对数函数的值域与最值
1．（2012秋•漳州校级期末）若函数f （x ）=log（x ﹣ax+1）的值域为R ，则实数a 的取2
值范围是（ ）
A ．a ＜﹣2或a ＞2 B ．a ≤﹣2或a ≥2 C ．﹣2＜a ＜2 D ．﹣2≤a ≤2
【考点】对数函数的值域与最值．
【专题】函数的性质及应用．
2【分析】直接根据该函数的值域为R ，得到代数式x ﹣ax+1的值取遍所有实数，从而方程
22x ﹣ax+1=0的△=（﹣a ）﹣4≥0，从而确定取值范围．
2【解答】解：∵函数f （x ）=log（x ﹣ax+1）的值域为R ，
∴代数式x ﹣ax+1的值取遍所有正实数，
2∴△=（﹣a ）﹣4≥0，
∴a ≤﹣2或a ≥2，
故选：B ．
【点评】本题重点考查了不等式的值域问题，属于中档题．
2．（2012秋•瑞安市校级期中）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（ ）
A ．y=31﹣x 2 B ．y= C ．y=7 D ．y=log2（x ﹣3）
【考点】对数函数的值域与最值；函数的值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象和性质，求出y=1﹣x 以及y=
x 的值域，再根据指数函数的性质判断A 和C 是否正确；根据指数函数的性质，求出3﹣1≥0的值域，
再由幂函数的性质判断B 是否正确；根据一次函数的图象和性质，求出y=x﹣3的值域，再由对数函数的性质可判断D 是否正确
【解答】解：A 、设y=1﹣x ，则此函数的值域是R ，故函数y=3
A 正确；
B 、由y=3﹣1≥0得，函数y=x 1﹣x 的值域是（0，+∞），故的值域是[0，+∞），故B 不正确；
C 、由y=≠0得，函数y=7的值域是（0，1）∪（1，+∞），故C 不正确；
D 、因y=x﹣3＞0，故函数y=log2（x ﹣3）的值域是R ，故D 不正确．
故选A ．
【点评】本题的考点是复合函数的值域，对于指数型的函数先求出指数的范围，再根据指数函数的性质求值域；对于幂函数型的应先求底数的范围，再根据幂函数的性质求值域．
3．（2014•河北模拟）函数y=ln（e ﹣x+a﹣5）（e 为自然对数的底数）的值域是实数集R ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[﹣2，1] B ．[﹣1，2] C ．[﹣2，2] D ．（﹣2，3]
【考点】对数函数的值域与最值．
【专题】函数的性质及应用．
x 2【分析】由题意可得t=e﹣x+a﹣5能取遍所有正数，即t 的最小值小于等于0．利用导数
2求出函数的单调区间，可得函数的最小值，再根据函数的最小值a ﹣4≤0，解得a 的范围．
x 2【解答】解：欲使函数的值域为R ，只需使t=e﹣x+a﹣5能取遍所有正数即可，即t 的最
小值小于等于0．
x ∵t ′=e﹣1，由t ′＞0，解得x ＞0，由t ′＜0解得x ＜0，
x 2所以，函数t=e﹣x+a﹣5在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，
22所以当x=0时，t 有最小值a ﹣4，由题意得a ﹣4≤0，解得a ∈[﹣2，2]，
故选：C ．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题． x 2
4．（2013•金州区校级模拟）已知集合M={x||x﹣1|＜1}，N={y|y=log2（x +2x+3）}，则M ∩N=（ ）
A ．{x||1≤x ＜2} B ．{x||0＜x ＜2} C ．{x||1＜x ＜2} D ．∅
【考点】对数函数的值域与最值；交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】解绝对值不等式|x﹣1|＜1，可以求出集合M ，根据二次函数的值域及对数函数的单调性，可以求出集合N ，进而根据集合交集运算规则，求出结果．
【解答】解：若|x﹣1|＜1
则﹣1＜x ﹣1＜1
即0＜x ＜2
故集合M={x||x﹣1|＜1}={x|0＜x ＜2}，
22∵x +2x+3=（x+1）+2≥2
2∴log 2（x +2x+3）≥1
2故N={y|y=log2（x +2x+3）}={y|y≥1}
∴M ∩N={x||1≤x ＜2}
故选A
【点评】本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，集合的交集运算，绝对值不等式的解法，其中求出集合M ，N 是解答本题的关键．
2
5．函数f （x ）=log2x 在区间[a，2a ]上的最大值是最小值的2倍，则a 等于（ ）
A ． B ． C ． D ．2
【考点】对数函数的值域与最值．
【专题】计算题．
【分析】由函数f （x ）=log2x ，不难判断函数在（0，+∞）为增函数，则在区间[a，2a ]上的最大值是最小值分别为f （a ）与f （2a ），结合最大值是最小值的2倍，可以构造一个关于a 的方程，解方程即可求出a 值．
【解答】解：∵2＞1，
∴f （x ）=log2x 是增函数．
∴2log 2a=log22a ．
∴log a 2=1．
∴a=2．
故选D ．
x 【点评】函数y=a和函数y=loga x ，在底数a ＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均
为增函数，当底数0＜a ＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，而f （﹣x ）与f （x ）的图象关于Y 轴对称，其单调性相反，故函数y=a和函数y=loga （﹣x ），在底数a ＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，当底数0＜a ＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数．
﹣x
对数函数的值域与最值
1．（2012秋•漳州校级期末）若函数f （x ）=log（x ﹣ax+1）的值域为R ，则实数a 的取2
值范围是（ ）
A ．a ＜﹣2或a ＞2 B ．a ≤﹣2或a ≥2 C ．﹣2＜a ＜2 D ．﹣2≤a ≤2
【考点】对数函数的值域与最值．
【专题】函数的性质及应用．
2【分析】直接根据该函数的值域为R ，得到代数式x ﹣ax+1的值取遍所有实数，从而方程
22x ﹣ax+1=0的△=（﹣a ）﹣4≥0，从而确定取值范围．
2【解答】解：∵函数f （x ）=log（x ﹣ax+1）的值域为R ，
∴代数式x ﹣ax+1的值取遍所有正实数，
2∴△=（﹣a ）﹣4≥0，
∴a ≤﹣2或a ≥2，
故选：B ．
【点评】本题重点考查了不等式的值域问题，属于中档题．
2．（2012秋•瑞安市校级期中）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（ ）
A ．y=31﹣x 2 B ．y= C ．y=7 D ．y=log2（x ﹣3）
【考点】对数函数的值域与最值；函数的值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象和性质，求出y=1﹣x 以及y=
x 的值域，再根据指数函数的性质判断A 和C 是否正确；根据指数函数的性质，求出3﹣1≥0的值域，
再由幂函数的性质判断B 是否正确；根据一次函数的图象和性质，求出y=x﹣3的值域，再由对数函数的性质可判断D 是否正确
【解答】解：A 、设y=1﹣x ，则此函数的值域是R ，故函数y=3
A 正确；
B 、由y=3﹣1≥0得，函数y=x 1﹣x 的值域是（0，+∞），故的值域是[0，+∞），故B 不正确；
C 、由y=≠0得，函数y=7的值域是（0，1）∪（1，+∞），故C 不正确；
D 、因y=x﹣3＞0，故函数y=log2（x ﹣3）的值域是R ，故D 不正确．
故选A ．
【点评】本题的考点是复合函数的值域，对于指数型的函数先求出指数的范围，再根据指数函数的性质求值域；对于幂函数型的应先求底数的范围，再根据幂函数的性质求值域．
3．（2014•河北模拟）函数y=ln（e ﹣x+a﹣5）（e 为自然对数的底数）的值域是实数集R ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[﹣2，1] B ．[﹣1，2] C ．[﹣2，2] D ．（﹣2，3]
【考点】对数函数的值域与最值．
【专题】函数的性质及应用．
x 2【分析】由题意可得t=e﹣x+a﹣5能取遍所有正数，即t 的最小值小于等于0．利用导数
2求出函数的单调区间，可得函数的最小值，再根据函数的最小值a ﹣4≤0，解得a 的范围．
x 2【解答】解：欲使函数的值域为R ，只需使t=e﹣x+a﹣5能取遍所有正数即可，即t 的最
小值小于等于0．
x ∵t ′=e﹣1，由t ′＞0，解得x ＞0，由t ′＜0解得x ＜0，
x 2所以，函数t=e﹣x+a﹣5在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，
22所以当x=0时，t 有最小值a ﹣4，由题意得a ﹣4≤0，解得a ∈[﹣2，2]，
故选：C ．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题． x 2
4．（2013•金州区校级模拟）已知集合M={x||x﹣1|＜1}，N={y|y=log2（x +2x+3）}，则M ∩N=（ ）
A ．{x||1≤x ＜2} B ．{x||0＜x ＜2} C ．{x||1＜x ＜2} D ．∅
【考点】对数函数的值域与最值；交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】解绝对值不等式|x﹣1|＜1，可以求出集合M ，根据二次函数的值域及对数函数的单调性，可以求出集合N ，进而根据集合交集运算规则，求出结果．
【解答】解：若|x﹣1|＜1
则﹣1＜x ﹣1＜1
即0＜x ＜2
故集合M={x||x﹣1|＜1}={x|0＜x ＜2}，
22∵x +2x+3=（x+1）+2≥2
2∴log 2（x +2x+3）≥1
2故N={y|y=log2（x +2x+3）}={y|y≥1}
∴M ∩N={x||1≤x ＜2}
故选A
【点评】本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，集合的交集运算，绝对值不等式的解法，其中求出集合M ，N 是解答本题的关键．
2
5．函数f （x ）=log2x 在区间[a，2a ]上的最大值是最小值的2倍，则a 等于（ ）
A ． B ． C ． D ．2
【考点】对数函数的值域与最值．
【专题】计算题．
【分析】由函数f （x ）=log2x ，不难判断函数在（0，+∞）为增函数，则在区间[a，2a ]上的最大值是最小值分别为f （a ）与f （2a ），结合最大值是最小值的2倍，可以构造一个关于a 的方程，解方程即可求出a 值．
【解答】解：∵2＞1，
∴f （x ）=log2x 是增函数．
∴2log 2a=log22a ．
∴log a 2=1．
∴a=2．
故选D ．
x 【点评】函数y=a和函数y=loga x ，在底数a ＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均
为增函数，当底数0＜a ＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，而f （﹣x ）与f （x ）的图象关于Y 轴对称，其单调性相反，故函数y=a和函数y=loga （﹣x ），在底数a ＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，当底数0＜a ＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数．
﹣x