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“构造函数”在导数中的应用
作者：王凯
来源：《高中生学习·高二文综版》2015年第05期
构造函数是处理导数题的重要方法，也是解决导数的重要途径，通过不断地构造函数把遇到的“拦路虎”一个个地克服掉，最终解决这类问题. 通过一题多解让我们打开思维的闸门，也使我们的思维得到了训练，因此我们在平时练习中要能够体会构造函数的数学价值.
例 ;已知函数[f（x ）=lnx-a（x-1）]，[a∈R].当[x≥1]时，[f（x ）]≤[lnxx+1]恒成立，求[a]的取值.
解法1 ;[f（x ）-lnxx+1=xlnx-a（x2-1）x+1]，
令[g（x ）=xlnx-a（x2-1）（x≥1），]
[g（x ）=lnx+1-2ax，令F （x ）=g（x ）=lnx+1-2ax，]
[F′（x ）=1-2axx].
（1）若[a≤0，][F′（x ）>0，][g′（x ）]在[[1，+∞）]上递增，[g′（x ）≥g′（1）=1-2a>0，]
[∴g （x ）在[1，+∞）上递增，g （x ）≥g（1）=0].[f（x ）≥lnxx+1.]
（2）若[00，]
[∴g （x ）]在[（1，12a ）]上递增，[g（x ）≥g（1）=0.][f（x ）≥lnxx+1.]
（3）[若a≥12，F （x ）≤0在1，+∞上恒成立，]
[∴g （x ）在[1，+∞）上递减，g （x ）≤g（1）=1-2a≤0].
[∴g （x ）在[1，+∞）上递减，g （x ）≤g（1）=0，f （x ）-lnxx+1≤0.]
[综上所述，a 的取值范围是 12，+∞].
解法2 ;[当x≥1时，f （x ）≤lnxx+1恒成立等价于][lnx-][lnxx+1≤a（x-1）].
[令h （x ）=lnx-lnxx+1=xlnxx+1， g（x ）=a（x-1）]，
[h（x ）=x+1+lnx（x+1）2， ]
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“构造函数”在导数中的应用
作者：王凯
来源：《高中生学习·高二文综版》2015年第05期
构造函数是处理导数题的重要方法，也是解决导数的重要途径，通过不断地构造函数把遇到的“拦路虎”一个个地克服掉，最终解决这类问题. 通过一题多解让我们打开思维的闸门，也使我们的思维得到了训练，因此我们在平时练习中要能够体会构造函数的数学价值.
例 ;已知函数[f（x ）=lnx-a（x-1）]，[a∈R].当[x≥1]时，[f（x ）]≤[lnxx+1]恒成立，求[a]的取值.
解法1 ;[f（x ）-lnxx+1=xlnx-a（x2-1）x+1]，
令[g（x ）=xlnx-a（x2-1）（x≥1），]
[g（x ）=lnx+1-2ax，令F （x ）=g（x ）=lnx+1-2ax，]
[F′（x ）=1-2axx].
（1）若[a≤0，][F′（x ）>0，][g′（x ）]在[[1，+∞）]上递增，[g′（x ）≥g′（1）=1-2a>0，]
[∴g （x ）在[1，+∞）上递增，g （x ）≥g（1）=0].[f（x ）≥lnxx+1.]
（2）若[00，]
[∴g （x ）]在[（1，12a ）]上递增，[g（x ）≥g（1）=0.][f（x ）≥lnxx+1.]
（3）[若a≥12，F （x ）≤0在1，+∞上恒成立，]
[∴g （x ）在[1，+∞）上递减，g （x ）≤g（1）=1-2a≤0].
[∴g （x ）在[1，+∞）上递减，g （x ）≤g（1）=0，f （x ）-lnxx+1≤0.]
[综上所述，a 的取值范围是 12，+∞].
解法2 ;[当x≥1时，f （x ）≤lnxx+1恒成立等价于][lnx-][lnxx+1≤a（x-1）].
[令h （x ）=lnx-lnxx+1=xlnxx+1， g（x ）=a（x-1）]，
[h（x ）=x+1+lnx（x+1）2， ]