课题：§2.2.2对数函数（三）
教学目标：
知识与技能 理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解．
过程与方法 通过作图，体会两种函数的单调性的异同．
情感、态度、价值观 对体会指数函数与对数函数内在的对称统一．
教学重点：
重点 难两种函数的内在联系，反函数的概念．
难点 反函数的概念．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节
呈现教学材料
师生互动设计
创
设
情
境
材料一：
当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：
（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（2）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（3）这两个函数有什么特殊的关系？
（4）用映射的观点来解释P和t之间的对应关系是何种对应关系？
（5）由此你能获得怎样的启示？
生：独立思考完成，讨论展示并分析自己的结果．
师：引导学生分析归纳，总结概括得出结论：
（1）P和t之间的对应关系是一一对应；
（2）P关于t是指数函数
；
t关于P是对数函数
，它们的底数相同，所描述的都是碳14的衰变过程中，碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系；
（3）本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一种关系（碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系）的不同数学模型．
材料二：
由对数函数的定义可知，对数函数
是把指数函数
中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画
的图象时，也是把指数函数
的对应值表里的
和
的数值对换，而得到对数函数
的对应值表，如下：
表一
．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
1
2
4
8
…
表二
．
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
1
2
4
8
…
在同一坐标系中，用描点法画出图象．
生：仿照材料一分析：
与
的关系．
师：引导学生分析，讲评得出结论，进而引出反函数的概念．
组织探究
材料一：反函数的概念：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．
由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数．
材料二：以
与
为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系？
师：说明：
（1）互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换，对应法则互逆的两个函数；
（2）由反函数的概念可知“单调函数一定有反函数”；
（3）互为反函数的两个函数是描述同一变化过程中两个变量关系的不同数学模型．
师：引导学生探索研究材料二．
生：分组讨论材料二，选出代表阐述各自的结论，师生共同评析归纳．
尝试练习
求下列函数的反函数：
（1）
； （2）
生：独立完成．
巩固反思
从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结．
作业反馈
1． 求下列函数的反函数：
1
2
3
4
3
5
7
9
环节
呈现教学材料
师生互动设计
1
2
3
4
3
5
7
9
2．（1）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) ．”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？
（2）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f (a + b) = f ( a )·f ( b ) ．”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？
答案：
1．互换
、
的数值．
2．略．
课外活动
我们知道，指数函数
，且
与对数函数
，且
互为反函数，那么，它们的图象有什么关系呢？运用所学的数学知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！
问题1 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数
及其反函数
的图象，你能发现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗？
问题2 取
图象上的几个点，说出它们关于直线
的对称点的坐标，并判断它们是否在
的图象上，为什么？
问题3 如果P0（x0，y0）在函数
的图象上，那么P0关于直线
的对称点在函数
的图象上吗，为什么？
问题4 由上述探究过程可以得到什么结论？
问题5 上述结论对于指数函数
，且
及其反函数
，且
也成立吗？为什么？
结论：
互为反函数的两个函数的图象关于直线
对称．
对数函数及其性质①学案
一、学习目标：
（一）知识与技能目标：
1、记住对数函数的定义;
2、会画对数函数的图象.
（二）过程与方法目标：
经历函数 和 的画法,观察其图象特征并用代数语言进行描述得出函数性质,进一步探究出函数 ( ＞0,且 ≠ 1 )的图象与性质.
(三)情感态度价值观目标：
通过本节课的学习，体会到类比、由特殊到一般等方法的广泛性，进一步培养学生的数形结合思想，让学生养成善于观察、归纳的好习惯.
二、学习重点：由对数函数的图象特征归纳出函数性质.
三、教学过程：
（一）引入：考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡的残留物，利用 估计出土文物或古遗址的年代。t可否看成是P的函数？
（二）对数函数的定义_________________________________________.
(三）探究：对数函数y = logax (a＞0,且a≠ 1)的图像和性质
研究函数 和 的图象；
请同学们完成x，y对应值表，并用描点法分别画出函数 和 的图象:
X
…
1
…
…
0
…
…
0
…
观察发现:认真观察函数 y=log2x的图象填写下表： （表一）
图象特征
代数表述
图象位于y轴的________.
定义域为：
图象向上、向下呈_________趋势.
值域为：
图象自左向右呈___________趋势.
函数在(0,+∞)上是：
观察发现:认真观察函数 的图象填写下表： （表二）
图象特征
代数表述
对数函数y = logax (a＞0,且a≠ 1)的图像和性质： （表三）
0
a>1
图象
定义域
值 域
性质
(四)性质应用
例1：求下列函数的定义域:
⑴
; (2) .
练习：求下列函数的定义域:
（1） ; （2） .
例2：比较下列各组数中两个值的大小:
（1） ; （2） ;
（3）loga5.1，loga5.9 (a＞0,且a≠ 1).
思考一：比较下列各组数中两个值的大小:
（1）log3.42____log8.52； （2）log1.80.3 ____log2.70.3.
思考二：比较下列各组数中两个值的大小:
(1) Log67____log76 ； (2) log35_____log0.50.6 .
练习：比较下列各题中两个值的大小:
（1） ____ ;
（2） ____ ;
(3) 若
（4）若 > ，则m____n.
（五）小结：
（六）作业布置：习题2.2 A组第7题.
数学：2.2.2《对数函数及其性质》测试（新人教A版必修1）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内.
1．对数式
中，实数a的取值范围是 （ ）
A．
B．(2,5) C．
D．
2．如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么 （ ）
A．x=a+3b－c B．
C．
D．x=a+b3－c3
3．设函数y=lg(x2－5x)的定义域为M，函数y=lg(x－5)+lgx的定义域为N，则 （ ）
A．M∪N=R B．M=N C．M
N D．M
N
4．若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列函数图象正确的是 （ ）
A B C D
6．已知函数
，其中log2f(x)=2x，x
R，则g(x) （ ）
A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数
C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数
7．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的(参考数据：1．14=1．46，1．15=1．61) ( )
A．10% B．16．4% C．16．8% D．20%
8．如果y=log2a－1x在(0，+∞)内是减函数，则a的取值范围是 （ ）
A．｜a｜＞1 B．｜a｜＜2 C．a
D．
二、填空题：请把答案填在题中横线上.
9．函数
的定义域是 ，值域是 .
10．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为 .
11．将函数
的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，则C3的解析式为 .
12．函数y=
的单调递增区间是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13．已知函数
.
(1)求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x)的值域.
14．设函数
.
(1)确定函数f (x)的定义域；
(2)判断函数f (x)的奇偶性；
(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数；
(4)求函数f(x)的反函数.
15．现有某种细胞100个，其中有占总数
的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过
个？（参考数据：
）.
16．如图，A，B，C为函数
的图象
上的三点，它们的横坐标分别是t, t+2, t+4(t
1).
(1)设
ABC的面积为S 求S=f (t) ；
(2)判断函数S=f (t)的单调性；
(3) 求S=f (t)的最大值.
17．已求函数
的单调区间.
参考答案
一、DCCB BDBD
二、9．
，
； 10．0； 11．
； 12．
；
三、
13． 解：(1)函数的定义域为(1，p).
(2)当p＞3时，f (x)的值域为(－∞，2log2(p+1)－2)；
当1＜p
3时，f (x)的值域为(－
，1+log2(p+1)).
14．解： (1)由
得x∈R，定义域为R. (2)是奇函数. (3)设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则
. 令
，
则
.
=
=
=
∵x1－x2＜0，
，
，
，
∴t1－t2＜0，∴0＜t1＜t2，∴
，
∴f (x1)－f (x2)＜lg1=0，即f (x1)＜f (x2)，∴ 函数f(x)在R上是单调增函数.
(4)反函数为
(x
R).
15．解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，
1小时后，细胞总数为
；
2小时后，细胞总数为
；
3小时后，细胞总数为
；
4小时后，细胞总数为
；
可见，细胞总数
与时间
（小时）之间的函数关系为：
，
由
，得
，两边取以10为底的对数，得
，
∴
， ∵
，
∴
.
答：经过46小时，细胞总数超过
个.
16．解：（1）过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴，垂足为A1,B1,C1，
则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C－S梯形AA1C1C.
（2）因为v=
在
上是增函数,且v
5,
上是减函数，且1
; S
上是增函数，
所以复合函数S=f(t)
上是减函数
（3）由（2）知t=1时，S有最大值，最大值是f (1)
17．解：由
>0得0
的定义域是(0,1)
因为0
=
，
所以，当0
函数
的值域为
;
当a>1时,
函数
的值域为
当0
在
上是减函数，在
上是增函数；
当a>1时，函数
在
上是增函数，在
上是减函数.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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课题：§2.2.2对数函数（三）
教学目标：
知识与技能 理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解．
过程与方法 通过作图，体会两种函数的单调性的异同．
情感、态度、价值观 对体会指数函数与对数函数内在的对称统一．
教学重点：
重点 难两种函数的内在联系，反函数的概念．
难点 反函数的概念．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节
呈现教学材料
师生互动设计
创
设
情
境
材料一：
当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：
（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（2）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（3）这两个函数有什么特殊的关系？
（4）用映射的观点来解释P和t之间的对应关系是何种对应关系？
（5）由此你能获得怎样的启示？
生：独立思考完成，讨论展示并分析自己的结果．
师：引导学生分析归纳，总结概括得出结论：
（1）P和t之间的对应关系是一一对应；
（2）P关于t是指数函数
；
t关于P是对数函数
，它们的底数相同，所描述的都是碳14的衰变过程中，碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系；
（3）本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一种关系（碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系）的不同数学模型．
材料二：
由对数函数的定义可知，对数函数
是把指数函数
中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画
的图象时，也是把指数函数
的对应值表里的
和
的数值对换，而得到对数函数
的对应值表，如下：
表一
．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
1
2
4
8
…
表二
．
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
1
2
4
8
…
在同一坐标系中，用描点法画出图象．
生：仿照材料一分析：
与
的关系．
师：引导学生分析，讲评得出结论，进而引出反函数的概念．
组织探究
材料一：反函数的概念：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．
由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数．
材料二：以
与
为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系？
师：说明：
（1）互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换，对应法则互逆的两个函数；
（2）由反函数的概念可知“单调函数一定有反函数”；
（3）互为反函数的两个函数是描述同一变化过程中两个变量关系的不同数学模型．
师：引导学生探索研究材料二．
生：分组讨论材料二，选出代表阐述各自的结论，师生共同评析归纳．
尝试练习
求下列函数的反函数：
（1）
； （2）
生：独立完成．
巩固反思
从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结．
作业反馈
1． 求下列函数的反函数：
1
2
3
4
3
5
7
9
环节
呈现教学材料
师生互动设计
1
2
3
4
3
5
7
9
2．（1）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) ．”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？
（2）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f (a + b) = f ( a )·f ( b ) ．”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？
答案：
1．互换
、
的数值．
2．略．
课外活动
我们知道，指数函数
，且
与对数函数
，且
互为反函数，那么，它们的图象有什么关系呢？运用所学的数学知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！
问题1 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数
及其反函数
的图象，你能发现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗？
问题2 取
图象上的几个点，说出它们关于直线
的对称点的坐标，并判断它们是否在
的图象上，为什么？
问题3 如果P0（x0，y0）在函数
的图象上，那么P0关于直线
的对称点在函数
的图象上吗，为什么？
问题4 由上述探究过程可以得到什么结论？
问题5 上述结论对于指数函数
，且
及其反函数
，且
也成立吗？为什么？
结论：
互为反函数的两个函数的图象关于直线
对称．
对数函数及其性质①学案
一、学习目标：
（一）知识与技能目标：
1、记住对数函数的定义;
2、会画对数函数的图象.
（二）过程与方法目标：
经历函数 和 的画法,观察其图象特征并用代数语言进行描述得出函数性质,进一步探究出函数 ( ＞0,且 ≠ 1 )的图象与性质.
(三)情感态度价值观目标：
通过本节课的学习，体会到类比、由特殊到一般等方法的广泛性，进一步培养学生的数形结合思想，让学生养成善于观察、归纳的好习惯.
二、学习重点：由对数函数的图象特征归纳出函数性质.
三、教学过程：
（一）引入：考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡的残留物，利用 估计出土文物或古遗址的年代。t可否看成是P的函数？
（二）对数函数的定义_________________________________________.
(三）探究：对数函数y = logax (a＞0,且a≠ 1)的图像和性质
研究函数 和 的图象；
请同学们完成x，y对应值表，并用描点法分别画出函数 和 的图象:
X
…
1
…
…
0
…
…
0
…
观察发现:认真观察函数 y=log2x的图象填写下表： （表一）
图象特征
代数表述
图象位于y轴的________.
定义域为：
图象向上、向下呈_________趋势.
值域为：
图象自左向右呈___________趋势.
函数在(0,+∞)上是：
观察发现:认真观察函数 的图象填写下表： （表二）
图象特征
代数表述
对数函数y = logax (a＞0,且a≠ 1)的图像和性质： （表三）
0
a>1
图象
定义域
值 域
性质
(四)性质应用
例1：求下列函数的定义域:
⑴
; (2) .
练习：求下列函数的定义域:
（1） ; （2） .
例2：比较下列各组数中两个值的大小:
（1） ; （2） ;
（3）loga5.1，loga5.9 (a＞0,且a≠ 1).
思考一：比较下列各组数中两个值的大小:
（1）log3.42____log8.52； （2）log1.80.3 ____log2.70.3.
思考二：比较下列各组数中两个值的大小:
(1) Log67____log76 ； (2) log35_____log0.50.6 .
练习：比较下列各题中两个值的大小:
（1） ____ ;
（2） ____ ;
(3) 若
（4）若 > ，则m____n.
（五）小结：
（六）作业布置：习题2.2 A组第7题.
数学：2.2.2《对数函数及其性质》测试（新人教A版必修1）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内.
1．对数式
中，实数a的取值范围是 （ ）
A．
B．(2,5) C．
D．
2．如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么 （ ）
A．x=a+3b－c B．
C．
D．x=a+b3－c3
3．设函数y=lg(x2－5x)的定义域为M，函数y=lg(x－5)+lgx的定义域为N，则 （ ）
A．M∪N=R B．M=N C．M
N D．M
N
4．若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列函数图象正确的是 （ ）
A B C D
6．已知函数
，其中log2f(x)=2x，x
R，则g(x) （ ）
A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数
C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数
7．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的(参考数据：1．14=1．46，1．15=1．61) ( )
A．10% B．16．4% C．16．8% D．20%
8．如果y=log2a－1x在(0，+∞)内是减函数，则a的取值范围是 （ ）
A．｜a｜＞1 B．｜a｜＜2 C．a
D．
二、填空题：请把答案填在题中横线上.
9．函数
的定义域是 ，值域是 .
10．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为 .
11．将函数
的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，则C3的解析式为 .
12．函数y=
的单调递增区间是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13．已知函数
.
(1)求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x)的值域.
14．设函数
.
(1)确定函数f (x)的定义域；
(2)判断函数f (x)的奇偶性；
(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数；
(4)求函数f(x)的反函数.
15．现有某种细胞100个，其中有占总数
的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过
个？（参考数据：
）.
16．如图，A，B，C为函数
的图象
上的三点，它们的横坐标分别是t, t+2, t+4(t
1).
(1)设
ABC的面积为S 求S=f (t) ；
(2)判断函数S=f (t)的单调性；
(3) 求S=f (t)的最大值.
17．已求函数
的单调区间.
参考答案
一、DCCB BDBD
二、9．
，
； 10．0； 11．
； 12．
；
三、
13． 解：(1)函数的定义域为(1，p).
(2)当p＞3时，f (x)的值域为(－∞，2log2(p+1)－2)；
当1＜p
3时，f (x)的值域为(－
，1+log2(p+1)).
14．解： (1)由
得x∈R，定义域为R. (2)是奇函数. (3)设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则
. 令
，
则
.
=
=
=
∵x1－x2＜0，
，
，
，
∴t1－t2＜0，∴0＜t1＜t2，∴
，
∴f (x1)－f (x2)＜lg1=0，即f (x1)＜f (x2)，∴ 函数f(x)在R上是单调增函数.
(4)反函数为
(x
R).
15．解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，
1小时后，细胞总数为
；
2小时后，细胞总数为
；
3小时后，细胞总数为
；
4小时后，细胞总数为
；
可见，细胞总数
与时间
（小时）之间的函数关系为：
，
由
，得
，两边取以10为底的对数，得
，
∴
， ∵
，
∴
.
答：经过46小时，细胞总数超过
个.
16．解：（1）过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴，垂足为A1,B1,C1，
则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C－S梯形AA1C1C.
（2）因为v=
在
上是增函数,且v
5,
上是减函数，且1
; S
上是增函数，
所以复合函数S=f(t)
上是减函数
（3）由（2）知t=1时，S有最大值，最大值是f (1)
17．解：由
>0得0
的定义域是(0,1)
因为0
=
，
所以，当0
函数
的值域为
;
当a>1时,
函数
的值域为
当0
在
上是减函数，在
上是增函数；
当a>1时，函数
在
上是增函数，在
上是减函数.
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