数列基础知识点总结及训练
——主讲人：品学学校 刁老师
A 、1．概念与公式：
①等差数列：1°. 定义：若数列{a n }满足a n +1-a n =d (常数), 则{a n }称等差数列；
2°. 通项公式：a n =a 1+(n -1) d =a k +(n -k ) d ; 3°. 前n 项和公式：公式：S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d . 22
②等比数列：1°. 定义若数列{a n }满足
a n +1
=q （常数），则{a n }称等比数列；a n
n
项和公式：
2°. 通项公式：a n =a 1q n -1=a k q n -k ; 3°. 前
a 1-a n q a 1(1-q n ) S n ==(q ≠1), 当q=1时S n =na 1.
1-q 1-q
2．简单性质：
①首尾项性质：设数列{a n }:a 1, a 2, a 3, , a n ,
1°. 若{a n }是等差数列，则a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2= ; 2°. 若{a n }是等比数列，则a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3⋅a n -2= . ②中项及性质：
1°. 设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且A =
a +b
; 2
2°. 设a ,G, b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且G =±ab . ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且p +q =r +s ,
1°. 若{a n }是等差数列，则a p +a q =a r +a s ; 2°. 若{a n }是等比数列，则
a p ⋅a q =a r ⋅a s ;
④顺次n 项和性质：
1°. 若{a n }是公差为d 的等差数列，则∑a k ,
k =1n
k =n +1
∑a , ∑a
k
k =2n +1
2n 3n
k
组成公差为n 2d
的等差数列；
2°. 若{a n }是公差为q 的等比数列，则∑a k ,
k =1n
k =n +1
∑a , ∑a
k
k =2n +1
2n 3n
k
组成公差为q n
的等比数列.
（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）
⑤若{a n }是等比数列，
则顺次n 项的乘积：a 1a 2 a n , a n +1a n +2 a 2n , a 2n +1a 2n +2 a 3n 组成公比这q n 的等比数列.
⑥若{a n }是公差为d 的等差数列,
1°. 若n 为奇数，则S n =na 中且S 奇-S 偶=a 中(注:a 中指中项, 即a 中=a n +1, 而S
2
2
奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；
nd . 2°. 若n 为偶数，则S 偶-S 奇=2
（二）学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ; ②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ; ③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n ) 的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.
3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或
a
，a,aq ) ”③四数成等差数列，可设四数为q
“a , a +m , a +2m , a +3m (或a -3m , a -m , a +m , a +3m ); ”④四数成等比数列，可设四数为“a , aq , aq 2, aq 3(或
a a 3
, ±, aq , ±aq ), ”等等；类似的经验还很多，应在3
q q
学习中总结经验.
[例1]解答下述问题：
111
（Ⅰ）已知, , 成等差数列，求证：
a b c b +c c +a a +b
, , （1）成等差数列； a b c b b b
（2）a -, -, c -成等比数列.
222
[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决， 112a +c 2 +=⇒=⇒2ac =b (a ①+ c ), a c b ac b ②
22
b +c a +b bc +c +a +ab b (a +c ) +a 2+c 2
(1) +==
a c ac ac 2(a +c ) 22(a +c ) ==. b (a +c ) b
b +c c +a a +b ∴, , 成等差数列;
a b c b b b b 2b
(2)(a -)(c -) =ac -(a +c ) +=(-) 2,
22242b b b
∴a -, -, c -成等比数列.
222
[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中
① 项”性质、根据“定义”判断，.
（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数② 项的乘积为
2，求项数n. [解析]设公比为q ,
n -1
2
a 1a 3a 5 a n 1024
==42
a 2a 4 a n -12(1)
35252
⇒a 1⋅q
=42
而a 1a 2a 3 a n =1024⨯2=2⇒(a 1⋅q ∴
n -1
n 2
35
2
⇒a 1⋅q
352
1+2+3
+ (n -1) =2
352
) =2, 将(1) 代入得(2) n =2,
5n 35
=, 得n =7. 22
（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数
列：a k 1, a k 2, , a k n 恰为等比数列, 其中k 1=1, k 2=5, k 3=17,
求数列{k n }的前n 项和.
[解析] a 1, a 5, a 17成等比数列, ∴a 5=a 1⋅a 17,
2
⇒(a 1+4d ) 2=a 1⋅(a 1+16d ) ⇒d (a 1-2d ) =0 d ≠0, ∴a 1=2d , ∴数列{a k n }的公比q =
a 5a 1+4d ==3, a 1a 1
①
∴a k n =a 1⋅3n -1=2d ⋅3n -1
n -1
由①，② 得k n =2⋅3-1,
而a k n =a 1+(k n -1) d =2d +(k n -1) d ②
3n -1{k n }的前n 项和S n =2⨯-n =3n -n -1.
3-1
[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.
[例3]解答下述问题：
（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.
[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有
22
⎧⎧⎪(a -d )(a +d +32) =a ⎪d +32d -32a =0
⇒⎨⎨22
⎪⎩(a -4) =(a -d )(a +d ) ⎪⎩8a =16+d
826
⇒3d 2-32d +64=0, ∴d =8或d =, 得a =10或,
39
226338
∴原三数为2, 10, 50或, , .
999
（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.
[解析]设此四数为a -15, a -5, a +5, a +15(a >15) ,
∴(a -152) +(a -5) 2+(a +5) 2+(a +15) 2=(2m ) 2(m ∈N *) ⇒4a 2+500=4m 2⇒(m -a )(m +a ) =125, 125=1⨯125=5⨯25,
m -a 与m +a 均为正整数, 且m -a
⎩m +a =125⎩m +a =25
解得a =62或a =12(不合), ∴所求四数为47，57，67，77
[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.
B 、由递推公式求通项公式的方法
一、a n +1=a n +f (n ) 型数列，（其中f (n ) 不是常值函数)
此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为a n +1-a n =f (n ) ，从而就有a 2-a 1=f (1),a 3-a 2=f (2), , a n -a n -1=f (n -1).
将上述n -1个式子累加，变成a n -a 1=f (1)+f (2)+ +f (n -1) ，进而求解。 例1. 在数列{a n }中, a 1=2, a n +1=a n +2n -1, 求a n . 解：依题意有a 2-a 1=1, a 3-a 2=3, , a n -a n -1=2n -3 逐项累加有a n -a 1=1+3+ +2n -3=而a n =n 2-2n +3。
注：在运用累加法时, 要特别注意项数, 计算时项数容易出错. 变式练习：已知{a n }满足a 1=1, a n +1-a n =
1
, 求{a n }的通项公式。
n (n +1)
(1+2n -3)(n -1)
=(n -1) 2=n 2-2n +1，从
2
二、a n +1=a n ⋅f (n ) 型数列，（其中f (n ) 不是常值函数)
此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为
a a a 2
=f (1),3=f (2), , n =f (n -1) a 1a 2a n -1
a n
=f (1)⋅f (2)⋅ ⋅f (n -1) ，进而求解。 a 1
a n +1
=f (n ) ，从而a n
就有
将上述n -1个式子累乘，变成
12n -3
⋅a n -1(n ≥2) ，求{a n }的通项公式。 例2. 已知数列{a n }中a 1=, a n =
32n +1
a a 1a 3a 52n -3
解：当n ≥2时，2=, 3=, 4=, , n =, 将这n -1个式子累乘，
a 15a 27a 39a n -12n +1
1⨯311a 1⨯3
⨯=2得到n =，从而a n =，当n =1时，
(2n -1)(2n +1) 34n -1a 1(2n -1)(2n +1)
111
==a a =，所以。 1n 22
4n -134n -1
注：在运用累乘法时, 还是要特别注意项数, 计算时项数容易出错.
变式练习：在数列{a n }中, a n >0,a 1=2, na n 2=(n +1) a n +12+a n +1a n , 求a n . 提示：依题意分解因式可得[(n +1) a n +1-na n ](a n +1+a n ) =0，而a n >0,
所以(n +1) a n +1-na n =0，即
a n +1n
。 =
a n n +1
三、a n +1=pa n +q 型数列
此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设a n +1+m =p (a n +m ) ，
b 展开整理a n +1=pa n +pm -m ，比较系数有pm -m =b ，所以m =，所以
p -1a n +
b b 是等比数列，公比为p ，首项为a 1+。二是用作差法直接构造，p -1p -1
a n +1=pa n +q , a n =pa n -1+q ，两式相减有a n +1-a n =p (a n -a n -1) ，所以a n +1-a n 是公比为p 的等比数列。
例3. 在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，有a n =3a n -1+2，求{a n }的通项公式。 解法1：设a n +m =3(a n -1+m ) ，即有a n =3a n -1+2m
a n +1
=3
a n -1+1
所以数列{a n +1}是以a 1+1=2为首项，以3为公比的等比数列 则
对比a n =3a n -1+2，得m =1，于是得a n +1=3(a n -1+1) ，即
a n =2⋅3n -1-1。
解法2：由已知递推式，得a n +1=3a n +2, a n =3a n -1+2,(n ≥2) ，
a -a
上述两式相减，得a n +1-a n =3(a n -a n -1) ，即n +1n =3
a n -a n -1
因此，数列{a n +1-a n }是以a 2-a 1=4为首项，以3为公比的等比数列。所以
a n +1-a n =4⋅3n -1，即3a n +2-a n =4⋅3n -1，所以a n =2⋅3n -1-1。
变式练习：已知数列{a n }满足a 1=1, a n +1=2a n +1(n ∈N *). 求数列{a n }的通项公式. 注：根据题设特征恰当地构造辅助数列, 利用基本数列可简捷地求出通项公式. 四、a n +1=pa n +f (n )型数列（p 为常数） 此类数列可变形为
⎧a n ⎫a n +1a n f (n )=+，则⎨n ⎬可用累加法求出，由此求得a n . n +1n n +1
p p p ⎩p ⎭
例4已知数列{a n }满足a 1=1, a n +1=3a n +2n +1, 求a n . 解:将已知递推式两边同除以2n +1得
a n +13a n a n
=⨯+1b =, 设, 故有n
2n +122n 2n
5⨯3n -13
b n +1+2=⨯(b n +2) ，b n =-2, 从而a n =5⨯3n -1-2n +1. n
22
注：通过变形, 构造辅助数列, 转化为基本数列的问题, 是我们求解陌生的递推关系式的常用方法.
若f (n ) 为n 的一次函数, 则a n 加上关于n 的一次函数构成一个等比数列; 若f (n ) 为n 的二次函数, 则a n 加上关于n 的二次函数构成一个等比数列. 这时我们用待定系数法来求解.
例5．已知数列{a n }满足a 1=1, 当n ≥2时, a n =
1
a n -1+2n -1, 求a n . 2
解:作b n =a n +An +B , 则a n =b n -An -B , a n -1=b n -1-A (n -1) -B 代入已知
1111
递推式中得:b n =b n -1+(A +2) n +(A +B -1) .
2222
⎧1
A +2=0⎪⎧A =-41⎪2令⎨ 这时b n =b n -1且b n =a n -4n +6 ⇒⎨
2⎩B =6⎪1A +1B -1=0
⎪⎩22+4n -6.
2n -12n -1
注：通过引入一些待定系数来转化命题结构, 经过变形和比较, 把问题转化成基本数列, 从而使问题得以解决.
显然, b n =
3
, 所以a n =
3
变式练习：（1）已知{a n }满足a 1=2, a n +1=2a n +2n +1，求a n 。
（2）已知数列{a n }，S n 表示其前n 项和，若满足S n +a n =n 2+3n -1，求数列{a n }的通项公式。
⎧S 1n =1
提示：（2）中利用a n =⎨，把已知条件转化成递推式。
⎩S n -S n -1, n ≥2五、a n =
Aa n
型数列（A , B , C 为非零常数）
Ba n +C
这种类型的解法是将式子两边同时取倒数, 把数列的倒数看成是一个新数列, 便可顺利地转化为a n +1=pa n +q 型数列。 例6．已知数列{a n }满足a 1=2, a n +1=
2a n
, 求a n . a n +2
解:两边取倒数得:
2111111n
=+, 所以=+(n -1) ⨯=，故有a n =。
n a n +1a n 2a n a 122
2n +1⋅a n
变式练习：数列{a n }中，a n +1=n +1, a 1=2，求{a n }的通项。
2+a n
六、a n +2=pa n +1+qa n 型数列（p , q 为常数）
这种类型的做法是用待定糸数法设a n +2-λa n =1=χ(a n -1-λa n )构造等比数列。 例7．数列{a n }中，a 1=2, a 2=3, 且2a n =a n -1+a n +1(n ∈N +, n ≥2)，求a n .
C 、求数列前n 项和
一. 公式法: 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本 最重要的方法。 (1) 等差：S n =
n (a 1+a n ) n (n -1) ;
=na 1+d 22
(q =1) ⎧na 1
⎪等比：S n =⎨a 1(1-q n ) a 1-a n q ;
=(q ≠1)
⎪1-q ⎩1-q
(2) 12+22+32+ +n 2=n (n +1)(2n +1) ;
6
13+23+33+ +n 3=[
n (n +1) 2
] 2
例1. 求和1+x +x 2+ +x n -2(n ≥2, x ≠0)
二. 分组法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数 列，然后分别求和，再将其合并即可。 例2. 求数列{2n +(1) n +n }的前n 项和
3
三. 错位相减法：（考试重点）主要用于求数列{an〃bn}的前n 项和，其中{ an }、{ bn }
分别是等差和等比. 求和时一般在已知和式的两边都乘以等比数列的公比q ；然后再将得到的式子和原式相减，转化为同倍数的等比数列求和。
注意事项：1. 公比是未知数要讨论当公比x=1时的特殊情况；2. 错位相减时要注意末项 例3. 求和：1+
34n +1++ + 23n 222
2
3
n -1
例4. 求和：1+3a +5a +7a + +(2n -1)a (a ≠0).
四. 裂项法: 实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最
终达到求和的目的. 前面剩几项后面剩倒数第几项，对称性. 例5．求和
1111+++ + 1⨯33⨯55⨯7(2n -1)(2n +1)
11+2
,
12+, ⋅⋅⋅,
1n +n +1
, ⋅⋅⋅的前n 项和.
例6. 求数列
五. 并项求和法 (或者奇数项和+偶数项和) 一定是正负相间. 例7. 求和-1+3-5+7+ (-1) (2n -1)
n
数列基础知识点总结及训练
——主讲人：品学学校 刁老师
A 、1．概念与公式：
①等差数列：1°. 定义：若数列{a n }满足a n +1-a n =d (常数), 则{a n }称等差数列；
2°. 通项公式：a n =a 1+(n -1) d =a k +(n -k ) d ; 3°. 前n 项和公式：公式：S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d . 22
②等比数列：1°. 定义若数列{a n }满足
a n +1
=q （常数），则{a n }称等比数列；a n
n
项和公式：
2°. 通项公式：a n =a 1q n -1=a k q n -k ; 3°. 前
a 1-a n q a 1(1-q n ) S n ==(q ≠1), 当q=1时S n =na 1.
1-q 1-q
2．简单性质：
①首尾项性质：设数列{a n }:a 1, a 2, a 3, , a n ,
1°. 若{a n }是等差数列，则a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2= ; 2°. 若{a n }是等比数列，则a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3⋅a n -2= . ②中项及性质：
1°. 设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且A =
a +b
; 2
2°. 设a ,G, b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且G =±ab . ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且p +q =r +s ,
1°. 若{a n }是等差数列，则a p +a q =a r +a s ; 2°. 若{a n }是等比数列，则
a p ⋅a q =a r ⋅a s ;
④顺次n 项和性质：
1°. 若{a n }是公差为d 的等差数列，则∑a k ,
k =1n
k =n +1
∑a , ∑a
k
k =2n +1
2n 3n
k
组成公差为n 2d
的等差数列；
2°. 若{a n }是公差为q 的等比数列，则∑a k ,
k =1n
k =n +1
∑a , ∑a
k
k =2n +1
2n 3n
k
组成公差为q n
的等比数列.
（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）
⑤若{a n }是等比数列，
则顺次n 项的乘积：a 1a 2 a n , a n +1a n +2 a 2n , a 2n +1a 2n +2 a 3n 组成公比这q n 的等比数列.
⑥若{a n }是公差为d 的等差数列,
1°. 若n 为奇数，则S n =na 中且S 奇-S 偶=a 中(注:a 中指中项, 即a 中=a n +1, 而S
2
2
奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；
nd . 2°. 若n 为偶数，则S 偶-S 奇=2
（二）学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ; ②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ; ③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n ) 的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.
3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或
a
，a,aq ) ”③四数成等差数列，可设四数为q
“a , a +m , a +2m , a +3m (或a -3m , a -m , a +m , a +3m ); ”④四数成等比数列，可设四数为“a , aq , aq 2, aq 3(或
a a 3
, ±, aq , ±aq ), ”等等；类似的经验还很多，应在3
q q
学习中总结经验.
[例1]解答下述问题：
111
（Ⅰ）已知, , 成等差数列，求证：
a b c b +c c +a a +b
, , （1）成等差数列； a b c b b b
（2）a -, -, c -成等比数列.
222
[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决， 112a +c 2 +=⇒=⇒2ac =b (a ①+ c ), a c b ac b ②
22
b +c a +b bc +c +a +ab b (a +c ) +a 2+c 2
(1) +==
a c ac ac 2(a +c ) 22(a +c ) ==. b (a +c ) b
b +c c +a a +b ∴, , 成等差数列;
a b c b b b b 2b
(2)(a -)(c -) =ac -(a +c ) +=(-) 2,
22242b b b
∴a -, -, c -成等比数列.
222
[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中
① 项”性质、根据“定义”判断，.
（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数② 项的乘积为
2，求项数n. [解析]设公比为q ,
n -1
2
a 1a 3a 5 a n 1024
==42
a 2a 4 a n -12(1)
35252
⇒a 1⋅q
=42
而a 1a 2a 3 a n =1024⨯2=2⇒(a 1⋅q ∴
n -1
n 2
35
2
⇒a 1⋅q
352
1+2+3
+ (n -1) =2
352
) =2, 将(1) 代入得(2) n =2,
5n 35
=, 得n =7. 22
（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数
列：a k 1, a k 2, , a k n 恰为等比数列, 其中k 1=1, k 2=5, k 3=17,
求数列{k n }的前n 项和.
[解析] a 1, a 5, a 17成等比数列, ∴a 5=a 1⋅a 17,
2
⇒(a 1+4d ) 2=a 1⋅(a 1+16d ) ⇒d (a 1-2d ) =0 d ≠0, ∴a 1=2d , ∴数列{a k n }的公比q =
a 5a 1+4d ==3, a 1a 1
①
∴a k n =a 1⋅3n -1=2d ⋅3n -1
n -1
由①，② 得k n =2⋅3-1,
而a k n =a 1+(k n -1) d =2d +(k n -1) d ②
3n -1{k n }的前n 项和S n =2⨯-n =3n -n -1.
3-1
[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.
[例3]解答下述问题：
（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.
[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有
22
⎧⎧⎪(a -d )(a +d +32) =a ⎪d +32d -32a =0
⇒⎨⎨22
⎪⎩(a -4) =(a -d )(a +d ) ⎪⎩8a =16+d
826
⇒3d 2-32d +64=0, ∴d =8或d =, 得a =10或,
39
226338
∴原三数为2, 10, 50或, , .
999
（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.
[解析]设此四数为a -15, a -5, a +5, a +15(a >15) ,
∴(a -152) +(a -5) 2+(a +5) 2+(a +15) 2=(2m ) 2(m ∈N *) ⇒4a 2+500=4m 2⇒(m -a )(m +a ) =125, 125=1⨯125=5⨯25,
m -a 与m +a 均为正整数, 且m -a
⎩m +a =125⎩m +a =25
解得a =62或a =12(不合), ∴所求四数为47，57，67，77
[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.
B 、由递推公式求通项公式的方法
一、a n +1=a n +f (n ) 型数列，（其中f (n ) 不是常值函数)
此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为a n +1-a n =f (n ) ，从而就有a 2-a 1=f (1),a 3-a 2=f (2), , a n -a n -1=f (n -1).
将上述n -1个式子累加，变成a n -a 1=f (1)+f (2)+ +f (n -1) ，进而求解。 例1. 在数列{a n }中, a 1=2, a n +1=a n +2n -1, 求a n . 解：依题意有a 2-a 1=1, a 3-a 2=3, , a n -a n -1=2n -3 逐项累加有a n -a 1=1+3+ +2n -3=而a n =n 2-2n +3。
注：在运用累加法时, 要特别注意项数, 计算时项数容易出错. 变式练习：已知{a n }满足a 1=1, a n +1-a n =
1
, 求{a n }的通项公式。
n (n +1)
(1+2n -3)(n -1)
=(n -1) 2=n 2-2n +1，从
2
二、a n +1=a n ⋅f (n ) 型数列，（其中f (n ) 不是常值函数)
此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为
a a a 2
=f (1),3=f (2), , n =f (n -1) a 1a 2a n -1
a n
=f (1)⋅f (2)⋅ ⋅f (n -1) ，进而求解。 a 1
a n +1
=f (n ) ，从而a n
就有
将上述n -1个式子累乘，变成
12n -3
⋅a n -1(n ≥2) ，求{a n }的通项公式。 例2. 已知数列{a n }中a 1=, a n =
32n +1
a a 1a 3a 52n -3
解：当n ≥2时，2=, 3=, 4=, , n =, 将这n -1个式子累乘，
a 15a 27a 39a n -12n +1
1⨯311a 1⨯3
⨯=2得到n =，从而a n =，当n =1时，
(2n -1)(2n +1) 34n -1a 1(2n -1)(2n +1)
111
==a a =，所以。 1n 22
4n -134n -1
注：在运用累乘法时, 还是要特别注意项数, 计算时项数容易出错.
变式练习：在数列{a n }中, a n >0,a 1=2, na n 2=(n +1) a n +12+a n +1a n , 求a n . 提示：依题意分解因式可得[(n +1) a n +1-na n ](a n +1+a n ) =0，而a n >0,
所以(n +1) a n +1-na n =0，即
a n +1n
。 =
a n n +1
三、a n +1=pa n +q 型数列
此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设a n +1+m =p (a n +m ) ，
b 展开整理a n +1=pa n +pm -m ，比较系数有pm -m =b ，所以m =，所以
p -1a n +
b b 是等比数列，公比为p ，首项为a 1+。二是用作差法直接构造，p -1p -1
a n +1=pa n +q , a n =pa n -1+q ，两式相减有a n +1-a n =p (a n -a n -1) ，所以a n +1-a n 是公比为p 的等比数列。
例3. 在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，有a n =3a n -1+2，求{a n }的通项公式。 解法1：设a n +m =3(a n -1+m ) ，即有a n =3a n -1+2m
a n +1
=3
a n -1+1
所以数列{a n +1}是以a 1+1=2为首项，以3为公比的等比数列 则
对比a n =3a n -1+2，得m =1，于是得a n +1=3(a n -1+1) ，即
a n =2⋅3n -1-1。
解法2：由已知递推式，得a n +1=3a n +2, a n =3a n -1+2,(n ≥2) ，
a -a
上述两式相减，得a n +1-a n =3(a n -a n -1) ，即n +1n =3
a n -a n -1
因此，数列{a n +1-a n }是以a 2-a 1=4为首项，以3为公比的等比数列。所以
a n +1-a n =4⋅3n -1，即3a n +2-a n =4⋅3n -1，所以a n =2⋅3n -1-1。
变式练习：已知数列{a n }满足a 1=1, a n +1=2a n +1(n ∈N *). 求数列{a n }的通项公式. 注：根据题设特征恰当地构造辅助数列, 利用基本数列可简捷地求出通项公式. 四、a n +1=pa n +f (n )型数列（p 为常数） 此类数列可变形为
⎧a n ⎫a n +1a n f (n )=+，则⎨n ⎬可用累加法求出，由此求得a n . n +1n n +1
p p p ⎩p ⎭
例4已知数列{a n }满足a 1=1, a n +1=3a n +2n +1, 求a n . 解:将已知递推式两边同除以2n +1得
a n +13a n a n
=⨯+1b =, 设, 故有n
2n +122n 2n
5⨯3n -13
b n +1+2=⨯(b n +2) ，b n =-2, 从而a n =5⨯3n -1-2n +1. n
22
注：通过变形, 构造辅助数列, 转化为基本数列的问题, 是我们求解陌生的递推关系式的常用方法.
若f (n ) 为n 的一次函数, 则a n 加上关于n 的一次函数构成一个等比数列; 若f (n ) 为n 的二次函数, 则a n 加上关于n 的二次函数构成一个等比数列. 这时我们用待定系数法来求解.
例5．已知数列{a n }满足a 1=1, 当n ≥2时, a n =
1
a n -1+2n -1, 求a n . 2
解:作b n =a n +An +B , 则a n =b n -An -B , a n -1=b n -1-A (n -1) -B 代入已知
1111
递推式中得:b n =b n -1+(A +2) n +(A +B -1) .
2222
⎧1
A +2=0⎪⎧A =-41⎪2令⎨ 这时b n =b n -1且b n =a n -4n +6 ⇒⎨
2⎩B =6⎪1A +1B -1=0
⎪⎩22+4n -6.
2n -12n -1
注：通过引入一些待定系数来转化命题结构, 经过变形和比较, 把问题转化成基本数列, 从而使问题得以解决.
显然, b n =
3
, 所以a n =
3
变式练习：（1）已知{a n }满足a 1=2, a n +1=2a n +2n +1，求a n 。
（2）已知数列{a n }，S n 表示其前n 项和，若满足S n +a n =n 2+3n -1，求数列{a n }的通项公式。
⎧S 1n =1
提示：（2）中利用a n =⎨，把已知条件转化成递推式。
⎩S n -S n -1, n ≥2五、a n =
Aa n
型数列（A , B , C 为非零常数）
Ba n +C
这种类型的解法是将式子两边同时取倒数, 把数列的倒数看成是一个新数列, 便可顺利地转化为a n +1=pa n +q 型数列。 例6．已知数列{a n }满足a 1=2, a n +1=
2a n
, 求a n . a n +2
解:两边取倒数得:
2111111n
=+, 所以=+(n -1) ⨯=，故有a n =。
n a n +1a n 2a n a 122
2n +1⋅a n
变式练习：数列{a n }中，a n +1=n +1, a 1=2，求{a n }的通项。
2+a n
六、a n +2=pa n +1+qa n 型数列（p , q 为常数）
这种类型的做法是用待定糸数法设a n +2-λa n =1=χ(a n -1-λa n )构造等比数列。 例7．数列{a n }中，a 1=2, a 2=3, 且2a n =a n -1+a n +1(n ∈N +, n ≥2)，求a n .
C 、求数列前n 项和
一. 公式法: 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本 最重要的方法。 (1) 等差：S n =
n (a 1+a n ) n (n -1) ;
=na 1+d 22
(q =1) ⎧na 1
⎪等比：S n =⎨a 1(1-q n ) a 1-a n q ;
=(q ≠1)
⎪1-q ⎩1-q
(2) 12+22+32+ +n 2=n (n +1)(2n +1) ;
6
13+23+33+ +n 3=[
n (n +1) 2
] 2
例1. 求和1+x +x 2+ +x n -2(n ≥2, x ≠0)
二. 分组法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数 列，然后分别求和，再将其合并即可。 例2. 求数列{2n +(1) n +n }的前n 项和
3
三. 错位相减法：（考试重点）主要用于求数列{an〃bn}的前n 项和，其中{ an }、{ bn }
分别是等差和等比. 求和时一般在已知和式的两边都乘以等比数列的公比q ；然后再将得到的式子和原式相减，转化为同倍数的等比数列求和。
注意事项：1. 公比是未知数要讨论当公比x=1时的特殊情况；2. 错位相减时要注意末项 例3. 求和：1+
34n +1++ + 23n 222
2
3
n -1
例4. 求和：1+3a +5a +7a + +(2n -1)a (a ≠0).
四. 裂项法: 实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最
终达到求和的目的. 前面剩几项后面剩倒数第几项，对称性. 例5．求和
1111+++ + 1⨯33⨯55⨯7(2n -1)(2n +1)
11+2
,
12+, ⋅⋅⋅,
1n +n +1
, ⋅⋅⋅的前n 项和.
例6. 求数列
五. 并项求和法 (或者奇数项和+偶数项和) 一定是正负相间. 例7. 求和-1+3-5+7+ (-1) (2n -1)
n