电路暂态分析

第六章电路的暂态分析

§6.1 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5 换路定则与电压和电流初始值的确定 RC电路的响应一阶线形电路暂态分析的三要素法微分电路与积分电路 RL电路的响应

概述

“稳态”与 “暂态”的概念:

+ _

开关K闭合

R U _ 电路处于新稳态

电路处于旧稳态过渡过程 : 旧稳态新稳态

产生过渡过程的电路及原因? 电阻电路

K + _ U R 无过渡过程 t=0 I

电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过渡过程。

电容电路

K + _U R uC C

电容为储能元件，它储存的能量为电场能量，其大小为：

1 2 W C = ∫ uidt = cu 0 2

因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。

电感电路

R iL

U R

+ t=0 _

电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为：

1 2 W L = ∫ ui dt = Li 0 2

因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。

§6.1 换路定则与电压和电流初始值的确定

一、换路定律通常，我们把电路中开关的接通、断开或电路参数的突然变化等统称为“换路”。我们研究的是换路后电路中电压或电流的变化规律，知道了电压、电流的初始值，就能掌握换路后电压、电流是从多大的初始值开始变化的。该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则uC 、 iL不能跃变，即换路前后一瞬间的uC 、iL是相等的，可表达为： uC(0+)=uC(0-) iL(0+)=iL(0-) 必须注意：只有uC 、 iL受换路定律的约束而保持不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。

二、初始值的确定

换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用 uC(0+)和 iL(0+)来表示，它是利用换路前瞬间 t=0-电路确定uC(0-)和iL(0- )，再由换路定律得到 uC(0+)和 iL(0+)的值。电路中其他变量如 iR、uR、uL、iC 的初始值不遵循换路定律的规律，它们的初始值需由t=0+电路来求得。具体求法是：画出t=0+电路，在该电路中若uC (0+)= uC (0-)=US，电容用一个电压源US代替，若 uC (0+)= 0则电容用短路线代替。若iL(0+)= iL(0)=IS，电感一个电流源IS 代替，若iL(0+)= 0则电感作开路处理。下面举例说明初始值的求法。

例1：在图3-3(a)电路中，开关S在t=0时闭合，开关闭合前电路已处于稳定状态。试求初始值 uC(0+)、iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、 ic(0+) 和uL(0+)。

解：(1) 电路在 t=0时发生换路，欲求各电压、电流的初始值，应先求uC(0+)和iL(0+)。通过换路前稳定状态下t=0- 电路可求得uC(0-)和iL(0-)。在直流稳态电路中，uC不再变化，duC/dt=0，故iC=0，即电容C相当于开路。同理 iL也不再变化， diL/dt=0，故uL=0，即电感L相当于短路。所以 t=0- 时刻的等效电路如图3-3(b)）所示，由该图可 2 u c (0 − ) = 10 × = 4V 知： 3+ 2

10 i L (0 − ) = = 2A 3+ 2

（2）由换路定理得： u c (0 + ) = u c (0 − ) = 4V iL (0 + ) = iL (0 − ) = 2 A

因此，在t=0+ 瞬间，电容元件相当于一个4V 的电压源，电感元件相当于一个2A的电流源。据此画出t=0+ 时刻的等效电路，如图3-3 (C) 所示。（3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析方法，可求出电路中其他电流、电压的初始值，即

4 i1 (0 + ) = = 2 A 2 4 i 2 (0 + ) = = 1 A 4

iC(0+)=2-2-1=-1A uL(0+)=10-3×2-4=0

例2: 电路如图3-4 (a)所示，开关S闭合前电路无储能，开关S在 t=0时闭合，试求 i1 、i2 、i3、 uc、uL的初始值。

图 3-4 例 2 图

解（1）由题意知：

u C (0 − ) = 0 i3 (0 − ) = iL ( 0 − ) = 0

（2）由换路定理得

u C (0 + ) = uC (0 − ) = 0 iL (0 + ) = iL (0 − ) = 0

因此，在 t=0+ 电路中，电容应该用短路线代替，电感以开路代之。得到 t=0+ 电路，如图3-4 (b) 所示。（3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析方法求得， 9 i1 (0 + ) = i2 (0 + ) = = 0 .3 10 + 20 i3(0+)=0 uL(0+)=20×i2(0+)=20×0.3=6V 通过上例题，可以归纳出求初始值的一般步骤如下： (1) 根据t=0- 时的等效电路，求出uC(0-) 及iL(0-)。 (2) 作出t=0+ 时的等效电路，并在图上标出各待求量。 (3) 由t=0+ 等效电路，求出各待求量的初始值。

§6.2 RC电路响应当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应. 一、RC电路的零输入响应

如图所示的电路中，在t0后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。

UC (a ) C R

+ C uC (b )

+ -

换路后由图（b）可知，根据KVL有

-uR+uc=0 而uR=i R,

duC i = −C dt

，代入上式可得

１式

du C RC +u C = 0 dt

为

上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式 uc=Aept t≥0 ２式式中 A 为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为１式对应的特征方程的根。将２式代入１式可得特征方程为 RCP+1=0

从而解出特征根为: 则通解

1 p=− RC

−

t RC

u C = Ae

３式

将初始条件uc(0+)=R0IS代入3式，求出积分常数A为

u C (0 + ) = A = R 0 I S

将 uc (0 + ) 代入３式，得到满足初始值的微分方程的通解为，

u C = u C (0 + )e

放电电流为， du

−

t RC

= R0 I S e

− t RC

−

t RC

t≥0

t RC

４式

R0 I S i = −C = e dt R

= i (0 + )e

−

t≥0 ５式

令τ=RC，它具有时间的量纲，即

伏特 [τ ] = [RC ] = ⎡ ⎢ 库仑 ⎤ ⎡ 库仑 ⎤ = [秒 ] =⎢ ⎥ ⎥ ⎣ 安培伏特 ⎦ ⎣ 库仑 / 秒 ⎦ .

故称τ为时间常数, 这样４、５两式可分别写为

u C = u C (0 + )e

−

t≥0 t≥0

i = i (0 + )e

−

减，它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=R0IS 及

1 为负，故uc和 i 均按指数规律衰由于 p = − RC

R0 I S i (0 + ) = R

当t→∞时，uc和 i 衰减到零。

画出uc及i的波形如图所示。

RC 电路零输入响应电压电流波形图

在激励作用之前，电路的初始储能为零仅由激励引起的响应叫零状态响应。

二、 RC电路的零状态响应

图3-10所示一阶RC电路，电容先未充电，t=0时开关闭合，电路与激励US 接通，试确定k闭合后电路中的响应。在 k 闭合瞬间，电容电压不会跃变，由换路定律 uc(0+)= uc(0-)= 0 ，t=0+ 时电容相当于短路， uR(0+)=US ，故

u R (0 + ) U S i R (0 + ) = = R R

电容开始充电。随着时间的推移，uC将逐渐升高。

R C电路的零状态响应

uR则逐渐降低，iR（等于ic）逐渐减小。当t→∞时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流 ic(∞)=0，uR (∞)=0，uc=(∞)=Us。由 KVL 得， uR+uc=US 而

du C uR=RiR=RiC= RC ，代入上式可得到以uc dt

du C RC +u C =U S dt

uC(0+)=0 t≥0 1式

为变量的微分方程

初始条件为

1式为一阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成：一部分是它相应的齐次微分方程的通解uCh，也称为齐次解；另一部分是该非齐次微分方程的特解uCP，即

uc=uch + ucp

由于1式相应的齐次微分方程与RC零输入响应式完全相同, 因此其通解应为，

u ch = Ae

−

= Ae

−

t RC

式中A为积分常数。特解ucp取决于激励函数，当激励为常量时特解也为一常量，可设ucp=k，代入1式得

ucp =k=US

1式的解（完全解）为

u C = u ch + u cp = Ae

−

t RC

+US

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

将初始条件uc(0+)=0代入上式，得出积分常数A=-US，故

u C = −U S e

−

t RC

⎛ − + U S = U S ⎜1 − e ⎜ ⎝

t RC

由于稳态值 uc (∞)=US，故上式可写成

u C = u C (∞)(1 − e

−

t RC

)

t≥0

2式

由2式可知，当t=0时，uc(0)=0，当 t=τ时， uc(τ) =US（1-e–1）=63.2%US，即在零状态响应中，电容电压上升到稳态值uc=(∞)=US的63.2%所需的时间是τ。而当 t=4~5τ时，u c上升到其稳态值US的98.17%~99.3%，一般认为充电过程即告结束。电路中其他响应分别为

du C U S − iC = C = e dt R

t≥0 t≥0

US − i R = iC = e R

− t

u R = Ri R =U S e

t≥0

根据uc、ic、iR及uR的表达式，画出它们的波形如3-10 (b)、(c)所示，其变化规律与前面叙述的物理过程一致。

图3-10 (b)、(C) R C 电路零状态响应 uc、ic、iR及uR波形图

三、 RC电路的零状态响应由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。如图所示，设 uC =uC(0-)=U0，S在t=0时闭合，显然电路中的响应属于全响应。

RC电路的全响应

对t≥0的电路，以uC为求解变量可列出描述电路的微分方程为 du C ⎧ + uC = U S ⎪ RC 1式 dt ⎨ ⎪ ⎩u C (0 + ) = U 0 1式与描述零状态电路的微分方程式比较，仅只有初始条件不同，因此，其解答必具有类似的形式，即

u C = Ke

−

+US

代入初始条件 uC (0+)=U0 得 K= U0 - US

从而得到

u C = (U 0 − U S )e

−

+US

2式

通过对1式分析可知，当US=0时，即为RC零输入电路的微分方程。而当 U0=0 时，即为 RC 零状态电路的微分方程。这一结果表明，零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况。

由全响应公式可以有以下两种分解方式：

1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。如2式中第一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰减的，称暂态响应或称自由分量（固有分量）。2式中第二项US = uC(∞)受输入的制约，它是非齐次方程的特解，其解的形式一般与输入信号形式相同，称稳态响应或强制分量。这样有：

全响应=暂态响应+稳态响应

2 、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。将2式改写后可得：

uC = U 0e

−

+ U S (1 − e

−

)

3式

3式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。因为电路的激励有两种，一是外加的输入信号，一是储能元件的初始储能，根据线性电路的叠加性，电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠加即，全响应=零输入响应+零状态响应

§6.3一阶线形电路暂态分析的三要素法

如用 f (t) 表示电路的响应，f (0+)表示该电压或电流的初始值，f (∞) 表示响应的稳定值，τ 表示电路的时间常数，则电路的响应可表示为：

f (t) = f (∞) + [ f (0+ ) − f (∞)]e

−

t ≥0

上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。

τ 称为三要素，把按三要式中f (0+)、 f (∞) 和素公式求解响应的方法称为三要素法。

由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。

用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应，其求解步骤如下：

1. 确定初始值 f (0+)

初始值 f(0+) 是指任一响应在换路后瞬间 t=0+ 时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的。先作t=0- 电路。确定换路前电路的状态 uC(0-) 或 iL(0-), 这个状态即为 t ＜ 0 阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替。作t=0+ 电路。这是利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若 uC(0+)=uC(0-)=U0 ， iL(0+)=iL(0-)=I0，在此电路中C用电压源U0代替，

L用电流源I0代替。若uC(0+)=uC(0-)=0 或 iL(0+)=iL(0-)=0，则C用短路线代替，L视为开路。可用图说明。作t=0+ 电路后，即可按一般电阻性电路来求解各变量的u (0+)、i (0+)。

电容、电感元件在t=0时的电路模型

2、确定稳态值f(∞) 作t=∞电路。瞬态过程结束后，电路进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳态值 u(∞) 、 i(∞) 。在此电路中，电容C视为开路，电感L用短路线代替，可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值。 3、求时间常数τ RC电路中，τ=RC；RL电路中，τ=L/R；其中， R是将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看进去的等效电阻，(即戴维南等效源中的R0)。例5 图 (a)所示电路中，t=0时将S合上，求t≥0时的 i1、iL、uL。

例5图

解(1) 先求iL(0-)。作t=0- 电路，见图(b)，电感用短路线代替，则

12 4 i L (0 − ) = = 3+6 3 (2)求 f(0+)。作t=0+电路，见图(C),

4 i L (0 + ) = i L (0 − ) = A 3

图中电感用4/3A的电流源代替，流向与图(b)中iL(0-) 一致。因为题意要求i1、iL、uL，所以相应地需先求 i1(0+)和uL(0+)。椐KVL，图(C)左边回路中有 3 i1 (0+) +6 [i1 (0+) -iL (0+)]=12

20 得， i (0 ) = A 9

1 +

图 (C)右边回路中有

8 u L (0+ ) = −6iL (0+ ) + 6[i1 (0+ ) − iL (0 + )] = − V 3

(3) 求 f(∞) 。作 t=∞电路如图 (d) ，电感用短路线代替，则， 12

i1 (∞) = 6×6 3+ 6+6 =2

1 i L (∞) = i1 (∞) = 1A 2

uL(∞) =0 (4)求τ。从动态元件L两端看进去的戴维南等效电阻为： 3× 6 R = 6 + 3 // 6 = 6 + = 8Ω 3+6

L 0 .8 1 τ = = = 0 . 1S = S R 8 10

（5）代入三要素公式

f (t ) = f (∞ ) + [ f (0 + ) − f (∞ )] e

−

2 −10t ⎞ −10t ⎛ 20 i1 (t ) = 2 + ⎜ − 2 ⎟ e = 2 + e A t≥0 9 ⎠ ⎝ 9

1 −10t ⎛ 4 ⎞ −10t iL (t ) = 1 + ⎜ − 1⎟ e = 1 + e A 3 ⎝3 ⎠

8 −10t ⎞ −10t ⎛ 8 u L (t ) = 0 + ⎜ − − 0 ⎟ e = − e V 3 ⎝ 3 ⎠

t≥0

i1 (t)、iL (t)及uL(t)的波形图如图所示。

例5图

小

结

(1) 含有动态元件L、C的电路是动态电路，其伏安关系是微分或积分关系。电容C:

duC iC = C dt

或或

1 t uC = uC (0) + ∫ iC (ξ )dξ C 0 1 t iL = iL (0) + ∫ uL (ξ )dξ L 0

diL 电容L: uL = L dt

(2) 换路定律是指：电容电流和电感电压不能跃变：即 uC(0+)=uC(0-) iL(0+)=iL(0-)

（3）零输入响应：当外加激励为零，仅有动态元件初始储能所产生所激发的响应。零输入响应：电路的初始储能为零仅由输入产生的响应。全响应：由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。（4）求解一阶电路三要素公式为：

f (t) = f (∞) + [ f (0+ ) − f (∞)]e

−

t ≥0

§6.4

一、微分电路

微分电路与积分电路

uC (0 − ) = 0 V

+ t=0 ~ T + E + t >T

条件：τ

电路的输出近似为输入信号的微分

二、积分电路

条件：τ>> T

t= 0 ~ T +

R C

+ +

E -

t >T

电路的输出近似为输入信号的积分

§6.5

RL电路的响应

一阶RL电路如图(a)所示，t=0- 时开关S闭合，电路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即 iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以在t≥0时，电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中产生电流和电压，如图 (b)所示。由于t>0后，放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以为零输入响应。

由图 (b)，根据KVL有 uL+uR=0

di L 及u R = Ri L 代入上式将 uL = L dt

di L L + Ri L = 0 dt

得，

1式

上式为一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为， iL=Ae pt t≥0 2式将2式代入1式，得特征方程为，

LP+R=0

故特征根为，

R p = − L

则通解为若令 τ =

L R

i L = Ae

−

R t L

t≥0

，τ是RL电路的时间常数，仍具有

时间量纲，上式可写为，

i L = Ae

常数A为

−

t≥0

3式

将初始条件i L(0+)= iL (0-)=I 0 代入3式，求出积分 iL (0+)=A=I0 这样得到满足初始条件的微分方程的通解为

− t − t

i L =i L (0 + )e

= I 0e

t≥0

4式

电阻及电感的电压分别是：

u R = Ri L = RI 0 e

−

t≥0

−

u L = −u R = − RI 0 e

t≥0

分别作出 iL 、uR 和、uL的波形如图3-8(a)、(b) 所示。由图3-8可知，iL、uR及uL的初始值（亦是最大值）分别为iL(0+)=I0、 uR(0+)=RI0、uL(0+)= RI0，它们都是从各自的初始值开始，然后按同一指数规律逐渐衰减到零。衰减的快慢取决于时间常数τ，这与一阶RC零输入电路情况相同。

图3-8 RL 电路零输入响应iL、uR和 uL 的波形

二、 RL电路的零状态响应

对于图 (a)所示的一阶RL电路，US为直流电压源，t＜ 0 时，电感 L 中的电流为零。 t=0时开关 s 闭合，电路与激励 US 接通，在 s 闭合瞬间，电感电流不会跃变，即有 iL(0+)= iL(0-)=0, 选择iL为首先求解的变量，由KVL有：

uL+uR=US

将

uL = L di L dt

uR=RiL , 代入上式，可得

di L L + Ri L = U S dt

初始条件为 iL (0+)=0

1式

图 (a) 一阶RL电路的零状态响应

1式也是一阶常系数非齐次微分方程，其解同样由齐次方程的通解iLh 和非齐次方程的特解iLP两部分组成，即 iL=iLh+iLp 其齐次方程的通解也应为，

− t − R t L

i Lh = Ae

= Ae

式中时间常数τ=L/R，与电路激励无关。非齐次方程的特解与激励的形式有关，由于激励为直流电压源，故特解 iLP为常量，令iLP =K，代入1式得，

i Lp

因此完全解为，

US =K= R

− t

i L = Ae

US + R

代入t=0时的初始条件 iL(0+)=0得

US A=− R

于是

US − e iL = − R

US R

− US US + = (1 − e τ ) R R

由于iL的稳态值 i L (∞) =

，故上式可写成：

⎛ − i L = i L (∞)⎜1 − e ⎜ ⎝

电路中的其他响应分别为

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

− t

t≥0

di L uL = L = USe at

t≥0

t ⎛ ⎞ − US ⎜ iR = iL = 1− e τ ⎟ ⎟ R ⎜ ⎝ ⎠ t ⎛ ⎞ − u R = Ri R = U S ⎜1 − e τ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

t≥0

它们的波形如图 (b)、(c)所示。

图一阶RL电路的零状态响应波形图

其物理过程是，S闭合后，iL(即 iR)从初始值零逐渐上升，uL从初始值 uL(0+)=US 逐渐下降，而uR从 uR(0+)=0逐渐上升，当 t=∞，电路达到稳态，这时L相当于短路，iL(∞)=US／R， uL(∞)= 0，uR(∞)= US。从波形图上可以直观地看出各响应的变化规律。

第六章

结

束

第六章电路的暂态分析

§6.1 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5 换路定则与电压和电流初始值的确定 RC电路的响应一阶线形电路暂态分析的三要素法微分电路与积分电路 RL电路的响应

概述

“稳态”与 “暂态”的概念:

+ _

开关K闭合

R U _ 电路处于新稳态

电路处于旧稳态过渡过程 : 旧稳态新稳态

产生过渡过程的电路及原因? 电阻电路

K + _ U R 无过渡过程 t=0 I

电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过渡过程。

电容电路

K + _U R uC C

电容为储能元件，它储存的能量为电场能量，其大小为：

1 2 W C = ∫ uidt = cu 0 2

因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。

电感电路

R iL

U R

+ t=0 _

电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为：

1 2 W L = ∫ ui dt = Li 0 2

因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。

§6.1 换路定则与电压和电流初始值的确定

二、初始值的确定

例1：在图3-3(a)电路中，开关S在t=0时闭合，开关闭合前电路已处于稳定状态。试求初始值 uC(0+)、iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、 ic(0+) 和uL(0+)。

10 i L (0 − ) = = 2A 3+ 2

（2）由换路定理得： u c (0 + ) = u c (0 − ) = 4V iL (0 + ) = iL (0 − ) = 2 A

4 i1 (0 + ) = = 2 A 2 4 i 2 (0 + ) = = 1 A 4

iC(0+)=2-2-1=-1A uL(0+)=10-3×2-4=0

例2: 电路如图3-4 (a)所示，开关S闭合前电路无储能，开关S在 t=0时闭合，试求 i1 、i2 、i3、 uc、uL的初始值。

图 3-4 例 2 图

解（1）由题意知：

u C (0 − ) = 0 i3 (0 − ) = iL ( 0 − ) = 0

（2）由换路定理得

u C (0 + ) = uC (0 − ) = 0 iL (0 + ) = iL (0 − ) = 0

§6.2 RC电路响应当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应. 一、RC电路的零输入响应

如图所示的电路中，在t0后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。

UC (a ) C R

+ C uC (b )

+ -

换路后由图（b）可知，根据KVL有

-uR+uc=0 而uR=i R,

duC i = −C dt

，代入上式可得

１式

du C RC +u C = 0 dt

为

从而解出特征根为: 则通解

1 p=− RC

−

t RC

u C = Ae

３式

将初始条件uc(0+)=R0IS代入3式，求出积分常数A为

u C (0 + ) = A = R 0 I S

将 uc (0 + ) 代入３式，得到满足初始值的微分方程的通解为，

u C = u C (0 + )e

放电电流为， du

−

t RC

= R0 I S e

− t RC

−

t RC

t≥0

t RC

４式

R0 I S i = −C = e dt R

= i (0 + )e

−

t≥0 ５式

令τ=RC，它具有时间的量纲，即

伏特 [τ ] = [RC ] = ⎡ ⎢ 库仑 ⎤ ⎡ 库仑 ⎤ = [秒 ] =⎢ ⎥ ⎥ ⎣ 安培伏特 ⎦ ⎣ 库仑 / 秒 ⎦ .

故称τ为时间常数, 这样４、５两式可分别写为

u C = u C (0 + )e

−

t≥0 t≥0

i = i (0 + )e

−

减，它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=R0IS 及

1 为负，故uc和 i 均按指数规律衰由于 p = − RC

R0 I S i (0 + ) = R

当t→∞时，uc和 i 衰减到零。

画出uc及i的波形如图所示。

RC 电路零输入响应电压电流波形图

在激励作用之前，电路的初始储能为零仅由激励引起的响应叫零状态响应。

二、 RC电路的零状态响应

u R (0 + ) U S i R (0 + ) = = R R

电容开始充电。随着时间的推移，uC将逐渐升高。

R C电路的零状态响应

uR则逐渐降低，iR（等于ic）逐渐减小。当t→∞时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流 ic(∞)=0，uR (∞)=0，uc=(∞)=Us。由 KVL 得， uR+uc=US 而

du C uR=RiR=RiC= RC ，代入上式可得到以uc dt

du C RC +u C =U S dt

uC(0+)=0 t≥0 1式

为变量的微分方程

初始条件为

uc=uch + ucp

由于1式相应的齐次微分方程与RC零输入响应式完全相同, 因此其通解应为，

u ch = Ae

−

= Ae

−

t RC

式中A为积分常数。特解ucp取决于激励函数，当激励为常量时特解也为一常量，可设ucp=k，代入1式得

ucp =k=US

1式的解（完全解）为

u C = u ch + u cp = Ae

−

t RC

+US

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

将初始条件uc(0+)=0代入上式，得出积分常数A=-US，故

u C = −U S e

−

t RC

⎛ − + U S = U S ⎜1 − e ⎜ ⎝

t RC

由于稳态值 uc (∞)=US，故上式可写成

u C = u C (∞)(1 − e

−

t RC

)

t≥0

2式

du C U S − iC = C = e dt R

t≥0 t≥0

US − i R = iC = e R

− t

u R = Ri R =U S e

t≥0

根据uc、ic、iR及uR的表达式，画出它们的波形如3-10 (b)、(c)所示，其变化规律与前面叙述的物理过程一致。

图3-10 (b)、(C) R C 电路零状态响应 uc、ic、iR及uR波形图

RC电路的全响应

u C = Ke

−

+US

代入初始条件 uC (0+)=U0 得 K= U0 - US

从而得到

u C = (U 0 − U S )e

−

+US

2式

由全响应公式可以有以下两种分解方式：

全响应=暂态响应+稳态响应

2 、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。将2式改写后可得：

uC = U 0e

−

+ U S (1 − e

−

)

3式

§6.3一阶线形电路暂态分析的三要素法

如用 f (t) 表示电路的响应，f (0+)表示该电压或电流的初始值，f (∞) 表示响应的稳定值，τ 表示电路的时间常数，则电路的响应可表示为：

f (t) = f (∞) + [ f (0+ ) − f (∞)]e

−

t ≥0

上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。

τ 称为三要素，把按三要式中f (0+)、 f (∞) 和素公式求解响应的方法称为三要素法。

由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。

用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应，其求解步骤如下：

1. 确定初始值 f (0+)

电容、电感元件在t=0时的电路模型

例5图

解(1) 先求iL(0-)。作t=0- 电路，见图(b)，电感用短路线代替，则

12 4 i L (0 − ) = = 3+6 3 (2)求 f(0+)。作t=0+电路，见图(C),

4 i L (0 + ) = i L (0 − ) = A 3

20 得， i (0 ) = A 9

1 +

图 (C)右边回路中有

8 u L (0+ ) = −6iL (0+ ) + 6[i1 (0+ ) − iL (0 + )] = − V 3

(3) 求 f(∞) 。作 t=∞电路如图 (d) ，电感用短路线代替，则， 12

i1 (∞) = 6×6 3+ 6+6 =2

1 i L (∞) = i1 (∞) = 1A 2

uL(∞) =0 (4)求τ。从动态元件L两端看进去的戴维南等效电阻为： 3× 6 R = 6 + 3 // 6 = 6 + = 8Ω 3+6

L 0 .8 1 τ = = = 0 . 1S = S R 8 10

（5）代入三要素公式

f (t ) = f (∞ ) + [ f (0 + ) − f (∞ )] e

−

2 −10t ⎞ −10t ⎛ 20 i1 (t ) = 2 + ⎜ − 2 ⎟ e = 2 + e A t≥0 9 ⎠ ⎝ 9

1 −10t ⎛ 4 ⎞ −10t iL (t ) = 1 + ⎜ − 1⎟ e = 1 + e A 3 ⎝3 ⎠

8 −10t ⎞ −10t ⎛ 8 u L (t ) = 0 + ⎜ − − 0 ⎟ e = − e V 3 ⎝ 3 ⎠

t≥0

i1 (t)、iL (t)及uL(t)的波形图如图所示。

例5图

小

结

(1) 含有动态元件L、C的电路是动态电路，其伏安关系是微分或积分关系。电容C:

duC iC = C dt

或或

1 t uC = uC (0) + ∫ iC (ξ )dξ C 0 1 t iL = iL (0) + ∫ uL (ξ )dξ L 0

diL 电容L: uL = L dt

(2) 换路定律是指：电容电流和电感电压不能跃变：即 uC(0+)=uC(0-) iL(0+)=iL(0-)

f (t) = f (∞) + [ f (0+ ) − f (∞)]e

−

t ≥0

§6.4

一、微分电路

微分电路与积分电路

uC (0 − ) = 0 V

+ t=0 ~ T + E + t >T

条件：τ

电路的输出近似为输入信号的微分

二、积分电路

条件：τ>> T

t= 0 ~ T +

R C

+ +

E -

t >T

电路的输出近似为输入信号的积分

§6.5

RL电路的响应

由图 (b)，根据KVL有 uL+uR=0

di L 及u R = Ri L 代入上式将 uL = L dt

di L L + Ri L = 0 dt

得，

1式

上式为一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为， iL=Ae pt t≥0 2式将2式代入1式，得特征方程为，

LP+R=0

故特征根为，

R p = − L

则通解为若令 τ =

L R

i L = Ae

−

R t L

t≥0

，τ是RL电路的时间常数，仍具有

时间量纲，上式可写为，

i L = Ae

常数A为

−

t≥0

3式

将初始条件i L(0+)= iL (0-)=I 0 代入3式，求出积分 iL (0+)=A=I0 这样得到满足初始条件的微分方程的通解为

− t − t

i L =i L (0 + )e

= I 0e

t≥0

4式

电阻及电感的电压分别是：

u R = Ri L = RI 0 e

−

t≥0

−

u L = −u R = − RI 0 e

t≥0

图3-8 RL 电路零输入响应iL、uR和 uL 的波形

二、 RL电路的零状态响应

uL+uR=US

将

uL = L di L dt

uR=RiL , 代入上式，可得

di L L + Ri L = U S dt

初始条件为 iL (0+)=0

1式

图 (a) 一阶RL电路的零状态响应

1式也是一阶常系数非齐次微分方程，其解同样由齐次方程的通解iLh 和非齐次方程的特解iLP两部分组成，即 iL=iLh+iLp 其齐次方程的通解也应为，

− t − R t L

i Lh = Ae

= Ae

式中时间常数τ=L/R，与电路激励无关。非齐次方程的特解与激励的形式有关，由于激励为直流电压源，故特解 iLP为常量，令iLP =K，代入1式得，

i Lp

因此完全解为，

US =K= R

− t

i L = Ae

US + R

代入t=0时的初始条件 iL(0+)=0得

US A=− R

于是

US − e iL = − R

US R

− US US + = (1 − e τ ) R R

由于iL的稳态值 i L (∞) =

，故上式可写成：

⎛ − i L = i L (∞)⎜1 − e ⎜ ⎝

电路中的其他响应分别为

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

− t

t≥0

di L uL = L = USe at

t≥0

t ⎛ ⎞ − US ⎜ iR = iL = 1− e τ ⎟ ⎟ R ⎜ ⎝ ⎠ t ⎛ ⎞ − u R = Ri R = U S ⎜1 − e τ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

t≥0

它们的波形如图 (b)、(c)所示。

图一阶RL电路的零状态响应波形图

第六章

结

束

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