函数解析式

妙谈函数解析式的求法

摘要：函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立的桥梁，求函数的解析式是高考中的常见问题，其特点是类形活、方法多。

关键词：表达形式图象法配凑法换元法待定系数法解方程组法特殊值

法递推法变换法

一、解析式的表达形式

解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例如一次函数：y =kx +b (k ≠0) 二次函数：y =ax 2+bx +c (a ≠0) 反比例函数：y =

(k ≠0) x

指数函数：y =a x (a >0且a ≠1) 对数函数：y =log a x (a >0且a ≠1) 幂函数： y =x α(α∈R )

三角函数：y =sin x , y =cos x , y =tan x (x ≠

+k π)

2、分段式

若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。(注意分段函数的定义域和值域)

⎧x 2+1, 0≤x ≤2, ⎪

例．已知函数f (x ) =⎨3x -1, 2

⎪11, x >4. ⎩

解得y ∈[1,11]。 3、复合式

若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即y =f (u ), u =g (x ), x ∈(a , b ) ，那么y 关于x 的函数

y =f [g (x ) ], x ∈(a , b )叫做f 和g 的复合函数。

例已知f (x ) =2x +1, g (x ) =x 2+3，则f [g (x ) ]=g [f (x ) ]= 解：f [g (x ) ]=2g (x ) +1=2(x 2+3) +1=2x 2+7 g [f (x ) ]=[f (x ) ]+3=(2x +1) 2+3=4x 2+4x +4

二、解析式的求法

根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。

函数的解析式是表示对应关系的式子，是函数三种表示法中最重要的一种，对某些函数问题，能否顺利解答，往往取决于是不是能够求出函数的解析式．本文就常见的函数解析式的求法归类例析如下：

1．图象法

例１已知函数y ＝f (x ) 的图象如图所示．求函数f (x ) 的解析式．

⎧3

x ,(0≤x ≤1) ⎪⎪2

f (x ) ＝⎨

3⎪3-x .(1

-x -1,0≤x ≤2。 22

评注：已知函数图象，求函数解析式，对于这类问题，我们只要能够准确地应用题中图象给

出的已知条件确定解析式即可．

比较两段解析式容易的f (x ) =

２．配凑法（满足范围才能取代）

例２已知f (x -=x 2+2+1，求函数f (x ) 的解析式。

x x

111

解：f (x -) =x 2-2+2+3=(x -2+3

x x x 1

令x -=t ，则f (t ) =t 2+3

所以f (x ) =x 2+3

评注：已知f [g (x )]＝h (x ) ，求f (x ) 的问题，可先用g (x ) 表示h (x ) ，然后再将g (x ) 用x 代替，即得f (x ) 的解析式．

练习：已知f (1+) =2-2，求f (x )

。

x x

注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制；

３．换元法（满足范围才能取代）

例３已知f (1+

＝2x f (x ) 的解析式．

(t -1) 2

(t ≥1) （引入新元要标注范围）解：令1+=t ，则x ＝4

(t -1) 2t -1t 2-t x 2-x

+=(t ≥1) 从而f (x ) =∴ f (t ) =(x ≥1) 2222

1-x 1-x 2

) =, 求f (x ) 的解析式。练习： 1。已知f (2

1+x 1+x

已知f

1=x +f (x ) 。

)

评注： 1、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。

2、已知f [g (x )]＝h (x ) ，求f (x ) 的问题，若用配凑法难求时，则可设g (x ) ＝t ，

从中解出x ，代入h (x ) 进行换元来解．在换元的同时，一定要注意“新元”的取值范围．４．待定系数法

当函数类型给定，且函数某些性质已知，我们常常可以使用待定系数法来求其解析式。例４已知二次函数满足f (3x +1) =9x 2-6x +5, 求f (x ); 解：设f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 则f (3x +1) =a (3x +1) 2+b (3x +1) +c =9ax 2+(6a +3b ) x +a +b +c 又有f (3x +1) =9x 2-6x +5

⎧9a =9⎧a =1⎪⎪

所以⎨6a +3b =-6⇔⎨b =-4所以f (x ) =x 2-4x +8

⎪a +b +c =5⎪c =8⎩⎩

练习：已知二次函数y =f (x ) 满足f (x -2) =f (-x -2), 且图象经过点（0，1），被x 轴截得的

线段长为22，求函数y =f (x ) 的解析式。分析：二次函数的解析式有三种形式： ① 一般式：f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0)

② 顶点式：f (x ) =a (x +h ) 2+k 其中a ≠0, 点(h , k )为函数的顶点

③ 双根式：f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2) 其中a ≠0, x 1与x 2是方程f (x ) =0的两根解法1：设f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ，则图象经过点（0，1）知：f (0) =1，即c=1 ① ∴ f (x ) =ax 2+bx +1

由f (x -2) =f (-x -2) 知：a (x -2) 2+b (x -2) +1=a (-x -2) 2+b (-x -2) +1

整理得：(4a -b ) x =0 即： 4a -b =0 ②

由被x 轴截得的线段长为22知，|x 1-x 2|=22，即 (x 1-x 2) 2=(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=8

b 1

即 (-) 2-4=8

a a

整理得： b 2-4a =8a 2 ③

, b =2 21

∴ f (x ) =x 2+2x +1

由②③得： a =

解法2：由f (x -2) =f (-x -2) 知：二次函数对称轴为x =-2，所以设

f (x ) =a (x +2) 2+k (a ≠0) ；以下从略。

解法3：由f (x -2) =f (-x -2) 知：二次函数对称轴为x =-2；由被x 轴截得的线段长为

22知，|x 1-x 2|=22；

易知函数与x 轴的两交点为

(-2-

2, 0, -2+2, 0

)()

，所以设

f (x ) =a (x +2+2)(x +2-2) (a ≠0) ，以下从略。

注：1、例4可以用换元法和配凑法解。

2、用待定系数法解注意题目中给出的条件选择合适的方法，起到事半功倍的效果。５．解方程组法

例５已知２f (x ) ＋f () ＝x ，求f (x ) 的解析式．

x 11

解：已知２f (x ) ＋f () ＝x ① 将①中变量x 换成，得

x x

111

２f () ＋f (x ) ＝ ② 联立①、②可得方程，消去f () 得

x x x 21

f (x ) ＝x -．

33x

练习：已知2f (x ) +f (-x ) =3x +2, 求f(x)

) =g (x ) a ≠b ≠0）或评注：对于函数f (x ) ，当满足形如a f (x ) +b f (-x （

⎛1⎫

a f (x ) +b f ⎪=

⎝x ⎭

（a ≠b ≠0）等关系时，我们可以用-x 或g () x

代替关系式中的x ，将得到x

的新式子与原关系式联立消元，将f (x ) 从方程中解出来。

６．特殊值法

对于抽象函数，我们常常使用赋值法来探求其函数解析式。

例６已知对一切x , y ∈R ，关系式f (x -y ) =f (x ) -(2x -y +1) y 都成立，且f (0)＝１，求f (x ) ．

解：∵ f (x -y ) =f (x ) -(2x -y +1) y 对一切x 、ｙ都成立． ∴ 令x ＝０得f (-y ) =f (0)-(1-y ) y

∴ f (-y ) =y 2-y +1，再令x ＝－ｙ得f (x ) ＝x 2＋x ＋１

练习：已知函数f (x ) 对于一切实数x , y 都有f (x +y ) -f (y ) =(x +2y +1) x 成立，且

f (1) =0。

（1）求f (0) 的值；（2）求f (x ) 的解析式。 7. 递推法

对于定于在N 上的函数，我们可以把f (n ) 、f (n +1) 、f (n +2) 等与数列{a n }中的项a n 、我们直接从给定的条件关系式或通过巧妙的赋值，将其转化为数列{a n }a n +2等关联起来。a n +1、

的递推关系式，进而将求函数f (x ) 的解析式转化为求数列{a n }的通项。这样，我们便可以将求递推数列通项公式的思想方法迁移过来进行求解。

例7 已知f (x ) 是定义在正整数集上的函数，并且对于任意的x 、y ∈N +，都有

f (x +y ) =f (x ) +f (y ) +xy ，且f (1)=2，求f (x ) 。

解：令y =1得f (x +1) -f (x ) =2+x

那么有：f (x ) -f (x -1) =1+x

f (x -1) -f (x -2) =x f (x -2) -f (x -3) =x -1

„„

f (3)-f (2)=4

f (2)-f (1)=3

各式叠加得：f (x ) -f (1)=3+4+„+(x +2)

3+(x +2) x (x +5)

⋅x = 22x (x +5) (x +1)(x +4)

+2=即f (x ) =（x ∈N +） 22

8. 变换法

对于给定轴对称函数、中心对称函数、周期函数等在某区间的解析式要求另一区间上函数解析式一类问题，我们可从目标（待求）区间入手，构造变量属于已知区间，通过给定的函数的性质把待求的解析式和构造变量的函数值之间的关系关联，从而把函数在待求区间上的解析式求解出来。

例8（奇偶变换法）已知f (x ) 为定义在R 上的奇函数且最小正周期2，当x ∈(0,1)时，

f (x ) =x ，求f (x ) 在[-1,1]上的解析式。

4+1

2-x

解：当x ∈(-1,0)时，-x ∈(0,1)。而f (x ) 为奇函数，∴f (x ) =-f (-x ) =--x

4+1

=-x 。

4+1

由f (0)=-f (-0) =-f (0),∴f (0)=0 且f (1)=f (-2+1) =f (-1) =-f (1),∴f (1)=0 故f (0)=f (1)=f (-1) =0 所以在区间[-1,1]上，有

⎧2x ⎪4x +1x ∈0,1⎪

2x ⎪

x ∈(-1,0) f (x ) =⎨-x

⎪4+1

x ∈-1,0,1⎪0

⎪⎩

()

{}

例9（对称变换法）已知f (x ) 的图像关于直线x =2对称，当x ≤2时，f (x ) =x 2-5x +3，试求当x >2时f (x ) 的解析式。

解：设x >2，则4-x

的图像关于直线x =2对称，∴f (x ) =f (4-x ) =x 2-3x -1。

例10（周期变换法）已知偶函数f (x ) 为定义在R 上的周期为2的周期函数，已知当

x ∈[3,4]时，f (x ) =2x +1，求当x ∈[-1,1]时f (x ) 的解析式。

解：当x ∈[-1,0]时，x +4∈[3,4]，∴f (x +4) =2(x +4) +1=2x +9，而f (x ) 是周期

为2的周期函数，∴f (x ) =f (x +4) =2x +9；

当x ∈[0,1]时，-x ∈[-1,0]，∴f (-x ) =-2x +9，而f (x ) 为偶函数，

∴f (x ) =f (-x ) =-2x +9。

综上得，当当x ∈[-1,1]时

f (x ) =9-2x 。

例11（伸缩平移法）将抛物线y =x 2-2x +4上的任意一点保持横坐标不变，纵坐标压缩

为原来的，图像向左平移一个单位，求所得抛物线的解析式。

解：设p (x , y ) 是函数y =x 2-2x +4图像变换后所得新图像上的任意一点，它是由原图

⎧x =x 1-1

1232⎪

2y =x +1-2x +1+4y =x + 像上的点p 1(x 1, y 1) 变换后得到的，则⎨所以，即()()1

22y =y 1

⎪⎩2函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立的桥梁，

求函数的解析式是高考中的常见问题，其特点是类形活、方法多。求函数的解析式常有以下几种方法：

（1）如果已知函数f ⎡⎣f (x )⎤⎦的表达式时，可用换元法或配凑法求解;

(2)如果已知函数的结构时，可用待定系数法求解；

（3）对求抽象函数的解析式问题，可用赋值法（可以是特殊值，也可以是变量换变量）通过

解方组求解；

（4）若所给式子含有f (x ), f () 或f (x ), f (-x ) 等形式，可构造另一方程，通过解方程组求解；

（5）灵活运用函数的性质奇偶性、对称性求解。

参考文献：

高中数学《多功能题典》华东师范大学出版社况亦军

名师一号〃高考总复习《模块新课标》数学光明日报出版社王俊杰高中数学教与学扬州大学