深圳电大高起专数学试题及答案
命题：深圳青年学院汪老师 第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设复数z 1=1+i ，z 2=2+xi (x ∈R ) ，若z 1⋅z 2∈R ，则x 的值为( ) A ．-2 B．-1 C．1 D．2 2．若
⎰
k
(2x -3x 2) dx =0，则正数k 的值为( )
3x 2-x
A ．0 B．1 C．0或1 D．2 3. 函数f (x ) =
+lg(3x +1) 的定义域是 ( )
13
1133
A ． (-, +∞) B．(-, 1) C．(-, ) D．[0, 1)
13
4. 平面向量a ，b 的夹角为60，a
=(2, 0) ，b =1，
则a +2b =（ ）
A ． B C．→→
︒
→→→→
D． 2 5. 已知p :x ≥k ，q :
3
（ ）
A. [2, +∞) B. (2, +∞
) C. [1, +∞) D. (-∞, -1] 6. 若0
π1πββ
22
34
A. ⎧2x -y +2≥0⎪
7. 设x ，y 满足约束条件⎨8x -y -4≤0，若目标函数z =ax +by (a >0, b >0)的最大
⎪x ≥0, y ≥0⎩
, -
值为8，则ab 的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8．已知数列{a n }是等差数列，若a 2013+3a 2015
A ．4029 B．4028 C．4027 D．4026
9. 在实数集R 中定义一种运算“*”，∀a , b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性
ππ
（1）对任意a ∈R ，a *0=a ； （2）对任意a , b ∈R ，a *b =ab +(a *0) +(b *0) ．
1
的性质，有如下说法：①函数f (x ) 的最小值为3；②函e x
数f (x ) 为偶函数；③函数f (x ) 的单调递增区间为(-∞,0]．其中正确说法的序号为
关于函数f (x ) =(e x ) *（ ） A ．①
B ．①②
C ．①②③
D ．②③
10．如图，正△ABC 的中心位于点G （0，1），A （0，2），动点P 从A 点出发沿△ABC
的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP =x （0≤x ≤2π），向量OP 在a =(1,0)方向的投影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数y =f （x ）的图象是（ ）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置) 11. 设集合M ={-1, 0, 1}，N ={a , a 2}，若M ⋂N =N , 则a 的值是
⎧-1
2
⎪x , x >0,
2⎪
12. 若函数f (x ) =⎨-2, x =0, 且b =f (f (f (0))), 若y =x a -4a -b 是偶函数，且在
⎪1
2⎪⎩(x +3) , x
(0,+∞) 内是减函数，则整数a 的值是__________．
π
13. 已知函数f (x ) =sin(ωx +ϕ)(ω>0, ϕ
2
n π
令a n =f (), 则a 1+a 2+a 3+ +a 2014= ．
6
14. 定义域为R 的偶函数f (x ) 满足对任意x ∈R ，有f (x +2) =f (x ) -f (1) ，且当
若函数y =f (x ) -log a (|x |+1) 在(0, +∞) 上x ∈[2, 3] 时，f (x ) =-2x 2+12x -18，
至少有三个零点，则a 的取值范围是 ．
三、选做题（在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，
本题共5分）
15. (1)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆ρ=2cos θ在点M (2, 0) 处的切
线方程为 ．
(2)（不等式选讲选做题）已知函数f (x ) =|2x -a |+a ．若不等式f (x ) ≤6的解集为{x |-2≤x ≤3}，则实数a 的值为
．
四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）
已知向量m =(sinx , -1) ，向量n =x , -) ，函数f (x ) =(m +n ) ⋅m . (1)求f (x
) 的最小正周期T ；
1
2
c 分别为D ABC 内角A ，B ，b ，C 的对边，A 为锐角，c =4，a =(2)已知a ，
⎡π⎤
且f (A ) 恰是f (x ) 在⎢0, ⎥上的最大值，求A ，b 和∆ABC 的面积S .
⎣2⎦
17. (本小题满分12分)
已知函数g (x ) =ax 2-2ax +1+b （a >0）在区间[2, 3]上有最大值4和最小值1． 设f (x ) =
g (x )
． x
（1）求a 、b 的值；
（2）若不等式f (2x ) -k ⋅2x ≥0在x ∈[-1, 1]上有解，求实数k 的取值范围.
18．（本小题满分12分）
2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x , y 的含量（单位：毫克）. 下表是乙厂的5件产
（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x , y 满足x ≥175，且y ≥75, 该产品为优等品。用上述样
本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数
ξ的分布列及其均值（即数学期望）。
19 ．（本小题满分12分）
如图, 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AD ⊥平面
A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上． （1）求证：BC ⊥A 1B
（2）若AD =AB =BC =2，P 为AC 的中点，
求二面角P -A 1B -C 的余弦值.
20. （本小题满分13分）
已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，已知a 1+a 4=-有S n ，S n +2，S n +1成等差数列； （1）求数列{a n }的通项公式； （2）已知b n =n （n ∈N *），记T n =
b b 1b
+2+3+a 1a 2a 3
+
b n
，若(n -1) 2≤m (T n -n -1) a n
B
D
A 1C 1
B 1
A
P
C
7，且对于任意的n ∈N *16
对于n ≥2恒成立，求实数m 的范围。
21．（本小题满分14分）
已知函数f (x ) =ax 2+x ln x ,(a ∈R ) （1）当a =0时，求f (x ) 的最小值；
（2）在区间(1,2) 内任取两个实数p , q (p ≠q ) , 若不等式
立，求实数a 的取值范围； （3）求证：
>1恒成
p -q
ln 2ln 3ln 4ln n 1*
（其中n >1, n ∈N , e =2. 71828 ）. +++ +
234n e
参考答案
四、解答题
16. 解: (1)f (x ) =(m +n ) ⋅m =sin 2x +1
+x cos x +
1 2
=
1-cos 2x 11
+1+2x +=2x -cos 2x +2222
=sin(2x -) +2 „„„„„„3分
6
2π
因为ω=2，所以T = „„„„„„„„5分 =π
2
(2) 由(1)知：f (A ) =sin(2A -
π
π
πππ5π
) +2 当x ∈[0,]时, -≤2x -≤
62666π
6=
由正弦函数图象可知, 当2x -所以2A -
π
2
时f (x ) 取得最大值3。 „„„„8分
π
6
=
π
2
, A =
π
3
„„„„„„„9分
由余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bc cos A ∴12
=b 2+16-2⨯4b ⨯
1
∴2
b =2 „„„10分
11
从而S =bc sin A =⨯2⨯4sin 60=„„„„„„„„12分
22
2
17. 解：（1）g (x ) =a (x -1) +1+b -a ，因为a >0，所以g (x ) 在区间[2, 3]上是增
函数，
⎧g (2) =1⎧a =1故⎨，解得⎨． „„„„„„5分
g (3) =4b =0⎩⎩
11x x
（2）由已知可得f (x ) =x +-2，所以f (2) -k ⋅2≥0可化为2x +x -2≥k ⋅2x ，
x 2
11⎛1⎫⎡1⎤
化为1+ x ⎪-2⋅x ≥k ，令t =x ，则k
≤t 2-2t +1，因x ∈[-1, 1]，故t ∈⎢, 2⎥，
22⎝2⎭⎣2⎦
2
记h (t ) =t 2-2t +1，因为t ∈⎢
⎡1⎤
, 2⎥，故h (t ) max =1， 所以k 的取值范围是⎣2⎦
(-∞, 1]．„„12分
14
=35；„„„„„„„2分 98
22
（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为35⨯=14；„„„„4分
55
18. 解：（1）乙厂生产的产品总数为5÷
i
C 2C 32-i
（3）ξ=0, 1, 2， „„„„„„„„5分 P (ξ=i ) =„„„„8(i =0, 1, 2) ，2
C 5
分
ξ的分布列为
„„„„„„11分 均值E (ξ) =1⨯
314
+2⨯=„„„„„„„12分 5105
三棱柱 ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，
19 ．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）证明：
∴A 1A ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ， ∴A 1A ⊥BC
-
AD ⊥平面A 1BC ，且BC ⊂平面A 1BC ，
∴AD ⊥BC . 又 AA 1⊂平面A 1AB , AD ⊂平面A 1AB , A 1A ⋂AD =A ，
∴BC ⊥平面A 1AB ， 又AB ⊂平面A 1BC ， ∴ BC ⊥AB „„„„„„„„„„5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 如图, 以
B 为原点建立空间直角坐标系B -xyz
AD ⊥平面A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上,
∴
AD ⊥A 1B .
在Rt ∠∆ABD 中，AD =，AB=2，sin ∠ABD =
AD 0
∠ABD =60 =
AB 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1
中，A 1A ⊥AB . 在Rt ∠∆ABA 1中，
AA 1=AB ⋅tan 600=,
则B (0,0,0),A (0, 2, 0) , C （2，0，0）, P （1，1，0）, A 1（0，2，23）, BP =(1, 1, 0)
BA 1=（0，2，23）BC =(2, 0, 0)
设平面PA 1B 的一个法向量n 1=(x , y , z )
⎧⎪n 1⋅BP =0⎧x +y =0
则 ⎨即⎨ 可得n 1=(3, -3, 3)
⎪⎩n 1⋅BA 1=0⎩2y +23z =0
⎧⎪n 2⋅
BC =0⎧x =0
设平面CA 1B 的一个法向量n 2=(x , y , z ) 则 ⎨即⎨
⎪⎩n 2⋅BA 1=0⎩2y +23z =0
可得n 2=(0, -3, 3)
cos n 1, n 2=
n
1⋅n 2n 1n 2
=
∴平面PA 1B 与平面A 1BC 的夹角的余弦值是
AB=2,
则BD=1 可得D(0,
27
„„„12分 7
（或 AD ⊥平面A 1BC, 则AD 即为平面A 1BC 的法向量在Rt ∠∆ABD 中
，AD =，
n ⋅AD 1333
=, ) AD =(0, -, ) cos n 1⋅AD =1
2222n 1AD
27
„„„12分） 7
（
1
）
∴平面PA 1B 与平面A 1BC 的夹角的余弦值是
20.
解
：
1 设公比为q ，S 1, S 3, S 2成等差, ∴2S 3=S 1+S 2, ∴2a 1(1+q +q 2) =a 1(2+q ), 得q =-，2
711，∴a 1=-，所以a n =a 1q n -1=(-) n „„„„4分 1622
b n 1
（2）b n =n , a n =(-) n , ∴=n ⋅2n ，
2a n
3
又a 1+a 4=a （1+q ）=-1
∴T n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+
+n ⋅2n
2T n =1⋅2+2⋅2+3⋅2+
++(n -1) ⋅2+n ⋅2
∴-T n =2+22+23+
+2n -n ⋅2n +1
2-2n +1
∴T n =-(-n ⋅2n +1) =(n -1) ⋅2n +1+2„„„10分
1-2
若(n -1) 2≤m (T n -n -1) 对于n ≥2恒成立，则(n -1) ≤m [(n -1) ⋅2
2
n +1
+2-n -1]，
n -1
，
2n +1-1n n -1(2-n ) ⋅2n +1-1n -1
-n +1=n +2
n +1
2-12-1(2-1)(2-1) 2-1
11
所以f (n ) 为减函数， ∴f (n ) ≤f (2)= ∴m ≥„„„„13分
77
(n -1) 2≤m (n -1) ⋅(2n +1-1) ， ∴m ≥
21．解：（1） a =0时，f (x ) =x ln x , (x >0)
111
∴f /(x ) =1+ln x >0得x > ∴f (x ) 在(0, ) 上递减，(, +∞) 上递增。
e e e
11
∴f (x ) min =f () =-. „„„„„„„„„„„„„4分
e e
（2）
f (p +1) -f (q +1) f (p +1) -f (q +1)
=，
p -q (p +1) -(q +1)
表示点(p +1, f (p +1)) 与点(q +1, f (q +1)) 连成的斜率，又1
∴2
即f '(x ) =2ax +ln x +1>1在x ∈(2,3)内恒成立„„„„„„„„„.6分 2a ≥-所以，当x ∈(2,3)时，
ln x ln x
) max 恒成立. ∴2a ≥(-x x
ln x ln x -1
, x ∈(2,3),则g '(x ) =. x x 2ln x -1
=0, x =e . 若g '(x ) =x 2
设g (x ) =-
当20, g (x ) 在(e ,3) 上单调递增„„8分
又g (2)=-分
ln 2ln 2ln 3ln 2
>g (3)=-, ∴
2a ≥- 故a ≥- „„„„„„„„„ 9
4232
深圳电大高起专数学试题及答案
命题：深圳青年学院汪老师 第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设复数z 1=1+i ，z 2=2+xi (x ∈R ) ，若z 1⋅z 2∈R ，则x 的值为( ) A ．-2 B．-1 C．1 D．2 2．若
⎰
k
(2x -3x 2) dx =0，则正数k 的值为( )
3x 2-x
A ．0 B．1 C．0或1 D．2 3. 函数f (x ) =
+lg(3x +1) 的定义域是 ( )
13
1133
A ． (-, +∞) B．(-, 1) C．(-, ) D．[0, 1)
13
4. 平面向量a ，b 的夹角为60，a
=(2, 0) ，b =1，
则a +2b =（ ）
A ． B C．→→
︒
→→→→
D． 2 5. 已知p :x ≥k ，q :
3
（ ）
A. [2, +∞) B. (2, +∞
) C. [1, +∞) D. (-∞, -1] 6. 若0
π1πββ
22
34
A. ⎧2x -y +2≥0⎪
7. 设x ，y 满足约束条件⎨8x -y -4≤0，若目标函数z =ax +by (a >0, b >0)的最大
⎪x ≥0, y ≥0⎩
, -
值为8，则ab 的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8．已知数列{a n }是等差数列，若a 2013+3a 2015
A ．4029 B．4028 C．4027 D．4026
9. 在实数集R 中定义一种运算“*”，∀a , b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性
ππ
（1）对任意a ∈R ，a *0=a ； （2）对任意a , b ∈R ，a *b =ab +(a *0) +(b *0) ．
1
的性质，有如下说法：①函数f (x ) 的最小值为3；②函e x
数f (x ) 为偶函数；③函数f (x ) 的单调递增区间为(-∞,0]．其中正确说法的序号为
关于函数f (x ) =(e x ) *（ ） A ．①
B ．①②
C ．①②③
D ．②③
10．如图，正△ABC 的中心位于点G （0，1），A （0，2），动点P 从A 点出发沿△ABC
的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP =x （0≤x ≤2π），向量OP 在a =(1,0)方向的投影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数y =f （x ）的图象是（ ）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置) 11. 设集合M ={-1, 0, 1}，N ={a , a 2}，若M ⋂N =N , 则a 的值是
⎧-1
2
⎪x , x >0,
2⎪
12. 若函数f (x ) =⎨-2, x =0, 且b =f (f (f (0))), 若y =x a -4a -b 是偶函数，且在
⎪1
2⎪⎩(x +3) , x
(0,+∞) 内是减函数，则整数a 的值是__________．
π
13. 已知函数f (x ) =sin(ωx +ϕ)(ω>0, ϕ
2
n π
令a n =f (), 则a 1+a 2+a 3+ +a 2014= ．
6
14. 定义域为R 的偶函数f (x ) 满足对任意x ∈R ，有f (x +2) =f (x ) -f (1) ，且当
若函数y =f (x ) -log a (|x |+1) 在(0, +∞) 上x ∈[2, 3] 时，f (x ) =-2x 2+12x -18，
至少有三个零点，则a 的取值范围是 ．
三、选做题（在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，
本题共5分）
15. (1)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆ρ=2cos θ在点M (2, 0) 处的切
线方程为 ．
(2)（不等式选讲选做题）已知函数f (x ) =|2x -a |+a ．若不等式f (x ) ≤6的解集为{x |-2≤x ≤3}，则实数a 的值为
．
四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）
已知向量m =(sinx , -1) ，向量n =x , -) ，函数f (x ) =(m +n ) ⋅m . (1)求f (x
) 的最小正周期T ；
1
2
c 分别为D ABC 内角A ，B ，b ，C 的对边，A 为锐角，c =4，a =(2)已知a ，
⎡π⎤
且f (A ) 恰是f (x ) 在⎢0, ⎥上的最大值，求A ，b 和∆ABC 的面积S .
⎣2⎦
17. (本小题满分12分)
已知函数g (x ) =ax 2-2ax +1+b （a >0）在区间[2, 3]上有最大值4和最小值1． 设f (x ) =
g (x )
． x
（1）求a 、b 的值；
（2）若不等式f (2x ) -k ⋅2x ≥0在x ∈[-1, 1]上有解，求实数k 的取值范围.
18．（本小题满分12分）
2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x , y 的含量（单位：毫克）. 下表是乙厂的5件产
（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x , y 满足x ≥175，且y ≥75, 该产品为优等品。用上述样
本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数
ξ的分布列及其均值（即数学期望）。
19 ．（本小题满分12分）
如图, 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AD ⊥平面
A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上． （1）求证：BC ⊥A 1B
（2）若AD =AB =BC =2，P 为AC 的中点，
求二面角P -A 1B -C 的余弦值.
20. （本小题满分13分）
已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，已知a 1+a 4=-有S n ，S n +2，S n +1成等差数列； （1）求数列{a n }的通项公式； （2）已知b n =n （n ∈N *），记T n =
b b 1b
+2+3+a 1a 2a 3
+
b n
，若(n -1) 2≤m (T n -n -1) a n
B
D
A 1C 1
B 1
A
P
C
7，且对于任意的n ∈N *16
对于n ≥2恒成立，求实数m 的范围。
21．（本小题满分14分）
已知函数f (x ) =ax 2+x ln x ,(a ∈R ) （1）当a =0时，求f (x ) 的最小值；
（2）在区间(1,2) 内任取两个实数p , q (p ≠q ) , 若不等式
立，求实数a 的取值范围； （3）求证：
>1恒成
p -q
ln 2ln 3ln 4ln n 1*
（其中n >1, n ∈N , e =2. 71828 ）. +++ +
234n e
参考答案
四、解答题
16. 解: (1)f (x ) =(m +n ) ⋅m =sin 2x +1
+x cos x +
1 2
=
1-cos 2x 11
+1+2x +=2x -cos 2x +2222
=sin(2x -) +2 „„„„„„3分
6
2π
因为ω=2，所以T = „„„„„„„„5分 =π
2
(2) 由(1)知：f (A ) =sin(2A -
π
π
πππ5π
) +2 当x ∈[0,]时, -≤2x -≤
62666π
6=
由正弦函数图象可知, 当2x -所以2A -
π
2
时f (x ) 取得最大值3。 „„„„8分
π
6
=
π
2
, A =
π
3
„„„„„„„9分
由余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bc cos A ∴12
=b 2+16-2⨯4b ⨯
1
∴2
b =2 „„„10分
11
从而S =bc sin A =⨯2⨯4sin 60=„„„„„„„„12分
22
2
17. 解：（1）g (x ) =a (x -1) +1+b -a ，因为a >0，所以g (x ) 在区间[2, 3]上是增
函数，
⎧g (2) =1⎧a =1故⎨，解得⎨． „„„„„„5分
g (3) =4b =0⎩⎩
11x x
（2）由已知可得f (x ) =x +-2，所以f (2) -k ⋅2≥0可化为2x +x -2≥k ⋅2x ，
x 2
11⎛1⎫⎡1⎤
化为1+ x ⎪-2⋅x ≥k ，令t =x ，则k
≤t 2-2t +1，因x ∈[-1, 1]，故t ∈⎢, 2⎥，
22⎝2⎭⎣2⎦
2
记h (t ) =t 2-2t +1，因为t ∈⎢
⎡1⎤
, 2⎥，故h (t ) max =1， 所以k 的取值范围是⎣2⎦
(-∞, 1]．„„12分
14
=35；„„„„„„„2分 98
22
（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为35⨯=14；„„„„4分
55
18. 解：（1）乙厂生产的产品总数为5÷
i
C 2C 32-i
（3）ξ=0, 1, 2， „„„„„„„„5分 P (ξ=i ) =„„„„8(i =0, 1, 2) ，2
C 5
分
ξ的分布列为
„„„„„„11分 均值E (ξ) =1⨯
314
+2⨯=„„„„„„„12分 5105
三棱柱 ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，
19 ．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）证明：
∴A 1A ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ， ∴A 1A ⊥BC
-
AD ⊥平面A 1BC ，且BC ⊂平面A 1BC ，
∴AD ⊥BC . 又 AA 1⊂平面A 1AB , AD ⊂平面A 1AB , A 1A ⋂AD =A ，
∴BC ⊥平面A 1AB ， 又AB ⊂平面A 1BC ， ∴ BC ⊥AB „„„„„„„„„„5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 如图, 以
B 为原点建立空间直角坐标系B -xyz
AD ⊥平面A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上,
∴
AD ⊥A 1B .
在Rt ∠∆ABD 中，AD =，AB=2，sin ∠ABD =
AD 0
∠ABD =60 =
AB 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1
中，A 1A ⊥AB . 在Rt ∠∆ABA 1中，
AA 1=AB ⋅tan 600=,
则B (0,0,0),A (0, 2, 0) , C （2，0，0）, P （1，1，0）, A 1（0，2，23）, BP =(1, 1, 0)
BA 1=（0，2，23）BC =(2, 0, 0)
设平面PA 1B 的一个法向量n 1=(x , y , z )
⎧⎪n 1⋅BP =0⎧x +y =0
则 ⎨即⎨ 可得n 1=(3, -3, 3)
⎪⎩n 1⋅BA 1=0⎩2y +23z =0
⎧⎪n 2⋅
BC =0⎧x =0
设平面CA 1B 的一个法向量n 2=(x , y , z ) 则 ⎨即⎨
⎪⎩n 2⋅BA 1=0⎩2y +23z =0
可得n 2=(0, -3, 3)
cos n 1, n 2=
n
1⋅n 2n 1n 2
=
∴平面PA 1B 与平面A 1BC 的夹角的余弦值是
AB=2,
则BD=1 可得D(0,
27
„„„12分 7
（或 AD ⊥平面A 1BC, 则AD 即为平面A 1BC 的法向量在Rt ∠∆ABD 中
，AD =，
n ⋅AD 1333
=, ) AD =(0, -, ) cos n 1⋅AD =1
2222n 1AD
27
„„„12分） 7
（
1
）
∴平面PA 1B 与平面A 1BC 的夹角的余弦值是
20.
解
：
1 设公比为q ，S 1, S 3, S 2成等差, ∴2S 3=S 1+S 2, ∴2a 1(1+q +q 2) =a 1(2+q ), 得q =-，2
711，∴a 1=-，所以a n =a 1q n -1=(-) n „„„„4分 1622
b n 1
（2）b n =n , a n =(-) n , ∴=n ⋅2n ，
2a n
3
又a 1+a 4=a （1+q ）=-1
∴T n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+
+n ⋅2n
2T n =1⋅2+2⋅2+3⋅2+
++(n -1) ⋅2+n ⋅2
∴-T n =2+22+23+
+2n -n ⋅2n +1
2-2n +1
∴T n =-(-n ⋅2n +1) =(n -1) ⋅2n +1+2„„„10分
1-2
若(n -1) 2≤m (T n -n -1) 对于n ≥2恒成立，则(n -1) ≤m [(n -1) ⋅2
2
n +1
+2-n -1]，
n -1
，
2n +1-1n n -1(2-n ) ⋅2n +1-1n -1
-n +1=n +2
n +1
2-12-1(2-1)(2-1) 2-1
11
所以f (n ) 为减函数， ∴f (n ) ≤f (2)= ∴m ≥„„„„13分
77
(n -1) 2≤m (n -1) ⋅(2n +1-1) ， ∴m ≥
21．解：（1） a =0时，f (x ) =x ln x , (x >0)
111
∴f /(x ) =1+ln x >0得x > ∴f (x ) 在(0, ) 上递减，(, +∞) 上递增。
e e e
11
∴f (x ) min =f () =-. „„„„„„„„„„„„„4分
e e
（2）
f (p +1) -f (q +1) f (p +1) -f (q +1)
=，
p -q (p +1) -(q +1)
表示点(p +1, f (p +1)) 与点(q +1, f (q +1)) 连成的斜率，又1
∴2
即f '(x ) =2ax +ln x +1>1在x ∈(2,3)内恒成立„„„„„„„„„.6分 2a ≥-所以，当x ∈(2,3)时，
ln x ln x
) max 恒成立. ∴2a ≥(-x x
ln x ln x -1
, x ∈(2,3),则g '(x ) =. x x 2ln x -1
=0, x =e . 若g '(x ) =x 2
设g (x ) =-
当20, g (x ) 在(e ,3) 上单调递增„„8分
又g (2)=-分
ln 2ln 2ln 3ln 2
>g (3)=-, ∴
2a ≥- 故a ≥- „„„„„„„„„ 9
4232