2015年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）（2015•山西）计算﹣3+（﹣1）的结果是（ ）
A ．2 B ．﹣2 C ．4 D ．﹣4
2．（3分）（2015•山西）下列运算错误的是（ ）
A ．=1 B．x +x =2x 224
C ．|a |=|﹣a | D ．=
3．（3分）（2015•山西）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗
格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A ． B． C． D ．
4．（3分）（2015•山西）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB ，BC 的中点．若△DBE
的周长是6，则△ABC 的周长是（ ）
A ．8 B ．10 C ．12 D ．14
25．（3分）（2015•山西）我们解一元二次方程3x ﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方
程化为3x （x ﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x ﹣2=0，进而得到原方程的解
为x 1=0，x 2=2．这种解法体现的数学思想是（ ）
A ．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
6．（3分）（2015•山西）如图，直线a ∥b ，一块含60°角的直角三角板ABC （∠A=60°）按
如图所示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A ．105° B ．110° C ．115° D ．120°
7．（3分）（2015•山西）化简﹣的结果是（ ）
A ． B ． C ． D．
8．（3分）（2015•山西）我国古代秦汉时期有一部数学著作，堪称是世界数学经典名著．它
的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立．它采用按类分章的问题集的形式进行编排．其
中方程的解法和正负数加减运算法则在世界上遥遥领先，这部著作的名称是（ ）
A ．《九章算术》 B ．《海岛算经》 C ．《孙子算经》 D ．《五经算术》
9．（3分）（2015•山西）某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者．初一（1）
班、初一（2）班、初一（3）班各有2名同学报名参加．现从这6名同学中随机选取一名志
愿者，则被选中的这名同学恰好是初一（3）班同学的概率是（ ）
A ． B ． C ． D ．
10．（3分）（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点
上，则∠ABC 的正切值是（ ）
A ．2 B ． C ． D ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•山西）不等式组的解集是
12．（3分）（2015•山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角
形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案
有10个三角形，…依此规律，第n 个图案有 个三角形（用含n 的代数式表示）
13．（3分）（2015•山西）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为
中点．若∠A=40°，则∠B= 度． 的
14．（3分）（2015•山西）现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1，2的两张卡
片，另一个装有标号分别为1，2，3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同．若从两个盒子
中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好相同的概率是 ．
15．（3分）（2015•山西）太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国
首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，点B ，C 在EF 上，
EF ∥HG ，EH ⊥HG ，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A 到地面的距离是 cm ．
16．（3分）（2015•山西）如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点D 落在边AB 上，
对应点为D ′，点C 落在C ′处．若AB=6，AD ′=2，则折痕MN 的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2015•山西）（1）计算：（﹣3﹣1）×
（2）解方程：=﹣． ﹣2÷﹣1．
18．（6分）（2015•山西）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为
斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发
现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数
恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应
用．
斐波那契数列中的第n 个数可以用[﹣]表示（其中，n ≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
19．（6分）（2015•山西）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=3x+2的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数
y=（k ≠0）在第一象限内的图象交于点B ，且点B 的横坐标为1．过点A 作AC ⊥y 轴交反比例函数
y=（k ≠0）的图象于点C ，连接BC ．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）求△ABC 的面积．
20．（8分）（2015•山西）随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公交、地铁上的“低头族”越来越多．某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查（问卷调查表如图1所示）并将调查结果绘制成图2和图3所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是 人．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在扇形统计图中，观点E 的百分比是 ，表示观点B 的扇形的圆心角度数为 度．
（4）假如你是该研究机构的一名成员，请根据以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提出你的建议．
21．（10分）（2015•山西）如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作⊙C ，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E ，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求的长．
22．（7分）（2015•山西）某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发
（1）第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg ，用去了1520元钱，这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少元钱？
（2
）第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少kg ？
23．（12分）（2015•山西）综合与实践：制作无盖盒子
任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高
3为4cm ，容积为616cm 的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．
（1）请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
（2）请求出这块矩形纸板的长和宽．
任务二：图2是一个高为4cm 的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图3是其底面，在五边形ABCDE 中，BC=12cm，AB=DC=6cm，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°．
（1）试判断图3中AE 与DE 的数量关系，并加以证明．
（2）图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少cm ？请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）．
24．（13分）（2015•山西）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的函数表达式为y=﹣x +2x +4．抛物线W 与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧，与y 轴交于点C ，它的对称轴与x 轴交于点D ，直线l 经过C 、D 两点．
（1）求A 、B 两点的坐标及直线l 的函数表达式．
（2）将抛物线W 沿x 轴向右平移得到抛物线W ′，设抛物线W ′的对称轴与直线l 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求点F 的坐标，并直接写出此时抛物线W ′的函数表达式．
（3）如图2，连接AC ，CB ，将△ACD 沿x 轴向右平移m 个单位（0＜m ≤5），得到△A ′C ′D ′．设A ′C 交直线l 于点M ，C ′D ′交CB 于点N ，连接CC ′，MN ．求四边形CMNC ′的面积（用含m 的代数式表示）．
2015年山西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）（2015•山西）计算﹣3+（﹣1）的结果是（ ）
A ．2 B ．﹣2 C ．4 D ．﹣4
【分析】根据同号两数相加的法则进行计算即可．
【解答】解：﹣3+（﹣1）=﹣（3+1）=﹣4，
故选：D ．
【点评】本题主要考查了有理数的加法法则，解决本题的关键是熟记同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
2．（3分）（2015•山西）下列运算错误的是（ ）
A ．=1 B．x +x =2x 224
C ．|a |=|﹣a | D ．=
【分析】A 、原式利用零指数幂法则计算得到结果，即可做出判断；
B 、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
C 、原式利用绝对值的代数意义判断即可；
D 、原式利用乘方的意义计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A 、原式=1，正确；
B 、原式=2x，错误；
C 、|a |=|﹣a |，正确；
D 、原式=，正确， 2
故选B
【点评】此题考查了分式的乘除法，绝对值，合并同类项，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）（2015•山西）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A ． B． C． D ．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
B 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；
C 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
D 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．
故选B ．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（3分）（2015•山西）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB ，BC 的中点．若△DBE 的周长是6，则△ABC 的周长是（ ）
A ．8 B ．10 C ．12 D ．14
【分析】首先根据点D 、E 分别是边AB ，BC 的中点，可得DE 是三角形BC 的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得DE=AC ，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC 的周长和△DBE 的周长的关系，再结合△DBE 的周长是6，即可求出△ABC 的周长是多少．
【解答】解：∵点D 、E 分别是边AB ，BC 的中点，
∴DE 是三角形BC 的中位线，AB=2BD，BC=2BE，
∴DE ∥BC 且DE=AC ，
又∵AB=2BD，BC=2BE，
∴AB +BC +AC=2（BD +BE +DE ），
即△ABC 的周长是△DBE 的周长的2倍，
∵△DBE 的周长是6，
∴△ABC 的周长是：
6×2=12．
故选：C ．
【点评】（1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握．
5．（3分）（2015•山西）我们解一元二次方程3x ﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x （x ﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x ﹣2=0，进而得到原方程的解为x 1=0，x 2=2．这种解法体现的数学思想是（ ）
A ．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
【分析】上述解题过程利用了转化的数学思想．
2【解答】解：我们解一元二次方程3x ﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x
（x ﹣2）=0，
从而得到两个一元一次方程：3x=0或x ﹣2=0，
进而得到原方程的解为x 1=0，x 2=2．
这种解法体现的数学思想是转化思想，
故选A ．
2
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6．（3分）（2015•山西）如图，直线a ∥b ，一块含60°角的直角三角板ABC （∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A ．105° B ．110° C ．115° D ．120°
【分析】如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=55°，借助三角形外角的性质求出∠AMO 即可解决问题．
【解答】解：如图，∵直线a ∥b ，
∴∠AMO=∠2；
∵∠ANM=∠1，而∠1=55°，
∴∠ANM=55°，
∴∠AMO=∠A +∠ANM=60°+55°=115°，
∴∠2=∠AMO=115°．
故选C ．
【点评】该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础．
7．（3分）（2015•山西）化简﹣的结果是（ ）
A ． B ． C ． D．
【分析】原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣ ==﹣
=，
故选A ．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（3分）（2015•山西）我国古代秦汉时期有一部数学著作，堪称是世界数学经典名著．它的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立．它采用按类分章的问题集的形式进行编排．其中方程的解法和正负数加减运算法则在世界上遥遥领先，这部著作的名称是（ ）
A ．《九章算术》 B ．《海岛算经》 C ．《孙子算经》 D ．《五经算术》
【分析】根据数学常识解答即可．
【解答】解：此著作是《九章算术》，
故选A ．
【点评】此题考查数学常识，关键是根据以往知识进行解答．
9．（3分）（2015•山西）某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者．初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班各有2名同学报名参加．现从这6名同学中随机选取一名志愿者，则被选中的这名同学恰好是初一（3）班同学的概率是（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】用初一3班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案．
【解答】解：∵共有6名同学，初一3班有2人，
∴P （初一3班）==，
故选B ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．（3分）（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）
A ．2 B ． C ． D ．
【分析】根据勾股定理，可得AC 、AB 的长，根据正切函数的定义，可得答案．
【解答】解：如图：
由勾股定理，得 AC=，AB=2，BC=
∴△ABC 为直角三角形，
∴tan ∠B==， ， ，
故选：D ．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC 、AB 的长，再求正切函数．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•山西）不等式组的解集是 x ＞4 ．
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大大取大确定不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得：x ＞4，
由②得：x ＞2，
不等式组的解集为：x ＞4．
故答案为：x ＞4．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
12．（3分）（2015•山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n 个图案有 3n +1 个三角形（用含n 的代数式表示）
【分析】由题意可知：第（1）个图案有3+1=4个三角形，第（2）个图案有3×2+1=7个三角形，第（3）个图案有3×3+110个三角形，…依此规律，第n 个图案有3n +1个三角形．
【解答】解：∵第（1）个图案有3+1=4个三角形，
第（2）个图案有3×2+1=7个三角形，
第（3）个图案有3×3+1=10个三角形，
…
∴第n 个图案有3n +1个三角形．
故答案为：3n +1．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．
13．（3分）（2015•山西）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为中点．若∠A=40°，则∠B= 70 度．
的
【分析】首先连接BD ，由AB 为⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB 的度数，继而求得∠ABD 的度数，由圆的内接四边形的性质，求得∠C 的度数，然后由点C 为的中点，可得CB=CD，即可求得∠CBD 的度数，继而求得答案．
【解答】解：连接BD ，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=40°，
∴∠ABD=90°﹣∠A=50°，∠C=180°﹣∠A=140°，
∵点C 为的中点，
∴CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB=20°，
∴∠ABC=∠ABD +∠CBD=70°．
故答案为：70°．
【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及弧与弦的关系．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
14．（3分）（2015•山西）现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1，2的两张卡片，另一个装有标号分别为1，2，3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同．若从两个盒子中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好相同的概率是
．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片标号恰好相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两张卡片标号恰好相同的有2种情况， ∴两张卡片标号恰好相同的概率是：=． 故答案为：．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）（2015•山西）太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，点B ，C 在EF 上，EF ∥HG ，EH ⊥HG ，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A 到地面的距离是
cm ．
【分析】分别过点A 作AM ⊥BF 于点M ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，利用勾股定理得出BN 的长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．
【解答】解：过点A 作AM ⊥BF 于点M ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，
∵AD=24cm，则NC=24cm，
∴BN=
==7（cm ），
∵∠AMB=∠CNB=90°，∠ABM=∠CBN ，
∴△BNC ∽△BMA ， ∴∴==， ，
=，
+4=（m ）． 则：AM=
故点A 到地面的距离是：
故答案为：．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，得出△BNC ∽△BMA 是解题关键．
16．（3分）（2015•山西）如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点D 落在边AB 上，对应点为D ′，点C 落在C ′处．若AB=6，AD ′=2，则折痕MN 的长为 2 ．
【分析】作NF ⊥AD ，垂足为F ，连接DD ′，ND ′，根据图形折叠的性质得出DD ′⊥MN ，先证明△DAD ′∽△DEM ，再证明△NFM ≌△DAD ′，然后利用勾股定理的知识求出MN 的长．
【解答】解：作NF ⊥AD ，垂足为F ，连接DD ′，ND ′，
∵将正方形纸片ABCD 折叠，使得点D 落在边AB 上的D ′点，折痕为MN ，
∴DD ′⊥MN ，
∵∠A=∠DEM=90°，∠ADD ′=∠EDM ，
∴△DAD ′∽△DEM ，
∴∠DD ′A=∠DME ，
在△NFM 和△DAD ′中
，
∴△NFM ≌△DAD ′（AAS ），
∴FM=AD′=2cm，
又∵在Rt △MNF 中，FN=6cm，
∴根据勾股定理得：MN=故答案为：2． ==2．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，根据图形折叠前后图形不发生大小变化得出三角形的全等是解决问题的关键，难度一般．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2015•山西）（1）计算：（﹣3﹣1）×
（2）解方程：=﹣． ﹣2÷﹣1．
【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式=﹣4×﹣÷（﹣）=﹣9+4=﹣5；
（2）去分母得：2=2x﹣1﹣3，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18．（6分）（2015•山西）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n 个数可以用[﹣]表示（其中，n ≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．
【解答】解：第1个数，当n=1时， [==（× ﹣﹣） ] =1．
第2个数，当n=2时， [=
==[（×（×1× ﹣）﹣（+）（2] ）] ﹣） 2
=1．
【点评】此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
19．（6分）（2015•山西）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=3x+2的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数
y=（k ≠0）在第一象限内的图象交于点B ，且点B 的横坐标为1．过点A 作AC ⊥y 轴交反比例函数
y=（k ≠0）的图象于点C ，连接BC ．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）求△ABC 的面积．
【分析】（1）先由一次函数y=3x+2的图象过点B ，且点B 的横坐标为1，将x=1代入y=3x+2，求出y 的值，得到点B 的坐标，再将B 点坐标代入
y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（2）先由一次函数y=3x+2的图象与y 轴交于点A ，求出点A 的坐标为（0，2），再将y=2代入
y=，求出x 的值，那么AC=．过B 作BD ⊥AC 于D ，则BD=yB ﹣y C =5﹣2=3，然后根据S △ABC =AC •BD ，将数值代入计算即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y=3x+2的图象过点B ，且点B 的横坐标为1，
∴y=3×1+2=5，
∴点B 的坐标为（1，5）．
∵点B 在反比例函数
y=的图象上，
∴k=1×5=5，
∴反比例函数的表达式为
y=；
（2）∵一次函数y=3x+2的图象与y 轴交于点A ，
∴当x=0时，y=2，
∴点A 的坐标为（0，2），
∵AC ⊥y 轴，
∴点C 的纵坐标与点A 的纵坐标相同，是2，
∵点C 在反比例函数
y=的图象上，
∴当y=2时，2=，解得x=，
∴AC=．
过B 作BD ⊥AC 于D ，则BD=yB ﹣y C =5﹣2=3，
∴S △ABC =AC •BD=××3=．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，平行于y 轴的直线上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．求出反比例函数的解析式是解题的关键．
20．（8分）（2015•山西）随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公交、地铁上的“低头族”越来越多．某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查（问卷调查表如图1所示）并将调查结果绘制成图2和图3所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是 5000 人．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在扇形统计图中，观点E 的百分比是 4% ，表示观点B 的扇形的圆心角度数为 18 度．
（4）假如你是该研究机构的一名成员，请根据以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提出你的建议．
【分析】（1）根据D 类观点除以D 类所占的百分比，可得调查的人数；
（2）根据各类调查的人数，可得条形统计图；
（3）根据E 类人数除以调查的人数，可得答案，根据B 类人数除以调查人数，再乘以360°，可得答案；
（4）根据对调查数据的收集、整理，可得答案．
【解答】解：（1）本次接受调查的总人数是 5000人
（2）C 类的人数为5000﹣2300﹣250﹣750﹣200=1500（人）， 请将条形统计图补充完整
（3）在扇形统计图中，观点E 的百分比是 4%，表示观点B 的扇形的圆心角度数为 18度， 故答案为：5000，4%，18．
（4）应充分利用数字化阅读获取信息方便等优势，但不要成为“低头族”而影响人际交往．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（10分）（2015•山西）如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作⊙C ，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E ，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求的长．
【分析】（1）过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，然后以C 点为圆心，CD 为半径作圆即可；
（2）先根据切线的性质得∠ADC=90°，则利用互余可计算出∠DCE=90°﹣∠A=60°，∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，再在Rt △BCD 中利用∠BCD 的余弦可计算出CD=
据弧长公式求解．
【解答】解：（1）如图， ，然后根
⊙C 为所求；
（2）∵⊙C 切AB 于D ，
∴CD ⊥AB ，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，
在Rt △BCD 中，∵cos ∠BCD=
∴CD=3cos30°=， ，
∴的长==π．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质和弧长公式．
22．（7分）（2015•山西）某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发
（1）第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg ，用去了1520元钱，这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少元钱？
（2）第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少kg ？
【分析】（1）设批发西红柿xkg ，西兰花ykg ，根据批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg ，用去了1520元钱，列方程组求解；
（2）设批发西红柿akg ，根据当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，列不等式求解．
【解答】解：（1）设批发西红柿xkg ，西兰花ykg ，
由题意得，
解得：，
故批发西红柿200kg ，西兰花100kg ，
则这两种蔬菜当天全部售完一共能赚：200×1.8+100×6=960（元），
答：这两种蔬菜当天全部售完一共能赚960元；
（2）设批发西红柿akg ，
由题意得，（5.4﹣3.6）a +（14﹣8）×≥1050，
解得：a ≤100．
答：该经营户最多能批发西红柿100kg ．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
23．（12分）（2015•山西）综合与实践：制作无盖盒子
任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高
3为4cm ，容积为616cm 的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．
（1）请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
（2）请求出这块矩形纸板的长和宽．
任务二：图2是一个高为4cm 的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图3是其底面，在五边形ABCDE 中，BC=12cm，AB=DC=6cm，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°．
（1）试判断图3中AE 与DE 的数量关系，并加以证明．
（2）图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少cm ？请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）．
【分析】任务一：（1）按要求画出示意图即可；
（2）设矩形纸板的宽为xcm ，则长为2xcm ，根据题意列出方程，解之即可．
任务二：（1）AD=DE，延长EA 、ED 分别交直线BC 于点M 、N ，先证明EM=EN，再证明△MAB ≌△NDC ，得到AM=DN即可；
（2）如图4，由（1）得；AE=DE，∠EAD=∠EDA=30°，
由已知得，AG=DF=4，连接AD ，GF ，
过B ，C 分别作BM ⊥AD 于M ，CN ⊥AD 于N ，过E 作EP ⊥AD 于P ，
则GF 即为矩形纸板的长，MN=BC=12，AP=DP
得到∠BAM=∠CDN=60°，
求出AM=DN=3，BM=CN=3，
然后通过三角形相似即可得到结果．
【解答】解：任务一：（1）如图1所示：
（2）设矩形纸板的宽为xcm ，则长为2xcm ，
由题意得：4（x ﹣2×4）（2x ﹣2×4）=616，解得：x 1=15，x 2=﹣3（舍去），
∴2x=2×15=30，
答：矩形纸板的长为30cm ，宽为15cm ；
任务二：解：（1）AE=DE，证明如下：
如图4，延长EA ，ED 分别交直线BC 于M ，N ，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠ABM=∠DCN=60°，
∵∠EAB=∠EDC=90°，
∴∠M=∠N=30°，
∴EM=EN，
在△MAB 与△NDC 中，
，
∴△MAB ≌△NDC ，
∴AM=DN，
∴EM ﹣AM=EN﹣DN ，
∴AE=DE；
（2）如图5，过B ，C 分别作BP ⊥AD 于P ，CQ ⊥AD 于Q ，GI ⊥KH 于点F ，
则KH 即为矩形纸板的长，GI 即为矩形纸板的宽，
∴PQ=BC=12，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠BAP=∠CDQ=60°，
∵AB=CD=6，
∴AP=DQ=3，
BP=CQ=FJ=3，
∴
AF=AD=（3+3+12）=9， ∴，FE=3，
∵∠AED=120°，
∴∠MEN=60°，
∵ME=NE=4，
∴GE=2，
∴GI=GE+EJ +JI=2+6+4=8+4，
∵∠KAS=90°﹣∠PAB=30°=∠HDT ，
∴AK=DH=2，
∴KH=3+3+12+4=18+4，
∴矩形纸板的长至少为18+4，矩形纸板的宽至少为4+8
．
【点评】本题考查了长方体的平面图，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，相似三角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．
24．（13分）（2015•山西）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的函数表达式为y=﹣x +2x +4．抛物线W 与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧，与y 轴交于点C ，它的对称轴与x 轴交于点D ，直线l 经过C 、D 两点．
（1）求A 、B 两点的坐标及直线l 的函数表达式．
（2）将抛物线W 沿x 轴向右平移得到抛物线W ′，设抛物线W ′的对称轴与直线l 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求点F 的坐标，并直接写出此时抛物线W ′的函数表达式．
（3）如图2，连接AC ，CB ，将△ACD 沿x 轴向右平移m 个单位（0＜m ≤5），得到△A ′C ′D ′．设A ′C 交直线l 于点M ，C ′D ′交CB 于点N ，连接CC ′，MN ．求四边形CMNC ′的面积（用含m 的代数式表示）．
【分析】（1）根据自变量与函数值对应关系，当函数值为零时，可得A 、B 点坐标，当自变量为零时，可得C 点坐标，根据对称轴公式，可得D 点坐标，根据待定系数法，可得l 的解析式；
（2）根据余角性质，可得∠1与∠3的关系，根据正切的定义，可得关于F 点的横坐标的方程，根据解方程，可得F 点坐标，平移后的对称轴，根据平移后的对称轴，可得平移后的函数解析式；
（3）根据图象平移的规律，可得A ′，C ′，D ′′点的坐标，根据待定系数法，可得A ′C ，BC ，C ′D ′的解析式，根据解方程组，可得M 、N 的坐标，根据平行四边形的判定，可得四边形CMNC ′的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
【解答】解：（1）当y=0时，﹣x +2+4=0，
解得x 1=﹣3，x 2=7，
∴点A 坐标为（﹣3，0），点B 的坐标为（7，0）． ∵﹣=﹣，
∴抛物线w 的对称轴为直线x=2，
∴点D 坐标为（2，0）．
当x=0时，y=4，
∴点C 的坐标为（0，4）．
设直线l 的表达式为y=kx+b ，
， 解得，
∴直线l 的解析式为y=﹣2x +4；
（2）∵抛物线w 向右平移，只有一种情况符合要求，
即∠FAC=90°，如图
此时抛物线w ′的对称轴与x 轴的交点为G ，
∵∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴tan ∠1=tan∠3， ∴=． ．
设点F 的坐标为（x F ，﹣2x F +4）， ∴=，
解得x F =5，﹣2x F +4=﹣6，
∴点F 的坐标为（5，﹣6），
此时抛物线w ′的函数表达式为y=﹣x +2x ；
（3）由平移可得：点C ′，点A ′，点D ′的坐标分别为C ′（m ，4），A ′（﹣3+m ，0），D ′（2+m ，0），CC ′∥x 轴，C ′D ′∥CD ，
可用待定系数法求得
直线A ′C ′的表达式为
y=x +4﹣m ，
直线BC 的表达式为y=﹣x +4，
直线C ′D ′的表达式为y=﹣2x +2m +4， 分别解方程组和， 解得和，
∴点M 的坐标为（m ，﹣m +4），点N 的坐标为（m ，﹣m +4），
∴y M =yN ∴MN ∥x 轴，
∵CC ′∥x 轴，
∴CC ′∥MN ．
∵C ′D ′∥CD ，
∴四边形CMNC ′是平行四边形，
∴S=m[4﹣（﹣m +4）]=m
【点评】本题考察了二次函数综合题，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，待定系数法求函数解析式；（2）利用了余角的性质，正切函数的性质，利用等角的正切函数值相等得出关于F 点横坐标的方程是解题关键；（3）利用了图象的平移规律，待定系数法求函数解析式，解方程组得出M 、N 的坐标是解题关键，又利用了平行四边形的判定，平行四边形的面积公式．
2
参与本试卷答题和审题的老师有：sdwdmahongye ；sks ；caicl ；放飞梦想；sjw666；1987483819；sjzx ；2300680618；sd2011；73zzx ；zcx ；[email protected]；HJJ ；gsls ；王学峰（排名不分先后）
菁优网
2016年9月4日
2015年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）（2015•山西）计算﹣3+（﹣1）的结果是（ ）
A ．2 B ．﹣2 C ．4 D ．﹣4
2．（3分）（2015•山西）下列运算错误的是（ ）
A ．=1 B．x +x =2x 224
C ．|a |=|﹣a | D ．=
3．（3分）（2015•山西）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗
格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A ． B． C． D ．
4．（3分）（2015•山西）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB ，BC 的中点．若△DBE
的周长是6，则△ABC 的周长是（ ）
A ．8 B ．10 C ．12 D ．14
25．（3分）（2015•山西）我们解一元二次方程3x ﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方
程化为3x （x ﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x ﹣2=0，进而得到原方程的解
为x 1=0，x 2=2．这种解法体现的数学思想是（ ）
A ．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
6．（3分）（2015•山西）如图，直线a ∥b ，一块含60°角的直角三角板ABC （∠A=60°）按
如图所示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A ．105° B ．110° C ．115° D ．120°
7．（3分）（2015•山西）化简﹣的结果是（ ）
A ． B ． C ． D．
8．（3分）（2015•山西）我国古代秦汉时期有一部数学著作，堪称是世界数学经典名著．它
的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立．它采用按类分章的问题集的形式进行编排．其
中方程的解法和正负数加减运算法则在世界上遥遥领先，这部著作的名称是（ ）
A ．《九章算术》 B ．《海岛算经》 C ．《孙子算经》 D ．《五经算术》
9．（3分）（2015•山西）某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者．初一（1）
班、初一（2）班、初一（3）班各有2名同学报名参加．现从这6名同学中随机选取一名志
愿者，则被选中的这名同学恰好是初一（3）班同学的概率是（ ）
A ． B ． C ． D ．
10．（3分）（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点
上，则∠ABC 的正切值是（ ）
A ．2 B ． C ． D ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•山西）不等式组的解集是
12．（3分）（2015•山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角
形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案
有10个三角形，…依此规律，第n 个图案有 个三角形（用含n 的代数式表示）
13．（3分）（2015•山西）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为
中点．若∠A=40°，则∠B= 度． 的
14．（3分）（2015•山西）现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1，2的两张卡
片，另一个装有标号分别为1，2，3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同．若从两个盒子
中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好相同的概率是 ．
15．（3分）（2015•山西）太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国
首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，点B ，C 在EF 上，
EF ∥HG ，EH ⊥HG ，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A 到地面的距离是 cm ．
16．（3分）（2015•山西）如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点D 落在边AB 上，
对应点为D ′，点C 落在C ′处．若AB=6，AD ′=2，则折痕MN 的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2015•山西）（1）计算：（﹣3﹣1）×
（2）解方程：=﹣． ﹣2÷﹣1．
18．（6分）（2015•山西）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为
斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发
现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数
恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应
用．
斐波那契数列中的第n 个数可以用[﹣]表示（其中，n ≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
19．（6分）（2015•山西）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=3x+2的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数
y=（k ≠0）在第一象限内的图象交于点B ，且点B 的横坐标为1．过点A 作AC ⊥y 轴交反比例函数
y=（k ≠0）的图象于点C ，连接BC ．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）求△ABC 的面积．
20．（8分）（2015•山西）随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公交、地铁上的“低头族”越来越多．某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查（问卷调查表如图1所示）并将调查结果绘制成图2和图3所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是 人．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在扇形统计图中，观点E 的百分比是 ，表示观点B 的扇形的圆心角度数为 度．
（4）假如你是该研究机构的一名成员，请根据以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提出你的建议．
21．（10分）（2015•山西）如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作⊙C ，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E ，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求的长．
22．（7分）（2015•山西）某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发
（1）第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg ，用去了1520元钱，这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少元钱？
（2
）第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少kg ？
23．（12分）（2015•山西）综合与实践：制作无盖盒子
任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高
3为4cm ，容积为616cm 的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．
（1）请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
（2）请求出这块矩形纸板的长和宽．
任务二：图2是一个高为4cm 的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图3是其底面，在五边形ABCDE 中，BC=12cm，AB=DC=6cm，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°．
（1）试判断图3中AE 与DE 的数量关系，并加以证明．
（2）图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少cm ？请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）．
24．（13分）（2015•山西）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的函数表达式为y=﹣x +2x +4．抛物线W 与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧，与y 轴交于点C ，它的对称轴与x 轴交于点D ，直线l 经过C 、D 两点．
（1）求A 、B 两点的坐标及直线l 的函数表达式．
（2）将抛物线W 沿x 轴向右平移得到抛物线W ′，设抛物线W ′的对称轴与直线l 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求点F 的坐标，并直接写出此时抛物线W ′的函数表达式．
（3）如图2，连接AC ，CB ，将△ACD 沿x 轴向右平移m 个单位（0＜m ≤5），得到△A ′C ′D ′．设A ′C 交直线l 于点M ，C ′D ′交CB 于点N ，连接CC ′，MN ．求四边形CMNC ′的面积（用含m 的代数式表示）．
2015年山西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）（2015•山西）计算﹣3+（﹣1）的结果是（ ）
A ．2 B ．﹣2 C ．4 D ．﹣4
【分析】根据同号两数相加的法则进行计算即可．
【解答】解：﹣3+（﹣1）=﹣（3+1）=﹣4，
故选：D ．
【点评】本题主要考查了有理数的加法法则，解决本题的关键是熟记同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
2．（3分）（2015•山西）下列运算错误的是（ ）
A ．=1 B．x +x =2x 224
C ．|a |=|﹣a | D ．=
【分析】A 、原式利用零指数幂法则计算得到结果，即可做出判断；
B 、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
C 、原式利用绝对值的代数意义判断即可；
D 、原式利用乘方的意义计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A 、原式=1，正确；
B 、原式=2x，错误；
C 、|a |=|﹣a |，正确；
D 、原式=，正确， 2
故选B
【点评】此题考查了分式的乘除法，绝对值，合并同类项，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）（2015•山西）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A ． B． C． D ．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
B 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；
C 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
D 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．
故选B ．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（3分）（2015•山西）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB ，BC 的中点．若△DBE 的周长是6，则△ABC 的周长是（ ）
A ．8 B ．10 C ．12 D ．14
【分析】首先根据点D 、E 分别是边AB ，BC 的中点，可得DE 是三角形BC 的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得DE=AC ，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC 的周长和△DBE 的周长的关系，再结合△DBE 的周长是6，即可求出△ABC 的周长是多少．
【解答】解：∵点D 、E 分别是边AB ，BC 的中点，
∴DE 是三角形BC 的中位线，AB=2BD，BC=2BE，
∴DE ∥BC 且DE=AC ，
又∵AB=2BD，BC=2BE，
∴AB +BC +AC=2（BD +BE +DE ），
即△ABC 的周长是△DBE 的周长的2倍，
∵△DBE 的周长是6，
∴△ABC 的周长是：
6×2=12．
故选：C ．
【点评】（1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握．
5．（3分）（2015•山西）我们解一元二次方程3x ﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x （x ﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x ﹣2=0，进而得到原方程的解为x 1=0，x 2=2．这种解法体现的数学思想是（ ）
A ．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
【分析】上述解题过程利用了转化的数学思想．
2【解答】解：我们解一元二次方程3x ﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x
（x ﹣2）=0，
从而得到两个一元一次方程：3x=0或x ﹣2=0，
进而得到原方程的解为x 1=0，x 2=2．
这种解法体现的数学思想是转化思想，
故选A ．
2
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6．（3分）（2015•山西）如图，直线a ∥b ，一块含60°角的直角三角板ABC （∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A ．105° B ．110° C ．115° D ．120°
【分析】如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=55°，借助三角形外角的性质求出∠AMO 即可解决问题．
【解答】解：如图，∵直线a ∥b ，
∴∠AMO=∠2；
∵∠ANM=∠1，而∠1=55°，
∴∠ANM=55°，
∴∠AMO=∠A +∠ANM=60°+55°=115°，
∴∠2=∠AMO=115°．
故选C ．
【点评】该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础．
7．（3分）（2015•山西）化简﹣的结果是（ ）
A ． B ． C ． D．
【分析】原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣ ==﹣
=，
故选A ．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（3分）（2015•山西）我国古代秦汉时期有一部数学著作，堪称是世界数学经典名著．它的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立．它采用按类分章的问题集的形式进行编排．其中方程的解法和正负数加减运算法则在世界上遥遥领先，这部著作的名称是（ ）
A ．《九章算术》 B ．《海岛算经》 C ．《孙子算经》 D ．《五经算术》
【分析】根据数学常识解答即可．
【解答】解：此著作是《九章算术》，
故选A ．
【点评】此题考查数学常识，关键是根据以往知识进行解答．
9．（3分）（2015•山西）某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者．初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班各有2名同学报名参加．现从这6名同学中随机选取一名志愿者，则被选中的这名同学恰好是初一（3）班同学的概率是（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】用初一3班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案．
【解答】解：∵共有6名同学，初一3班有2人，
∴P （初一3班）==，
故选B ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．（3分）（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）
A ．2 B ． C ． D ．
【分析】根据勾股定理，可得AC 、AB 的长，根据正切函数的定义，可得答案．
【解答】解：如图：
由勾股定理，得 AC=，AB=2，BC=
∴△ABC 为直角三角形，
∴tan ∠B==， ， ，
故选：D ．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC 、AB 的长，再求正切函数．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•山西）不等式组的解集是 x ＞4 ．
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大大取大确定不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得：x ＞4，
由②得：x ＞2，
不等式组的解集为：x ＞4．
故答案为：x ＞4．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
12．（3分）（2015•山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n 个图案有 3n +1 个三角形（用含n 的代数式表示）
【分析】由题意可知：第（1）个图案有3+1=4个三角形，第（2）个图案有3×2+1=7个三角形，第（3）个图案有3×3+110个三角形，…依此规律，第n 个图案有3n +1个三角形．
【解答】解：∵第（1）个图案有3+1=4个三角形，
第（2）个图案有3×2+1=7个三角形，
第（3）个图案有3×3+1=10个三角形，
…
∴第n 个图案有3n +1个三角形．
故答案为：3n +1．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．
13．（3分）（2015•山西）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为中点．若∠A=40°，则∠B= 70 度．
的
【分析】首先连接BD ，由AB 为⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB 的度数，继而求得∠ABD 的度数，由圆的内接四边形的性质，求得∠C 的度数，然后由点C 为的中点，可得CB=CD，即可求得∠CBD 的度数，继而求得答案．
【解答】解：连接BD ，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=40°，
∴∠ABD=90°﹣∠A=50°，∠C=180°﹣∠A=140°，
∵点C 为的中点，
∴CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB=20°，
∴∠ABC=∠ABD +∠CBD=70°．
故答案为：70°．
【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及弧与弦的关系．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
14．（3分）（2015•山西）现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1，2的两张卡片，另一个装有标号分别为1，2，3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同．若从两个盒子中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好相同的概率是
．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片标号恰好相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两张卡片标号恰好相同的有2种情况， ∴两张卡片标号恰好相同的概率是：=． 故答案为：．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）（2015•山西）太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，点B ，C 在EF 上，EF ∥HG ，EH ⊥HG ，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A 到地面的距离是
cm ．
【分析】分别过点A 作AM ⊥BF 于点M ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，利用勾股定理得出BN 的长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．
【解答】解：过点A 作AM ⊥BF 于点M ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，
∵AD=24cm，则NC=24cm，
∴BN=
==7（cm ），
∵∠AMB=∠CNB=90°，∠ABM=∠CBN ，
∴△BNC ∽△BMA ， ∴∴==， ，
=，
+4=（m ）． 则：AM=
故点A 到地面的距离是：
故答案为：．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，得出△BNC ∽△BMA 是解题关键．
16．（3分）（2015•山西）如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点D 落在边AB 上，对应点为D ′，点C 落在C ′处．若AB=6，AD ′=2，则折痕MN 的长为 2 ．
【分析】作NF ⊥AD ，垂足为F ，连接DD ′，ND ′，根据图形折叠的性质得出DD ′⊥MN ，先证明△DAD ′∽△DEM ，再证明△NFM ≌△DAD ′，然后利用勾股定理的知识求出MN 的长．
【解答】解：作NF ⊥AD ，垂足为F ，连接DD ′，ND ′，
∵将正方形纸片ABCD 折叠，使得点D 落在边AB 上的D ′点，折痕为MN ，
∴DD ′⊥MN ，
∵∠A=∠DEM=90°，∠ADD ′=∠EDM ，
∴△DAD ′∽△DEM ，
∴∠DD ′A=∠DME ，
在△NFM 和△DAD ′中
，
∴△NFM ≌△DAD ′（AAS ），
∴FM=AD′=2cm，
又∵在Rt △MNF 中，FN=6cm，
∴根据勾股定理得：MN=故答案为：2． ==2．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，根据图形折叠前后图形不发生大小变化得出三角形的全等是解决问题的关键，难度一般．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2015•山西）（1）计算：（﹣3﹣1）×
（2）解方程：=﹣． ﹣2÷﹣1．
【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式=﹣4×﹣÷（﹣）=﹣9+4=﹣5；
（2）去分母得：2=2x﹣1﹣3，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18．（6分）（2015•山西）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n 个数可以用[﹣]表示（其中，n ≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．
【解答】解：第1个数，当n=1时， [==（× ﹣﹣） ] =1．
第2个数，当n=2时， [=
==[（×（×1× ﹣）﹣（+）（2] ）] ﹣） 2
=1．
【点评】此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
19．（6分）（2015•山西）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=3x+2的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数
y=（k ≠0）在第一象限内的图象交于点B ，且点B 的横坐标为1．过点A 作AC ⊥y 轴交反比例函数
y=（k ≠0）的图象于点C ，连接BC ．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）求△ABC 的面积．
【分析】（1）先由一次函数y=3x+2的图象过点B ，且点B 的横坐标为1，将x=1代入y=3x+2，求出y 的值，得到点B 的坐标，再将B 点坐标代入
y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（2）先由一次函数y=3x+2的图象与y 轴交于点A ，求出点A 的坐标为（0，2），再将y=2代入
y=，求出x 的值，那么AC=．过B 作BD ⊥AC 于D ，则BD=yB ﹣y C =5﹣2=3，然后根据S △ABC =AC •BD ，将数值代入计算即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y=3x+2的图象过点B ，且点B 的横坐标为1，
∴y=3×1+2=5，
∴点B 的坐标为（1，5）．
∵点B 在反比例函数
y=的图象上，
∴k=1×5=5，
∴反比例函数的表达式为
y=；
（2）∵一次函数y=3x+2的图象与y 轴交于点A ，
∴当x=0时，y=2，
∴点A 的坐标为（0，2），
∵AC ⊥y 轴，
∴点C 的纵坐标与点A 的纵坐标相同，是2，
∵点C 在反比例函数
y=的图象上，
∴当y=2时，2=，解得x=，
∴AC=．
过B 作BD ⊥AC 于D ，则BD=yB ﹣y C =5﹣2=3，
∴S △ABC =AC •BD=××3=．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，平行于y 轴的直线上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．求出反比例函数的解析式是解题的关键．
20．（8分）（2015•山西）随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公交、地铁上的“低头族”越来越多．某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查（问卷调查表如图1所示）并将调查结果绘制成图2和图3所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是 5000 人．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在扇形统计图中，观点E 的百分比是 4% ，表示观点B 的扇形的圆心角度数为 18 度．
（4）假如你是该研究机构的一名成员，请根据以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提出你的建议．
【分析】（1）根据D 类观点除以D 类所占的百分比，可得调查的人数；
（2）根据各类调查的人数，可得条形统计图；
（3）根据E 类人数除以调查的人数，可得答案，根据B 类人数除以调查人数，再乘以360°，可得答案；
（4）根据对调查数据的收集、整理，可得答案．
【解答】解：（1）本次接受调查的总人数是 5000人
（2）C 类的人数为5000﹣2300﹣250﹣750﹣200=1500（人）， 请将条形统计图补充完整
（3）在扇形统计图中，观点E 的百分比是 4%，表示观点B 的扇形的圆心角度数为 18度， 故答案为：5000，4%，18．
（4）应充分利用数字化阅读获取信息方便等优势，但不要成为“低头族”而影响人际交往．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（10分）（2015•山西）如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作⊙C ，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E ，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求的长．
【分析】（1）过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，然后以C 点为圆心，CD 为半径作圆即可；
（2）先根据切线的性质得∠ADC=90°，则利用互余可计算出∠DCE=90°﹣∠A=60°，∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，再在Rt △BCD 中利用∠BCD 的余弦可计算出CD=
据弧长公式求解．
【解答】解：（1）如图， ，然后根
⊙C 为所求；
（2）∵⊙C 切AB 于D ，
∴CD ⊥AB ，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，
在Rt △BCD 中，∵cos ∠BCD=
∴CD=3cos30°=， ，
∴的长==π．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质和弧长公式．
22．（7分）（2015•山西）某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发
（1）第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg ，用去了1520元钱，这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少元钱？
（2）第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少kg ？
【分析】（1）设批发西红柿xkg ，西兰花ykg ，根据批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg ，用去了1520元钱，列方程组求解；
（2）设批发西红柿akg ，根据当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，列不等式求解．
【解答】解：（1）设批发西红柿xkg ，西兰花ykg ，
由题意得，
解得：，
故批发西红柿200kg ，西兰花100kg ，
则这两种蔬菜当天全部售完一共能赚：200×1.8+100×6=960（元），
答：这两种蔬菜当天全部售完一共能赚960元；
（2）设批发西红柿akg ，
由题意得，（5.4﹣3.6）a +（14﹣8）×≥1050，
解得：a ≤100．
答：该经营户最多能批发西红柿100kg ．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
23．（12分）（2015•山西）综合与实践：制作无盖盒子
任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高
3为4cm ，容积为616cm 的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．
（1）请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
（2）请求出这块矩形纸板的长和宽．
任务二：图2是一个高为4cm 的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图3是其底面，在五边形ABCDE 中，BC=12cm，AB=DC=6cm，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°．
（1）试判断图3中AE 与DE 的数量关系，并加以证明．
（2）图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少cm ？请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）．
【分析】任务一：（1）按要求画出示意图即可；
（2）设矩形纸板的宽为xcm ，则长为2xcm ，根据题意列出方程，解之即可．
任务二：（1）AD=DE，延长EA 、ED 分别交直线BC 于点M 、N ，先证明EM=EN，再证明△MAB ≌△NDC ，得到AM=DN即可；
（2）如图4，由（1）得；AE=DE，∠EAD=∠EDA=30°，
由已知得，AG=DF=4，连接AD ，GF ，
过B ，C 分别作BM ⊥AD 于M ，CN ⊥AD 于N ，过E 作EP ⊥AD 于P ，
则GF 即为矩形纸板的长，MN=BC=12，AP=DP
得到∠BAM=∠CDN=60°，
求出AM=DN=3，BM=CN=3，
然后通过三角形相似即可得到结果．
【解答】解：任务一：（1）如图1所示：
（2）设矩形纸板的宽为xcm ，则长为2xcm ，
由题意得：4（x ﹣2×4）（2x ﹣2×4）=616，解得：x 1=15，x 2=﹣3（舍去），
∴2x=2×15=30，
答：矩形纸板的长为30cm ，宽为15cm ；
任务二：解：（1）AE=DE，证明如下：
如图4，延长EA ，ED 分别交直线BC 于M ，N ，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠ABM=∠DCN=60°，
∵∠EAB=∠EDC=90°，
∴∠M=∠N=30°，
∴EM=EN，
在△MAB 与△NDC 中，
，
∴△MAB ≌△NDC ，
∴AM=DN，
∴EM ﹣AM=EN﹣DN ，
∴AE=DE；
（2）如图5，过B ，C 分别作BP ⊥AD 于P ，CQ ⊥AD 于Q ，GI ⊥KH 于点F ，
则KH 即为矩形纸板的长，GI 即为矩形纸板的宽，
∴PQ=BC=12，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠BAP=∠CDQ=60°，
∵AB=CD=6，
∴AP=DQ=3，
BP=CQ=FJ=3，
∴
AF=AD=（3+3+12）=9， ∴，FE=3，
∵∠AED=120°，
∴∠MEN=60°，
∵ME=NE=4，
∴GE=2，
∴GI=GE+EJ +JI=2+6+4=8+4，
∵∠KAS=90°﹣∠PAB=30°=∠HDT ，
∴AK=DH=2，
∴KH=3+3+12+4=18+4，
∴矩形纸板的长至少为18+4，矩形纸板的宽至少为4+8
．
【点评】本题考查了长方体的平面图，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，相似三角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．
24．（13分）（2015•山西）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的函数表达式为y=﹣x +2x +4．抛物线W 与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧，与y 轴交于点C ，它的对称轴与x 轴交于点D ，直线l 经过C 、D 两点．
（1）求A 、B 两点的坐标及直线l 的函数表达式．
（2）将抛物线W 沿x 轴向右平移得到抛物线W ′，设抛物线W ′的对称轴与直线l 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求点F 的坐标，并直接写出此时抛物线W ′的函数表达式．
（3）如图2，连接AC ，CB ，将△ACD 沿x 轴向右平移m 个单位（0＜m ≤5），得到△A ′C ′D ′．设A ′C 交直线l 于点M ，C ′D ′交CB 于点N ，连接CC ′，MN ．求四边形CMNC ′的面积（用含m 的代数式表示）．
【分析】（1）根据自变量与函数值对应关系，当函数值为零时，可得A 、B 点坐标，当自变量为零时，可得C 点坐标，根据对称轴公式，可得D 点坐标，根据待定系数法，可得l 的解析式；
（2）根据余角性质，可得∠1与∠3的关系，根据正切的定义，可得关于F 点的横坐标的方程，根据解方程，可得F 点坐标，平移后的对称轴，根据平移后的对称轴，可得平移后的函数解析式；
（3）根据图象平移的规律，可得A ′，C ′，D ′′点的坐标，根据待定系数法，可得A ′C ，BC ，C ′D ′的解析式，根据解方程组，可得M 、N 的坐标，根据平行四边形的判定，可得四边形CMNC ′的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
【解答】解：（1）当y=0时，﹣x +2+4=0，
解得x 1=﹣3，x 2=7，
∴点A 坐标为（﹣3，0），点B 的坐标为（7，0）． ∵﹣=﹣，
∴抛物线w 的对称轴为直线x=2，
∴点D 坐标为（2，0）．
当x=0时，y=4，
∴点C 的坐标为（0，4）．
设直线l 的表达式为y=kx+b ，
， 解得，
∴直线l 的解析式为y=﹣2x +4；
（2）∵抛物线w 向右平移，只有一种情况符合要求，
即∠FAC=90°，如图
此时抛物线w ′的对称轴与x 轴的交点为G ，
∵∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴tan ∠1=tan∠3， ∴=． ．
设点F 的坐标为（x F ，﹣2x F +4）， ∴=，
解得x F =5，﹣2x F +4=﹣6，
∴点F 的坐标为（5，﹣6），
此时抛物线w ′的函数表达式为y=﹣x +2x ；
（3）由平移可得：点C ′，点A ′，点D ′的坐标分别为C ′（m ，4），A ′（﹣3+m ，0），D ′（2+m ，0），CC ′∥x 轴，C ′D ′∥CD ，
可用待定系数法求得
直线A ′C ′的表达式为
y=x +4﹣m ，
直线BC 的表达式为y=﹣x +4，
直线C ′D ′的表达式为y=﹣2x +2m +4， 分别解方程组和， 解得和，
∴点M 的坐标为（m ，﹣m +4），点N 的坐标为（m ，﹣m +4），
∴y M =yN ∴MN ∥x 轴，
∵CC ′∥x 轴，
∴CC ′∥MN ．
∵C ′D ′∥CD ，
∴四边形CMNC ′是平行四边形，
∴S=m[4﹣（﹣m +4）]=m
【点评】本题考察了二次函数综合题，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，待定系数法求函数解析式；（2）利用了余角的性质，正切函数的性质，利用等角的正切函数值相等得出关于F 点横坐标的方程是解题关键；（3）利用了图象的平移规律，待定系数法求函数解析式，解方程组得出M 、N 的坐标是解题关键，又利用了平行四边形的判定，平行四边形的面积公式．
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参与本试卷答题和审题的老师有：sdwdmahongye ；sks ；caicl ；放飞梦想；sjw666；1987483819；sjzx ；2300680618；sd2011；73zzx ；zcx ；[email protected]；HJJ ；gsls ；王学峰（排名不分先后）
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2016年9月4日