武汉理工大学 弹塑性理论学习论文
混凝土的本构模型研究
学院（系）： 土木工程与建筑学院 专业班级： 土木研1005班 学生姓名： 梁庆学 指导教师： 张光辉
混凝土的本构模型研究
梁庆学
（武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉 430070）
摘要：在《弹塑性理论》这门课程中，我们学习了应力理论、应变理论和本构关系的一些相关知识。虽然只有短短的几个月的时间，但这对于引导我们自学和探讨是非常有帮助的。我在学完本构关系相关知识后，自己阅读相关的专业书籍和查阅了相关的科技论文文献,对混凝土的本构模型有了一些初步的了解，也对其产生了比较浓厚的兴趣，本文主要依据弹塑性理论对混凝土的本构模型最了一些简单的阐述总结。
关键词：本构关系；本构模型；线弹性模型；非线弹性模型；塑性理论模型
The Study of Constitutive
Model of Concrete
Qing-xue Liang
(Civil Engineering and Architecture School Wuhan University of Technology, Wuhan 430070) Abstract: In the course of “elastic-plastic theory”, we have learned some knowledge about stress theory, strain theory and constitutive relation. Although only several months’ study, it’s helpful to lead us self-study and discussion. After learning the knowledge about constitutive relation, I have read some relevant professional books and reviewed some scientific papers related constitutive relation. I have got some preliminary understanding about the constitutive model of concrete, and I’m interested to it too. In this paper, I give some simple summary to the constitutive model of concrete based on the elastic-plastic theory.
Key words: Constitutive relation; Constitutive model; Linear-elastic model; Non-linear-elastic model; Plastic theory model
1 绪论
混凝土是一种在工程结构中应用及其广泛的材料，在相当长时间内是依靠经验公式进行设计与分析的, 近几十年来, 随着电子计算机的普及,混凝土非线性有限元分析得到了很大的发展, 有关混凝土的本构关系得到了广泛而深入的研究。国内外学者根据不同的理论框架提出了许多本构模型。
为了在结构设计计算和有限元分析中引人混凝土的本构关系,各国学者经过多年的试验和理论研究,提出多种多样的本构模型。按现有的本构模型基本上可 以分成四大类 ,即：线弹性模型；非线性弹性模型；塑性理论模型以及其它力学理论的本构模型。在这些本构模型中，有些是以成熟的力学体系,例如弹性理论或弹塑性理论等的观点和方法作为基础,移植于混凝土。有些则是借助新兴的力学分支 ,例如粘弹—塑性理论、内时理沦、断裂力学、损伤力学等概念结合混凝土材料特点推演而得。还有些则是以混凝土多轴试验数据为依据,进行概括和回归分析后得到。
2 线弹性均质本构模型
在材料力学课程中，已经详细讨论了在单向应力状态时材料处于线弹性阶段的应力应变关系，即：
σx=Eεx
其中E为弹性常数（杨氏弹性模量），这就是熟知的胡克定律。
在三维应力状态下，，描绘一点的应力状态需要9个应力分量，与之相对应的应变状态也要用9个应变分量来表示。如采用张量表示法则有：
l1,2σij=cijklεkl (i,j,k,=), 3
该式就是广义胡克定律所描述的本构关系，其中cijkl为弹性常数，为一四阶
张量，一般有81个常数。如果材料为正交各向异性时，只有9个常数。而对于各向匀质材料，只有两个常数，可用拉梅常数来表示，即：
σij=λδije+2μεij
式中：当i≠j
σij=1 当i=j
2 非线弹性本构模型
2.1 增量理论
当受力物体中的一点的应力状态满足屈服条件而进入塑性阶段以后，弹性本构关系（即广义胡克定律）对该点就不适用。因而需要建立塑性阶段的本构方程来描绘塑性应力和应变之间或应力增量和应变增量之间的关系。
塑性应力应变关系的重要特点是它的非线性和不唯一性。所谓非线性是指应力应变关系不是线性线性关系；所谓不唯一性是指应变不能由应力唯一确定。在塑性阶段，应变状态不但与应力状态有关，而且依赖于整个的应力历史，或者说应变是应力和应力历史的函数。
一点处应力状态进入塑性状态以后，相应的总应变εij可以分为两部分：弹
epε性应变部分ij和塑性应变部分εij
εij=εije+εijp
以上说明，塑性应变与加载路径有关，所以我们必须讨论应力的变化特征和应变的变化特征，并且将进一步限定从考虑其无穷小的变化，计算其全部加载历史过程的增量，之后用积分或求和的办法求出总应变。本质上塑性本构关系是一种增量关系。
2.2 全量理论
在增量理论中，我们得到了塑性应变增量的分量与应力偏量之间的关系，为要得到总塑性应变分量与应力分量之间的关系应将增量对全部加载路径积分，从而求出总应变分量与瞬时应力分量之间的关系。由此可见，应力与应变的全量关系必然与加载路径有关。
全量理论（或称变形理论）建立的全量形式表示的与加载路径无关的本构关系（小变形条件下）的表达式为：
eij=3εiδij εi=2σjεi(σ)i σm=3Kεm
2.3 非线弹性本构模型
非线弹性本构模型是根据混凝土多轴试验数据进行总结、归纳，经过回归分析而得出的模型。它适用与单调加载和混凝土受压区处于非线性变形阶段。这类
本构模型有两种形式 ,一是全量式应力应变关系,采用不断变化的割线模量，例 如Cauchy模型和Green模型属于此类模型；另一类是增量式应力应变关系,采用不断变化的切线模量，次弹性模型属于此类模型。
因为这类模型形式简单，使用方便，而且经过实验证明是有足够精度的，所以这类模型是在实际工程中应用最广泛的模型。非线弹性模型属于经验形的模型，适用于混凝土单调加载和混凝土受压区非线性变形等情况。所以，这种模型的参数是以实验数据为依据的。其特点是应力应变不成正比，但仍有一一对应关系，卸载时延加载路径返回，没有残余变形。应力状态由应变状态唯一确定，应力应变的关系式为：
全量形式
增量形式 (σ)=[C](ε) (dσ)=[D](dε)
3 混凝土塑性本构模型
混凝土塑性本构模型是以经典塑性理论为基础的。这里主要讨论增量型塑性理论的混凝土本构关系。增量型塑性理论要对屈服条件、流动法则、硬化法则、加载准则作出一些假设和规定，这与弹塑性理论教程中所论述的大致相同。 4 混凝土的其他力学理论类的本构模型
近期发展起来的一些力学分支，几乎无一遗漏的被借鉴，用以建立混凝土的本构模型。这些本构模型一般都从原有理论的概念出发，对混凝土的性能作出简化假设，用已有的方法推导相应的模型表达式，其中所需参数值由少量实验结果加以评定或直接给定。
具有代表性的这类本构模型有①以粘弹——塑性理论为基础的模型；由于混凝土有蠕变性能，因而有些学者采用粘弹性和粘塑性的理论来建立混凝土的本构关系模型。这种模型的实现需建立三种基本力学元件，即理想弹性元件（弹簧）， 理想塑性元件（具有摩擦阻力的两个滑块）和粘性元件（阻尼器），然后将这三种元件进行适当组合即成为不同的本构模型。②内时理论模型；这种理论不需要初始屈服面和正交法则，采用非弹性变形逐渐积累的方法，采用一个所谓“本征时间”或“内时”作为内变量来建立本构关系。③连续损伤理论模型；这种模型是将研究金属徐变的损伤理论与断裂理论结合起来应用于混凝土而建立的混凝土损伤断裂本构模型。④除上述模型外，还有弹全塑性混凝土断裂本构模型，弹塑性混凝土硬化断裂本构模型，以及塑性断裂理论本构模型。
4 总结
混凝土的本构模型将随着理论理论的完善和有限元方法的应用而逐渐完善，今后对混凝土本构关系的研究会在多层次、多角度进行。从实用分析的角度看， 非线弹性模型、弹塑性模型已日趋成熟，并易于同通用的有限元程序匹配，因而还会更广泛的推广和应用，并有希望编入有关结构设计的规范中去，但在确定参数、改善精度方面还有相当的研究工作要做。为了适应混凝土的复杂加载和破坏的特点，将多种模式组合，如塑性断裂、粘弹塑性、塑性损伤、内时塑性、内时损伤等这些交叉理论将会得到进一步研究。此外，有关动力分析的本构关系，基于随机因素的本构关系值得进一步的探讨。从实验研究来看，在三向应力状态下的应力应变测得的数据还不够多。实验方法也有待改进，特别是在不改变受力与变形条件的现代非机械、非破损的测量方法还期待有所突破。从破坏机理来看， 断裂力学、损伤力学的应用研究有很好的前景。
参考文献
[1] 杨桂通 主编.弹塑性力学引论.清华大学出版社.2004.
[2] 徐芝纶 主编.弹性力学（上下册）.人民交通出版社.1979.
[3] 王仁，熊祝华，黄文炳.塑性力学基础.科学出版社，1998.
[4] 杨桂通 主编.弹塑性力学.人民交通出版社，1979.
[5] 景林海，夏祖讽等.混凝土的本构关系及其应用.结构工程师.2004.
[6] 李笑然.简析混凝土非线性分析中的本构关系.山西建筑.2007.
[7] 秦荣.结构本构关系.广西科学.2002.
武汉理工大学 弹塑性理论学习论文
混凝土的本构模型研究
学院（系）： 土木工程与建筑学院 专业班级： 土木研1005班 学生姓名： 梁庆学 指导教师： 张光辉
混凝土的本构模型研究
梁庆学
（武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉 430070）
摘要：在《弹塑性理论》这门课程中，我们学习了应力理论、应变理论和本构关系的一些相关知识。虽然只有短短的几个月的时间，但这对于引导我们自学和探讨是非常有帮助的。我在学完本构关系相关知识后，自己阅读相关的专业书籍和查阅了相关的科技论文文献,对混凝土的本构模型有了一些初步的了解，也对其产生了比较浓厚的兴趣，本文主要依据弹塑性理论对混凝土的本构模型最了一些简单的阐述总结。
关键词：本构关系；本构模型；线弹性模型；非线弹性模型；塑性理论模型
The Study of Constitutive
Model of Concrete
Qing-xue Liang
(Civil Engineering and Architecture School Wuhan University of Technology, Wuhan 430070) Abstract: In the course of “elastic-plastic theory”, we have learned some knowledge about stress theory, strain theory and constitutive relation. Although only several months’ study, it’s helpful to lead us self-study and discussion. After learning the knowledge about constitutive relation, I have read some relevant professional books and reviewed some scientific papers related constitutive relation. I have got some preliminary understanding about the constitutive model of concrete, and I’m interested to it too. In this paper, I give some simple summary to the constitutive model of concrete based on the elastic-plastic theory.
Key words: Constitutive relation; Constitutive model; Linear-elastic model; Non-linear-elastic model; Plastic theory model
1 绪论
混凝土是一种在工程结构中应用及其广泛的材料，在相当长时间内是依靠经验公式进行设计与分析的, 近几十年来, 随着电子计算机的普及,混凝土非线性有限元分析得到了很大的发展, 有关混凝土的本构关系得到了广泛而深入的研究。国内外学者根据不同的理论框架提出了许多本构模型。
为了在结构设计计算和有限元分析中引人混凝土的本构关系,各国学者经过多年的试验和理论研究,提出多种多样的本构模型。按现有的本构模型基本上可 以分成四大类 ,即：线弹性模型；非线性弹性模型；塑性理论模型以及其它力学理论的本构模型。在这些本构模型中，有些是以成熟的力学体系,例如弹性理论或弹塑性理论等的观点和方法作为基础,移植于混凝土。有些则是借助新兴的力学分支 ,例如粘弹—塑性理论、内时理沦、断裂力学、损伤力学等概念结合混凝土材料特点推演而得。还有些则是以混凝土多轴试验数据为依据,进行概括和回归分析后得到。
2 线弹性均质本构模型
在材料力学课程中，已经详细讨论了在单向应力状态时材料处于线弹性阶段的应力应变关系，即：
σx=Eεx
其中E为弹性常数（杨氏弹性模量），这就是熟知的胡克定律。
在三维应力状态下，，描绘一点的应力状态需要9个应力分量，与之相对应的应变状态也要用9个应变分量来表示。如采用张量表示法则有：
l1,2σij=cijklεkl (i,j,k,=), 3
该式就是广义胡克定律所描述的本构关系，其中cijkl为弹性常数，为一四阶
张量，一般有81个常数。如果材料为正交各向异性时，只有9个常数。而对于各向匀质材料，只有两个常数，可用拉梅常数来表示，即：
σij=λδije+2μεij
式中：当i≠j
σij=1 当i=j
2 非线弹性本构模型
2.1 增量理论
当受力物体中的一点的应力状态满足屈服条件而进入塑性阶段以后，弹性本构关系（即广义胡克定律）对该点就不适用。因而需要建立塑性阶段的本构方程来描绘塑性应力和应变之间或应力增量和应变增量之间的关系。
塑性应力应变关系的重要特点是它的非线性和不唯一性。所谓非线性是指应力应变关系不是线性线性关系；所谓不唯一性是指应变不能由应力唯一确定。在塑性阶段，应变状态不但与应力状态有关，而且依赖于整个的应力历史，或者说应变是应力和应力历史的函数。
一点处应力状态进入塑性状态以后，相应的总应变εij可以分为两部分：弹
epε性应变部分ij和塑性应变部分εij
εij=εije+εijp
以上说明，塑性应变与加载路径有关，所以我们必须讨论应力的变化特征和应变的变化特征，并且将进一步限定从考虑其无穷小的变化，计算其全部加载历史过程的增量，之后用积分或求和的办法求出总应变。本质上塑性本构关系是一种增量关系。
2.2 全量理论
在增量理论中，我们得到了塑性应变增量的分量与应力偏量之间的关系，为要得到总塑性应变分量与应力分量之间的关系应将增量对全部加载路径积分，从而求出总应变分量与瞬时应力分量之间的关系。由此可见，应力与应变的全量关系必然与加载路径有关。
全量理论（或称变形理论）建立的全量形式表示的与加载路径无关的本构关系（小变形条件下）的表达式为：
eij=3εiδij εi=2σjεi(σ)i σm=3Kεm
2.3 非线弹性本构模型
非线弹性本构模型是根据混凝土多轴试验数据进行总结、归纳，经过回归分析而得出的模型。它适用与单调加载和混凝土受压区处于非线性变形阶段。这类
本构模型有两种形式 ,一是全量式应力应变关系,采用不断变化的割线模量，例 如Cauchy模型和Green模型属于此类模型；另一类是增量式应力应变关系,采用不断变化的切线模量，次弹性模型属于此类模型。
因为这类模型形式简单，使用方便，而且经过实验证明是有足够精度的，所以这类模型是在实际工程中应用最广泛的模型。非线弹性模型属于经验形的模型，适用于混凝土单调加载和混凝土受压区非线性变形等情况。所以，这种模型的参数是以实验数据为依据的。其特点是应力应变不成正比，但仍有一一对应关系，卸载时延加载路径返回，没有残余变形。应力状态由应变状态唯一确定，应力应变的关系式为：
全量形式
增量形式 (σ)=[C](ε) (dσ)=[D](dε)
3 混凝土塑性本构模型
混凝土塑性本构模型是以经典塑性理论为基础的。这里主要讨论增量型塑性理论的混凝土本构关系。增量型塑性理论要对屈服条件、流动法则、硬化法则、加载准则作出一些假设和规定，这与弹塑性理论教程中所论述的大致相同。 4 混凝土的其他力学理论类的本构模型
近期发展起来的一些力学分支，几乎无一遗漏的被借鉴，用以建立混凝土的本构模型。这些本构模型一般都从原有理论的概念出发，对混凝土的性能作出简化假设，用已有的方法推导相应的模型表达式，其中所需参数值由少量实验结果加以评定或直接给定。
具有代表性的这类本构模型有①以粘弹——塑性理论为基础的模型；由于混凝土有蠕变性能，因而有些学者采用粘弹性和粘塑性的理论来建立混凝土的本构关系模型。这种模型的实现需建立三种基本力学元件，即理想弹性元件（弹簧）， 理想塑性元件（具有摩擦阻力的两个滑块）和粘性元件（阻尼器），然后将这三种元件进行适当组合即成为不同的本构模型。②内时理论模型；这种理论不需要初始屈服面和正交法则，采用非弹性变形逐渐积累的方法，采用一个所谓“本征时间”或“内时”作为内变量来建立本构关系。③连续损伤理论模型；这种模型是将研究金属徐变的损伤理论与断裂理论结合起来应用于混凝土而建立的混凝土损伤断裂本构模型。④除上述模型外，还有弹全塑性混凝土断裂本构模型，弹塑性混凝土硬化断裂本构模型，以及塑性断裂理论本构模型。
4 总结
混凝土的本构模型将随着理论理论的完善和有限元方法的应用而逐渐完善，今后对混凝土本构关系的研究会在多层次、多角度进行。从实用分析的角度看， 非线弹性模型、弹塑性模型已日趋成熟，并易于同通用的有限元程序匹配，因而还会更广泛的推广和应用，并有希望编入有关结构设计的规范中去，但在确定参数、改善精度方面还有相当的研究工作要做。为了适应混凝土的复杂加载和破坏的特点，将多种模式组合，如塑性断裂、粘弹塑性、塑性损伤、内时塑性、内时损伤等这些交叉理论将会得到进一步研究。此外，有关动力分析的本构关系，基于随机因素的本构关系值得进一步的探讨。从实验研究来看，在三向应力状态下的应力应变测得的数据还不够多。实验方法也有待改进，特别是在不改变受力与变形条件的现代非机械、非破损的测量方法还期待有所突破。从破坏机理来看， 断裂力学、损伤力学的应用研究有很好的前景。
参考文献
[1] 杨桂通 主编.弹塑性力学引论.清华大学出版社.2004.
[2] 徐芝纶 主编.弹性力学（上下册）.人民交通出版社.1979.
[3] 王仁，熊祝华，黄文炳.塑性力学基础.科学出版社，1998.
[4] 杨桂通 主编.弹塑性力学.人民交通出版社，1979.
[5] 景林海，夏祖讽等.混凝土的本构关系及其应用.结构工程师.2004.
[6] 李笑然.简析混凝土非线性分析中的本构关系.山西建筑.2007.
[7] 秦荣.结构本构关系.广西科学.2002.