立体几何
1（2017北京文）（本小题14分）
如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．
（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；
（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；
（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 2（2017新课标Ⅱ理）（12分）
如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC =
1
AD , ∠BAD =∠ABC =90o , E 是PD 的中点． 2
（1）证明：直线CE ∥平面PAB ；
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45o ，求二面角M -AB -D 的余弦值．
3（2017天津理）（本小题满分13分）
如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90︒. 点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ； （Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；
（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE
所成角的余弦值为
，求线段AH 的长. 21
4（2017新课标Ⅲ理数）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角
边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所称角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所称角的最小值为60°；
其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）
5（2017山东理）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边
的中点. 所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF
上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； （Ⅰ）设P 是CE
（Ⅱ）当AB =3，AD =2，求二面角E -AG -C 的大小.
6（2017新课标Ⅰ理数）．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角
形ABC 的中心为O 。D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______。
7（2017新课标Ⅰ理数）（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD，且∠BAP =∠CDP =90 .
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ，∠APD =90 ，求二面角A -PB -C 的余弦值.
8（2017江苏）（本小题满分14分）
如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不
重合) 分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．
求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．
9．（2017江苏）（本小题满分16分）
如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ
的底面对角线AC 的长为
cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中部分
的长度；
（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分
的长度．
10（2017天津文）（本小题满分13分）
PD ⊥PB ，AD =1，BC =3，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，如图，在四棱锥P -ABCD 中，CD =4，PD =2.
（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； （II ）求证：PD ⊥平面PBC ；
（II ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.
11（2017北京理）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD
，AB=4． （I ）求证：M 为PB 的中点； （II ）求二面角B -PD -A 的大小；
（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．
12（2017浙江）（本题满分15分）如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等
腰直角三角形，BC //AD ，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．
P
E
D
A （第19题图）
（Ⅰ）证明：CE //
平面PAB ；
（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 13（2017新课标Ⅲ文数）（12分）
如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．
（1）证明：AC ⊥BD ；
（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
14（2017新课标Ⅰ文数）（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD，且∠BAP =∠CDP =90
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC , ∠APD =90 , 且四棱锥P-ABCD 的体积为积.
15（2017山东文）（本小题满分12分）
由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B1CD 1后得到的几何体如图所示, 四边形ABCD 为正方形, O 为AC 与BD 的交点, E 为AD 的中点, A 1E ⊥平面ABCD . （Ⅰ）证明：AO 1∥平面B 1CD 1;
（Ⅱ）设M 是OD 的中点, 证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.
8
，求该四棱锥的侧面3
16（2017新课标Ⅱ文）（12分）
如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,
AB =BC =
1
AD , ∠BAD =∠ABC =90︒. 2
（1）证明：直线BC ∥平面PAD ;
（2）若△PCD
的面积为P -ABCD 的体积
.
17（2017新课标Ⅲ理数）（12分）
AB =BD ． 如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值．
18（2017浙江）如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别BQ CR
=
=2，为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P QC RA
的平面角为α，β，γ，则
（第9题图）
A ．γ
19（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π
的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π
的值精确到小数点后七
B ．α
C ．α
D ．β
位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S
6=．
20（2017新课标Ⅲ文数）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．π
B ．
3π
4
C ．
π 2
D ．
π 4
21（2017新课标Ⅲ文数）在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，E 为棱CD 的中点，则（ ）
A ．A 1E ⊥DC 1
B ．A 1E ⊥BD
C ．A 1E ⊥BC 1
D ．A 1E ⊥AC
22（2017新课标Ⅱ文）长方体的长，宽，高分别为3, 2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球
O 的表面积为.
23（2017新课标Ⅱ理）已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC =120︒，AB =2，
BC =CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为
A
B
．
5
C
．
5
D
24（2017新课标Ⅰ文数）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是
25SC 是球O 的直径。（2017新课标Ⅰ文数）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA =AC ，SB =BC ，若平面SCA ⊥平面SCB ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。 26（2017天津文）已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .
27（2017天津理）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .
28（2017江苏）如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则
V 1
的值是 ▲ ． V 2
29（2017江苏）（本小题满分10分）
如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1
，
∠BAD =120︒．
（
1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．
立体几何
1（2017北京文）（本小题14分）
如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．
（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；
（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；
（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 2（2017新课标Ⅱ理）（12分）
如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC =
1
AD , ∠BAD =∠ABC =90o , E 是PD 的中点． 2
（1）证明：直线CE ∥平面PAB ；
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45o ，求二面角M -AB -D 的余弦值．
3（2017天津理）（本小题满分13分）
如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90︒. 点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ； （Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；
（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE
所成角的余弦值为
，求线段AH 的长. 21
4（2017新课标Ⅲ理数）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角
边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所称角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所称角的最小值为60°；
其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）
5（2017山东理）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边
的中点. 所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF
上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； （Ⅰ）设P 是CE
（Ⅱ）当AB =3，AD =2，求二面角E -AG -C 的大小.
6（2017新课标Ⅰ理数）．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角
形ABC 的中心为O 。D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______。
7（2017新课标Ⅰ理数）（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD，且∠BAP =∠CDP =90 .
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ，∠APD =90 ，求二面角A -PB -C 的余弦值.
8（2017江苏）（本小题满分14分）
如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不
重合) 分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．
求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．
9．（2017江苏）（本小题满分16分）
如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ
的底面对角线AC 的长为
cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中部分
的长度；
（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分
的长度．
10（2017天津文）（本小题满分13分）
PD ⊥PB ，AD =1，BC =3，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，如图，在四棱锥P -ABCD 中，CD =4，PD =2.
（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； （II ）求证：PD ⊥平面PBC ；
（II ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.
11（2017北京理）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD
，AB=4． （I ）求证：M 为PB 的中点； （II ）求二面角B -PD -A 的大小；
（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．
12（2017浙江）（本题满分15分）如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等
腰直角三角形，BC //AD ，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．
P
E
D
A （第19题图）
（Ⅰ）证明：CE //
平面PAB ；
（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 13（2017新课标Ⅲ文数）（12分）
如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．
（1）证明：AC ⊥BD ；
（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
14（2017新课标Ⅰ文数）（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD，且∠BAP =∠CDP =90
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC , ∠APD =90 , 且四棱锥P-ABCD 的体积为积.
15（2017山东文）（本小题满分12分）
由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B1CD 1后得到的几何体如图所示, 四边形ABCD 为正方形, O 为AC 与BD 的交点, E 为AD 的中点, A 1E ⊥平面ABCD . （Ⅰ）证明：AO 1∥平面B 1CD 1;
（Ⅱ）设M 是OD 的中点, 证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.
8
，求该四棱锥的侧面3
16（2017新课标Ⅱ文）（12分）
如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,
AB =BC =
1
AD , ∠BAD =∠ABC =90︒. 2
（1）证明：直线BC ∥平面PAD ;
（2）若△PCD
的面积为P -ABCD 的体积
.
17（2017新课标Ⅲ理数）（12分）
AB =BD ． 如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值．
18（2017浙江）如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别BQ CR
=
=2，为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P QC RA
的平面角为α，β，γ，则
（第9题图）
A ．γ
19（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π
的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π
的值精确到小数点后七
B ．α
C ．α
D ．β
位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S
6=．
20（2017新课标Ⅲ文数）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．π
B ．
3π
4
C ．
π 2
D ．
π 4
21（2017新课标Ⅲ文数）在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，E 为棱CD 的中点，则（ ）
A ．A 1E ⊥DC 1
B ．A 1E ⊥BD
C ．A 1E ⊥BC 1
D ．A 1E ⊥AC
22（2017新课标Ⅱ文）长方体的长，宽，高分别为3, 2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球
O 的表面积为.
23（2017新课标Ⅱ理）已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC =120︒，AB =2，
BC =CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为
A
B
．
5
C
．
5
D
24（2017新课标Ⅰ文数）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是
25SC 是球O 的直径。（2017新课标Ⅰ文数）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA =AC ，SB =BC ，若平面SCA ⊥平面SCB ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。 26（2017天津文）已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .
27（2017天津理）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .
28（2017江苏）如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则
V 1
的值是 ▲ ． V 2
29（2017江苏）（本小题满分10分）
如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1
，
∠BAD =120︒．
（
1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．