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模块八 中值定理证明
Ⅰ 教学规划
【教学目标】
1、理解各类中值定理的基本内容,掌握必要的定理证明
2、总结中值定理部分基本的命题方向和特点,训练针对性、系统化的证明思路
【主要内容】
1、基本定理:闭区间上连续函数的性质,微分中值定理、积分中值定理
2、对连续函数性质的考查
3、罗尔定理的使用
4、辅助函数的构造
5、双中值问题
【重难点】
1、各类中值定理证明题型的证明思路和技巧
Ⅱ 知识点回顾
一.连续函数的性质
1.最值定理
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续,则f (x ) 在[a , b ]上能够取到最大值与最小值,即∃ξ, η∈[a , b ],使得f (ξ) =max{f (x )},f (η) =min{f (x )} a ≤x ≤b a ≤x ≤b
2.介值定理
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续,M 和m 分别为f (x ) 在[a , b ]上的最大值与最小值,若c 满足m ≤c ≤M , 则∃ξ∈[a , b ],使得f (ξ) =c
3.零点存在定理
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续,且f (a ) f (b )
二.微分中值定理
1.罗尔定理
如果函数f (x ) 满足:
(1)在闭区间[a , b ]上连续;(2)在开区间(a , b ) 上可导;(3)在区间端点处的函数值相等,即f (a ) =f (b ) ;那么在(a , b ) 内至少存在一点ξ(a
2.拉格朗日中值定理
如果函数f (x ) 满足(1)在闭区间[a , b ]上连续;(2)在开区间(a , b ) 上可导;那么在(a , b ) 内至少存在一点ξ(a
3.柯西中值定理
如果函数f (x ) 和g (x ) 满足(1)在闭区间[a , b ]上连续;(2)在开区间(a , b ) 上可导;
(3)对任意的x ∈(a , b ) ,g '(x ) ≠0;那么在(a , b ) 内至少存在一点ξ(a
三.积分中值定理:
设函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续,则在积分区间[a , b ]上至少存在一点ξ使得下式成立:
⎰
Ⅲ 考点精讲 b a f (x ) dx =f (ξ)(b -a )
一.对连续函数性质的考查
【例1】:f (x ) 在[0,1]上连续,满足对任意x ∈[0,1]有f (x ) ∈(0,1),证明:∃ξ∈(0,1)使f (ξ) =ξ
【例2】:f (x ) 在[a , b ]上连续,a ≤x 1≤x 2≤ ≤x n ≤b ,证明:∀c 1, c 2 c n >0,∃ξ∈[x 1, x n ],使f (ξ)=c 1f (x 1)+... +c n f (x n )
c 1+... +c n
ξ) =A ,●小结:本题的重要意义:(1)方法上,要证明∃ξ∈[a , b ],使得f (则首先设出f (x )
在[a , b ]上的最值m , M ,再证明A ∈[m , M ]即可
(2)结论上,本题的结论对∀c 1, c 2 c n >0都是成立的,特别的当c i =1时的结论,即f (x 1)+... +f (x n )=nf (ξ), ξ∈[x 1, x n ],该结论要记住,在微分中值定理的相关证明中可以直接应用。
【例3】:f (x ), g (x ) 均在[a , b ]上连续,g (x ) >0, x ∈[a , b ]证明:∃ξ∈[a , b ],使得
f (ξ)⎰g (x ) dx =⎰f (x ) g (x ) dx a a b b
二.罗尔定理的使用
【例4】:设函数f (x ) 在[0,3]上连续,在(0,3)上可导,且
f (0)+f (1)+f (2)=3, f (3)=1。试证明:必存在ξ∈(0,3),使得f '(ξ) =0
【例5】:设函数f (x )在闭区间[0,3]上连续, 在开区间(0,3)内二阶可导, 且
2f (0) =⎰f (x ) dx =f (2)+f (3) 02
(1)证明存在η∈(0,2), 使得f (η) =f (0) (2)证明存在∃ξ∈(0,3)使得f '' (ξ)=0
【例6】:设f (x )在区间[a , b ]上具有二阶导数,且f (a )=f (b )=0, f ' (a )⋅f ' (b )>0试证明:存在ξ∈(a , b )和η∈(a , b ),使f (ξ)=0,及f '' (η)=0.
●小结:本题用到的理论知识有:1. 零点定理:设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续, 且f (a ) 与f (b ) 异号(即f (a ) ⋅f (b )
2.函数极限的局部保号性定理:如果lim f (x ) =A , 且A >0(或A
x →x 0
3. 罗尔定理:如果函数f (x ) 满足(1) 在闭区间[a , b ]上连续;(2) 在开区间(a , b ) 内可导;
(3) 在区间端点处的函数值相等, 即f (a ) =f (b ) , 那么在(a , b ) 内至少有一点ξ(a
【例7】:设函数f (x ), g (x ) 在[a , b ]上连续,在(a , b ) 内具有二阶导数且存在相等的最大值,f (a ) =g (a ), f (b ) =g (b ) ,证明:存在ξ∈(a , b ) ,使得f ''(ξ) =g ''(ξ) .
三.辅助函数的构造
【例8】:设函数f (x )在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
⎛1⎫f (0)=f (1)=0, f ⎪=1,证明存在ξ∈(0,1),使f ' (ξ)=1。 ⎝2⎭
●小结:辅助函数F (x ) 的构造是中值定理证明题中的难点,一般来说,由于都是对F (x ) 运用罗尔定理,最后得到的都是F '(ξ) =0,所以我们希望由F '(ξ) =0能整理成所需证明的等式,这里一个自然的想法就是把需要证明的等式两边相减,再求出其原函数即为F (x ) 。
【例9】:证明柯西中值定理:若f (x ) , g (x ) 满足:1) 在闭区间[a , b ]上连续;2) 在开区间(a , b ) 内可导, 且g '(x ) ≠0,则在开区间(a , b ) 内至少存在一点ξ, 使得f (b ) -f (a ) f '(ξ) =. g (b ) -g (a ) g '(ξ)
●小结:对于形式较为复杂的中值定理的证明,可以先将要证明的等式化简,化为容易积分的形式,再求原函数。
【例10】:假设函数f (x )和g (x )在[a , b ]上存在二阶导数,并且g '' (x )≠0,f (a )=f (b )=g (a )=g (b )=0,试证:
(1)在开区间(a , b )内,g (x )≠0; (2)在开区间(a , b )内至少存在一点ξ,使f (ξ)f '' (ξ) =g ξg '' ξ【例11】:设函数f (x )在[a , b ]上连续,开区间(a , b )内可导,并且f (a )=f (b ) =0,证明存在ξ∈(a , b ) 使得f '(ξ) +λf (ξ) =0。 【例12】:设f (x )在区间[0,1]上可微,且满足条件f (1)=2⎰1
2
0xf (x )dx ,试证:存在
ξ∈(0,1),使f (ξ)+ξf ' (ξ)=0.
●小结:如果要证明存在ξ∈(a , b )使f (n ) (ξ) +P (ξ) f (n -1)(ξ)=0,统一的求辅助函数的
则可构造辅助函数F (x ) =e ⎰
【例13】:f (1)=P (x ) dx f (n -1) (x )。 21, f (2)=2,证明存在ξ∈(1,2)使f '(ξ) =f (ξ). (为了书写的简便2ξ
以后都默认f (x )具有所需的可导性与连续性)
【例14】:f (0)=0, k >1,证明存在ξ∈(0,1)使ξf '(ξ) +kf (ξ) =f '(ξ) .
【例15】:f (0)=f (1)=0, ,证明存在ξ∈(0,1)使f "(ξ) =
【例16】:设函数f (x )在区间2f '(ξ). 1-ξ[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
⎛1⎫f (0)=f (1)=0, f ⎪=1. 试证: ⎝2⎭
(1)存在η∈ ⎛1⎫,1⎪,使f (η)=η; 2⎝⎭
(2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0, η),使得f ' (ξ)-λ⎡⎣f (ξ)-ξ⎤⎦=1.
四.双中值问题
1. ξ, η具有轮换对称性或题目中明确要求ξ, η互不相同时
【例17】:设函数f (x ) 在闭区间[0,1]上连续, 在开区间(0,1)内可导, 且f (0)=0, f (1)=, 证明:存在ξ∈(0,) , η∈(,1) , 使得f '(ξ) +f '(η)=ξ2+η2. 【例18】:已知函数f (x ) 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f (0)=0,f (1)=1,证明: (I )存在ξ∈(0, 1), 使得f (ξ) =1-ξ;
(II )存在两个不同的点η1, η2∈(0, 1) ,使得f '(η1) f '(η2) =1. 131212
2. ξ, η不具有轮换对称性,题目中也未要求ξ, η互不相同
【例19】:设函数f (x )在[a , b ]上连续,在(a , b )内可导,且f ' (x )≠0. 试证存在
f ' (ξ)e b -e a
-η=⋅e . ξ, η∈(a , b ),使得f ' ηb -a
●小结:
看到要证明的等式后,先不要管其中的a , b ,把所有ξ, η分别挪到等式的两端,分别凑成
【例20】:0
【例21】:0
ab f '(η) 。
a +b sin η=f '(ξ) 。 2cos ξ【例22】:0
2,证明:∃ξ, η∈(a , b ) 使得f '(η) tan
Ⅳ 测试成绩
在紧张的复习中,中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题,并且持之以恒,最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。
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模块八 中值定理证明
Ⅰ 教学规划
【教学目标】
1、理解各类中值定理的基本内容,掌握必要的定理证明
2、总结中值定理部分基本的命题方向和特点,训练针对性、系统化的证明思路
【主要内容】
1、基本定理:闭区间上连续函数的性质,微分中值定理、积分中值定理
2、对连续函数性质的考查
3、罗尔定理的使用
4、辅助函数的构造
5、双中值问题
【重难点】
1、各类中值定理证明题型的证明思路和技巧
Ⅱ 知识点回顾
一.连续函数的性质
1.最值定理
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续,则f (x ) 在[a , b ]上能够取到最大值与最小值,即∃ξ, η∈[a , b ],使得f (ξ) =max{f (x )},f (η) =min{f (x )} a ≤x ≤b a ≤x ≤b
2.介值定理
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续,M 和m 分别为f (x ) 在[a , b ]上的最大值与最小值,若c 满足m ≤c ≤M , 则∃ξ∈[a , b ],使得f (ξ) =c
3.零点存在定理
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续,且f (a ) f (b )
二.微分中值定理
1.罗尔定理
如果函数f (x ) 满足:
(1)在闭区间[a , b ]上连续;(2)在开区间(a , b ) 上可导;(3)在区间端点处的函数值相等,即f (a ) =f (b ) ;那么在(a , b ) 内至少存在一点ξ(a
2.拉格朗日中值定理
如果函数f (x ) 满足(1)在闭区间[a , b ]上连续;(2)在开区间(a , b ) 上可导;那么在(a , b ) 内至少存在一点ξ(a
3.柯西中值定理
如果函数f (x ) 和g (x ) 满足(1)在闭区间[a , b ]上连续;(2)在开区间(a , b ) 上可导;
(3)对任意的x ∈(a , b ) ,g '(x ) ≠0;那么在(a , b ) 内至少存在一点ξ(a
三.积分中值定理:
设函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续,则在积分区间[a , b ]上至少存在一点ξ使得下式成立:
⎰
Ⅲ 考点精讲 b a f (x ) dx =f (ξ)(b -a )
一.对连续函数性质的考查
【例1】:f (x ) 在[0,1]上连续,满足对任意x ∈[0,1]有f (x ) ∈(0,1),证明:∃ξ∈(0,1)使f (ξ) =ξ
【例2】:f (x ) 在[a , b ]上连续,a ≤x 1≤x 2≤ ≤x n ≤b ,证明:∀c 1, c 2 c n >0,∃ξ∈[x 1, x n ],使f (ξ)=c 1f (x 1)+... +c n f (x n )
c 1+... +c n
ξ) =A ,●小结:本题的重要意义:(1)方法上,要证明∃ξ∈[a , b ],使得f (则首先设出f (x )
在[a , b ]上的最值m , M ,再证明A ∈[m , M ]即可
(2)结论上,本题的结论对∀c 1, c 2 c n >0都是成立的,特别的当c i =1时的结论,即f (x 1)+... +f (x n )=nf (ξ), ξ∈[x 1, x n ],该结论要记住,在微分中值定理的相关证明中可以直接应用。
【例3】:f (x ), g (x ) 均在[a , b ]上连续,g (x ) >0, x ∈[a , b ]证明:∃ξ∈[a , b ],使得
f (ξ)⎰g (x ) dx =⎰f (x ) g (x ) dx a a b b
二.罗尔定理的使用
【例4】:设函数f (x ) 在[0,3]上连续,在(0,3)上可导,且
f (0)+f (1)+f (2)=3, f (3)=1。试证明:必存在ξ∈(0,3),使得f '(ξ) =0
【例5】:设函数f (x )在闭区间[0,3]上连续, 在开区间(0,3)内二阶可导, 且
2f (0) =⎰f (x ) dx =f (2)+f (3) 02
(1)证明存在η∈(0,2), 使得f (η) =f (0) (2)证明存在∃ξ∈(0,3)使得f '' (ξ)=0
【例6】:设f (x )在区间[a , b ]上具有二阶导数,且f (a )=f (b )=0, f ' (a )⋅f ' (b )>0试证明:存在ξ∈(a , b )和η∈(a , b ),使f (ξ)=0,及f '' (η)=0.
●小结:本题用到的理论知识有:1. 零点定理:设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续, 且f (a ) 与f (b ) 异号(即f (a ) ⋅f (b )
2.函数极限的局部保号性定理:如果lim f (x ) =A , 且A >0(或A
x →x 0
3. 罗尔定理:如果函数f (x ) 满足(1) 在闭区间[a , b ]上连续;(2) 在开区间(a , b ) 内可导;
(3) 在区间端点处的函数值相等, 即f (a ) =f (b ) , 那么在(a , b ) 内至少有一点ξ(a
【例7】:设函数f (x ), g (x ) 在[a , b ]上连续,在(a , b ) 内具有二阶导数且存在相等的最大值,f (a ) =g (a ), f (b ) =g (b ) ,证明:存在ξ∈(a , b ) ,使得f ''(ξ) =g ''(ξ) .
三.辅助函数的构造
【例8】:设函数f (x )在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
⎛1⎫f (0)=f (1)=0, f ⎪=1,证明存在ξ∈(0,1),使f ' (ξ)=1。 ⎝2⎭
●小结:辅助函数F (x ) 的构造是中值定理证明题中的难点,一般来说,由于都是对F (x ) 运用罗尔定理,最后得到的都是F '(ξ) =0,所以我们希望由F '(ξ) =0能整理成所需证明的等式,这里一个自然的想法就是把需要证明的等式两边相减,再求出其原函数即为F (x ) 。
【例9】:证明柯西中值定理:若f (x ) , g (x ) 满足:1) 在闭区间[a , b ]上连续;2) 在开区间(a , b ) 内可导, 且g '(x ) ≠0,则在开区间(a , b ) 内至少存在一点ξ, 使得f (b ) -f (a ) f '(ξ) =. g (b ) -g (a ) g '(ξ)
●小结:对于形式较为复杂的中值定理的证明,可以先将要证明的等式化简,化为容易积分的形式,再求原函数。
【例10】:假设函数f (x )和g (x )在[a , b ]上存在二阶导数,并且g '' (x )≠0,f (a )=f (b )=g (a )=g (b )=0,试证:
(1)在开区间(a , b )内,g (x )≠0; (2)在开区间(a , b )内至少存在一点ξ,使f (ξ)f '' (ξ) =g ξg '' ξ【例11】:设函数f (x )在[a , b ]上连续,开区间(a , b )内可导,并且f (a )=f (b ) =0,证明存在ξ∈(a , b ) 使得f '(ξ) +λf (ξ) =0。 【例12】:设f (x )在区间[0,1]上可微,且满足条件f (1)=2⎰1
2
0xf (x )dx ,试证:存在
ξ∈(0,1),使f (ξ)+ξf ' (ξ)=0.
●小结:如果要证明存在ξ∈(a , b )使f (n ) (ξ) +P (ξ) f (n -1)(ξ)=0,统一的求辅助函数的
则可构造辅助函数F (x ) =e ⎰
【例13】:f (1)=P (x ) dx f (n -1) (x )。 21, f (2)=2,证明存在ξ∈(1,2)使f '(ξ) =f (ξ). (为了书写的简便2ξ
以后都默认f (x )具有所需的可导性与连续性)
【例14】:f (0)=0, k >1,证明存在ξ∈(0,1)使ξf '(ξ) +kf (ξ) =f '(ξ) .
【例15】:f (0)=f (1)=0, ,证明存在ξ∈(0,1)使f "(ξ) =
【例16】:设函数f (x )在区间2f '(ξ). 1-ξ[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
⎛1⎫f (0)=f (1)=0, f ⎪=1. 试证: ⎝2⎭
(1)存在η∈ ⎛1⎫,1⎪,使f (η)=η; 2⎝⎭
(2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0, η),使得f ' (ξ)-λ⎡⎣f (ξ)-ξ⎤⎦=1.
四.双中值问题
1. ξ, η具有轮换对称性或题目中明确要求ξ, η互不相同时
【例17】:设函数f (x ) 在闭区间[0,1]上连续, 在开区间(0,1)内可导, 且f (0)=0, f (1)=, 证明:存在ξ∈(0,) , η∈(,1) , 使得f '(ξ) +f '(η)=ξ2+η2. 【例18】:已知函数f (x ) 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f (0)=0,f (1)=1,证明: (I )存在ξ∈(0, 1), 使得f (ξ) =1-ξ;
(II )存在两个不同的点η1, η2∈(0, 1) ,使得f '(η1) f '(η2) =1. 131212
2. ξ, η不具有轮换对称性,题目中也未要求ξ, η互不相同
【例19】:设函数f (x )在[a , b ]上连续,在(a , b )内可导,且f ' (x )≠0. 试证存在
f ' (ξ)e b -e a
-η=⋅e . ξ, η∈(a , b ),使得f ' ηb -a
●小结:
看到要证明的等式后,先不要管其中的a , b ,把所有ξ, η分别挪到等式的两端,分别凑成
【例20】:0
【例21】:0
ab f '(η) 。
a +b sin η=f '(ξ) 。 2cos ξ【例22】:0
2,证明:∃ξ, η∈(a , b ) 使得f '(η) tan
Ⅳ 测试成绩
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