第28章 锐角三角函数
章前图的了解，引领本章知识的探究。（结合本章前的图形）
第1课时 28．1锐角三角函数（1） ——正弦
一。复习导入：
1. 如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，
在直角三角形中，边之间有什么关系？____________________________ 角之间有什么关系呢？_________________________________ 2.. 如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m，•求AB
3.. 如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m，•求BC
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？从本节课开始，我们来系统探究。 二．学习目标：
1． 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2． 能根据正弦概念正确进行计算 三．新知探究：
问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？
思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ 如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？
结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值
思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？•如果是，是多少？
结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 四．精讲点拨：
A
从上面这两个问题的结论中可知，•在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于
B
C
C
1，是一个固定值；•当∠A=45°时，∠A
的对边与斜边的比都等于，22
也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，•它的对边与斜边的
比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a，那么吗？
1
BC B ' C '
与有什么关系．你能解释一下AB A ' B '
结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，•∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念：
规定：在Rt △BC 中，∠C=90，∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．
在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，
B 对边a C
a ∠A 的对边a
= 记作sinA ，即sinA= =． sinA＝
c ∠A 的斜边c
A
b
例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=；当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．
思考：1、锐角A 的正弦值可以等于1、可以大于1吗？
3、不同大小的两个锐角的正弦值可能相等吗？ 结论：
0
对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一的确定的值与它对应，所以sinA 是A 的函数。 五．例题学习： B B 例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．
六．巩固练习：
1、根据下图，求sin A 和sin B 的值．
3
A
4(1)
C
3 5
13
A
(2)
3
5
A
3
B
C
A
2、如图，∠C=90，AB=6 ，BC= 3 ，求∠A 的度数。
3. 在△ABC 中, ∠C=90,sinA=0.4 , BC=2.求AB 的长.
2
C
七．拓展训练：
1. 如图, ∠C=90°CD ⊥AB ，sinB 可以由哪两条线段之比? 若ＡC=5,CD=3,求sinB 的值.
2. 在△ABC 中, ∠C=90,sinA+sinB=
B
A
D D
B
B
7
,,AC+BC=28,求AB 的长. 5
A
C
4. 在△ABC 中， AB=BC=5，sinA=4/5，求△ABC 的面积。
八．课堂小结：
在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A •的对边与斜边的比都是 ． 在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A •的，•记作 九．目标检测：
1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚
3 A．4
434
B．3 C．5 D．5
o
2．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ）
3434A B ． CD ． 55432
3． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC 的长是( )
34
A 13 B．3 C．5
3
4．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（ ）
B C
a b
b a A ． B． C
D 5要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端, 梯子与地面所成的角α一般要满足0.77≤ sin α ≤0.97.
现有一个长6m 的梯子, 问使用这个梯子能安全攀上一个5m 高的平房吗?
3
6. 已知△ABC 中, ∠ACB=90,CD ⊥AB 于D, 若AB=5,BC=4,求sin α的值.
A
7. △ABC 中,AB=8,BC=6,S△ABC =12,试求sinB 的值.
B
4
8. 已知在RT △ABC 中, ∠C=900,D是BC 中点,DE ⊥AB, 垂足为E,sin ∠BDE=
5
AE=7,求DE 的长.
一。复习导入：
1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？
2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。
已知AC=5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ）
A
C
D
C
第2课时 28．1锐角三角函数（2） ——余弦、正切
C
B ．2
3
C
D
A
D B
A
3、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上， 且AB ＝5，BC ＝3．则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ． 4、•在Rt △ABC 中，∠C=90°，当锐角A 确定时， ∠A 的对边与斜边的比是 ， •现在我们要问：
∠A 的邻边与斜边的比呢？ ∠A 的对边与邻边的比呢？
A
B
斜边c ∠A的邻边b
∠A的对边a C
为什么？
二．学习目标：
1．感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。 2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。 三．新知探究：
4
探究：
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
在Rt △ABC 与Rt △A`B`C`中，∠C=∠C` =90o ，∠B=∠B`=α，
那么与有什么关系？
四．精讲点拨：
类似于正弦的情况，如图在Rt △BC 中，∠C=90°，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻边的比也分别是确定的．我们把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=
∠A 的邻边a
=； c 斜边
∠A 的对边a
=．
∠A 的邻边b
；
把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°=
； tanA=tan30°=
；
总结： ∠A 的锐角三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．
对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是A 的函数．同样地，cosA ，tanA 也是A 的函数． 五．例题学习：
例1：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=•6，sinA=
当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．cosA=cos45°=
3
，求cosA 、tanB 的值． 5
B
6
A
C
例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D 。求出∠BCD 的三个锐角三角函数值。
六．巩固练习：完成课本P81 练习1、2、3
七．拓展探究：
5
1、从定义可以看出sinA 与cosB 有什么关系？sinB 与cosA 呢？满足这种关系的∠A 与∠B 又是什么关系呢？
2、利用定义及勾股定理你还能发现sinA 与cosA 的关系吗？
3、再试试看tanA 与sinA 和cosA 存在特殊关系吗？
总结以上，可得出以下结论：
1。 2。 3。 巩固练习：
1． ABC 中, ∠C =90 ,sin A =
3. 求cos A ,sin B 和tan A 的值 2. 在
5
4
中，∠C ＝90°，如果cos A=那么
5
的值为（ ）
3534
A ． B C D．
54433. 在A ．
4、如图：P 是∠
5．如图：若已知锐角α的始边在x 轴的正半轴上,(顶点在原点) 终边上一点P 的坐标为(x, y)，它到原点的距离为r 求角α的四个三角函数值。
八．课堂小结：
在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫
中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（ ）
B ．
C．
D．
的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则cos α＝______
6
做∠A 的正弦，
记作sinA ，即sinA= =
a ∠A 的对边a
= ． sinA ＝
c ∠A 的斜边c
把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 ，即 把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 ，即 推荐作业：课本 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与余弦、正切有关的部分）
第3课时 28．1锐角三角函数（3） ——特殊角三角函数值
一．复习导入：
1. 锐角三角函数的定义 ： 2．几个重要公式： 若∠A +∠B =900, 则sin A =cos B
二．学习目标：
sin A +cos A =1
22
tan A =
sin A cos A
⑴ 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。 ⑵ 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 三．新知探究： 思考：
两块三角尺中有哪几个不同的锐角？
你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？
四．精讲点拨： 归纳结果:
观察：角度变化、三角函数值变化有什么规律？锐角A 的正弦值、余弦值有无变化范围？
7
归纳：
观察特殊角的三角函数表，发现规律：
0︒≤α≤90︒时, α的正弦值随着:角度的增大而 ，随着角度的减小而 ; (1)当
(2)当 0︒≤α≤90︒时, α的余弦值随着: 角度的增大而 ，随着角度的减小而 ;
（3）当 0︒≤α≤90︒时, α的正切值随着:角度的增大而 , 随着角度的减小而 .
五．尝试练习与点拨： 求下列各式的值．
（1）cos 260°+sin260°． （2）
cos 45︒
-tan45°．
sin 45︒
六．巩固练习：
1、2sin30°－ 3cos60 ° 2、cos ²45°+tan60°·cos60° 3、
cos30°-
sin45°+tan45°· cos60°
cos 60 1 (3) +
1+sin 60tan 30
1
4⋅-32+sin 45︒
2
120050
5⋅2sin 45︒-cos 60︒+（-1）+（1-2）
2
七、拓展练习：
例2. 求适合下列各式的锐角α (1)tanα= 3
sin α-1=0
2cos α+1=1
2
8
例3 （1）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，
AB =6, BC =3
求∠A 的度数．
（2）如图，已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB
a ．
例4 填空：比较大小
O
B
(1) tan 35︒17'
(3) sin 68︒八．课堂小结：
推荐课后作业：
tan 17︒35'
sin 82︒
（2）cos 9︒--------
cos 10︒
--
一、课本练习 第1 题， 第 2题习题 28．
1复习巩固第3题 二、选择题．
3
1
．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA= ，AB=15，则AC 的长是（ ）．
5
A．3 B．6 C．9 D．12 2．下列各式中不正确的是（ ）．
22
A．sin 60°+cos60°=1 B．sin30
°+cos30°=1 C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）． A．2 B．1
1
4．已知∠A 为锐角，且cosA ≤ ，那么（ ）
2
9
A．0°
13
5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且，cosB= ，则△ABC 的形状是（ ）
22
A．直角三角形 B．钝角三角形C ．锐角三角形 D．不能确定 6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana•的值为（ ）．
3434A ．4 B．3 C．5 D．5
7．当锐角a>60°时，cosa 的值（ ）．
113
A．小于 B C．大于 D．大于1
222
8．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=1
2，则sinA+tanA等于（ ）．
A
．
1
B . 2
C D
9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC
•则∠CAB 等于（ ） A．30° B．60° C．45° D．以上都不对
22
10．sin 72°+sin18°的值是（ ）．
13
A．1 B．0 C D
22
2
113 tanA-3）+│3 │=0，则△ABC （ ）．
A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 三、填空题．
12．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______．
cos 45︒-sin 30︒
cos60︒+tan 45︒
213．的值是_______．
14．已知，等腰△ABC•的腰长为43 ，•底为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______．
5
15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB=，则cosA=________．
2
第4课时
28．1锐角三角函数（4）—运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角
一．复习导入：
1．特殊角300,450,600角的三角函数值.
2．几个公式：
sin A =cos B =
a , c
b
cos A =sin B =, tanA=
c
a
b 3．互余两角之间的三角函数关系:sinA=cosB,tanA.tanB=1. 同角之间的三角函数关系:sin2A+cos2A=1.
10
sin A
tan A =.
cos A
a
同学们, 前面我们学习了特殊角30°45°60°的三角函数值, 一些非特殊角
(如17°56°89°等) 的三角函数值又怎么求呢? 这一节课我们就学习 借助计算器 来完成这个任务. 二．学习目标：
熟识计算器一些功能键的使用，能用计算器求任意锐角的三角函数值，能根据三角函数值求所对应的锐角 三．自主学习与合作探究： 1. 求已知锐角的三角函数值：
（1）学习课本80--- 81第三段 ，学会用计算器求任意锐角的三角函数值的按键步骤。 （2）尝试练习
完成课本81页练习1
（3）分析以上结果你能得出怎样的猜想？
（4）如果你还有疑惑，再探究弯沉课本83页第9题
2．已知锐角的三角函数值, 求角度：
（1）学习课本80--- 81第三段以后 ，学会用计算器根据三角函数值求所对应的锐角的按键步骤。 （2）尝试练习
完成课本81页练习2
3．即时小结：（1）用计算器可以求任意锐角的三角函数值。 （2）用计算器可以根据三角函数值求所对应的锐角 四．拓展练习： 探究
在Rt △ABC 中 sinA=
cosA=
tanA=
在每一个等式中，知道几个量，可求其他量？
1、如图，在△ABC 中， AB=BC=5，sinA=4/5，求△ABC 的面积。
A
2. 如图，在△ABC 中，∠B=45°， ∠C=30°，BC= 8 ，求△ABC 面积
3. 如图，在△ABC 中，∠B=45°， ∠C=30°，4求AC 和BC 。
应用练习
1. 当 锐角A>45°时，sinA 的值（ ）
3
23(A)小于(B)大于(C) 小于(D)大于 2222
2. 当锐角A>30°时，cosA 的值（ ）
11(B)大于(A)小于(C) 小于(D)大于 22
22
3
33. 当∠A 为锐角，且tanA 的值大于 时，∠A （ ）
(A)小于30° (B)大于30° (C) 小于60° (D)大于60°
时，∠A （ ） 4. 当∠A 为锐角，且tanA 的值小于(A)小于30° (B)大于30° (C) 小于60° (D)大于60°
1那么（ ） 5. 当∠A 为锐角，且cosA=
(A)0°＜∠A ≤ 30 ° (B) 530°＜∠A ≤45° (C)45°＜∠A ≤ 60 ° (D) 60°＜∠A ≤ 90 16. 当∠A 为锐角，且3那么（ ）
(A)0°＜∠A ≤ 30 ° (B) 30°＜∠A ≤45° (C)45°＜∠A ≤ 60 ° (D) 60°＜∠A ≤ 90 °
7、一段公路弯道呈弧形，测得弯道AB 两端的距离为200米，AB 的半径为1000米，求弯道的长（精确到0.1米)
A
R
B
谈谈今天的收获
总结：
1. 已知角，求值 2.已知值，求角 3. 确定值的范围 4. 确定角的范围
第5课时
28.1 锐角三角函数复习与巩固
学习目标：
1．理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．
2．掌握特殊角(30°，45°，60°) 的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．
3．初步了解锐角三角函数的一些性质．
第一部分 课前基础知识复习
一、填空题
1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥AM 于C ′点，
则△B ' AC ′∽______，从而
B 'C 'A B '()
，又可得 ==
BC () AC
①
B 'C '
=______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°) ，当∠A 确定时，它A B '
A C '
=______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°) ，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一A B '
的______与______的比是一个______值； ②
个______；
B 'C '
=______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°) ，当∠A 确定时，它的______与______的比还是③
A C '
一个______．
2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．
() ()
①sin A =＝______，sin B =＝______；
斜边斜边②cos A =③tan A =
(斜边
)
＝______， cos B =
()
＝______，
∠A 的邻边
＝______；
斜边∠B 的对边
tan B =＝______．
()
()
3．因为对于锐角α 的每一个确定的值，sin α 、cos α 、tan α 分别都有____________与它______，所以
sin α 、cos α 、tan α 都是____________．又称为α 的____________． 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，
sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 5．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若a ＝16，c ＝30，则b ＝______，
sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin C ＝______，cos C ＝______，tan C ＝______． 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______，
sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 7．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，按要求填空：
(1) sin A =
a
, ∴a =c ⋅sin A , c =______； c
(2) cos A =
(3) tan A =
b
, ∴b ＝______，c ＝______； c
a 3, ∴a ＝______，b ＝______；(4) sin B =, ∴cos B =______，tan B =______；
b
3
(5) cos B =, ∴sin B =______，tan A =______；(6)∵tan B =3， ∴sin B =______，sin A =______．
5
8
9. 用计算器求锐角的三角函数值，填入下表：
随着锐角A 的度数的不断增大，sin A 有怎样的变化趋势？cos A 呢？tan A 呢？你能说明你的结论吗？ 比较大小
sin20°_______sin20°15′ ； tan51°_______tan51°2′； cos6°48 ′ _______tan78°12′ cos79°8 ′ _______cot18°2′ ； sin52°－sin23° _______0 ；sin78°－sin45° _______0 cot20°－tan70° _______0
10．用计算器求锐角α (精确到1′) ．
(1)若cos α ＝0.6536，则α ＝______； (2)若tan(2α ＋10°31′) ＝1.7515，则α ＝______．
第二部分 综合运用
1．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．
3
2．已知Rt △ABC 中，∠C =90︒, tan A =, BC =12, 求AC 、AB 和cos B ．
4
3．求下列各式的值．
(1)2sin 30︒-2cos 45o (2)tan30°－sin60°·sin30°
(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°
(4)cos 245︒-
4．求适合下列条件的锐角α ． (1)cos α=
11
++cos 230︒+sin 245︒ sin 30︒tan 30︒
21
(2)tan α= (3)sin 2α=
2
(4)6cos(α-16 ) =3
2、在△BAC 中，若则
sin A -
22
+(cosB -) =022
∠
5、三角函数值的增减性、取值范围：求∠A 的取值范围是多少？ 32. 若(1) sin A ≤, 2
2
(2) cos A ≤,
2
(3) tan A ≥3
6. 选择题，（1）下列等式中，成立的是（ ） A. tan45°5′ 1C. tan60°1′
D. cos44 ° 48 ′ >
2
1
cos A =
（2）如果∠A 为锐角， ，5那么（ ）
A. 0°
DE ∶AE ＝1∶2．
求：sin B 、cos B 、tan B ．
8．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，sin ∠AOC =
3⋅ 4
求：AB 及OC 的长．
9．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，sin A =
求此菱形的周长．
10．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC =BC =，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：
(1)∠BAD ； (2)sin∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．
11．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，sin A =(1)求AB 边上的高CD ；(2)求△ABC 的面积S ；(3)求tan B ．
12．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，延长CA 至D 点，使AD ＝AB ．求：
(1)∠D 及∠DBC ； (2)tanD 及tan ∠DBC ； (3)请用类似的方法，求tan22.5°．
12⋅ 13
1⋅ 3
3
13．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，sin ∠AOC =⋅
5
(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ；(2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．
14．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．
15．已知：如图，在直角坐标系xOy 中，射线OM 为第一象限中的一条射线，A 点的坐标为(1，0) ，
以原点O 为圆心，OA 长为半径画弧，交y 轴于B 点，交OM 于P 点，作CA ⊥x 轴交OM 于C 点．设∠XOM ＝α ．
求：P 点和C 点的坐标．(用α 的三角函数表示)
16．已知：如图，△ABC 中，∠B ＝30°，P 为AB 边上一点，PD ⊥BC 于D ．
(1)当BP ∶P A ＝2∶1时，求sin ∠1、cos ∠1、tan ∠1； (2)当BP ∶P A ＝1∶2时，求sin ∠1、cos ∠1、tan ∠1．
17．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5． 求：sin ∠ACB 的值．
18．已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，tan ∠B =
tan ∠CAD ．
1
，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、3
第28章 锐角三角函数
章前图的了解，引领本章知识的探究。（结合本章前的图形）
第1课时 28．1锐角三角函数（1） ——正弦
一。复习导入：
1. 如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，
在直角三角形中，边之间有什么关系？____________________________ 角之间有什么关系呢？_________________________________ 2.. 如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m，•求AB
3.. 如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m，•求BC
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？从本节课开始，我们来系统探究。 二．学习目标：
1． 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2． 能根据正弦概念正确进行计算 三．新知探究：
问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？
思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ 如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？
结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值
思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？•如果是，是多少？
结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 四．精讲点拨：
A
从上面这两个问题的结论中可知，•在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于
B
C
C
1，是一个固定值；•当∠A=45°时，∠A
的对边与斜边的比都等于，22
也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，•它的对边与斜边的
比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a，那么吗？
1
BC B ' C '
与有什么关系．你能解释一下AB A ' B '
结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，•∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念：
规定：在Rt △BC 中，∠C=90，∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．
在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，
B 对边a C
a ∠A 的对边a
= 记作sinA ，即sinA= =． sinA＝
c ∠A 的斜边c
A
b
例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=；当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．
思考：1、锐角A 的正弦值可以等于1、可以大于1吗？
3、不同大小的两个锐角的正弦值可能相等吗？ 结论：
0
对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一的确定的值与它对应，所以sinA 是A 的函数。 五．例题学习： B B 例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．
六．巩固练习：
1、根据下图，求sin A 和sin B 的值．
3
A
4(1)
C
3 5
13
A
(2)
3
5
A
3
B
C
A
2、如图，∠C=90，AB=6 ，BC= 3 ，求∠A 的度数。
3. 在△ABC 中, ∠C=90,sinA=0.4 , BC=2.求AB 的长.
2
C
七．拓展训练：
1. 如图, ∠C=90°CD ⊥AB ，sinB 可以由哪两条线段之比? 若ＡC=5,CD=3,求sinB 的值.
2. 在△ABC 中, ∠C=90,sinA+sinB=
B
A
D D
B
B
7
,,AC+BC=28,求AB 的长. 5
A
C
4. 在△ABC 中， AB=BC=5，sinA=4/5，求△ABC 的面积。
八．课堂小结：
在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A •的对边与斜边的比都是 ． 在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A •的，•记作 九．目标检测：
1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚
3 A．4
434
B．3 C．5 D．5
o
2．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ）
3434A B ． CD ． 55432
3． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC 的长是( )
34
A 13 B．3 C．5
3
4．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（ ）
B C
a b
b a A ． B． C
D 5要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端, 梯子与地面所成的角α一般要满足0.77≤ sin α ≤0.97.
现有一个长6m 的梯子, 问使用这个梯子能安全攀上一个5m 高的平房吗?
3
6. 已知△ABC 中, ∠ACB=90,CD ⊥AB 于D, 若AB=5,BC=4,求sin α的值.
A
7. △ABC 中,AB=8,BC=6,S△ABC =12,试求sinB 的值.
B
4
8. 已知在RT △ABC 中, ∠C=900,D是BC 中点,DE ⊥AB, 垂足为E,sin ∠BDE=
5
AE=7,求DE 的长.
一。复习导入：
1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？
2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。
已知AC=5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ）
A
C
D
C
第2课时 28．1锐角三角函数（2） ——余弦、正切
C
B ．2
3
C
D
A
D B
A
3、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上， 且AB ＝5，BC ＝3．则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ． 4、•在Rt △ABC 中，∠C=90°，当锐角A 确定时， ∠A 的对边与斜边的比是 ， •现在我们要问：
∠A 的邻边与斜边的比呢？ ∠A 的对边与邻边的比呢？
A
B
斜边c ∠A的邻边b
∠A的对边a C
为什么？
二．学习目标：
1．感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。 2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。 三．新知探究：
4
探究：
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
在Rt △ABC 与Rt △A`B`C`中，∠C=∠C` =90o ，∠B=∠B`=α，
那么与有什么关系？
四．精讲点拨：
类似于正弦的情况，如图在Rt △BC 中，∠C=90°，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻边的比也分别是确定的．我们把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=
∠A 的邻边a
=； c 斜边
∠A 的对边a
=．
∠A 的邻边b
；
把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°=
； tanA=tan30°=
；
总结： ∠A 的锐角三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．
对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是A 的函数．同样地，cosA ，tanA 也是A 的函数． 五．例题学习：
例1：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=•6，sinA=
当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．cosA=cos45°=
3
，求cosA 、tanB 的值． 5
B
6
A
C
例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D 。求出∠BCD 的三个锐角三角函数值。
六．巩固练习：完成课本P81 练习1、2、3
七．拓展探究：
5
1、从定义可以看出sinA 与cosB 有什么关系？sinB 与cosA 呢？满足这种关系的∠A 与∠B 又是什么关系呢？
2、利用定义及勾股定理你还能发现sinA 与cosA 的关系吗？
3、再试试看tanA 与sinA 和cosA 存在特殊关系吗？
总结以上，可得出以下结论：
1。 2。 3。 巩固练习：
1． ABC 中, ∠C =90 ,sin A =
3. 求cos A ,sin B 和tan A 的值 2. 在
5
4
中，∠C ＝90°，如果cos A=那么
5
的值为（ ）
3534
A ． B C D．
54433. 在A ．
4、如图：P 是∠
5．如图：若已知锐角α的始边在x 轴的正半轴上,(顶点在原点) 终边上一点P 的坐标为(x, y)，它到原点的距离为r 求角α的四个三角函数值。
八．课堂小结：
在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫
中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（ ）
B ．
C．
D．
的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则cos α＝______
6
做∠A 的正弦，
记作sinA ，即sinA= =
a ∠A 的对边a
= ． sinA ＝
c ∠A 的斜边c
把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 ，即 把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 ，即 推荐作业：课本 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与余弦、正切有关的部分）
第3课时 28．1锐角三角函数（3） ——特殊角三角函数值
一．复习导入：
1. 锐角三角函数的定义 ： 2．几个重要公式： 若∠A +∠B =900, 则sin A =cos B
二．学习目标：
sin A +cos A =1
22
tan A =
sin A cos A
⑴ 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。 ⑵ 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 三．新知探究： 思考：
两块三角尺中有哪几个不同的锐角？
你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？
四．精讲点拨： 归纳结果:
观察：角度变化、三角函数值变化有什么规律？锐角A 的正弦值、余弦值有无变化范围？
7
归纳：
观察特殊角的三角函数表，发现规律：
0︒≤α≤90︒时, α的正弦值随着:角度的增大而 ，随着角度的减小而 ; (1)当
(2)当 0︒≤α≤90︒时, α的余弦值随着: 角度的增大而 ，随着角度的减小而 ;
（3）当 0︒≤α≤90︒时, α的正切值随着:角度的增大而 , 随着角度的减小而 .
五．尝试练习与点拨： 求下列各式的值．
（1）cos 260°+sin260°． （2）
cos 45︒
-tan45°．
sin 45︒
六．巩固练习：
1、2sin30°－ 3cos60 ° 2、cos ²45°+tan60°·cos60° 3、
cos30°-
sin45°+tan45°· cos60°
cos 60 1 (3) +
1+sin 60tan 30
1
4⋅-32+sin 45︒
2
120050
5⋅2sin 45︒-cos 60︒+（-1）+（1-2）
2
七、拓展练习：
例2. 求适合下列各式的锐角α (1)tanα= 3
sin α-1=0
2cos α+1=1
2
8
例3 （1）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，
AB =6, BC =3
求∠A 的度数．
（2）如图，已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB
a ．
例4 填空：比较大小
O
B
(1) tan 35︒17'
(3) sin 68︒八．课堂小结：
推荐课后作业：
tan 17︒35'
sin 82︒
（2）cos 9︒--------
cos 10︒
--
一、课本练习 第1 题， 第 2题习题 28．
1复习巩固第3题 二、选择题．
3
1
．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA= ，AB=15，则AC 的长是（ ）．
5
A．3 B．6 C．9 D．12 2．下列各式中不正确的是（ ）．
22
A．sin 60°+cos60°=1 B．sin30
°+cos30°=1 C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）． A．2 B．1
1
4．已知∠A 为锐角，且cosA ≤ ，那么（ ）
2
9
A．0°
13
5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且，cosB= ，则△ABC 的形状是（ ）
22
A．直角三角形 B．钝角三角形C ．锐角三角形 D．不能确定 6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana•的值为（ ）．
3434A ．4 B．3 C．5 D．5
7．当锐角a>60°时，cosa 的值（ ）．
113
A．小于 B C．大于 D．大于1
222
8．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=1
2，则sinA+tanA等于（ ）．
A
．
1
B . 2
C D
9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC
•则∠CAB 等于（ ） A．30° B．60° C．45° D．以上都不对
22
10．sin 72°+sin18°的值是（ ）．
13
A．1 B．0 C D
22
2
113 tanA-3）+│3 │=0，则△ABC （ ）．
A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 三、填空题．
12．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______．
cos 45︒-sin 30︒
cos60︒+tan 45︒
213．的值是_______．
14．已知，等腰△ABC•的腰长为43 ，•底为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______．
5
15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB=，则cosA=________．
2
第4课时
28．1锐角三角函数（4）—运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角
一．复习导入：
1．特殊角300,450,600角的三角函数值.
2．几个公式：
sin A =cos B =
a , c
b
cos A =sin B =, tanA=
c
a
b 3．互余两角之间的三角函数关系:sinA=cosB,tanA.tanB=1. 同角之间的三角函数关系:sin2A+cos2A=1.
10
sin A
tan A =.
cos A
a
同学们, 前面我们学习了特殊角30°45°60°的三角函数值, 一些非特殊角
(如17°56°89°等) 的三角函数值又怎么求呢? 这一节课我们就学习 借助计算器 来完成这个任务. 二．学习目标：
熟识计算器一些功能键的使用，能用计算器求任意锐角的三角函数值，能根据三角函数值求所对应的锐角 三．自主学习与合作探究： 1. 求已知锐角的三角函数值：
（1）学习课本80--- 81第三段 ，学会用计算器求任意锐角的三角函数值的按键步骤。 （2）尝试练习
完成课本81页练习1
（3）分析以上结果你能得出怎样的猜想？
（4）如果你还有疑惑，再探究弯沉课本83页第9题
2．已知锐角的三角函数值, 求角度：
（1）学习课本80--- 81第三段以后 ，学会用计算器根据三角函数值求所对应的锐角的按键步骤。 （2）尝试练习
完成课本81页练习2
3．即时小结：（1）用计算器可以求任意锐角的三角函数值。 （2）用计算器可以根据三角函数值求所对应的锐角 四．拓展练习： 探究
在Rt △ABC 中 sinA=
cosA=
tanA=
在每一个等式中，知道几个量，可求其他量？
1、如图，在△ABC 中， AB=BC=5，sinA=4/5，求△ABC 的面积。
A
2. 如图，在△ABC 中，∠B=45°， ∠C=30°，BC= 8 ，求△ABC 面积
3. 如图，在△ABC 中，∠B=45°， ∠C=30°，4求AC 和BC 。
应用练习
1. 当 锐角A>45°时，sinA 的值（ ）
3
23(A)小于(B)大于(C) 小于(D)大于 2222
2. 当锐角A>30°时，cosA 的值（ ）
11(B)大于(A)小于(C) 小于(D)大于 22
22
3
33. 当∠A 为锐角，且tanA 的值大于 时，∠A （ ）
(A)小于30° (B)大于30° (C) 小于60° (D)大于60°
时，∠A （ ） 4. 当∠A 为锐角，且tanA 的值小于(A)小于30° (B)大于30° (C) 小于60° (D)大于60°
1那么（ ） 5. 当∠A 为锐角，且cosA=
(A)0°＜∠A ≤ 30 ° (B) 530°＜∠A ≤45° (C)45°＜∠A ≤ 60 ° (D) 60°＜∠A ≤ 90 16. 当∠A 为锐角，且3那么（ ）
(A)0°＜∠A ≤ 30 ° (B) 30°＜∠A ≤45° (C)45°＜∠A ≤ 60 ° (D) 60°＜∠A ≤ 90 °
7、一段公路弯道呈弧形，测得弯道AB 两端的距离为200米，AB 的半径为1000米，求弯道的长（精确到0.1米)
A
R
B
谈谈今天的收获
总结：
1. 已知角，求值 2.已知值，求角 3. 确定值的范围 4. 确定角的范围
第5课时
28.1 锐角三角函数复习与巩固
学习目标：
1．理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．
2．掌握特殊角(30°，45°，60°) 的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．
3．初步了解锐角三角函数的一些性质．
第一部分 课前基础知识复习
一、填空题
1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥AM 于C ′点，
则△B ' AC ′∽______，从而
B 'C 'A B '()
，又可得 ==
BC () AC
①
B 'C '
=______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°) ，当∠A 确定时，它A B '
A C '
=______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°) ，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一A B '
的______与______的比是一个______值； ②
个______；
B 'C '
=______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°) ，当∠A 确定时，它的______与______的比还是③
A C '
一个______．
2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．
() ()
①sin A =＝______，sin B =＝______；
斜边斜边②cos A =③tan A =
(斜边
)
＝______， cos B =
()
＝______，
∠A 的邻边
＝______；
斜边∠B 的对边
tan B =＝______．
()
()
3．因为对于锐角α 的每一个确定的值，sin α 、cos α 、tan α 分别都有____________与它______，所以
sin α 、cos α 、tan α 都是____________．又称为α 的____________． 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，
sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 5．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若a ＝16，c ＝30，则b ＝______，
sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin C ＝______，cos C ＝______，tan C ＝______． 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______，
sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 7．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，按要求填空：
(1) sin A =
a
, ∴a =c ⋅sin A , c =______； c
(2) cos A =
(3) tan A =
b
, ∴b ＝______，c ＝______； c
a 3, ∴a ＝______，b ＝______；(4) sin B =, ∴cos B =______，tan B =______；
b
3
(5) cos B =, ∴sin B =______，tan A =______；(6)∵tan B =3， ∴sin B =______，sin A =______．
5
8
9. 用计算器求锐角的三角函数值，填入下表：
随着锐角A 的度数的不断增大，sin A 有怎样的变化趋势？cos A 呢？tan A 呢？你能说明你的结论吗？ 比较大小
sin20°_______sin20°15′ ； tan51°_______tan51°2′； cos6°48 ′ _______tan78°12′ cos79°8 ′ _______cot18°2′ ； sin52°－sin23° _______0 ；sin78°－sin45° _______0 cot20°－tan70° _______0
10．用计算器求锐角α (精确到1′) ．
(1)若cos α ＝0.6536，则α ＝______； (2)若tan(2α ＋10°31′) ＝1.7515，则α ＝______．
第二部分 综合运用
1．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．
3
2．已知Rt △ABC 中，∠C =90︒, tan A =, BC =12, 求AC 、AB 和cos B ．
4
3．求下列各式的值．
(1)2sin 30︒-2cos 45o (2)tan30°－sin60°·sin30°
(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°
(4)cos 245︒-
4．求适合下列条件的锐角α ． (1)cos α=
11
++cos 230︒+sin 245︒ sin 30︒tan 30︒
21
(2)tan α= (3)sin 2α=
2
(4)6cos(α-16 ) =3
2、在△BAC 中，若则
sin A -
22
+(cosB -) =022
∠
5、三角函数值的增减性、取值范围：求∠A 的取值范围是多少？ 32. 若(1) sin A ≤, 2
2
(2) cos A ≤,
2
(3) tan A ≥3
6. 选择题，（1）下列等式中，成立的是（ ） A. tan45°5′ 1C. tan60°1′
D. cos44 ° 48 ′ >
2
1
cos A =
（2）如果∠A 为锐角， ，5那么（ ）
A. 0°
DE ∶AE ＝1∶2．
求：sin B 、cos B 、tan B ．
8．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，sin ∠AOC =
3⋅ 4
求：AB 及OC 的长．
9．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，sin A =
求此菱形的周长．
10．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC =BC =，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：
(1)∠BAD ； (2)sin∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．
11．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，sin A =(1)求AB 边上的高CD ；(2)求△ABC 的面积S ；(3)求tan B ．
12．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，延长CA 至D 点，使AD ＝AB ．求：
(1)∠D 及∠DBC ； (2)tanD 及tan ∠DBC ； (3)请用类似的方法，求tan22.5°．
12⋅ 13
1⋅ 3
3
13．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，sin ∠AOC =⋅
5
(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ；(2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．
14．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．
15．已知：如图，在直角坐标系xOy 中，射线OM 为第一象限中的一条射线，A 点的坐标为(1，0) ，
以原点O 为圆心，OA 长为半径画弧，交y 轴于B 点，交OM 于P 点，作CA ⊥x 轴交OM 于C 点．设∠XOM ＝α ．
求：P 点和C 点的坐标．(用α 的三角函数表示)
16．已知：如图，△ABC 中，∠B ＝30°，P 为AB 边上一点，PD ⊥BC 于D ．
(1)当BP ∶P A ＝2∶1时，求sin ∠1、cos ∠1、tan ∠1； (2)当BP ∶P A ＝1∶2时，求sin ∠1、cos ∠1、tan ∠1．
17．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5． 求：sin ∠ACB 的值．
18．已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，tan ∠B =
tan ∠CAD ．
1
，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、3