例1.已知角α=45°,
(1)在区间[-720°,0°]内找出所有与角α有相同终边的角β;
⎧⎫⎧⎫kk⎨⎬⎨⎬,那么两x|x=×180°+45°,k∈Zx|xk∈Z(2)设集合M=,N=
24⎩⎭⎩⎭
集合的关系是什么?
(1)所有与角α有相同终边的角可表示为:β=45°+k×360°(k∈Z), 则令-720°≤45°+k×360°≤0°,得-765°≤k×360°≤-45°,
76545
解得-k≤-k=-2或k=-1,代入得β=-675°或β=-315°.
360360
(2)因为M={x|x=(2k+1)×45°,k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;而集合N={x|x=(k+1)×45°,k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合,从而:M⊆N.
变式练习:(1)如果α是第三象限的角,那么-α,2α,
α
的终边落在何处? 2
(2)写出终边在直线y=3x上的角的集合;
6πθ
(3)若角θ的终边与[0,2π)内终边与角的终边相同的角.
73
3π
(1)由α是第三象限的角得π+2kπ
2
3ππ
⇒--2kπ
22∴角-α的终边在第二象限;
3π
由π+2kπ
2
∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴.
π
(2)在(0,π)内终边在直线y=3x上的角是y=3x上的角的集合为
3
π
{α|αkπ,k∈Z}.
36πθ2π2kπ
(3)∵θ2kπ (k∈Z),∴=k∈Z).
73732π2kπ318
依题意0≤π⇒-≤kk∈Z.
7377
θ2π20π34π
∴k=0,1,2,即在[0,2π),372121例2. 已知角α的终边经过点P(x2) (x≠0),且cosα=
31
x,求sinα+的6tanα
值.
∵P(x2) (x≠0),∴点P到原点的距离r=x+2.
3x3
又cos α=x,∴cos α=2=x.∵x≠0,∴x10.∴r=3.
6x+26当x=10时,P点坐标为102),
-26110
由三角函数的定义,有sin α=5,
6tan α-23∴sin α+
16656
=-5; tan α66
165-6
当x10时,同理可求得sin α+=.
tan α6
变式练习:已知角α
的终边上一点P(
m),且sinα=
,求cosα,sinα的值。
4
2222
解析:由题设知x=y=
m,所以r=|OP|=(+
m,得r=
从而sinα
=
m2
,解得m=
0或16=6+2m⇒m= ==
r当m=
0时,r=x= cosα=
xy
=-1,tanα==0;
rx
当m=
xyr=x=
cosα==α==;
r4x3
xy。 =α==
r4x3
当m=
r=x=
cosα=
例3. 已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R。
⑴若α=60︒,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的扇形的面积。
⑵若扇形的周长是一定值C(C>0)。当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?
111π50
lR=αR2=⨯⨯100=π
322233
⑵【解法一】设该扇形半径为R,弧长为l 则l+2R=c,∴l=c-2R,
⑴α=
π
,R=10,S=
11112c22
S=lR=(c-2R)R=-R+cR=-(R-c)+
222416
c
lc-c
=c=2(弧度) 当R=时,该扇形的面积有最大值,此时α=R44
【解法二】在求最值时可以应用基本不等式或导数.
c2 l+2R=c,∴c=l+2R≥22lR,∴lR≤8
c21c
(当且仅当l=2R即R=时取等号) S=lR≤1624
变式练习:2弧度的圆的角所对的弦长为2,这个圆的角所夹的扇形面积的数值是( )。 A.
111
B. C. D.tan1
1-cos2sin1sin21
sin(cosθ)cossin2θB
例4. (1)如果点P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,试判断角θ所在的象限. (2)若θ是第二象限角,试判断
的符号是什么?
(1)因为点P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,所以sinθcosθ
⎧sinθ>0
,所以θ为第二象限角. ⎨
⎩cosθ
π
(2)∵2kπ+
2
2θ0. sincos θsincos θ∴ cossin 2θcossin 2θ变式练习:(1)若sinα0是,则α是( ) A.第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
C
(2)已知sin2θ
π
由sin 2θ
2
当k为奇数时,θ的终边在第四象限;当k为偶数时,θ的终边在第二象限.
又因cosθ≤0,所以θ的终边在左半坐标平面(包括y轴),所以θ的终边在第二象限. 所以tanθ
由|cosθ|=-cosθ知cosθ≤0,又sin 2θ
⎧⎪sin θ>0
由①②可推出⎨因此θ在第二象限,P(tanθ,cosθ)在第三象限.
⎪cos θ
2
例5. (1)求函数y=lg(3-4sinx)的定义域;
θθθ
(2)设θ是第二象限角,试比较sin cos ,tan 的大小.
222
33322
(1)∵3-4sinx>0,∴sinx
422
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围 (如图阴影部分所示),
ππ⎛∴x∈ kπ-kπ(k∈Z). 33⎭⎝
(2)∵θ是第二象限角,
θπθππ
+2kπ
θ
①当是第一象限角时,
2θθθ
sin =AB,cos =OA,tan =CT,
222θθθ
从而得,cos
222
θ
②当是第三象限角时,
2θθθ
sin =EF,cos =OE,tan =CT,
222θθθ
得
222
θθθθ
综上所得,当在第一象限时,cos
2222θθθθ
当sin
变式练习:(1)a=sin,b=cos,c=tan,则( )
777
A b
解法如下:a=sin=sin,因为
(2)适合|cosx|>|sinx|的 x 的集合为_______________
{x|kπ-
44
1
例6. 已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=5
(1)求tanα的值; (2)把
1
用tanα表示出来,并求其值.
cos2α-sin2α
1
由得cosα=-sinα,将其代入,
5
1⎧
sinα+cosα=⎪
(1)法一、联立方程⎨5
⎪sin2α+cos2α=1⎩
4⎧
sinα=⎪4⎪52
整理得25sinα-5sinα-12=0. α是三角形内角,∴⎨,∴tanα=-.
3⎪cosα=-3
⎪5⎩
11
,∴(sinα+cosα)2=()2, 55124
即1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=-,
2525
2449
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+=.
2525
12
sinαcosα=-
25
∴sinα>0,cosα0,
法二、 sinα+cosα=
7
∴sinα-cosα=,
514⎧⎧
sinα+cosα=sinα=⎪⎪⎪⎪55由⎨,得⎨,⎪sinα-cosα=7⎪cosα=-3⎪⎪55⎩⎩
4
∴tanα=-.
3
sin2α+cos2α=221sin2α+cos2αtanα+14(2)== tanα=-, 2222222
cosα-sinαcosα-sinαcosα-sinα1-tanα3
cos2α4
∴12
(-)2+1cos2α-sin2α=tanα+11-tan2α==-257
.
1-(-43
)2变式练习:(1)已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=( ) (A)-
4
43
(B)
5
4
(C)-
34
(D)
5
选D. sin2
θ+sinθcosθ-2cos2
θ=sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ
sin2θ+cos2
θ =tan2θ+tanθ-2tan2θ+1
=4+2-244+1=5
(2)已知θ∈(0,π),且siθn,coθs是方程5x2
-x-
12
5
=0的两根,sin3θ+cos3θ,tanθ+
1
tanθ的值。 ⎧
sinθ+cosθ=1由题意⎪⎪⎨5
⎪⎪⎩
sinθcosθ=-
1225sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=15⋅[(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ]=112415⋅(25+25)=5
tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=125
sinθcosθ=-12
sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+3
π)tan(-α-π)
例7. .已知f(α)=sin(-α-π)
,
⑴化简f(α);
⑵若α是第三象限角,且cos(α-32π)=1
5
,求f(α)的值;
⑶α=-31
3
π,求f(α)的值。
⑴f(α)=sinα⋅cosα⋅cotα⋅(-tanα)
sinα
=-cosα
⑵由cos(α-3π2)=15得sinα=-1
5 又α为第三象限角 ∴cosα=-
25 求
∴f(α)=-cosα=
⑶
α=-
31π31πππ1
)=-cos=-cos(10π+)=-cos=- 33332
31π
3
∴f(α)=-cos(-
变式练习:(1)sin585o的值为( )
(A)
(C)
(D) 2
2
【解析】选A.sin585o=sin(360o+225o)=sin(180o+45o)=-sin45o=-
ππ
)则2tanx+tan(-x)的最小值为____. 22ππ1
【解析】由x∈(0,),知tanx>0,tan(-x)=cotx=>
0,所以
22tanx
(2)若x∈(0,
π1
2tanx+tan(-x)=2tanx+≥
当且仅当tanx=
2tanx
(3)"θ=
2π⎛π⎫
"是"tanθ=2cos +θ⎪"的 ( ) 3⎝2⎭
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
⎛2⎫⎛π⎫⎛2⎫
【解析】选
A.tanθ=tan π⎪=2cos +θ⎪=2sin(-θ)=-2sin π⎪=⎝3⎭⎝2⎭⎝3⎭⎛π⎫
分,当θ=0︒时tanθ=0,2cos +θ⎪=0可知不必要.故选A.
⎝2⎭
课后作业:
1.以下有四个命题:①小于90︒的角是锐角;②第一象限的角一定不是负角;③锐角是第一象限的角;④第二象限的角一定大于第一象限的角。其中,正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 B
2.已知cosθ tanθ
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 C
3.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若p(4,y)是角θ
终边上一点,且
sinθ=y=_______. 答案:—8. 解析:根据正弦值为负数,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定该 角为第四象限角。sinθ=
y25对边
=-=⇒y=-8 25斜边+y
4.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ= (A)-B
5.设集合M={y|y=|cosx-sinx|,x∈
R},N={x||x-|
2
2
4334
(B)- (C) (D) 5555
1
i
,i为虚数单位,
x∈R},则M N为( )
(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1] 【解】选C y=|cosx-sinx|=|cos2x|∈[0,1],所以M=[0,1]
因为|x-|
2
2
1
i
|x+i|
|x-(-i)|
即N=(-1,1);所以M N=[0,1),故选C.
6.若7.“α=
,且,则= .
4 3
π
6
+2kπ(k∈Z)”是“cos2α=
1
”的 2
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 当α=
π
π⎫π1⎛
+2kπ(k∈Z)时,cos2α=cos 4kπ+⎪=cos=,
3⎭326⎝
1ππ
时,有2α=2kπ+⇒α=kπ+(k∈Z), 236
反之,当cos2α=或2α=2kπ-
π
3
⇒α=kπ-
π
6
(k∈Z),故应选A.
2
8. 设扇形的周长为8 cm,面积为4 cm,则扇形的圆心角的弧度数为___________2 9.
若0≤α≤2π,sinα>α,则α的取值范围是:( C )
(A)
⎛ππ⎫⎛π⎫⎛π4π,⎪ (B) ,π⎪ (C) ,⎝32⎭⎝3⎭⎝33⎫⎛π3π
(D)⎪ ,⎭⎝32
⎫
⎪ ⎭
10.
已知cos
π⎛π⎫
+ϕ⎪=,且ϕ
2⎝2⎭ (A)-
(B) (C)
33
⎛35⎫
在复平面内所对应的点在ππ⎪,则复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i
⎝44⎭
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
11.若θ∈
( B) A.第一象限 12.
已知sinα=(A)-
3 5
44
,则sinα-cosα的值为A
(B)-
1 5
(C)
1 5
(D)
3 5
13.若cosθ>0,且sin2θ
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 14.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则( D )
ππ
)f(cos1) 662π2π
C.f(cos)f(sin2)
33
α
15.已知α为第三象限角,则所在的象限是 D
2
A.f(sin
(A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限 (C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限
1
=4,则sin2θ=( ) tanθ
1111A. B. C. D.
5432
16.若tanθ+
D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.
1sinθcosθsin2θ+cos2θ11
=+===4,所以.sin2θ=. 因为tanθ+
tanθcosθsinθsinθcosθ2sin2θ2
17
.已知sinα-cosαα∈(0,π),则tanα= A.-1 B
.-
C
. 22
D.1
【命题意图】本题主要考查同角三角函数基本关系式、特殊角的的三角函数,是中档题.
【解析1
】sinα-cosαα∈(0,π),两边平方得1-sin2α=2,
3π3π,α=,∴tanα=-1,故选A. 24
【解析2】由于形势比较特殊,可以两边取导数得cosα+sinα=0,∴tanα=-1 sin2α=-1,2α∈(0,2π),2α=
18.已知α
为第二象限角,sinα+cosα=
,则cos2α= 3
A
.-
B
.-
. D
. 3993
12
,两边平方可得1+sin2α=⇒sin2α=- 33
答案A
【解析】sinα+cosα=
α是第二象限角,因此sinα>0,cosα
所以cosα-sinα===
∴cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=19.记cos(-80︒)=k,那么tan100︒=
A. B. -
kk
例1.已知角α=45°,
(1)在区间[-720°,0°]内找出所有与角α有相同终边的角β;
⎧⎫⎧⎫kk⎨⎬⎨⎬,那么两x|x=×180°+45°,k∈Zx|xk∈Z(2)设集合M=,N=
24⎩⎭⎩⎭
集合的关系是什么?
(1)所有与角α有相同终边的角可表示为:β=45°+k×360°(k∈Z), 则令-720°≤45°+k×360°≤0°,得-765°≤k×360°≤-45°,
76545
解得-k≤-k=-2或k=-1,代入得β=-675°或β=-315°.
360360
(2)因为M={x|x=(2k+1)×45°,k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;而集合N={x|x=(k+1)×45°,k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合,从而:M⊆N.
变式练习:(1)如果α是第三象限的角,那么-α,2α,
α
的终边落在何处? 2
(2)写出终边在直线y=3x上的角的集合;
6πθ
(3)若角θ的终边与[0,2π)内终边与角的终边相同的角.
73
3π
(1)由α是第三象限的角得π+2kπ
2
3ππ
⇒--2kπ
22∴角-α的终边在第二象限;
3π
由π+2kπ
2
∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴.
π
(2)在(0,π)内终边在直线y=3x上的角是y=3x上的角的集合为
3
π
{α|αkπ,k∈Z}.
36πθ2π2kπ
(3)∵θ2kπ (k∈Z),∴=k∈Z).
73732π2kπ318
依题意0≤π⇒-≤kk∈Z.
7377
θ2π20π34π
∴k=0,1,2,即在[0,2π),372121例2. 已知角α的终边经过点P(x2) (x≠0),且cosα=
31
x,求sinα+的6tanα
值.
∵P(x2) (x≠0),∴点P到原点的距离r=x+2.
3x3
又cos α=x,∴cos α=2=x.∵x≠0,∴x10.∴r=3.
6x+26当x=10时,P点坐标为102),
-26110
由三角函数的定义,有sin α=5,
6tan α-23∴sin α+
16656
=-5; tan α66
165-6
当x10时,同理可求得sin α+=.
tan α6
变式练习:已知角α
的终边上一点P(
m),且sinα=
,求cosα,sinα的值。
4
2222
解析:由题设知x=y=
m,所以r=|OP|=(+
m,得r=
从而sinα
=
m2
,解得m=
0或16=6+2m⇒m= ==
r当m=
0时,r=x= cosα=
xy
=-1,tanα==0;
rx
当m=
xyr=x=
cosα==α==;
r4x3
xy。 =α==
r4x3
当m=
r=x=
cosα=
例3. 已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R。
⑴若α=60︒,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的扇形的面积。
⑵若扇形的周长是一定值C(C>0)。当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?
111π50
lR=αR2=⨯⨯100=π
322233
⑵【解法一】设该扇形半径为R,弧长为l 则l+2R=c,∴l=c-2R,
⑴α=
π
,R=10,S=
11112c22
S=lR=(c-2R)R=-R+cR=-(R-c)+
222416
c
lc-c
=c=2(弧度) 当R=时,该扇形的面积有最大值,此时α=R44
【解法二】在求最值时可以应用基本不等式或导数.
c2 l+2R=c,∴c=l+2R≥22lR,∴lR≤8
c21c
(当且仅当l=2R即R=时取等号) S=lR≤1624
变式练习:2弧度的圆的角所对的弦长为2,这个圆的角所夹的扇形面积的数值是( )。 A.
111
B. C. D.tan1
1-cos2sin1sin21
sin(cosθ)cossin2θB
例4. (1)如果点P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,试判断角θ所在的象限. (2)若θ是第二象限角,试判断
的符号是什么?
(1)因为点P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,所以sinθcosθ
⎧sinθ>0
,所以θ为第二象限角. ⎨
⎩cosθ
π
(2)∵2kπ+
2
2θ0. sincos θsincos θ∴ cossin 2θcossin 2θ变式练习:(1)若sinα0是,则α是( ) A.第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
C
(2)已知sin2θ
π
由sin 2θ
2
当k为奇数时,θ的终边在第四象限;当k为偶数时,θ的终边在第二象限.
又因cosθ≤0,所以θ的终边在左半坐标平面(包括y轴),所以θ的终边在第二象限. 所以tanθ
由|cosθ|=-cosθ知cosθ≤0,又sin 2θ
⎧⎪sin θ>0
由①②可推出⎨因此θ在第二象限,P(tanθ,cosθ)在第三象限.
⎪cos θ
2
例5. (1)求函数y=lg(3-4sinx)的定义域;
θθθ
(2)设θ是第二象限角,试比较sin cos ,tan 的大小.
222
33322
(1)∵3-4sinx>0,∴sinx
422
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围 (如图阴影部分所示),
ππ⎛∴x∈ kπ-kπ(k∈Z). 33⎭⎝
(2)∵θ是第二象限角,
θπθππ
+2kπ
θ
①当是第一象限角时,
2θθθ
sin =AB,cos =OA,tan =CT,
222θθθ
从而得,cos
222
θ
②当是第三象限角时,
2θθθ
sin =EF,cos =OE,tan =CT,
222θθθ
得
222
θθθθ
综上所得,当在第一象限时,cos
2222θθθθ
当sin
变式练习:(1)a=sin,b=cos,c=tan,则( )
777
A b
解法如下:a=sin=sin,因为
(2)适合|cosx|>|sinx|的 x 的集合为_______________
{x|kπ-
44
1
例6. 已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=5
(1)求tanα的值; (2)把
1
用tanα表示出来,并求其值.
cos2α-sin2α
1
由得cosα=-sinα,将其代入,
5
1⎧
sinα+cosα=⎪
(1)法一、联立方程⎨5
⎪sin2α+cos2α=1⎩
4⎧
sinα=⎪4⎪52
整理得25sinα-5sinα-12=0. α是三角形内角,∴⎨,∴tanα=-.
3⎪cosα=-3
⎪5⎩
11
,∴(sinα+cosα)2=()2, 55124
即1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=-,
2525
2449
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+=.
2525
12
sinαcosα=-
25
∴sinα>0,cosα0,
法二、 sinα+cosα=
7
∴sinα-cosα=,
514⎧⎧
sinα+cosα=sinα=⎪⎪⎪⎪55由⎨,得⎨,⎪sinα-cosα=7⎪cosα=-3⎪⎪55⎩⎩
4
∴tanα=-.
3
sin2α+cos2α=221sin2α+cos2αtanα+14(2)== tanα=-, 2222222
cosα-sinαcosα-sinαcosα-sinα1-tanα3
cos2α4
∴12
(-)2+1cos2α-sin2α=tanα+11-tan2α==-257
.
1-(-43
)2变式练习:(1)已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=( ) (A)-
4
43
(B)
5
4
(C)-
34
(D)
5
选D. sin2
θ+sinθcosθ-2cos2
θ=sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ
sin2θ+cos2
θ =tan2θ+tanθ-2tan2θ+1
=4+2-244+1=5
(2)已知θ∈(0,π),且siθn,coθs是方程5x2
-x-
12
5
=0的两根,sin3θ+cos3θ,tanθ+
1
tanθ的值。 ⎧
sinθ+cosθ=1由题意⎪⎪⎨5
⎪⎪⎩
sinθcosθ=-
1225sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=15⋅[(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ]=112415⋅(25+25)=5
tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=125
sinθcosθ=-12
sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+3
π)tan(-α-π)
例7. .已知f(α)=sin(-α-π)
,
⑴化简f(α);
⑵若α是第三象限角,且cos(α-32π)=1
5
,求f(α)的值;
⑶α=-31
3
π,求f(α)的值。
⑴f(α)=sinα⋅cosα⋅cotα⋅(-tanα)
sinα
=-cosα
⑵由cos(α-3π2)=15得sinα=-1
5 又α为第三象限角 ∴cosα=-
25 求
∴f(α)=-cosα=
⑶
α=-
31π31πππ1
)=-cos=-cos(10π+)=-cos=- 33332
31π
3
∴f(α)=-cos(-
变式练习:(1)sin585o的值为( )
(A)
(C)
(D) 2
2
【解析】选A.sin585o=sin(360o+225o)=sin(180o+45o)=-sin45o=-
ππ
)则2tanx+tan(-x)的最小值为____. 22ππ1
【解析】由x∈(0,),知tanx>0,tan(-x)=cotx=>
0,所以
22tanx
(2)若x∈(0,
π1
2tanx+tan(-x)=2tanx+≥
当且仅当tanx=
2tanx
(3)"θ=
2π⎛π⎫
"是"tanθ=2cos +θ⎪"的 ( ) 3⎝2⎭
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
⎛2⎫⎛π⎫⎛2⎫
【解析】选
A.tanθ=tan π⎪=2cos +θ⎪=2sin(-θ)=-2sin π⎪=⎝3⎭⎝2⎭⎝3⎭⎛π⎫
分,当θ=0︒时tanθ=0,2cos +θ⎪=0可知不必要.故选A.
⎝2⎭
课后作业:
1.以下有四个命题:①小于90︒的角是锐角;②第一象限的角一定不是负角;③锐角是第一象限的角;④第二象限的角一定大于第一象限的角。其中,正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 B
2.已知cosθ tanθ
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 C
3.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若p(4,y)是角θ
终边上一点,且
sinθ=y=_______. 答案:—8. 解析:根据正弦值为负数,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定该 角为第四象限角。sinθ=
y25对边
=-=⇒y=-8 25斜边+y
4.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ= (A)-B
5.设集合M={y|y=|cosx-sinx|,x∈
R},N={x||x-|
2
2
4334
(B)- (C) (D) 5555
1
i
,i为虚数单位,
x∈R},则M N为( )
(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1] 【解】选C y=|cosx-sinx|=|cos2x|∈[0,1],所以M=[0,1]
因为|x-|
2
2
1
i
|x+i|
|x-(-i)|
即N=(-1,1);所以M N=[0,1),故选C.
6.若7.“α=
,且,则= .
4 3
π
6
+2kπ(k∈Z)”是“cos2α=
1
”的 2
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 当α=
π
π⎫π1⎛
+2kπ(k∈Z)时,cos2α=cos 4kπ+⎪=cos=,
3⎭326⎝
1ππ
时,有2α=2kπ+⇒α=kπ+(k∈Z), 236
反之,当cos2α=或2α=2kπ-
π
3
⇒α=kπ-
π
6
(k∈Z),故应选A.
2
8. 设扇形的周长为8 cm,面积为4 cm,则扇形的圆心角的弧度数为___________2 9.
若0≤α≤2π,sinα>α,则α的取值范围是:( C )
(A)
⎛ππ⎫⎛π⎫⎛π4π,⎪ (B) ,π⎪ (C) ,⎝32⎭⎝3⎭⎝33⎫⎛π3π
(D)⎪ ,⎭⎝32
⎫
⎪ ⎭
10.
已知cos
π⎛π⎫
+ϕ⎪=,且ϕ
2⎝2⎭ (A)-
(B) (C)
33
⎛35⎫
在复平面内所对应的点在ππ⎪,则复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i
⎝44⎭
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
11.若θ∈
( B) A.第一象限 12.
已知sinα=(A)-
3 5
44
,则sinα-cosα的值为A
(B)-
1 5
(C)
1 5
(D)
3 5
13.若cosθ>0,且sin2θ
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 14.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则( D )
ππ
)f(cos1) 662π2π
C.f(cos)f(sin2)
33
α
15.已知α为第三象限角,则所在的象限是 D
2
A.f(sin
(A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限 (C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限
1
=4,则sin2θ=( ) tanθ
1111A. B. C. D.
5432
16.若tanθ+
D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.
1sinθcosθsin2θ+cos2θ11
=+===4,所以.sin2θ=. 因为tanθ+
tanθcosθsinθsinθcosθ2sin2θ2
17
.已知sinα-cosαα∈(0,π),则tanα= A.-1 B
.-
C
. 22
D.1
【命题意图】本题主要考查同角三角函数基本关系式、特殊角的的三角函数,是中档题.
【解析1
】sinα-cosαα∈(0,π),两边平方得1-sin2α=2,
3π3π,α=,∴tanα=-1,故选A. 24
【解析2】由于形势比较特殊,可以两边取导数得cosα+sinα=0,∴tanα=-1 sin2α=-1,2α∈(0,2π),2α=
18.已知α
为第二象限角,sinα+cosα=
,则cos2α= 3
A
.-
B
.-
. D
. 3993
12
,两边平方可得1+sin2α=⇒sin2α=- 33
答案A
【解析】sinα+cosα=
α是第二象限角,因此sinα>0,cosα
所以cosα-sinα===
∴cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=19.记cos(-80︒)=k,那么tan100︒=
A. B. -
kk