盈亏问题
知识点说明：
盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈) ，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏) ，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．
可以得出盈亏问题的基本关系式：
(盈+亏) ÷两次分得之差=人数或单位数
(盈-盈) ÷两次分得之差=人数或单位数
(亏-亏) ÷两次分得之差=人数或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出. 也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种
情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.
注意1. 条件转换 2.关系互换
板块一、直接计算型盈亏问题
【例 1】 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则
少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？
【解析】 比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两
次搬砖，每人相差5-4=1（块）．第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差
砖数：7+2=9（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9÷1=9（人）．共
有砖：4⨯9+7=43（块）．
【巩固】 明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4
元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？
【解析】 “多8元”与“多4元”两者相差8-4=4（元），每个人要多出8-7=1（元），因此就知道，共
有4÷1=4（人），蛋糕价钱是8⨯4-8=24（元）．
【巩固】 老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，
那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？
【解析】 老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是9-2=7（个），两次分配
之差是11-10=1（个），由盈亏问题公式得，有小猴子：7÷1=7（只），老猴子有7⨯10+9=79
（个）桃子.
【巩固】 有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班
有多少学生，多少练习本呢？
【解析】 由题意知：第一种方案：每人发5本多出70本；第二种方案：每人发7本多出10本；两种方案
分配结果相差：70-10=60（本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差：7-5=2（本），
相差60本的学生有：60÷2=30（人）．练习本有：30⨯5+70=220（本）（或30⨯7+10=220）．
【例 2】 （2007年“走进美妙的数学花园”初赛）猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分
配．若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在
这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只．
【详解】 当大猴分5个，小猴分3个时，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．也就是
说在大猴分5个，小猴分3个后，每只大猴都拿出1个，分给每只小猴1个后，还剩下20-10=10
个，所以大猴比小猴多10只．
【巩固】 学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，
还差2本，请问有多少老师？多少本书？
【解析】 “差9本”和“差2本”两者相差9-2=7（本），每个人要多发10-9=1（本），因此就知道，
共有老师7÷1=7（人），书有7⨯10-9=61（本）．
【巩固】 幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有
多少块糖呢？
【解析】 由题意知：两次的分配结果相差：24-12=12（块），这是因为第一次与第二次分配中每人相差：
，多少人相差12块呢？12÷3=4（人），糖果数是：6⨯4-12=12（块）（或9-6=3（块）
． 9⨯4-24=12）
【巩固】 王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30
元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？
【解析】 本题购物的两个方案，第一个方案：买7把差110元，第二个方案：买5把还多30元，从买7
把变成买5把，少买了7-5=2（把），而钱的差额为：110+30=140（元），即140元可以买2
把小提琴，可见小提琴的单价是每把70元，王老师一共带了70⨯7-110=380（元）.
【巩固】 工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这
批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？
【解析】 本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差100+20=120
（元），即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元．本例可假设250个花瓶都完
好，这样可得运费20⨯250=5000（元）．这样比实际多得5000-4400=600（元）．
就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元．现共相差600元，从而求出共损坏多少个花
瓶．根据以上分析，可得损坏了． （20⨯250-4400）（÷100+20）=5（个）
【例 3】 某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，
问宿舍几间? 住宿生几人?
【解析】 由已知条件
每间5人 少14个床位
每间7人 多4个床位
比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住(7-5) =2人，
一共要多出(14+4) =18个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数．
解：(4+14) ÷(7-5)=9(间)
5⨯9+14=59(人) ，或7⨯9-4=59(人)
【巩固】 学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那
么其中有多少间大宿舍？
【解析】 如果30间都是小宿舍，那么只能住4⨯30=120（人），而实际上住了168人．大宿舍比小宿舍每
间多住6-4=2（人），所以大宿舍有．（这是一个鸡兔同笼，放在这里（168-120）÷2=24（间）
做对比）
【巩固】 智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6
粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？
【解析】 由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种每人分4粒就多9
粒，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于两种方
案分配数不同，两次分配数之差为：5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分
糖果的同学的人数是15÷1=15（位），糖果的粒数为：4×15+9=69（粒）.
【巩固】 秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出
48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少
天？
【解析】 题中告诉我们每天吃4个，多出48个萝卜；每天吃6个，少8个萝卜．观察每天吃的个数与萝
卜剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，萝卜从多
出48个到少8个，也就是所需的萝卜总数要相差48＋8＝56（个）．从这个对应的变化中可以看
出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共
有多少个萝卜了．吃的天数：（48＋8）÷（6－4）＝56÷2＝28（天），萝卜数：6×28－8＝160
（个）或 4×28＋48＝160（个）．
板块二、条件关系转换型盈亏问题
【例 4】 猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那
么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？
【解析】 猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是
，由盈亏问题公式得，有小猫：8÷1=8（只），猫妈妈有8⨯10+8=88（条）鱼． 11-10=1（条）
【巩固】 学而思学校三年级基础班的一部分同学分小玩具，如果每人分4个就少9个，如果每人分3个
正好分完，问：有多少位同学分多少个小玩具？
【解析】 第一种分配方案亏9个小玩具，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9个，两次分配之差是：
（个），由盈亏问题公式得，参与分玩具的同学有：9÷1=9（人），有小玩具9⨯3=27（个）． 4-3=1
【巩固】 学而思学校买来一批小足球分给各班：如果每班分4个，就差66个，如果每班分2个，则正好
分完，学而思小学一共有多少个班？买来多少个足球？
【解析】 第一种分配方案亏66个球，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是66个，两次分配之差是4-2=2
（个），由盈亏问题公式得，朝阳小学有：66÷2=33（个）班，买来足球33⨯2=66（个）.
【巩固】 一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位
学生？共多少粒糖果？
【解析】 第一种分配方案盈9粒糖，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9粒，两次分配之差是5-4=1
（粒），由盈亏问题公式得，参与分糖的同学有：9÷1=9（人），有糖果9⨯5=45（粒）．
【巩固】 实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，
恰好多出一辆车. 问一共有几辆车，多少个学生？
【解析】 没辆车坐60人，则多余15人，每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人. 因此车辆
数目为：（65+15）÷5=80÷5=16（辆）.
学生人数为：60×（16-1）+15=60×15+15=900+15=915（人）.
【例 5】 甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封信用3 张
信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，
则他们每人各买了多少张信纸？
【解析】 由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 张信纸．这是盈亏问题，盈亏总额为(20＋30) 张信
纸， 两次分配的差为(3－2) 张信纸，所以有信封(20＋30) ÷(3－2) ＝50(个) ，有信纸2×50＋20
＝120(张) ．
【例 6】 幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。如全
部分给小班的小朋友，每人分到8个，则缺2个。已知大班比小班多3人，问：这筐苹果共有
多少个？
【解析】 先把大班人数和小班人数转化为一样。大班减少3人，则苹果又收回3⨯5=15个苹果，人数一样，
根据盈亏问题公式，小班人数为：(15+10+2) ÷(8-5) =9人，苹果总数是8⨯9-2=70个。
【巩固】 幼儿园把一袋糖果分给小朋友．如果分给大班的小朋友，每人5 粒就缺6 粒．如果分给小班的
小朋友，每人4 粒就余4 粒．已知大班比小班少2 个小朋友， 这袋糖果共有多少粒？
【解析】 如果大班增加2 个小朋友，大、小班人数就相等了，变为“每人5 粒缺16 粒，每人4 粒多4 粒”
的盈亏问题．小班有(16＋4) ÷(5－4) ＝20(人) ．这袋糖果有4×20＋4＝84(粒) ．
【例 7】 有一些糖，每人分5块则多10块，如果现有人数增加到原有人数的1.5倍，那么每人4块就少两
块，这些糖共有多少块？
【解析】 第一次每人分5块，第二次每人分4块，可以认为原有的人每人拿出5-4=1块糖分给新增加的人，
而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到2块糖果，这些人每人还差4-2=2
块，一共差了10+2=12块，所以新增加了12÷2=6人，原有6⨯2=12人．糖果数为：
12⨯5+10=70(块) ．
【巩固】 卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余10棵竹子，如
果大熊猫数增加到3倍还少5只，那么每只大熊猫分2棵竹子还缺少8棵竹子，问有大熊猫多
少只，竹子多少棵？
【解析】 使同学们感到困难的是条件“3倍还少5只大熊猫”．先要转化这一条件，假设还有 10棵竹子，
10 =2⨯5，就可以多有 5个大熊猫，把“少5只大熊猫”这一条件暂时搁置一边，只考虑3倍
大熊猫数，也相当于按原大熊猫数每只大熊猫给2⨯3= 6(棵) 竹子，每只大熊猫给5棵与给6棵，总数相差10+10+8 =28(只) ，竹子总数是=28(棵) ，所以原有大熊猫数28÷(6-5)
(棵) ． 5⨯28+10 150=
【巩固】 体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人5个还多余10个羽毛球，如果人数增加到3倍，那么
每人分2个羽毛球还缺少8个，问有羽毛球多少个？
【解析】 考虑人数增加3倍后，相当于按原人数每人给2×3＝6（个），每人给5个与给6个，总数相差
10＋8＝18 (个），所以原有人数 18÷（6－5) ＝18（人），乒乓球总数是 5×18＋10＝100（个）．
【例 8】 王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍. 桔子每人分3个，多4个；苹果每人分
7个，少5个. 问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？
【解析】 因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个. 又已知苹果
每人分7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）.
苹果个数为13×7-5=86（个）.
桔子数为 13×3+4=43（个）.
答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子.
【巩固】 学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5
副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒
乓球拍各多少副？
【解析】 因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后应余下15×2=30（副），
因为14-5×2=4（副），分到最后还差30副，所以比每次分10副总共差30+30=60（副），所以有
小组：60÷4=15（组），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=180（副）.
【例 9】 用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米. 求绳子长度和
井深.
【解析】 井的深度为：（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷1=22（米）.
绳子长度为：（22+5）×2=27×2=54（米），或者 （22-4）×3=18×3=54（米）.
【例 10】 乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2
分币多4角；另外，还有36个1分币．乐乐共存了多少钱？
【解析】 假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个2分币多
3分，所以5分币有： 84÷；2分币有：28+22=50（个）． （5-2）=28（个）
所以乐乐共存钱：5⨯28+2⨯50+1⨯36=140+100+36=276（分）．
【例 11】 阳光小学学生乘汽车到香山春游．如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，
恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？
【解析】 每车多坐5人，实际是每车可坐5+65=70(人) ，恰好多余了一辆车，也就是还差一辆汽车的人，
即70人．因而原问题转化为：如果每车坐65人，则多出5人无车乘坐；如果每车坐70人，还
少70人，求有多少人和多少辆车？车数是（5+5+65）÷5=15(辆) ，人数是65⨯15+5=980(人)
或（5+65）（⨯15-1）=980(人) ．
【巩固】 幸福小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出7人，若每条长椅上多坐4
人则多出3条长椅．问：到会议室开会的少先队员有多少人？
【解析】 第二个条件可转化为：“每条长椅上坐7个人，则少21个人”，“多7人”与“少21人”两者相
差7+21=28(人) ，每条长椅要多坐7-3=4(人) ，因此就知道，共有28÷4=7(条) 长椅，人数
是7⨯3+7=28(人) ．
【巩固】 智康小合唱队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出9人，若每条长椅上坐4人则
多出3人. 问：合唱队有多少人？
【解析】 “多9人”与“多3人”两者相差9－3＝6（人），每条长椅要多座 4－3＝1（人），因此就知道，
共有6÷1＝6（条）长椅，人数是6×3+9＝27（人）．
【巩固】 少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，
其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？
【解析】 这是一个典型的盈亏问题，关键在于要将第二句话“如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6
个树坑，就恰好挖完所有的树坑”统一一下。即：应该统一成每人挖6个树坑，形成统一的标准。那么它就相当于每人挖6个树坑，就要差（6-4）*2=4个树坑。这样，盈亏总数就是3+4=7，所
以，有少先队员7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38个坑。 盈亏总数等于3+（6-4）*2=7，少先
队员有7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38个树坑。
【巩固】 六年级学生出去划船。老师算了一下，如果每船坐6人，那么还剩下22人没船坐。安排时发现
有3条船坏了，于是改为每船坐8人，结果还剩下6人没地方坐，请问：一共有多少学生？
【解析】 如果3条船没有坏，每船坐8人，那么多余了8⨯3-6=18个座位。根据盈亏问题公式，有船
(18+22) ÷(8-6) =20条，学生人数为20⨯6+22=142人。
【例 12】 学校为新生分配宿舍．每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间．问
宿舍有多少间？新生有多少人？
【解析】 每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间如果住满人应
该是5⨯3=1 5(人) ，由此可见，每一个房间增加5-3 =2(人) ．两次安排人数总共相差
(人) ，因此，房间总数是：38÷2＝19(间) ，学生总数是：3⨯19+23 23+15= 38=80(人) ，或者
5⨯19-5⨯3= 80(人) ．
【巩固】 学校为新生分配宿舍．每个房间住3人，则多出22人；每个房间多住5人，则空1个房间．问
宿舍有多少间？新生有多少人？
【解析】 每个房间住3人，则多出22人，每个房间多住5人，意味着就是每个房间住8个人, 则空出1个
房间，这1个房间如果住满人应该是1⨯8=8(人) ，由此可见，每一个房间增加8-3=5(人) ．两
次安排人数总共相差22+8=30(人) ，因此，房间总数是：30÷5=6(间) ，学生总数是：
3⨯6+22=40(人) ．
【巩固】 军队分配宿舍，如果每间住3人，则多出20人；如果每间住6人，余下2人可以每人各住一个
房间，现在每间住10人，可以空出多少个房间？
【解析】 每间住6人，余下2人可以每人各住一个房间，说明多出两个房间，同时多出两个人，即两次分
配方案人数相差20+6⨯2-2=30(人) ，每间房间相差：6-3=3(人) ，所以共有房间：
30÷3=10(间) ，一共有：3⨯10+20=50(人) ，即可以空出10-50÷10=5(间) 房间．
【巩固】 猪妈妈带着孩子去野餐，如果每张餐布周围坐4只小猪就有6只小猪没地方坐，如果每张餐布
周围多坐一只小猪就会余出4个空位子，问：一共有多少只小猪，猪妈妈一共带了多少张餐布？
【解析】 每张餐布周围多坐一只小猪就是坐5只小猪，余出4个空位子就是少4只小猪，所以原问题可以
转化为：如果每张餐布周围坐4只小猪，则多出6只没处坐；如果每张餐布周围坐5只，还少4
只，求有多少只小猪多少张餐布？所以餐布数是：（6+4）÷1=10（张），有小猪：10×4+6=46（只）.
【例 13】 国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆．如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果
其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完．问有多少少先队员参加摆花盆活
动，一共摆多少花盆？
【解析】 这是一道有难度的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各摆4盆，其
余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完，这组条件中包含着两种摆花盆的情况——2人各摆4盆，
其余的人各摆6盆．如果我们把它统一成一种情况，让每人都摆6盆，那么，就可以多摆
（6-4）⨯2 =4(盆) ．因此，原问题就转化为：如果每人各摆5盆花，还有3盆没人摆；如果每人
摆6盆花，还缺4盆．问有多少少先队员，一共摆多少花盆？
人数： [3+（6-4） 2]⨯÷（6-5）= 7(人) ，
盆数：5⨯7+3= 38(盆) 或6⨯7-4 =38(盆) ．
【巩固】 妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果
其中一人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个? 全家共有多少人?
【解析】 由“其中两人分4个，其余每人分2个，则多出4个”转化为全家每人都分2个，这分4个的两
人每人都拿出2个，共拿出4个，结果就多了4+4=8个；由“一人分6个，其余每人分4个，
则缺少12个”转化为全家每人都分4个，分6个的人拿出2个，结果就少了12-2=10个，转变
成了盈亏问题的一般类型，则：
全家的人数：[4+2⨯2+(12-2)]÷(4-2) =18÷2=9(人)
橘子的个数：2⨯9+8=26(个)
【例 14】 四⑵班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果．如果买芒果13千克，还差4元；
如果买奶糖15千克，则还剩2元．已知每千克芒果比奶糖贵2元，那么，辅导员老师带了 元钱．
【解析】 这笔钱买13千克芒果还差4元，若把这13千克芒果换成奶糖就会多出13⨯2=26元，所以这笔钱
买13千克奶糖会多出26-4=22元．而这笔钱买15千克奶糖会多出2元，所以每千克奶糖的价格
为：(22-2) ÷(15-13) =10（元）．辅导老师共带了10⨯15+2=152元．
【巩固】 小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元．已
知每千克牛肉比猪肉贵3元，问：小明妈妈带了多少钱？
【解析】 因为“每千克牛肉比猪肉贵3元”，所以同样买10千克猪肉的话，就剩了3×10－6＝24（元），
这样化成普通的盈亏问题，猪肉的价钱是：（24－4）÷（12－10）＝10（元），所以小明妈妈带
的钱数是：12×10＋4＝124（元）．
【巩固】 食堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则
多2元. 已知牛肉、猪肉每千克差价8角. 问牛肉、猪肉各多少钱一千克？
【解析】 这里有两种肉，思考起来比较困难，能否化为一种肉的问题呢？仔细分析一下已知条件，买牛肉
18千克差4元，而买猪肉20千克还多2元，说明牛肉贵一些. 每千克贵8角，如果18千克牛肉
换成18千克猪肉，就要少花8×18=144（角）=14元4角. 这样就会多出 14元4角-4元=10元4
角. 因此问题就可变为：“小李买猪肉18千克多余10元4角，买20千克多余2元，求猪肉单价
和钱数. ”虽然两次都是盈余，仍属盈亏问题，不过猪肉单价=两次钱的差÷两次千克量差.
解 由已知条件知牛肉比猪肉贵，每千克贵8角.18千克牛肉比18千克猪肉贵
8×18=144（角）=14元4角.
因此小李若买18千克猪肉就会多余14元4角-4元=10元4角.
由已知小李买20干克猪肉多余2元，所以猪肉每千克价格为
（104-20）÷（20-18）=84÷2=42（角）=4元2角.
所以牛肉每千克价格为：4元2角+8角=5元.
小李带的钱为：4.2×20+2=86（元）.
【巩固】 李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣
粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋，并且没有剩余的钱．问：李妈妈带了多少钱？
【解析】 （法1）“李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋”，这三袋洗衣粉多花8×3＝24
（元），又因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补上，而碧浪比雕牌
每袋贵2元，所以要买碧浪洗衣粉袋数24÷2＝12（件）．这样李妈妈带的钱数是10×12＝120（元）． （法2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后还剩3×8＝24（元），根据普
通的盈亏问题解法，买碧浪洗衣粉的数量是：24÷（10－8）＝24÷2＝12（件），所以李妈妈带
的钱数是：12×10＝120（元）．
【例 15】 小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比
上课时间提前2分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？
【解析】 迟到3分钟转化成米数：50⨯3=150（米），提前2分钟到校转化成米数：60⨯2=120（米），距
离上课时间为：(150+120) ÷(60-50) =27（分钟），家到学校的路程为：50⨯(27+3) =1500（米）．
【巩固】 东东从家去学校，如果每分走80米，结果比上课提前6分到校，如果每分走50米，则要迟到3
分，那么东东家到学校的路程是______米．
【解析】 这道题看似行程问题，实质却可以用盈亏问题来解. 先求出东东从家到学校路上要用多长时间，
根据已知，(80⨯6+50⨯3) ÷(80-50) (分钟) ，然后可求东东家离校的路程为：=630÷30=21
(米) ． 80⨯(21-6) =1200
【巩固】 王老师由家里到学校，如果每分钟骑车500米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟骑车600米，
就可以比上课时间提前2分钟到校. 王老师家到学校的路程是多少米？
【解析】 迟到3分钟转化成米数：500×3=1500（米），提前两分钟到校转化成米数：600×2＝1200（米）
王老师家到学校需要（1500＋1200）÷（60-50）=270（分钟），王老师家到学校的路程：500×
（270+3）＝136500（米）
【巩固】 学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟
走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？
【解析】 小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走60×10＝600（米）；如果每分钟走
50米，可提早8分钟到校，即到校后还可多走50×8＝400（米），第一种情况比第二种情况每分
钟多走60－50＝10（米），就可以多走600－400＝200（米），从而可以求出小明由家到校所需时
间．
（1）10分种走多少米？60×10＝600（米），
（2）8分种走多少米？50×8＝400（米），
（3）需要时间： （600－400）÷（60－50）＝20（分钟），所以小明7时40分离家刚好8时到校.
（4）由家到校的路程： 60×（20－10）＝600（米）或：50×（20－8）＝600（米）．
【例 16】 “六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价1
元钱2个，白球原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果
小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？
【解析】 花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．即花球原价10元钱20个，白球原价10元钱30个．那
么，同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花10÷2 ，共需要30÷2+30÷3= =5（元）25
（元）．现在两种球的售价都是2元钱5个，花球和白球各买30个需要(30÷5) 2，⨯⨯2 =24（元）
说明花球和白球各买30个能省下25-24=1（元）．现在共省了4元，说明花球和白球各有
，共买了120⨯2 ． 30⨯4 =120（个）=240（个）
【例 17】 （2009“数学解题能力展示”中年级组复试题）幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果
糖．她发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖．发完后清点一下，水果糖还剩15
块，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________个小朋友．
【解析】 画线段图分析，由题意知：
从奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等．如图：
那么2小段和5份都看成10份量，那么总量就相当于19份量，水果糖中原有的8份就是现在的
16份，则剩下的15块水果糖就占有3份，则1份就是5块，给小朋友们分出去的水果糖数量是：
，小朋友的人数是：80÷8=10（人）． 16⨯5=80（块）
方法二：由上图知，设发完后奶糖剩下1份，则巧克力剩下3份，而巧克力与奶糖每人分得相差5
块，对应剩下的糖相差2份，水果糖与奶糖每人分得相差1块，则对应剩下的糖应相差2÷5=0.4
份，所以水果糖最后应剩下1-0.4=0.6份，恰是15块，所以1份对应的是15÷0.6=25，所以应
用盈亏问题共有(25-15) ÷(8-7) =10（人）．
【例 18】 一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干块．小唐喝前两盒咖啡时每袋咖啡都放3块方糖，结
果共用了1包方糖和第2包中的24块；小唐喝后三盒咖啡时每袋咖啡都只放1块方糖，最后第
3包方糖还剩下36块，那么每盒咖啡有多少袋？
【解析】 小唐喝前2盒咖啡，每袋放3块糖，相当于喝6盒咖啡每袋放1块糖；小唐喝后3盒咖啡，每袋
放1块糖，所以喝后3盒用掉的方糖总量是前2盒用掉方糖量的一半．
同时，小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24块，喝后3盒咖啡用掉方糖一包差12块，因此
一包又24块方糖与两包差24块方糖一样多，一包方糖有(24+24) ÷(2-1) =48（块）．
于是喝前两盒咖啡用掉方糖48+24=72（块），每盒咖啡的袋数为：72÷3÷2=12（袋）．
【巩固】 巧克力每盒9块，软糖每盒11块，要把这两种糖分发给一些小朋友，每种糖每人一块，由于又
来了一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖分发的盒数就一样多，现在又来了一位小朋友，
巧克力还要增加一盒，则最后共有多少个小朋友？
【解析】 新来了一位小朋友，就要增加一盒软糖，说明在此之前，软糖应该是刚好分完几整盒，所以原来
的小朋友人数是11的倍数．增加了第二位小朋友之后，巧克力糖也要再来一盒了，说明原有的小
朋友分几整盒巧克力糖之后还剩下一块，也就是说，原有的小朋友人数是9的倍数减1．符合这
两个条件的最小的数是44，而且它刚好满足原有的巧克力比软糖多一盒的条件，所以原有44个
小朋友，最后有46个小朋友．
【例 19】 有若干盒卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7张；如果每人分8张卡片，
则还缺少5张．现在把所有卡片都分完，每人分到60张，而且还多出4张．问：共有多少个小
朋友？
【详解】 首先由题意，一盒卡片每人分7张则有剩余，每人分8张则少5张，证明总人数多于5个．
如果一共有7盒卡片，则所有人每人要想分到8⨯7=56（张）卡片，还缺35张，卡片张数比题
中所述要少．
如果一共有9盒卡片，则只要再添上5⨯9=45（张）卡片，就能使所有人每人分到8⨯9=72（张），人数为(45+4) ÷(72-60) =41
类似地，当卡片总盒数多于9时，都不满足总人数多于5个的要求．
因此卡片一共有8盒，添上5⨯8=40（张）卡片，就能使所有人每人分到8⨯8=64（张），所以
总人数为：(40+4) ÷(64-60) =11（人）．
(二解) 60÷7=8 4，60÷8=7 4，说明卡片的盒数是8盒，“若都分8张则还缺少5张”，即
如果我们在每盒中加5张（8盒共加40张），每人就可以得到8⨯8=64（张），现在实际每人得到
60张，即每人需要退出4张，其中要有4张是每人60张后多下来的，还有40张是我们一开始借
来的要还出去，即要退出44张，44÷4=11（人），说明有11人．
【例 20】 有若干个苹果和若干个梨. 如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果
按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨. 苹果和梨各有多少个?
【解析】 容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到. 原因在于第一种方案
是1个苹果“搭配”2个梨，第二种方案是3个苹果“搭配”5个梨. 如果将这两种方案统一为1
个苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了. 将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4
个梨；1个苹果搭配5/3个梨，多1个梨”，此时盈亏总额为4+1=5(个) 梨，两次分配数之差为
2-5/3=1/3(个) 梨. 所以有苹果(4+1) ÷(2-5/3)=15(个) ，有梨15⨯2-4=26(个) .
【巩固】 有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩2个梨；如果按
半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果. 问梨有多少个？
【解析】 1个苹果配3个梨，多2个梨；半个苹果配2个梨，即1个苹果配4个梨，剩半个苹果，即少2
个梨. 苹果有（2+2）÷（4-3）=4（个），梨有 3×4+2=14（个）.
【例 21】 幼儿园老师给小朋友分糖果．若每人分8块，还剩10块；若每人分9块，最后一人分不到9块，
但至少可分到一块．那么糖果最多有多少块？
【分析】 最后一人分不到9块，那么最多可以分到8块，即若每人分9块，还差1块．根据盈亏计算公式，
人数有，糖果最多有9⨯11-1=98（块）；最后一人分不到9块，但至少（1+10）（÷9-8）=11（人）
可分到一块，即最少是最后一人差8块，根据盈亏计算公式，人数有，（8+10）（÷9-8）=18（人）
糖果最多有9⨯18-8=154（块）；所以，这批糖果最多有154块．
【例 22】 幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比
乙班每个小孩少分3个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班比乙班共多分3
个枣，乙班比丙班总共多分5个枣．问：三个班总共分了多少个枣？
【解析】 设丙班有x 个小孩，那么乙班就有个小孩，甲班有个小孩． （x +4）（x +8）
乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，那么x 个小孩就少分5x 个枣，而乙班比丙班总共多分
个枣． 5个枣，所以多出来的那4个小孩分了（5x +5）
同样的道理，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，那么个小孩就少分个枣，（x +4）（3x +12）
而甲班比乙班总共多分3个枣，所以多出来的那4个小孩分了3x +12+3=3x +15个枣．
甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，4个小孩就少3⨯4=12个枣，因此我们得到：
5x +5=3x +15+12，解得x =11．
所以，丙班有11个小朋友，乙班有15个小朋友，甲班有19个小朋友；甲班每人分12个枣，乙班
每人分15个枣，丙班每人分20个枣．—共分了12⨯19+15⨯15+20⨯11=673（个）枣．
【巩固】 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人
4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，
书不够．问第二组有多少人？
【解析】 如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．说明第一组人数少于
，多于48÷5=9 3，即9人；如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；48÷4=12（人）
每人4本，书不够．说明第二组人数少于48÷3=16（人），多于48÷4=12（人）；因为已知第二
组比第一组多5人，所以，第一组只能是10人，第二组15人．
【例 23】 “六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价1
元钱2个，白球原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果
小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？
【解析】 花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．即花球原价10元钱20个，白球原价10元钱30个．那
么，同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花10÷2 ，共需要30÷2+30÷3= =5（元）25
（元）．现在两种球的售价都是2元钱5个，花球和白球各买30个需要(30÷5) 2，⨯⨯2 =24（元）
说明花球和白球各买30个能省下25-24=1（元）．现在共省了4元，说明花球和白球各有
，共买了120⨯2 ． 30⨯4 =120（个）=240（个）
【巩固】 有红、黄、绿3种颜色的卡片共有100张，其中红色卡片的两面上分别写有1和2，黄色卡片的
两面上分别写着1和3，绿色卡片的两面上分别写着2和3．现在把这些卡片放在桌子上，让每
张卡片写有较大数字的那面朝上，经计算，各卡片上所显示的数字之和为234．若把所有卡片正
反面翻转一下，各卡片所显示的数字之和则变成123．问黄色卡片有多少张？
【解析】 开始的时候，黄色和绿色的卡片上都是3，红色卡片上是2．如果全部是红色卡片，那么数字之
和为：2⨯100=200，比实际的少：234-200=34．每增加一张黄色或绿色卡片，那么数字就会
增加：3-2=1．那么，黄色和绿色卡片之和：34÷1=34（张），红色卡片有：100-34=66（张）． 翻转过来后，红色和黄色卡片上都是1，绿色卡片上是2．红色卡片有66张，剩下的绿色和黄色
卡片上的数字之和为：123-1⨯66=57．如果34张卡片都是黄色的，那么这34张卡片上的数字
之和为：比实际的少：每增加一张绿色卡片，数字之和就会增加：1⨯34=34，57-34=23．2-1=1，
所以，绿色卡片有：23÷1=23（张），黄色卡片有：34-23=11（张）．
【例 24】 四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了
一些铅笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果
每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮
分完时还剩5支铅笔．那么，刘老师一共买了多少块橡皮? 多少支铅笔?
【解析】 如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块橡皮、5支铅笔分，则剩下
10+5=15(支) 铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可以分成：15÷(6—5)=15(堆) ，所以，橡皮数为：15×3=45(块) ，铅笔数为：15×6—10=80(支) ．
【巩固】 小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多4只，
小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还
多12只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？
【解析】 “7只小白兔和3只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多12只”说明小白兔少了
12÷3×7＝28（只），这样原来笼子数有：（28＋4）÷（7－5）＝16（个），所以小白兔有16×5
＋4＝84（只），小灰兔有16×3＝48（只），合起来有84＋48＝132（只）．
盈亏问题
知识点说明：
盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈) ，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏) ，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．
可以得出盈亏问题的基本关系式：
(盈+亏) ÷两次分得之差=人数或单位数
(盈-盈) ÷两次分得之差=人数或单位数
(亏-亏) ÷两次分得之差=人数或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出. 也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种
情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.
注意1. 条件转换 2.关系互换
板块一、直接计算型盈亏问题
【例 1】 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则
少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？
【解析】 比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两
次搬砖，每人相差5-4=1（块）．第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差
砖数：7+2=9（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9÷1=9（人）．共
有砖：4⨯9+7=43（块）．
【巩固】 明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4
元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？
【解析】 “多8元”与“多4元”两者相差8-4=4（元），每个人要多出8-7=1（元），因此就知道，共
有4÷1=4（人），蛋糕价钱是8⨯4-8=24（元）．
【巩固】 老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，
那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？
【解析】 老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是9-2=7（个），两次分配
之差是11-10=1（个），由盈亏问题公式得，有小猴子：7÷1=7（只），老猴子有7⨯10+9=79
（个）桃子.
【巩固】 有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班
有多少学生，多少练习本呢？
【解析】 由题意知：第一种方案：每人发5本多出70本；第二种方案：每人发7本多出10本；两种方案
分配结果相差：70-10=60（本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差：7-5=2（本），
相差60本的学生有：60÷2=30（人）．练习本有：30⨯5+70=220（本）（或30⨯7+10=220）．
【例 2】 （2007年“走进美妙的数学花园”初赛）猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分
配．若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在
这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只．
【详解】 当大猴分5个，小猴分3个时，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．也就是
说在大猴分5个，小猴分3个后，每只大猴都拿出1个，分给每只小猴1个后，还剩下20-10=10
个，所以大猴比小猴多10只．
【巩固】 学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，
还差2本，请问有多少老师？多少本书？
【解析】 “差9本”和“差2本”两者相差9-2=7（本），每个人要多发10-9=1（本），因此就知道，
共有老师7÷1=7（人），书有7⨯10-9=61（本）．
【巩固】 幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有
多少块糖呢？
【解析】 由题意知：两次的分配结果相差：24-12=12（块），这是因为第一次与第二次分配中每人相差：
，多少人相差12块呢？12÷3=4（人），糖果数是：6⨯4-12=12（块）（或9-6=3（块）
． 9⨯4-24=12）
【巩固】 王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30
元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？
【解析】 本题购物的两个方案，第一个方案：买7把差110元，第二个方案：买5把还多30元，从买7
把变成买5把，少买了7-5=2（把），而钱的差额为：110+30=140（元），即140元可以买2
把小提琴，可见小提琴的单价是每把70元，王老师一共带了70⨯7-110=380（元）.
【巩固】 工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这
批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？
【解析】 本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差100+20=120
（元），即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元．本例可假设250个花瓶都完
好，这样可得运费20⨯250=5000（元）．这样比实际多得5000-4400=600（元）．
就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元．现共相差600元，从而求出共损坏多少个花
瓶．根据以上分析，可得损坏了． （20⨯250-4400）（÷100+20）=5（个）
【例 3】 某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，
问宿舍几间? 住宿生几人?
【解析】 由已知条件
每间5人 少14个床位
每间7人 多4个床位
比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住(7-5) =2人，
一共要多出(14+4) =18个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数．
解：(4+14) ÷(7-5)=9(间)
5⨯9+14=59(人) ，或7⨯9-4=59(人)
【巩固】 学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那
么其中有多少间大宿舍？
【解析】 如果30间都是小宿舍，那么只能住4⨯30=120（人），而实际上住了168人．大宿舍比小宿舍每
间多住6-4=2（人），所以大宿舍有．（这是一个鸡兔同笼，放在这里（168-120）÷2=24（间）
做对比）
【巩固】 智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6
粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？
【解析】 由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种每人分4粒就多9
粒，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于两种方
案分配数不同，两次分配数之差为：5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分
糖果的同学的人数是15÷1=15（位），糖果的粒数为：4×15+9=69（粒）.
【巩固】 秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出
48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少
天？
【解析】 题中告诉我们每天吃4个，多出48个萝卜；每天吃6个，少8个萝卜．观察每天吃的个数与萝
卜剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，萝卜从多
出48个到少8个，也就是所需的萝卜总数要相差48＋8＝56（个）．从这个对应的变化中可以看
出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共
有多少个萝卜了．吃的天数：（48＋8）÷（6－4）＝56÷2＝28（天），萝卜数：6×28－8＝160
（个）或 4×28＋48＝160（个）．
板块二、条件关系转换型盈亏问题
【例 4】 猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那
么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？
【解析】 猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是
，由盈亏问题公式得，有小猫：8÷1=8（只），猫妈妈有8⨯10+8=88（条）鱼． 11-10=1（条）
【巩固】 学而思学校三年级基础班的一部分同学分小玩具，如果每人分4个就少9个，如果每人分3个
正好分完，问：有多少位同学分多少个小玩具？
【解析】 第一种分配方案亏9个小玩具，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9个，两次分配之差是：
（个），由盈亏问题公式得，参与分玩具的同学有：9÷1=9（人），有小玩具9⨯3=27（个）． 4-3=1
【巩固】 学而思学校买来一批小足球分给各班：如果每班分4个，就差66个，如果每班分2个，则正好
分完，学而思小学一共有多少个班？买来多少个足球？
【解析】 第一种分配方案亏66个球，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是66个，两次分配之差是4-2=2
（个），由盈亏问题公式得，朝阳小学有：66÷2=33（个）班，买来足球33⨯2=66（个）.
【巩固】 一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位
学生？共多少粒糖果？
【解析】 第一种分配方案盈9粒糖，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9粒，两次分配之差是5-4=1
（粒），由盈亏问题公式得，参与分糖的同学有：9÷1=9（人），有糖果9⨯5=45（粒）．
【巩固】 实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，
恰好多出一辆车. 问一共有几辆车，多少个学生？
【解析】 没辆车坐60人，则多余15人，每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人. 因此车辆
数目为：（65+15）÷5=80÷5=16（辆）.
学生人数为：60×（16-1）+15=60×15+15=900+15=915（人）.
【例 5】 甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封信用3 张
信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，
则他们每人各买了多少张信纸？
【解析】 由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 张信纸．这是盈亏问题，盈亏总额为(20＋30) 张信
纸， 两次分配的差为(3－2) 张信纸，所以有信封(20＋30) ÷(3－2) ＝50(个) ，有信纸2×50＋20
＝120(张) ．
【例 6】 幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。如全
部分给小班的小朋友，每人分到8个，则缺2个。已知大班比小班多3人，问：这筐苹果共有
多少个？
【解析】 先把大班人数和小班人数转化为一样。大班减少3人，则苹果又收回3⨯5=15个苹果，人数一样，
根据盈亏问题公式，小班人数为：(15+10+2) ÷(8-5) =9人，苹果总数是8⨯9-2=70个。
【巩固】 幼儿园把一袋糖果分给小朋友．如果分给大班的小朋友，每人5 粒就缺6 粒．如果分给小班的
小朋友，每人4 粒就余4 粒．已知大班比小班少2 个小朋友， 这袋糖果共有多少粒？
【解析】 如果大班增加2 个小朋友，大、小班人数就相等了，变为“每人5 粒缺16 粒，每人4 粒多4 粒”
的盈亏问题．小班有(16＋4) ÷(5－4) ＝20(人) ．这袋糖果有4×20＋4＝84(粒) ．
【例 7】 有一些糖，每人分5块则多10块，如果现有人数增加到原有人数的1.5倍，那么每人4块就少两
块，这些糖共有多少块？
【解析】 第一次每人分5块，第二次每人分4块，可以认为原有的人每人拿出5-4=1块糖分给新增加的人，
而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到2块糖果，这些人每人还差4-2=2
块，一共差了10+2=12块，所以新增加了12÷2=6人，原有6⨯2=12人．糖果数为：
12⨯5+10=70(块) ．
【巩固】 卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余10棵竹子，如
果大熊猫数增加到3倍还少5只，那么每只大熊猫分2棵竹子还缺少8棵竹子，问有大熊猫多
少只，竹子多少棵？
【解析】 使同学们感到困难的是条件“3倍还少5只大熊猫”．先要转化这一条件，假设还有 10棵竹子，
10 =2⨯5，就可以多有 5个大熊猫，把“少5只大熊猫”这一条件暂时搁置一边，只考虑3倍
大熊猫数，也相当于按原大熊猫数每只大熊猫给2⨯3= 6(棵) 竹子，每只大熊猫给5棵与给6棵，总数相差10+10+8 =28(只) ，竹子总数是=28(棵) ，所以原有大熊猫数28÷(6-5)
(棵) ． 5⨯28+10 150=
【巩固】 体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人5个还多余10个羽毛球，如果人数增加到3倍，那么
每人分2个羽毛球还缺少8个，问有羽毛球多少个？
【解析】 考虑人数增加3倍后，相当于按原人数每人给2×3＝6（个），每人给5个与给6个，总数相差
10＋8＝18 (个），所以原有人数 18÷（6－5) ＝18（人），乒乓球总数是 5×18＋10＝100（个）．
【例 8】 王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍. 桔子每人分3个，多4个；苹果每人分
7个，少5个. 问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？
【解析】 因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个. 又已知苹果
每人分7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）.
苹果个数为13×7-5=86（个）.
桔子数为 13×3+4=43（个）.
答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子.
【巩固】 学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5
副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒
乓球拍各多少副？
【解析】 因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后应余下15×2=30（副），
因为14-5×2=4（副），分到最后还差30副，所以比每次分10副总共差30+30=60（副），所以有
小组：60÷4=15（组），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=180（副）.
【例 9】 用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米. 求绳子长度和
井深.
【解析】 井的深度为：（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷1=22（米）.
绳子长度为：（22+5）×2=27×2=54（米），或者 （22-4）×3=18×3=54（米）.
【例 10】 乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2
分币多4角；另外，还有36个1分币．乐乐共存了多少钱？
【解析】 假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个2分币多
3分，所以5分币有： 84÷；2分币有：28+22=50（个）． （5-2）=28（个）
所以乐乐共存钱：5⨯28+2⨯50+1⨯36=140+100+36=276（分）．
【例 11】 阳光小学学生乘汽车到香山春游．如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，
恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？
【解析】 每车多坐5人，实际是每车可坐5+65=70(人) ，恰好多余了一辆车，也就是还差一辆汽车的人，
即70人．因而原问题转化为：如果每车坐65人，则多出5人无车乘坐；如果每车坐70人，还
少70人，求有多少人和多少辆车？车数是（5+5+65）÷5=15(辆) ，人数是65⨯15+5=980(人)
或（5+65）（⨯15-1）=980(人) ．
【巩固】 幸福小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出7人，若每条长椅上多坐4
人则多出3条长椅．问：到会议室开会的少先队员有多少人？
【解析】 第二个条件可转化为：“每条长椅上坐7个人，则少21个人”，“多7人”与“少21人”两者相
差7+21=28(人) ，每条长椅要多坐7-3=4(人) ，因此就知道，共有28÷4=7(条) 长椅，人数
是7⨯3+7=28(人) ．
【巩固】 智康小合唱队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出9人，若每条长椅上坐4人则
多出3人. 问：合唱队有多少人？
【解析】 “多9人”与“多3人”两者相差9－3＝6（人），每条长椅要多座 4－3＝1（人），因此就知道，
共有6÷1＝6（条）长椅，人数是6×3+9＝27（人）．
【巩固】 少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，
其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？
【解析】 这是一个典型的盈亏问题，关键在于要将第二句话“如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6
个树坑，就恰好挖完所有的树坑”统一一下。即：应该统一成每人挖6个树坑，形成统一的标准。那么它就相当于每人挖6个树坑，就要差（6-4）*2=4个树坑。这样，盈亏总数就是3+4=7，所
以，有少先队员7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38个坑。 盈亏总数等于3+（6-4）*2=7，少先
队员有7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38个树坑。
【巩固】 六年级学生出去划船。老师算了一下，如果每船坐6人，那么还剩下22人没船坐。安排时发现
有3条船坏了，于是改为每船坐8人，结果还剩下6人没地方坐，请问：一共有多少学生？
【解析】 如果3条船没有坏，每船坐8人，那么多余了8⨯3-6=18个座位。根据盈亏问题公式，有船
(18+22) ÷(8-6) =20条，学生人数为20⨯6+22=142人。
【例 12】 学校为新生分配宿舍．每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间．问
宿舍有多少间？新生有多少人？
【解析】 每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间如果住满人应
该是5⨯3=1 5(人) ，由此可见，每一个房间增加5-3 =2(人) ．两次安排人数总共相差
(人) ，因此，房间总数是：38÷2＝19(间) ，学生总数是：3⨯19+23 23+15= 38=80(人) ，或者
5⨯19-5⨯3= 80(人) ．
【巩固】 学校为新生分配宿舍．每个房间住3人，则多出22人；每个房间多住5人，则空1个房间．问
宿舍有多少间？新生有多少人？
【解析】 每个房间住3人，则多出22人，每个房间多住5人，意味着就是每个房间住8个人, 则空出1个
房间，这1个房间如果住满人应该是1⨯8=8(人) ，由此可见，每一个房间增加8-3=5(人) ．两
次安排人数总共相差22+8=30(人) ，因此，房间总数是：30÷5=6(间) ，学生总数是：
3⨯6+22=40(人) ．
【巩固】 军队分配宿舍，如果每间住3人，则多出20人；如果每间住6人，余下2人可以每人各住一个
房间，现在每间住10人，可以空出多少个房间？
【解析】 每间住6人，余下2人可以每人各住一个房间，说明多出两个房间，同时多出两个人，即两次分
配方案人数相差20+6⨯2-2=30(人) ，每间房间相差：6-3=3(人) ，所以共有房间：
30÷3=10(间) ，一共有：3⨯10+20=50(人) ，即可以空出10-50÷10=5(间) 房间．
【巩固】 猪妈妈带着孩子去野餐，如果每张餐布周围坐4只小猪就有6只小猪没地方坐，如果每张餐布
周围多坐一只小猪就会余出4个空位子，问：一共有多少只小猪，猪妈妈一共带了多少张餐布？
【解析】 每张餐布周围多坐一只小猪就是坐5只小猪，余出4个空位子就是少4只小猪，所以原问题可以
转化为：如果每张餐布周围坐4只小猪，则多出6只没处坐；如果每张餐布周围坐5只，还少4
只，求有多少只小猪多少张餐布？所以餐布数是：（6+4）÷1=10（张），有小猪：10×4+6=46（只）.
【例 13】 国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆．如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果
其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完．问有多少少先队员参加摆花盆活
动，一共摆多少花盆？
【解析】 这是一道有难度的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各摆4盆，其
余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完，这组条件中包含着两种摆花盆的情况——2人各摆4盆，
其余的人各摆6盆．如果我们把它统一成一种情况，让每人都摆6盆，那么，就可以多摆
（6-4）⨯2 =4(盆) ．因此，原问题就转化为：如果每人各摆5盆花，还有3盆没人摆；如果每人
摆6盆花，还缺4盆．问有多少少先队员，一共摆多少花盆？
人数： [3+（6-4） 2]⨯÷（6-5）= 7(人) ，
盆数：5⨯7+3= 38(盆) 或6⨯7-4 =38(盆) ．
【巩固】 妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果
其中一人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个? 全家共有多少人?
【解析】 由“其中两人分4个，其余每人分2个，则多出4个”转化为全家每人都分2个，这分4个的两
人每人都拿出2个，共拿出4个，结果就多了4+4=8个；由“一人分6个，其余每人分4个，
则缺少12个”转化为全家每人都分4个，分6个的人拿出2个，结果就少了12-2=10个，转变
成了盈亏问题的一般类型，则：
全家的人数：[4+2⨯2+(12-2)]÷(4-2) =18÷2=9(人)
橘子的个数：2⨯9+8=26(个)
【例 14】 四⑵班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果．如果买芒果13千克，还差4元；
如果买奶糖15千克，则还剩2元．已知每千克芒果比奶糖贵2元，那么，辅导员老师带了 元钱．
【解析】 这笔钱买13千克芒果还差4元，若把这13千克芒果换成奶糖就会多出13⨯2=26元，所以这笔钱
买13千克奶糖会多出26-4=22元．而这笔钱买15千克奶糖会多出2元，所以每千克奶糖的价格
为：(22-2) ÷(15-13) =10（元）．辅导老师共带了10⨯15+2=152元．
【巩固】 小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元．已
知每千克牛肉比猪肉贵3元，问：小明妈妈带了多少钱？
【解析】 因为“每千克牛肉比猪肉贵3元”，所以同样买10千克猪肉的话，就剩了3×10－6＝24（元），
这样化成普通的盈亏问题，猪肉的价钱是：（24－4）÷（12－10）＝10（元），所以小明妈妈带
的钱数是：12×10＋4＝124（元）．
【巩固】 食堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则
多2元. 已知牛肉、猪肉每千克差价8角. 问牛肉、猪肉各多少钱一千克？
【解析】 这里有两种肉，思考起来比较困难，能否化为一种肉的问题呢？仔细分析一下已知条件，买牛肉
18千克差4元，而买猪肉20千克还多2元，说明牛肉贵一些. 每千克贵8角，如果18千克牛肉
换成18千克猪肉，就要少花8×18=144（角）=14元4角. 这样就会多出 14元4角-4元=10元4
角. 因此问题就可变为：“小李买猪肉18千克多余10元4角，买20千克多余2元，求猪肉单价
和钱数. ”虽然两次都是盈余，仍属盈亏问题，不过猪肉单价=两次钱的差÷两次千克量差.
解 由已知条件知牛肉比猪肉贵，每千克贵8角.18千克牛肉比18千克猪肉贵
8×18=144（角）=14元4角.
因此小李若买18千克猪肉就会多余14元4角-4元=10元4角.
由已知小李买20干克猪肉多余2元，所以猪肉每千克价格为
（104-20）÷（20-18）=84÷2=42（角）=4元2角.
所以牛肉每千克价格为：4元2角+8角=5元.
小李带的钱为：4.2×20+2=86（元）.
【巩固】 李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣
粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋，并且没有剩余的钱．问：李妈妈带了多少钱？
【解析】 （法1）“李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋”，这三袋洗衣粉多花8×3＝24
（元），又因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补上，而碧浪比雕牌
每袋贵2元，所以要买碧浪洗衣粉袋数24÷2＝12（件）．这样李妈妈带的钱数是10×12＝120（元）． （法2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后还剩3×8＝24（元），根据普
通的盈亏问题解法，买碧浪洗衣粉的数量是：24÷（10－8）＝24÷2＝12（件），所以李妈妈带
的钱数是：12×10＝120（元）．
【例 15】 小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比
上课时间提前2分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？
【解析】 迟到3分钟转化成米数：50⨯3=150（米），提前2分钟到校转化成米数：60⨯2=120（米），距
离上课时间为：(150+120) ÷(60-50) =27（分钟），家到学校的路程为：50⨯(27+3) =1500（米）．
【巩固】 东东从家去学校，如果每分走80米，结果比上课提前6分到校，如果每分走50米，则要迟到3
分，那么东东家到学校的路程是______米．
【解析】 这道题看似行程问题，实质却可以用盈亏问题来解. 先求出东东从家到学校路上要用多长时间，
根据已知，(80⨯6+50⨯3) ÷(80-50) (分钟) ，然后可求东东家离校的路程为：=630÷30=21
(米) ． 80⨯(21-6) =1200
【巩固】 王老师由家里到学校，如果每分钟骑车500米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟骑车600米，
就可以比上课时间提前2分钟到校. 王老师家到学校的路程是多少米？
【解析】 迟到3分钟转化成米数：500×3=1500（米），提前两分钟到校转化成米数：600×2＝1200（米）
王老师家到学校需要（1500＋1200）÷（60-50）=270（分钟），王老师家到学校的路程：500×
（270+3）＝136500（米）
【巩固】 学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟
走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？
【解析】 小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走60×10＝600（米）；如果每分钟走
50米，可提早8分钟到校，即到校后还可多走50×8＝400（米），第一种情况比第二种情况每分
钟多走60－50＝10（米），就可以多走600－400＝200（米），从而可以求出小明由家到校所需时
间．
（1）10分种走多少米？60×10＝600（米），
（2）8分种走多少米？50×8＝400（米），
（3）需要时间： （600－400）÷（60－50）＝20（分钟），所以小明7时40分离家刚好8时到校.
（4）由家到校的路程： 60×（20－10）＝600（米）或：50×（20－8）＝600（米）．
【例 16】 “六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价1
元钱2个，白球原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果
小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？
【解析】 花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．即花球原价10元钱20个，白球原价10元钱30个．那
么，同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花10÷2 ，共需要30÷2+30÷3= =5（元）25
（元）．现在两种球的售价都是2元钱5个，花球和白球各买30个需要(30÷5) 2，⨯⨯2 =24（元）
说明花球和白球各买30个能省下25-24=1（元）．现在共省了4元，说明花球和白球各有
，共买了120⨯2 ． 30⨯4 =120（个）=240（个）
【例 17】 （2009“数学解题能力展示”中年级组复试题）幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果
糖．她发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖．发完后清点一下，水果糖还剩15
块，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________个小朋友．
【解析】 画线段图分析，由题意知：
从奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等．如图：
那么2小段和5份都看成10份量，那么总量就相当于19份量，水果糖中原有的8份就是现在的
16份，则剩下的15块水果糖就占有3份，则1份就是5块，给小朋友们分出去的水果糖数量是：
，小朋友的人数是：80÷8=10（人）． 16⨯5=80（块）
方法二：由上图知，设发完后奶糖剩下1份，则巧克力剩下3份，而巧克力与奶糖每人分得相差5
块，对应剩下的糖相差2份，水果糖与奶糖每人分得相差1块，则对应剩下的糖应相差2÷5=0.4
份，所以水果糖最后应剩下1-0.4=0.6份，恰是15块，所以1份对应的是15÷0.6=25，所以应
用盈亏问题共有(25-15) ÷(8-7) =10（人）．
【例 18】 一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干块．小唐喝前两盒咖啡时每袋咖啡都放3块方糖，结
果共用了1包方糖和第2包中的24块；小唐喝后三盒咖啡时每袋咖啡都只放1块方糖，最后第
3包方糖还剩下36块，那么每盒咖啡有多少袋？
【解析】 小唐喝前2盒咖啡，每袋放3块糖，相当于喝6盒咖啡每袋放1块糖；小唐喝后3盒咖啡，每袋
放1块糖，所以喝后3盒用掉的方糖总量是前2盒用掉方糖量的一半．
同时，小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24块，喝后3盒咖啡用掉方糖一包差12块，因此
一包又24块方糖与两包差24块方糖一样多，一包方糖有(24+24) ÷(2-1) =48（块）．
于是喝前两盒咖啡用掉方糖48+24=72（块），每盒咖啡的袋数为：72÷3÷2=12（袋）．
【巩固】 巧克力每盒9块，软糖每盒11块，要把这两种糖分发给一些小朋友，每种糖每人一块，由于又
来了一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖分发的盒数就一样多，现在又来了一位小朋友，
巧克力还要增加一盒，则最后共有多少个小朋友？
【解析】 新来了一位小朋友，就要增加一盒软糖，说明在此之前，软糖应该是刚好分完几整盒，所以原来
的小朋友人数是11的倍数．增加了第二位小朋友之后，巧克力糖也要再来一盒了，说明原有的小
朋友分几整盒巧克力糖之后还剩下一块，也就是说，原有的小朋友人数是9的倍数减1．符合这
两个条件的最小的数是44，而且它刚好满足原有的巧克力比软糖多一盒的条件，所以原有44个
小朋友，最后有46个小朋友．
【例 19】 有若干盒卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7张；如果每人分8张卡片，
则还缺少5张．现在把所有卡片都分完，每人分到60张，而且还多出4张．问：共有多少个小
朋友？
【详解】 首先由题意，一盒卡片每人分7张则有剩余，每人分8张则少5张，证明总人数多于5个．
如果一共有7盒卡片，则所有人每人要想分到8⨯7=56（张）卡片，还缺35张，卡片张数比题
中所述要少．
如果一共有9盒卡片，则只要再添上5⨯9=45（张）卡片，就能使所有人每人分到8⨯9=72（张），人数为(45+4) ÷(72-60) =41
类似地，当卡片总盒数多于9时，都不满足总人数多于5个的要求．
因此卡片一共有8盒，添上5⨯8=40（张）卡片，就能使所有人每人分到8⨯8=64（张），所以
总人数为：(40+4) ÷(64-60) =11（人）．
(二解) 60÷7=8 4，60÷8=7 4，说明卡片的盒数是8盒，“若都分8张则还缺少5张”，即
如果我们在每盒中加5张（8盒共加40张），每人就可以得到8⨯8=64（张），现在实际每人得到
60张，即每人需要退出4张，其中要有4张是每人60张后多下来的，还有40张是我们一开始借
来的要还出去，即要退出44张，44÷4=11（人），说明有11人．
【例 20】 有若干个苹果和若干个梨. 如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果
按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨. 苹果和梨各有多少个?
【解析】 容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到. 原因在于第一种方案
是1个苹果“搭配”2个梨，第二种方案是3个苹果“搭配”5个梨. 如果将这两种方案统一为1
个苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了. 将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4
个梨；1个苹果搭配5/3个梨，多1个梨”，此时盈亏总额为4+1=5(个) 梨，两次分配数之差为
2-5/3=1/3(个) 梨. 所以有苹果(4+1) ÷(2-5/3)=15(个) ，有梨15⨯2-4=26(个) .
【巩固】 有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩2个梨；如果按
半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果. 问梨有多少个？
【解析】 1个苹果配3个梨，多2个梨；半个苹果配2个梨，即1个苹果配4个梨，剩半个苹果，即少2
个梨. 苹果有（2+2）÷（4-3）=4（个），梨有 3×4+2=14（个）.
【例 21】 幼儿园老师给小朋友分糖果．若每人分8块，还剩10块；若每人分9块，最后一人分不到9块，
但至少可分到一块．那么糖果最多有多少块？
【分析】 最后一人分不到9块，那么最多可以分到8块，即若每人分9块，还差1块．根据盈亏计算公式，
人数有，糖果最多有9⨯11-1=98（块）；最后一人分不到9块，但至少（1+10）（÷9-8）=11（人）
可分到一块，即最少是最后一人差8块，根据盈亏计算公式，人数有，（8+10）（÷9-8）=18（人）
糖果最多有9⨯18-8=154（块）；所以，这批糖果最多有154块．
【例 22】 幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比
乙班每个小孩少分3个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班比乙班共多分3
个枣，乙班比丙班总共多分5个枣．问：三个班总共分了多少个枣？
【解析】 设丙班有x 个小孩，那么乙班就有个小孩，甲班有个小孩． （x +4）（x +8）
乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，那么x 个小孩就少分5x 个枣，而乙班比丙班总共多分
个枣． 5个枣，所以多出来的那4个小孩分了（5x +5）
同样的道理，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，那么个小孩就少分个枣，（x +4）（3x +12）
而甲班比乙班总共多分3个枣，所以多出来的那4个小孩分了3x +12+3=3x +15个枣．
甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，4个小孩就少3⨯4=12个枣，因此我们得到：
5x +5=3x +15+12，解得x =11．
所以，丙班有11个小朋友，乙班有15个小朋友，甲班有19个小朋友；甲班每人分12个枣，乙班
每人分15个枣，丙班每人分20个枣．—共分了12⨯19+15⨯15+20⨯11=673（个）枣．
【巩固】 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人
4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，
书不够．问第二组有多少人？
【解析】 如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．说明第一组人数少于
，多于48÷5=9 3，即9人；如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；48÷4=12（人）
每人4本，书不够．说明第二组人数少于48÷3=16（人），多于48÷4=12（人）；因为已知第二
组比第一组多5人，所以，第一组只能是10人，第二组15人．
【例 23】 “六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价1
元钱2个，白球原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果
小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？
【解析】 花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．即花球原价10元钱20个，白球原价10元钱30个．那
么，同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花10÷2 ，共需要30÷2+30÷3= =5（元）25
（元）．现在两种球的售价都是2元钱5个，花球和白球各买30个需要(30÷5) 2，⨯⨯2 =24（元）
说明花球和白球各买30个能省下25-24=1（元）．现在共省了4元，说明花球和白球各有
，共买了120⨯2 ． 30⨯4 =120（个）=240（个）
【巩固】 有红、黄、绿3种颜色的卡片共有100张，其中红色卡片的两面上分别写有1和2，黄色卡片的
两面上分别写着1和3，绿色卡片的两面上分别写着2和3．现在把这些卡片放在桌子上，让每
张卡片写有较大数字的那面朝上，经计算，各卡片上所显示的数字之和为234．若把所有卡片正
反面翻转一下，各卡片所显示的数字之和则变成123．问黄色卡片有多少张？
【解析】 开始的时候，黄色和绿色的卡片上都是3，红色卡片上是2．如果全部是红色卡片，那么数字之
和为：2⨯100=200，比实际的少：234-200=34．每增加一张黄色或绿色卡片，那么数字就会
增加：3-2=1．那么，黄色和绿色卡片之和：34÷1=34（张），红色卡片有：100-34=66（张）． 翻转过来后，红色和黄色卡片上都是1，绿色卡片上是2．红色卡片有66张，剩下的绿色和黄色
卡片上的数字之和为：123-1⨯66=57．如果34张卡片都是黄色的，那么这34张卡片上的数字
之和为：比实际的少：每增加一张绿色卡片，数字之和就会增加：1⨯34=34，57-34=23．2-1=1，
所以，绿色卡片有：23÷1=23（张），黄色卡片有：34-23=11（张）．
【例 24】 四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了
一些铅笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果
每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮
分完时还剩5支铅笔．那么，刘老师一共买了多少块橡皮? 多少支铅笔?
【解析】 如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块橡皮、5支铅笔分，则剩下
10+5=15(支) 铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可以分成：15÷(6—5)=15(堆) ，所以，橡皮数为：15×3=45(块) ，铅笔数为：15×6—10=80(支) ．
【巩固】 小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多4只，
小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还
多12只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？
【解析】 “7只小白兔和3只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多12只”说明小白兔少了
12÷3×7＝28（只），这样原来笼子数有：（28＋4）÷（7－5）＝16（个），所以小白兔有16×5
＋4＝84（只），小灰兔有16×3＝48（只），合起来有84＋48＝132（只）．