1.1集合
重点难点:
(掌握)集合中元素的特性 ①确定性 ②互异性 ③无序性; (理解)集合的表示方法 ①自然语言法 ②例举法 ③描述法 ④图示法;
一、对集合元素特征的理解:
(1)确定性是集合的最基本特征,没有确定性就不能成为集合。例如“课本中的难题”“聪明的孩子”,其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊,故都不能构成集合。
(2)互异性是判断能否构成集合的另一标准,也是三大特性中最容易被忽视的性质。例如:构成集合{good中的字母}的元素是g ,o ,o ,d ,这句话是不对的,因为在这个单词中,字母“o ”虽然出现了两次,但如果归入集合中只能算作一个元素,根据互异性,正确的说法应为{good中的字母}的元素有3个,分别为g ,o ,d 。
(3)无序性主要应用在判断两个集合是否相等方面。只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的。
例题1、已知2是由0,m ,m ²-3m+2三个元素构成的集合A 中的元素,求m 的值?
二、元素与集合的关系
元素与集合有“属于”和“不属于”两种关系,判断一个元素是否属于集合,一是明确集合中所含元素的共同特征;二是看元素是否满足集合中元素的共同特征,满足即为属于关系,不满足即为不属于关系。
例题2、
(1)设集合D 是满足方程y=x²的有序实数的集合, 则-1D,(-1,1)D;
x =
1
(2)设
则xM, yM.
π ,集合M ={m /m =a +b 2, a ∈Q , b ∈Q },3-52 ,y =3+2
(3)已知A ={x /x =m +n 2, m , n ∈Z }. ①设x 1=
13-42
2
,试判断x 1,x 2,x 3与A 之间,x 2=9-42,x 3=(1-32)
的关系?
②任取x 1,x 2∈A ,试判断x 1+x2,x 1x 2与A 的关系?
1+a 1
∈A (a ≠1)(4)数集A 满足条件:若a ∈A, 则,若∈A ,求集合中的其他1-a 3
元素?
(5)设实数集S 是满足下面两个条件的集合:①1∉S ;②若a ∈S ,则
1
∈S ; a
2、若2∈S ,则在S 中必含有其他的两个数,试求出这两个数; 3、求证:集合S 中至少有三个不同的元素.
1
∈S . 1-a
1、求证:若a ∈S ,则1-
三、集合的表示方法
例题三:用合适的方法表示下列集合
1、平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合; 2、100以内被3除余1的正整数;
3、二次函数y=x²-1图像上所有的点组成的集合;
四、在研究和学习集合问题是,要正确理解集合的含义,明确代表元素的含义,即元素是什么,具备哪些性质,是否满足元素的三个特征。
例题四:下列四个集合:
①{x /y =x 2+1};②{y/y =x 2+1};③({x ,y )/y =x 2+1};④{y=x 2+1} (1)它们各自的含义是什么? (2)它们是不是相同的集合?
五、分类讨论思想
运用分类讨论来解决问题是,把问题进行科学的划分十分必要,必须遵循不重不漏和最简的原则。(关键有二:一正确分类;二将所求值回代检验,否则易产生错解。)
例题五:
(1)已知A={a-1,2a²+5a+1,a ²+1},且-2∈A ,求a 的值?
(2)已知(f x )=x²-ax+b(a ,b ∈R ),A={x/f(x)-x=0,x∈R},B={x/f(x)-ax=0,x∈R}.若-3∈A ,1∈A ,试求集合B.
(3)设A={x∈R|ax²+2x+1=0,a∈R}. 1、当A 中元素个数为1时,求a 和A ;
2、当A 中元素个数至多为1时,求a 的取值范围; 3、求A 中各元素之和.
六.集合的新定义问题
“新定义”问题,就是在现有的运算性质和运算规律的基础上定义一种新的运算,并运用它解决相关的问题。“新定义”题目形式新颖,强调能力立意。常见的新定义问题有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型。
例题六:
(1)已知有限集A={a1、a 2、a 3,...a n }(n≥2)。如果A 中元素满足a 1a 2a 3....a n =a1+a2+a3+...+an ,就称A 为“复活集”,给出下列结论:
①集合{
-1+-1-}是“复活集”; 22
②若a 1,a 2∈R ,且{a1,a 2}是“复活集”,则a 1a 2>4; ③若a 1,a 2∈N +, 则{a1,a 2}不可能是“复活集”。 其中正确的结论有 。
(2)定义集合运算:A*B={Z/Z=xy,x ∈A ,y ∈B}。设A={1,2},B={0,2},则A*B的所以元素之和为。
(3)【2015. 湖北高考】已知集合A={(x ,y )/x²+y²≤1,x ,y ∈Z},B={(x ,y )/x ≤2y ≤2,x ,y ∈Z },定义集合A ⊕B={(x 1+x2,y 1+y2)/(x1,y 1) ∈A ,(x 2,y 2)∈B},则A ⊕B 中元素的个数为。
1.1集合
重点难点:
(掌握)集合中元素的特性 ①确定性 ②互异性 ③无序性; (理解)集合的表示方法 ①自然语言法 ②例举法 ③描述法 ④图示法;
一、对集合元素特征的理解:
(1)确定性是集合的最基本特征,没有确定性就不能成为集合。例如“课本中的难题”“聪明的孩子”,其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊,故都不能构成集合。
(2)互异性是判断能否构成集合的另一标准,也是三大特性中最容易被忽视的性质。例如:构成集合{good中的字母}的元素是g ,o ,o ,d ,这句话是不对的,因为在这个单词中,字母“o ”虽然出现了两次,但如果归入集合中只能算作一个元素,根据互异性,正确的说法应为{good中的字母}的元素有3个,分别为g ,o ,d 。
(3)无序性主要应用在判断两个集合是否相等方面。只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的。
例题1、已知2是由0,m ,m ²-3m+2三个元素构成的集合A 中的元素,求m 的值?
二、元素与集合的关系
元素与集合有“属于”和“不属于”两种关系,判断一个元素是否属于集合,一是明确集合中所含元素的共同特征;二是看元素是否满足集合中元素的共同特征,满足即为属于关系,不满足即为不属于关系。
例题2、
(1)设集合D 是满足方程y=x²的有序实数的集合, 则-1D,(-1,1)D;
x =
1
(2)设
则xM, yM.
π ,集合M ={m /m =a +b 2, a ∈Q , b ∈Q },3-52 ,y =3+2
(3)已知A ={x /x =m +n 2, m , n ∈Z }. ①设x 1=
13-42
2
,试判断x 1,x 2,x 3与A 之间,x 2=9-42,x 3=(1-32)
的关系?
②任取x 1,x 2∈A ,试判断x 1+x2,x 1x 2与A 的关系?
1+a 1
∈A (a ≠1)(4)数集A 满足条件:若a ∈A, 则,若∈A ,求集合中的其他1-a 3
元素?
(5)设实数集S 是满足下面两个条件的集合:①1∉S ;②若a ∈S ,则
1
∈S ; a
2、若2∈S ,则在S 中必含有其他的两个数,试求出这两个数; 3、求证:集合S 中至少有三个不同的元素.
1
∈S . 1-a
1、求证:若a ∈S ,则1-
三、集合的表示方法
例题三:用合适的方法表示下列集合
1、平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合; 2、100以内被3除余1的正整数;
3、二次函数y=x²-1图像上所有的点组成的集合;
四、在研究和学习集合问题是,要正确理解集合的含义,明确代表元素的含义,即元素是什么,具备哪些性质,是否满足元素的三个特征。
例题四:下列四个集合:
①{x /y =x 2+1};②{y/y =x 2+1};③({x ,y )/y =x 2+1};④{y=x 2+1} (1)它们各自的含义是什么? (2)它们是不是相同的集合?
五、分类讨论思想
运用分类讨论来解决问题是,把问题进行科学的划分十分必要,必须遵循不重不漏和最简的原则。(关键有二:一正确分类;二将所求值回代检验,否则易产生错解。)
例题五:
(1)已知A={a-1,2a²+5a+1,a ²+1},且-2∈A ,求a 的值?
(2)已知(f x )=x²-ax+b(a ,b ∈R ),A={x/f(x)-x=0,x∈R},B={x/f(x)-ax=0,x∈R}.若-3∈A ,1∈A ,试求集合B.
(3)设A={x∈R|ax²+2x+1=0,a∈R}. 1、当A 中元素个数为1时,求a 和A ;
2、当A 中元素个数至多为1时,求a 的取值范围; 3、求A 中各元素之和.
六.集合的新定义问题
“新定义”问题,就是在现有的运算性质和运算规律的基础上定义一种新的运算,并运用它解决相关的问题。“新定义”题目形式新颖,强调能力立意。常见的新定义问题有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型。
例题六:
(1)已知有限集A={a1、a 2、a 3,...a n }(n≥2)。如果A 中元素满足a 1a 2a 3....a n =a1+a2+a3+...+an ,就称A 为“复活集”,给出下列结论:
①集合{
-1+-1-}是“复活集”; 22
②若a 1,a 2∈R ,且{a1,a 2}是“复活集”,则a 1a 2>4; ③若a 1,a 2∈N +, 则{a1,a 2}不可能是“复活集”。 其中正确的结论有 。
(2)定义集合运算:A*B={Z/Z=xy,x ∈A ,y ∈B}。设A={1,2},B={0,2},则A*B的所以元素之和为。
(3)【2015. 湖北高考】已知集合A={(x ,y )/x²+y²≤1,x ,y ∈Z},B={(x ,y )/x ≤2y ≤2,x ,y ∈Z },定义集合A ⊕B={(x 1+x2,y 1+y2)/(x1,y 1) ∈A ,(x 2,y 2)∈B},则A ⊕B 中元素的个数为。