4.1 空间图形基本关系的认识
自主学习
1．学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位
置关系的分类及其有关概念．
2．重点是：点、线、面之间的位置关系的分类及其有关概念． 3．难点是：对异面直线的理解．
1．空间点与直线的位置关系有两种：
____________________________________． 2．空间点与平面的位置关系有两种：________________________________． 3．空间两条直线的位置关系有三种
(1)__________直线——在同一平面内，没有公共点； (2)__________直线——在同一平面内，只有一个公共点； (3)________直线——不同在任何一个平面内． 4．空间直线与平面的位置关系有三种
(1)直线在平面内——直线和平面有无数个公共点； (2)直线和平面相交——直线和平面只有一个公共点； (3)直线和平面平行——直线和平面没有公共点． 5．空间平面与平面的位置关系
(1)两个平面平行——两个平面没有公共点； (2)两个平面相交——两平面不重合且有公共点．
对点讲练
空间图形基本关系及语言转换
例1 用符号表示下列语句，并作出图形． (1)直线l 经过平面α内两点A 、B ；
(2)直线l 在平面α外，且过平面α内一点P ；
(3)直线l 是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m 与l 平行．
点评 文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来，我们教科书上的概念、定理等多以文字语言叙述．
图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用．
符号语言是立体几何特有的表示法，要和集合对照起来学习，符号语言比较简洁、严谨，有利于推理和计算，因此要学会正确地使用点、线、面之间的关系的符号语言．
变式训练1 将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．
α∩β＝l ，A ∈l ，AB α，AC β．
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直线与直线位置关系的判定
例2 如图所示的正方体ABCD －A
1B 1C 1D 1，判断下列直线的位置关系． (1)直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； (2)直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是
________________________________________________________________________； (3)直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是
________________________________________________________________________； (4)直线AB 与直线B 1C 的位置关系是
________________________________________________________________________．
变式训练2 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，指出与AB 异面的棱．
直线与平面的位置关系
例3 下面命题中正确的个数是( )
①如果a 、b 是两条直线，a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何一个平面； ②如果直线a 满足a ∥α，那么a 与平面α内的任何一条直线平行； ③如果直线a 、b 满足a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；
④如果直线a 、b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b α，那么b ∥α；
⑤如果a 与平面α上的无数条直线平行，那么直线a 必平行于平面α． A ．0 B ．2 C ．1 D ．3
点评 解决此类问题首先要搞清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．
变式训练3 已知下列命题：
①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，直线b α，则a ∥α；
④若直线a ∥b ，b α，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数为( )
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
正方体(或长方体) 既是立体几何中的一个重要的，又是最基本的模型，而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．本例中的命题就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的．
课时作业
一、选择题
1．α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是( ) A ．平面α内有两条直线a 、b 都与平面β平行，那么α∥β B ．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β C ．若直线a 与平面α和平面β都平行，那么α∥β D ．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β 2．两平面α、β平行，a α，下列四个命题： ①a 与β内的所有直线平行； ②a 与β内无数条直线平行；
③直线a 与β内任何一条直线都不垂直； ④a 与β无公共点．
其中正确命题的个数有( )
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
3．若一直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是( ) A ．直线上所有的点都在平面外 B ．直线上有无数多个点都在平面外 C ．直线上有无数多个点都在平面内 D ．直线上至少有一个点在平面内 4．下列命题中正确的是( )
A ．若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α
B ．若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行
C ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 D ．若直线l 与平面α平行，则l 与平面α没有公共点
二、填空题
5．平面外有两个点，那么这两点的连线与平面的关系是__________________．
6．如图所示的是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 、GH 在原正方体中相互异面的有______对．
7．如图所示，在正方体ABCD —A
1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是C 1D 1、BC 、AB 的中点，试判断以下各对线段所在直线的位置关系：
第 2 页 共 2 页(1)AB 与DD 1：
________________________________________________________________________； (2)A 1G 与BC ：
________________________________________________________________________； (3)A 1G 与C 1F ：
________________________________________________________________________； (4)A 1G 与CE ：
________________________________________________________________________． 三、解答题
8．根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝AB ，直线CD α，CD ∥AB ，E ∈CD ，直线EF ∩β＝F ，F ∉AB ．
9．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，面对角线B 1D 1与长方体的六个面之间的位置关系如何？
10．指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正． (1)如图1，直线a 在平面α内．
(2)如图2，直线a 和平面α相交．
(3)如图3，直线a 和平面α平行．
4.1 空间图形基本关系的认识
自主学习
1．学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位
置关系的分类及其有关概念．
2．重点是：点、线、面之间的位置关系的分类及其有关概念． 3．难点是：对异面直线的理解．
1．空间点与直线的位置关系有两种：
____________________________________． 2．空间点与平面的位置关系有两种：________________________________． 3．空间两条直线的位置关系有三种
(1)__________直线——在同一平面内，没有公共点； (2)__________直线——在同一平面内，只有一个公共点； (3)________直线——不同在任何一个平面内． 4．空间直线与平面的位置关系有三种
(1)直线在平面内——直线和平面有无数个公共点； (2)直线和平面相交——直线和平面只有一个公共点； (3)直线和平面平行——直线和平面没有公共点． 5．空间平面与平面的位置关系
(1)两个平面平行——两个平面没有公共点； (2)两个平面相交——两平面不重合且有公共点．
对点讲练
空间图形基本关系及语言转换
例1 用符号表示下列语句，并作出图形． (1)直线l 经过平面α内两点A 、B ；
(2)直线l 在平面α外，且过平面α内一点P ；
(3)直线l 是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m 与l 平行．
点评 文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来，我们教科书上的概念、定理等多以文字语言叙述．
图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用．
符号语言是立体几何特有的表示法，要和集合对照起来学习，符号语言比较简洁、严谨，有利于推理和计算，因此要学会正确地使用点、线、面之间的关系的符号语言．
变式训练1 将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．
α∩β＝l ，A ∈l ，AB α，AC β．
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直线与直线位置关系的判定
例2 如图所示的正方体ABCD －A
1B 1C 1D 1，判断下列直线的位置关系． (1)直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； (2)直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是
________________________________________________________________________； (3)直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是
________________________________________________________________________； (4)直线AB 与直线B 1C 的位置关系是
________________________________________________________________________．
变式训练2 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，指出与AB 异面的棱．
直线与平面的位置关系
例3 下面命题中正确的个数是( )
①如果a 、b 是两条直线，a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何一个平面； ②如果直线a 满足a ∥α，那么a 与平面α内的任何一条直线平行； ③如果直线a 、b 满足a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；
④如果直线a 、b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b α，那么b ∥α；
⑤如果a 与平面α上的无数条直线平行，那么直线a 必平行于平面α． A ．0 B ．2 C ．1 D ．3
点评 解决此类问题首先要搞清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．
变式训练3 已知下列命题：
①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，直线b α，则a ∥α；
④若直线a ∥b ，b α，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数为( )
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
正方体(或长方体) 既是立体几何中的一个重要的，又是最基本的模型，而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．本例中的命题就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的．
课时作业
一、选择题
1．α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是( ) A ．平面α内有两条直线a 、b 都与平面β平行，那么α∥β B ．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β C ．若直线a 与平面α和平面β都平行，那么α∥β D ．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β 2．两平面α、β平行，a α，下列四个命题： ①a 与β内的所有直线平行； ②a 与β内无数条直线平行；
③直线a 与β内任何一条直线都不垂直； ④a 与β无公共点．
其中正确命题的个数有( )
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
3．若一直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是( ) A ．直线上所有的点都在平面外 B ．直线上有无数多个点都在平面外 C ．直线上有无数多个点都在平面内 D ．直线上至少有一个点在平面内 4．下列命题中正确的是( )
A ．若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α
B ．若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行
C ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 D ．若直线l 与平面α平行，则l 与平面α没有公共点
二、填空题
5．平面外有两个点，那么这两点的连线与平面的关系是__________________．
6．如图所示的是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 、GH 在原正方体中相互异面的有______对．
7．如图所示，在正方体ABCD —A
1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是C 1D 1、BC 、AB 的中点，试判断以下各对线段所在直线的位置关系：
第 2 页 共 2 页(1)AB 与DD 1：
________________________________________________________________________； (2)A 1G 与BC ：
________________________________________________________________________； (3)A 1G 与C 1F ：
________________________________________________________________________； (4)A 1G 与CE ：
________________________________________________________________________． 三、解答题
8．根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝AB ，直线CD α，CD ∥AB ，E ∈CD ，直线EF ∩β＝F ，F ∉AB ．
9．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，面对角线B 1D 1与长方体的六个面之间的位置关系如何？
10．指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正． (1)如图1，直线a 在平面α内．
(2)如图2，直线a 和平面α相交．
(3)如图3，直线a 和平面α平行．