第２５卷第２期
渐开线内齿轮剐相对滑动率的研究
文章编号：ｌ∞４—２瑚１２００１）０２～００２５—０３
渐开线内齿轮副相对滑动率的研究
（中南大学铁道校区机电工程学院．湖南长沙４ｌｏ叩５）
章易程李蔚聂昌平
摘要推导了渐开线内齿轮副相对滑动率的计算公式。针对各种传动类型，分析了齿数、传动比、模数、变位系数及中Ｂ距等参数在啮合线上对相对滑动率的影响。
关键词相对滑动率
内齿轮副渐开线
齿轮副相对滑动率是低速传动时决定齿廓磨损程度的关键因素之一，也决定着齿轮间摩擦力矩的大小和方向…，还影响着齿轮弹流润滑的非稳态效应Ｌ２Ｊ。内齿轮副是实现齿轮传动小型化的一个重要发展方向，而关于内齿轮副相对滑动率的分析计算鲜于报道。有的学者对内齿轮副的研究作过许多贡献旧Ｊ，但往往未全面研究齿轮参数对相对滑动率的影响。我们撰写此文的目的，就是试图全面研究齿数、传动比、模数、变位系数及中心距等参数对内齿轮副相对滑动率沿啮合线的影响。
ｎ，一忐一警
（７）
（８）
拈山竞＋去
ｌ相对滑动率
如图１所示，齿轮１、２传动比为ｉ１２’齿轮副在啮合点ｔ处高副接触，在ｄ‘时问内运动的弧长分别为出ｌ，出２，其相对滑动率分别为ｆ４Ｊ
汁警岛：鳟
ｂ
图２内齿辖剐啮合传动
（１）（２）¨’
式（７）、式（８）表明传动比ｉ。２、极限啮合点距离Ｌ及曲率半径Ｐ１、Ｐ２共同决定相对滑动率的取值。
曲率半径ｐ的大小受啮合起迄位置的影响，从而
图ｌ齿轮酎
２１ｊ■
设基圆半径为¨角速度为
影响相对滑动率ｅ取值。设齿顶高系数为＾。’，齿轮ｌ、２的变位系数分别为ｘｌ、轨，按无侧隙、标准顶隙安装，则实际啮合点玩、岛到节点Ｐ的距离为…
、。。。。。。。。。。。—。。。。。—。。。。。。。。。。－’—。。。。——。。。。。。。。。。’—‘。。’——１。。。。。。。。。———－。。。—。。。。。。。。。。。一
。。则渐开线齿廓曲线的参数方程为【４］
＊＝ｒ６ｓ曲（“）一，州ｃｏｅ（“）
（３）（４）
ｙ＝ｎｃ∞（“）＋州ｓｉＩｌ（“）
ｐ＝ｒ∥，则有
而ｊｍ√（考＋ｋ。＋２却＋ｙ一恕）２一（号ｃｏ“）２一
＿与Ｌ
‘１２一ｌ
根据渐开线的特性可知，渐开线的曲率半径为
（９）
≯瓦：。％￡一
（５）
山＝√（署）２＋（鲁）２ｄｆ＝一ｄｆ
极限啮合点Ⅳｌ、Ⅳ２距离￡为…
设分度圆压力角为ａ，模数为ｍ，齿轮１、２的齿数分别为＝１、。２，中心距变动系数为ｙ，则图２所示齿轮
根据内齿轮副无侧隙啮合公式［３］，变位系数ｍ。鲍的分配应满足
。２一“１
。庀ｉｉｉ雨
２ｊ五。
却一：ｌ
“０）
￡＝Ｐ２＿Ｐ１＿ｍ√（！宁＋ｙ）２一（学一ａ）２（６）
将式（５）代人式（１）、式（２）并考虑式（６）有
【细（ａ一（端一ｎ））一妇】（１１）
万方数据
机械传动２００１年
２计算结果及分析
根据式（７）～式（１１）的计算，可绘出相对滑动率ｆ沿啮合线ｘ的变化曲线，其中取节点Ｐ，处‰’＝０。
轮的相对滑动增大，而内齿轮的相对滑动有所减小：图３（ｃ）表明，齿数同比增加时，除节点外的啮合处，两轮的相对滑动均减小。
图４为标准传动（ｚｌ＝３２，：２＝６４）时模数对相对滑
“她
图３为标准传动（ｍ＝６ｍ）时齿数（传动比）
¨毗
＿
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ｍ
时
小舶枷。
一
ｍ
５～∞
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（ｂ）
加一１５—１０—５
０
５
１０
（ｃ）
图３标准传动齿敦的影朐
限点距离或传动比的大小，故相对滑动率曲线的形状发生变化。外齿轮齿根处相对滑动的影响最大。图３（ａ）表明，：：不变，＝ｌ变小，传动比增加时，除节点外的啮合处，两轮的相对滑动均增大；图３（ｂ）表明，。１不变，＝：变大，传动比增加时，除节点外的啮合处，外齿
万
方数据。
ｍ
＂
小
：芊
舢一
一∞
一∞
一１０Ｏ
１０
２０
Ⅺ口Ⅲ
圈４标准传动模魏的影响
动率的影响情况。随着模数增加，极限啮合点距离增加，啮合起迄位置也将远离节点，实际啮合线长度增加，在这些因素的综合影响下，相对滑动率曲线的弯曲形状发生改变，使得两轮在节点以外处的相对滑动均有所减小，尤其外齿轮减幅最大，但模数不影响啮合起迄位置处的相对滑动率。
图５为高变位传动（ｍ＝６Ⅱｎ，：ｌ＿３２，ｚ２＝６４）时，
０．２０
．ｏ２＿０４－ｏ．６
＂．０．８
。１一ｌ２‘１４．Ｉ６
—２５—－∞一１５一１０—５
Ｘ‰
Ｏ
５
ｌＯ
图５高变位传动变位系数的影响
变位系数对相对滑动率的影响情况。由于传动比和啮
合极限点距离不变，只是啮合的起迄位置发生变化，故
其变位系数的选取不影响相对滑动率曲线的弯曲形状。随着变位系数的增加，在齿根部位的相对滑动有所减少，图６为角变位正传动（ｍ＝６ｎｎ，：ｌ＝３２，现＝
６４，ｒ＝Ｏ．６）时，变位系数对相对滑动率的而在齿顶部位的相对滑动略有增加。外齿轮的负变位易引起齿根部相对滑动的陡增，甚至趋近无穷大。
影响情况。在中心距变动系数一定时，变位系数的分配不影响啮合线长度，仅对啮合起迄位置有所影响，故对相对滑动率曲线弯曲形状无影响。随着两轮变位系数的增加，齿根处的相对滑动减小，而齿顶处的
对相对滑动率的影响情况。由于齿数变化影响啮合极
第２５卷第２期
淅开线内齿轮副相对滑动率的研究
相对滑动略有增加。
¨眈
＾‘
。
舭小：争，，
丁乳／＼
ｍ
ｄ
巨一一
２５—２０一１５～ｌＯ
一霉
＿５Ｏ５ｌＯ
Ⅺｍｍ
圈６正传动变位系数帕影响
图７负传动变位系敦的影响
他
。
舭
ｕ
“嘶枷
∞
一１０
Ｘ№
０ｌＯ２０
田８中心距的影啊
图７为角变位负传动（ｍ；６哪，刁＝３２，。２＝６４，ｙ
＝一Ｏ．６）时，变位系数对相对滑动率的影响情况。在中心距变动系数一定时，变位系数不影响啮合极限点距离大小，仅对啮合起迄位置有所影响，故对相对滑动率曲线弯曲形状无影响。随着两轮变位系数的增加，齿根处的相对滑动减小，而齿顶处的略有增加。
图８为齿数一定（：Ｉ＝３２，龟＝６４）时中心距变化对相对滑动率的影响情况。尽管传动比不变，但随着中心距变动系数的增加，啮合极限点距离增加，又因齿顶的降低，啮合的起迄位置发生变化，相对滑动率曲线形状发生变化，除节点外的啮合处，两轮的相对滑动也随
万
方数据着减小。
３结论
根据以上分析，可以确定以节点为参考点，在啮合线上各参数对相对滑动的影响情况。
ａ）齿廓上各啮合点的滑动情况取决于相对滑动率曲线的弯曲形状。传动比、齿数、模数和中心距都影响相对滑动率曲线的弯曲形状。其中传动比的影响与齿数或模数的变化情况有关。其它参数不变时，模数不影响啮合起迄位置的相对滑动率。当中心距一定时，变位系数的分配不影响相对滑动率曲线的形状。
ｂ）增加一轮的齿数，有利于减少该轮的滑动，但另一轮的滑动变化情况不一。当内齿轮齿数不变而外齿轮齿数增加，或两轮齿数同比增加时，均有利于同时减小两轮的滑动；当外齿轮齿数不变内齿轮齿数增加时，内齿轮的相对滑动减小，而外齿轮的相对滑动增大。
ｃ）随着变位系数（带符号）增加，齿顶处的相对滑动增大，而齿根处的相对滑动减小。
ｄ）随着中心距的增加，两轮的相对滑动均减小，尤以齿根处的减幅最大。
’考文献
ｌ章易程齿轮传动系统的动力学与弹性流体动力科滑的分析．西安交通大学硬士学位论文．１９９６．
的研究机槭工程学报，２啪．３６（１）
１９９５．
１０１２
《齿轮手册（第二版）》已经出版
本书由从事多年齿轮研究的专家编写，囊括近年国内外最新研究成果，全面阐述了各种齿轮与齿轮变的加工，装配，齿轮制造用刀具和机床，检测和检测工２章易程，梅雪橙．一涛等直齿轮啮合弹性瘫体动力润滑非稳态教应
３杨兰春．渐开线内齿轮剐的设计与计算北京：机械工业出版社，
４孙桓，陈作模．机械原理．北京：高等教育出版社。１９９５．收稿日期：２０００
作者简舟：章易程（１９６５一），男，朔甫长抄＾，硬士
速的设计，材料与热处理，润滑，试验和测试，各种齿轮具等，全书侧重新技术新工艺，书中涉及的标准全部为最新标准。是机械传动人员必备工具书。上下册，邮购价格３３１元。另有《机械传动装置设计手册》邮购价２２０元；＜机械传动装置选用手册》邮购价１９３元。邮购地址：北京５５信箱清平书店金莉收，邮编：１００晒３。开户行：招商银行展览路支行，帐号：０９８１１０６８１０００ｌ。户名：北京清平书店有限公司。电话：８３１５４０８ｌ。
第２５卷第２期
渐开线内齿轮剐相对滑动率的研究
文章编号：ｌ∞４—２瑚１２００１）０２～００２５—０３
渐开线内齿轮副相对滑动率的研究
（中南大学铁道校区机电工程学院．湖南长沙４ｌｏ叩５）
章易程李蔚聂昌平
摘要推导了渐开线内齿轮副相对滑动率的计算公式。针对各种传动类型，分析了齿数、传动比、模数、变位系数及中Ｂ距等参数在啮合线上对相对滑动率的影响。
关键词相对滑动率
内齿轮副渐开线
齿轮副相对滑动率是低速传动时决定齿廓磨损程度的关键因素之一，也决定着齿轮间摩擦力矩的大小和方向…，还影响着齿轮弹流润滑的非稳态效应Ｌ２Ｊ。内齿轮副是实现齿轮传动小型化的一个重要发展方向，而关于内齿轮副相对滑动率的分析计算鲜于报道。有的学者对内齿轮副的研究作过许多贡献旧Ｊ，但往往未全面研究齿轮参数对相对滑动率的影响。我们撰写此文的目的，就是试图全面研究齿数、传动比、模数、变位系数及中心距等参数对内齿轮副相对滑动率沿啮合线的影响。
ｎ，一忐一警
（７）
（８）
拈山竞＋去
ｌ相对滑动率
如图１所示，齿轮１、２传动比为ｉ１２’齿轮副在啮合点ｔ处高副接触，在ｄ‘时问内运动的弧长分别为出ｌ，出２，其相对滑动率分别为ｆ４Ｊ
汁警岛：鳟
ｂ
图２内齿辖剐啮合传动
（１）（２）¨’
式（７）、式（８）表明传动比ｉ。２、极限啮合点距离Ｌ及曲率半径Ｐ１、Ｐ２共同决定相对滑动率的取值。
曲率半径ｐ的大小受啮合起迄位置的影响，从而
图ｌ齿轮酎
２１ｊ■
设基圆半径为¨角速度为
影响相对滑动率ｅ取值。设齿顶高系数为＾。’，齿轮ｌ、２的变位系数分别为ｘｌ、轨，按无侧隙、标准顶隙安装，则实际啮合点玩、岛到节点Ｐ的距离为…
、。。。。。。。。。。。—。。。。。—。。。。。。。。。。－’—。。。。——。。。。。。。。。。’—‘。。’——１。。。。。。。。。———－。。。—。。。。。。。。。。。一
。。则渐开线齿廓曲线的参数方程为【４］
＊＝ｒ６ｓ曲（“）一，州ｃｏｅ（“）
（３）（４）
ｙ＝ｎｃ∞（“）＋州ｓｉＩｌ（“）
ｐ＝ｒ∥，则有
而ｊｍ√（考＋ｋ。＋２却＋ｙ一恕）２一（号ｃｏ“）２一
＿与Ｌ
‘１２一ｌ
根据渐开线的特性可知，渐开线的曲率半径为
（９）
≯瓦：。％￡一
（５）
山＝√（署）２＋（鲁）２ｄｆ＝一ｄｆ
极限啮合点Ⅳｌ、Ⅳ２距离￡为…
设分度圆压力角为ａ，模数为ｍ，齿轮１、２的齿数分别为＝１、。２，中心距变动系数为ｙ，则图２所示齿轮
根据内齿轮副无侧隙啮合公式［３］，变位系数ｍ。鲍的分配应满足
。２一“１
。庀ｉｉｉ雨
２ｊ五。
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￡＝Ｐ２＿Ｐ１＿ｍ√（！宁＋ｙ）２一（学一ａ）２（６）
将式（５）代人式（１）、式（２）并考虑式（６）有
【细（ａ一（端一ｎ））一妇】（１１）
万方数据
机械传动２００１年
２计算结果及分析
根据式（７）～式（１１）的计算，可绘出相对滑动率ｆ沿啮合线ｘ的变化曲线，其中取节点Ｐ，处‰’＝０。
轮的相对滑动增大，而内齿轮的相对滑动有所减小：图３（ｃ）表明，齿数同比增加时，除节点外的啮合处，两轮的相对滑动均减小。
图４为标准传动（ｚｌ＝３２，：２＝６４）时模数对相对滑
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图３为标准传动（ｍ＝６ｍ）时齿数（传动比）
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（ｃ）
图３标准传动齿敦的影朐
限点距离或传动比的大小，故相对滑动率曲线的形状发生变化。外齿轮齿根处相对滑动的影响最大。图３（ａ）表明，：：不变，＝ｌ变小，传动比增加时，除节点外的啮合处，两轮的相对滑动均增大；图３（ｂ）表明，。１不变，＝：变大，传动比增加时，除节点外的啮合处，外齿
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１０
２０
Ⅺ口Ⅲ
圈４标准传动模魏的影响
动率的影响情况。随着模数增加，极限啮合点距离增加，啮合起迄位置也将远离节点，实际啮合线长度增加，在这些因素的综合影响下，相对滑动率曲线的弯曲形状发生改变，使得两轮在节点以外处的相对滑动均有所减小，尤其外齿轮减幅最大，但模数不影响啮合起迄位置处的相对滑动率。
图５为高变位传动（ｍ＝６Ⅱｎ，：ｌ＿３２，ｚ２＝６４）时，
０．２０
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＂．０．８
。１一ｌ２‘１４．Ｉ６
—２５—－∞一１５一１０—５
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图５高变位传动变位系数的影响
变位系数对相对滑动率的影响情况。由于传动比和啮
合极限点距离不变，只是啮合的起迄位置发生变化，故
其变位系数的选取不影响相对滑动率曲线的弯曲形状。随着变位系数的增加，在齿根部位的相对滑动有所减少，图６为角变位正传动（ｍ＝６ｎｎ，：ｌ＝３２，现＝
６４，ｒ＝Ｏ．６）时，变位系数对相对滑动率的而在齿顶部位的相对滑动略有增加。外齿轮的负变位易引起齿根部相对滑动的陡增，甚至趋近无穷大。
影响情况。在中心距变动系数一定时，变位系数的分配不影响啮合线长度，仅对啮合起迄位置有所影响，故对相对滑动率曲线弯曲形状无影响。随着两轮变位系数的增加，齿根处的相对滑动减小，而齿顶处的
对相对滑动率的影响情况。由于齿数变化影响啮合极
第２５卷第２期
淅开线内齿轮副相对滑动率的研究
相对滑动略有增加。
¨眈
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丁乳／＼
ｍ
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巨一一
２５—２０一１５～ｌＯ
一霉
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圈６正传动变位系数帕影响
图７负传动变位系敦的影响
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田８中心距的影啊
图７为角变位负传动（ｍ；６哪，刁＝３２，。２＝６４，ｙ
＝一Ｏ．６）时，变位系数对相对滑动率的影响情况。在中心距变动系数一定时，变位系数不影响啮合极限点距离大小，仅对啮合起迄位置有所影响，故对相对滑动率曲线弯曲形状无影响。随着两轮变位系数的增加，齿根处的相对滑动减小，而齿顶处的略有增加。
图８为齿数一定（：Ｉ＝３２，龟＝６４）时中心距变化对相对滑动率的影响情况。尽管传动比不变，但随着中心距变动系数的增加，啮合极限点距离增加，又因齿顶的降低，啮合的起迄位置发生变化，相对滑动率曲线形状发生变化，除节点外的啮合处，两轮的相对滑动也随
万
方数据着减小。
３结论
根据以上分析，可以确定以节点为参考点，在啮合线上各参数对相对滑动的影响情况。
ａ）齿廓上各啮合点的滑动情况取决于相对滑动率曲线的弯曲形状。传动比、齿数、模数和中心距都影响相对滑动率曲线的弯曲形状。其中传动比的影响与齿数或模数的变化情况有关。其它参数不变时，模数不影响啮合起迄位置的相对滑动率。当中心距一定时，变位系数的分配不影响相对滑动率曲线的形状。
ｂ）增加一轮的齿数，有利于减少该轮的滑动，但另一轮的滑动变化情况不一。当内齿轮齿数不变而外齿轮齿数增加，或两轮齿数同比增加时，均有利于同时减小两轮的滑动；当外齿轮齿数不变内齿轮齿数增加时，内齿轮的相对滑动减小，而外齿轮的相对滑动增大。
ｃ）随着变位系数（带符号）增加，齿顶处的相对滑动增大，而齿根处的相对滑动减小。
ｄ）随着中心距的增加，两轮的相对滑动均减小，尤以齿根处的减幅最大。
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ｌ章易程齿轮传动系统的动力学与弹性流体动力科滑的分析．西安交通大学硬士学位论文．１９９６．
的研究机槭工程学报，２啪．３６（１）
１９９５．
１０１２
《齿轮手册（第二版）》已经出版
本书由从事多年齿轮研究的专家编写，囊括近年国内外最新研究成果，全面阐述了各种齿轮与齿轮变的加工，装配，齿轮制造用刀具和机床，检测和检测工２章易程，梅雪橙．一涛等直齿轮啮合弹性瘫体动力润滑非稳态教应
３杨兰春．渐开线内齿轮剐的设计与计算北京：机械工业出版社，
４孙桓，陈作模．机械原理．北京：高等教育出版社。１９９５．收稿日期：２０００
作者简舟：章易程（１９６５一），男，朔甫长抄＾，硬士
速的设计，材料与热处理，润滑，试验和测试，各种齿轮具等，全书侧重新技术新工艺，书中涉及的标准全部为最新标准。是机械传动人员必备工具书。上下册，邮购价格３３１元。另有《机械传动装置设计手册》邮购价２２０元；＜机械传动装置选用手册》邮购价１９３元。邮购地址：北京５５信箱清平书店金莉收，邮编：１００晒３。开户行：招商银行展览路支行，帐号：０９８１１０６８１０００ｌ。户名：北京清平书店有限公司。电话：８３１５４０８ｌ。