也是最小值点．又F (0)=0，故F (x ) >F (0)(∀x >1且x ≠0) ，即x +ln(1-x ) >x ln(1-x ) . 又x ln(1-x )
3、利用函数的凸凹性证明不等式
分按定义和依据定理两种请况证明不等式，具体如下：
（1）如果要证明的不等式中包含形如f ⎛x 1+x 2⎫1⎪、2[f (x 1) +f (x 2)]的项，那么往往可以找⎝2⎭到合适的函数，并利用该函数的凸凹性证明不等式。
例3 已知x >0，y >0且x ≠y ，证明：x ln x +y ln y >(x +y ) ln x +y ． 2
1>0，从而可知F (x ) x (x ) =1+l n x ，F "(x ) = 证明：构造函数F (x ) =x ln x ，(x >0) ，则F '
在x >0时是凹的．所以由凹函数的性质可得，F (x ) +F (y ) x +y >F () ，即22
x ln x +y ln y >(x +y ) ln x +y ． 2
0（2）利用定理：设f (x ) 在[a , b ]上二阶可导，若f ''(x 0) >0，则f (x ) ≥f (x ) 0f +(' x () x 0x ) -，
等号成立当且仅当x =x 0；若f ''(x 0)
例4 设f (x ) 在[0,1]上二阶可导且f "(x ) >0，证明：⎰1
01f (x 2) dx ≥f () ． 3
证明：因为f "(x ) >0，所以有f (x ) ≥f () +f '()(x -) ，于是 1
31313
111f (x 2) ≥f () +f '()(x 2-) ，两边同时在[0,1]上积分得， 333
⎰1
0111111f (x 2) dx ≥f () +f '() ⎰(x 2-) dx ，即⎰f (x 2) dx ≥f () 033303
以上就是三种比较常用的不等式证明方法和典型例题，同学们在做题的过程中，要注意灵活选用、恰当运用。