课题2.2.1 对数与对数的运算 教学内容：对数与对数的运算 教学目标:
1. 知识目标：理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化以及认识特殊对数的意义和表示方式；
2. 能力目标：培养学生分析问题、解决问题的能力与思维灵活性的能力； 3. 情感目标：在知识的探索和发现过程中让学生认识事物之间的相互联系与相互转换；感受探索新知的乐趣和成功的喜悦．
教学重点:对数的概念，对数与指数的关系． 教学难点:对数概念的理解． 课型：新授课. 教学方法：
1 教法:讲解法，合作法. 2 学法:类比学习法，合作学习法. 3 教学用具:彩色粉笔；多媒体.
教学过程：
1. 创设情境，引入新知
（1）庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭.
①取5次，还有多长？ ②取多少次，还有0.125尺？
（2）截止1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后我国人口数可达18亿？ 可抽象出：
5
⎛1⎫
⎪=a , ⎝2⎭
⎛1⎫
⎪=0.125⇒x =? ⎝2⎭
13⨯(1+1%)=18
y
x
即
1.01y =
18
⇒y =? 13
师：上一节我们已经知道指数运算就是我们以前学的乘方运算，同样也知道乘方运算的逆运算开方运算.
5
⎛1⎫
对 ⎪=a ，大家认为是什么运算呢？a 的值为多少呢？
⎝2⎭
18⎛1⎫
对于 ⎪=0.125和1.01y =，这两个式子有什么共同的地方没有？是什么？（已
13⎝2⎭知底数和幂值，求指数）. 是我们熟悉的运算吗？和我们所熟知的指数也能算和开方运算有联系吗？其中的x 和y 的值怎么表示呢？带着这些问题进入我们今天的课堂：对数. 2. 探究新知 ⑴ 对数定义
如果a x =N (a ＞0且a ≠1) ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作
x
x =log a N （a >0且a ≠1）
其中a 叫对数的底数，N 叫做真数.
师：从上述定义要知道对数的记法为：log a N ； 读作：以a 为底N 的对数. 师：得出log a N 表示a 的多少次幂为N .
师：在上节我们学的指数函数中，我们知道a ＞0且a ≠1才有意义，所以在考虑对数的时候我们也规定a ＞0且a ≠1．
师：知道了对数的定义，我们就根据定义来把刚刚的第三和四小题中的x , y 表示
1818⎛1⎫
出来了：因为 ⎪=0.125，所以x =log 10.125；因为 1.01y =，所以y =log 1.01.
1313⎝2⎭2
x
师：我们根据对数定义，可以看出指数和对数存在密不可分的关系，那么究竟有怎样的关系呢？我们一起来看看. ⑵ 指数式和对数式的关系
师: 讨论两者之间的关系前要明确a 的取值范围是a ＞0且a ≠1，也要知道两个式子中相同字母代表的是同一个数，只是数的位置发生了变化，到底是怎样的变化呢？下面我们就一起来学习：
a >0且a ≠1
⇔幂值 真数指数
师: 这便是指数式和对数式的关系，在此我还要强调一下，a x =N 和x =log a N 其实表示的一种关系，它们是一种关系的不同表达式，a x =N 是指数形式，x =log a N 是对数形式，本质上它们是一回事。
师：对指数和对数之间的关系大家是否理解了呢? 下面就做一下练习测试一下。将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式
(1)5
4
=625
(2)2-6=
11m
(3)() =5.73
643
(4)log116=-4
2
(5)log100.01=-2 (6)loge 10=2.303
（3）对数的性质
师：通过指数与对数的关系，同学们思考一下. 我们知道在这个新对数符号中，a 有范围，即a >0, a ≠1，并且开方运算中被开方数也有范围，那么N 有没有范围呢？是不是所有的实数都有对数呢？那么我们借助指数函数来研究，y =a x 中a ＞0且a ≠1，那么y 是恒大于零的，所以在对数中，真数也是大于零的，那么就得出性质 ①零和负数没有对数即：N >0.
师:接下来请同学们分小组完成以下例题，并自己思考总结出对数还有些什么性质。
例2 求下列各式的值.
log 11
2
log 31 log 101 log e 1
1.
（②1的对数等于0，即
log 1001
log a 1=0）
log 1
2
2.
log 33 log 1010 log e e
1
2 log 100100
（③底数的对数等于1，即
log a a =1）
（4）特殊对数
师：在我们指数中，有两个特殊的对数，分别是常用对数和自然对数，它们是什么呢？我们一起来看一下.
师：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数并把log 10N 记为lg N . 常用对数：log 10N =lg N
师：我们知道了常用对数这个特殊对数，那么自然对数又是怎么定义的呢？在科学技术中常使用无理数e =2.71828^作为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数， 并把log e N 记为ln N . 自然对数：log e N =ln N . 3.例题讲解
师：为让同学们更进一步的认识对数还有对数与指数的关系，并能灵活的运用知识解决实际问题，请同学们一起来看下面的例题. 例1求解下列各式中的x .
①lg 100=x ; ②log 927=x .
析：lg100=x 我们可根据定义知道这个式子表示10的x 多少次方为100. 解:因为10的平方为100，所以x =2 即lg100=2 ②log 927=x
析:明显我们用定义方法是无法直接所出来，所以我们利用指数与对数的关系解，并且要把对数设出来.
3
解：根据指数与对数的关系，9x =27，化解32x =33，2x =3，所以x =即
2
3
log 927=.
2
师：同学们再回忆一下解题过程，到此同学们对对数概念及指数式和对数式的关系有了一定的认识. 我们一起来总结一下：到现在为止求解对数值的方法有两个，一是用定义，二是根据对数与指数的关系. 同学们看是否理解掌握了，那运用这些新知识做黑板上的练习．
练习1求下例各对数的值.
① ln e ； ②log 48 ； ③log 24.
2
a
4. 课时小结
师：通过本节学习，学习了什么啊？（大家知道：什么是对数，对数式和指数式的互化了，两个特殊对数）. 那么我在来补充一下.
1. 在知识方面: ①对数定义及新符号表示的意义；②对数式与指数式的互化及对数的三个性质；③特殊对数.
2. 解题方法方面: ①用定义； ②对数式与指数式的互化，同时体现方程思想. 5. 课后作业
①复习当天学习的知识；
②书面作业：课本74页A 组1、2，B 组1；
③思考题：已知x 满足等式log 5⎡⎣log 3(log 2x )⎤⎦=0，求log 16x 的值. ④预习下一个知识点——对数的运算．
板书设计
课题2.2.1 对数与对数的运算 教学内容：对数与对数的运算 教学目标:
1. 知识目标：理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化以及认识特殊对数的意义和表示方式；
2. 能力目标：培养学生分析问题、解决问题的能力与思维灵活性的能力； 3. 情感目标：在知识的探索和发现过程中让学生认识事物之间的相互联系与相互转换；感受探索新知的乐趣和成功的喜悦．
教学重点:对数的概念，对数与指数的关系． 教学难点:对数概念的理解． 课型：新授课. 教学方法：
1 教法:讲解法，合作法. 2 学法:类比学习法，合作学习法. 3 教学用具:彩色粉笔；多媒体.
教学过程：
1. 创设情境，引入新知
（1）庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭.
①取5次，还有多长？ ②取多少次，还有0.125尺？
（2）截止1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后我国人口数可达18亿？ 可抽象出：
5
⎛1⎫
⎪=a , ⎝2⎭
⎛1⎫
⎪=0.125⇒x =? ⎝2⎭
13⨯(1+1%)=18
y
x
即
1.01y =
18
⇒y =? 13
师：上一节我们已经知道指数运算就是我们以前学的乘方运算，同样也知道乘方运算的逆运算开方运算.
5
⎛1⎫
对 ⎪=a ，大家认为是什么运算呢？a 的值为多少呢？
⎝2⎭
18⎛1⎫
对于 ⎪=0.125和1.01y =，这两个式子有什么共同的地方没有？是什么？（已
13⎝2⎭知底数和幂值，求指数）. 是我们熟悉的运算吗？和我们所熟知的指数也能算和开方运算有联系吗？其中的x 和y 的值怎么表示呢？带着这些问题进入我们今天的课堂：对数. 2. 探究新知 ⑴ 对数定义
如果a x =N (a ＞0且a ≠1) ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作
x
x =log a N （a >0且a ≠1）
其中a 叫对数的底数，N 叫做真数.
师：从上述定义要知道对数的记法为：log a N ； 读作：以a 为底N 的对数. 师：得出log a N 表示a 的多少次幂为N .
师：在上节我们学的指数函数中，我们知道a ＞0且a ≠1才有意义，所以在考虑对数的时候我们也规定a ＞0且a ≠1．
师：知道了对数的定义，我们就根据定义来把刚刚的第三和四小题中的x , y 表示
1818⎛1⎫
出来了：因为 ⎪=0.125，所以x =log 10.125；因为 1.01y =，所以y =log 1.01.
1313⎝2⎭2
x
师：我们根据对数定义，可以看出指数和对数存在密不可分的关系，那么究竟有怎样的关系呢？我们一起来看看. ⑵ 指数式和对数式的关系
师: 讨论两者之间的关系前要明确a 的取值范围是a ＞0且a ≠1，也要知道两个式子中相同字母代表的是同一个数，只是数的位置发生了变化，到底是怎样的变化呢？下面我们就一起来学习：
a >0且a ≠1
⇔幂值 真数指数
师: 这便是指数式和对数式的关系，在此我还要强调一下，a x =N 和x =log a N 其实表示的一种关系，它们是一种关系的不同表达式，a x =N 是指数形式，x =log a N 是对数形式，本质上它们是一回事。
师：对指数和对数之间的关系大家是否理解了呢? 下面就做一下练习测试一下。将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式
(1)5
4
=625
(2)2-6=
11m
(3)() =5.73
643
(4)log116=-4
2
(5)log100.01=-2 (6)loge 10=2.303
（3）对数的性质
师：通过指数与对数的关系，同学们思考一下. 我们知道在这个新对数符号中，a 有范围，即a >0, a ≠1，并且开方运算中被开方数也有范围，那么N 有没有范围呢？是不是所有的实数都有对数呢？那么我们借助指数函数来研究，y =a x 中a ＞0且a ≠1，那么y 是恒大于零的，所以在对数中，真数也是大于零的，那么就得出性质 ①零和负数没有对数即：N >0.
师:接下来请同学们分小组完成以下例题，并自己思考总结出对数还有些什么性质。
例2 求下列各式的值.
log 11
2
log 31 log 101 log e 1
1.
（②1的对数等于0，即
log 1001
log a 1=0）
log 1
2
2.
log 33 log 1010 log e e
1
2 log 100100
（③底数的对数等于1，即
log a a =1）
（4）特殊对数
师：在我们指数中，有两个特殊的对数，分别是常用对数和自然对数，它们是什么呢？我们一起来看一下.
师：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数并把log 10N 记为lg N . 常用对数：log 10N =lg N
师：我们知道了常用对数这个特殊对数，那么自然对数又是怎么定义的呢？在科学技术中常使用无理数e =2.71828^作为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数， 并把log e N 记为ln N . 自然对数：log e N =ln N . 3.例题讲解
师：为让同学们更进一步的认识对数还有对数与指数的关系，并能灵活的运用知识解决实际问题，请同学们一起来看下面的例题. 例1求解下列各式中的x .
①lg 100=x ; ②log 927=x .
析：lg100=x 我们可根据定义知道这个式子表示10的x 多少次方为100. 解:因为10的平方为100，所以x =2 即lg100=2 ②log 927=x
析:明显我们用定义方法是无法直接所出来，所以我们利用指数与对数的关系解，并且要把对数设出来.
3
解：根据指数与对数的关系，9x =27，化解32x =33，2x =3，所以x =即
2
3
log 927=.
2
师：同学们再回忆一下解题过程，到此同学们对对数概念及指数式和对数式的关系有了一定的认识. 我们一起来总结一下：到现在为止求解对数值的方法有两个，一是用定义，二是根据对数与指数的关系. 同学们看是否理解掌握了，那运用这些新知识做黑板上的练习．
练习1求下例各对数的值.
① ln e ； ②log 48 ； ③log 24.
2
a
4. 课时小结
师：通过本节学习，学习了什么啊？（大家知道：什么是对数，对数式和指数式的互化了，两个特殊对数）. 那么我在来补充一下.
1. 在知识方面: ①对数定义及新符号表示的意义；②对数式与指数式的互化及对数的三个性质；③特殊对数.
2. 解题方法方面: ①用定义； ②对数式与指数式的互化，同时体现方程思想. 5. 课后作业
①复习当天学习的知识；
②书面作业：课本74页A 组1、2，B 组1；
③思考题：已知x 满足等式log 5⎡⎣log 3(log 2x )⎤⎦=0，求log 16x 的值. ④预习下一个知识点——对数的运算．
板书设计