拉普拉斯定理

复习拉普拉斯变换的有关内容

1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 sj 复函数 FsFxjFy 例：Fss22j （2）复函数模、相角

FsFx2Fy2

FsFy Fx

（3）复数的共轭 FsFxjFy

（4）解析：若F(s)在s点的各阶导数都存在，称F(s)在s点解析。

2 拉氏变换定义：

st

FsLft0ftedt



f(t)：原



F(s)：像

3 几种常见函数的拉氏变换

0 t0

⑴ 单位阶跃：1t

1 t0

L1t1estdt



1st

es



0



1

011 ss

0 t0

⑵ 指数函数：f(t)at

e t0

L[f(t)]eatestdtesatdt



1(sa)t

e

sa



0

11(01)sasa

t00 ejtejt

⑶ 正弦函数： （欧拉公式sintf(t)

sint t02jLf(t)sintestdt

0

）





1jt

eejtestdt2j0





   

1-(s-j)t

ee(sj)tdt2j0



11(sj)t1(sj)t

ee002jsjsj1112jsjsj12j

2

2js2s22

4 拉氏变换的几个重要定理

（1）线性性质： Laf1(t)bf2(t)aF1(s)bF2(s) （2）微分定理： LftsFsf0

证明：左ftedtestdft

st

st

eftftde

-st

st 0-f0sftedt

0







sFsf0 右

nsnFssn-1f0sn-2f0sfn-20fn10 ft 进一步：L

零初始条件下有：LfntsnFs

例：求Lcost 解：cost

1

（3）积分定理：LftdtFsf-10 （证略） 零初始条件下有：LftdtFs 进一步有：

1111n

LftdtnFsnf10n1f20fn0

ssss

n





Lsint1

s

1s

1





s

s

 2222

ss



1

s

【f(n)(0)表示f(0)的n重积分】

 例：求L[t]=? 解：t1tdt

LtL1tdtt

t2

 例：求L

2



11ss1s

t0



1 s2

t2

解：tdt

2

t2111t2

LLtdt2

sss22





t0

1

3s

（4）位移定理

s

Fs 实位移定理：Lft-e

0 t0



 例： ft1 0 t1 求Fs

0 t0

解：f(t)1(t)1(t1) 

Fses1es

1s

1s

1s

atLeftFs-a（证略） （5）复位移定理：

 例：求Le

1

1te 解: LeLsa

at

at

at



 例：Le-3tcos5t

ss252



ss3

s3

s32

5

2

2t2t

 例：Lecos(5t)Lecos5(t) 315







ss2-15ss215

ee 2222

s5ss2s25



（6）终值定理（极限确实存在时）

limftflimsFs

t

s0

证明：由微分定理ftestdtsFsf0



取极限：limftestdtlimsFsf0

s0

s0



左ftlime





st

s0

dtft1dtft

0s0

0

ff0右limsFsf0

sFs 证毕 ∴有：flims0

 例：Fs

1

求f

ssasb11



ssasbab

flims 解：

s0

s 例：fsinttlim

s0



0 s22

拉氏变换附加作业 一． 已知f(t),求F(s)=?

1).f(t)1-e

1-tT

11

Fs

1ss1

ssTT

1

s0.121

2).f(t)0.03(1cos2t) F(s)0.032222

ss2ss2s50.866s2.515

3).f(t)sin(5t) F(s)22e

3s5s252



4).f(t)e0.4tcos12t F(s)

5).f(t)t11tt0

s0.4

s0.4

2

122



s0.4

s20.8s144.16

11t0set0s

Fs

s2

3s22s8

6).已知F(s) 求f? f(0)? f()1, f(0)0 2

ss2s2s4二．已知F(s),求f(t)=?

2s25s1

1).F(s) f(t)1cost-5sint 2

ss

12).F(s)

s

f(t)4tcos(t14)2

s8s17

e4tcost4sint

11t19t10t

f(t)ee

s321s2120s1008181

3).F(s)

3s22s8-2tt

4).F(s) f(t)1-2ee 2

s

s2(s2s4)5).F(s)

s2ss1s3

2

f(t)

213t13t(t)ee 32412

5. 拉氏反变换 (1) 反变换公式：f(t)

1jst

F(s).eds 2jj

(2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法)

1

例1. F(s),求f(t)

s(sa)

解.F(s)

1(sa)-s111



as(sa)assa1a

f(t)1eat 微分方程一般形式：

C(n)a1C(n-1)an-1CCb0r(m)b1r(m-1)bm-1rbmr L:(设初条件为0)

s

n

a1sn-1a2sn-2an-1sanC(s)b0smb1sm1bm-1sbmR(s)





(b0smb1sm1bm-1sbm)R(s)B(s).R(s)

C(s)nn-1n-2

A(s)sa1sa2san-1san



B(s).R(s)

(sp1)(sp2)(spn)

n

c3c1c2cnc

C(s)i pi:特征根

sp1sp2sp3spni1spi

n

f(t)c1e

p1t

c2e

p2t

c3e

p3t

cne

pnt

ciepit epit:模态

i1

F(s)的一般表达式为：

来自：C(n)a1C(n-1)an-1CCb0r(m)b1r(m-1)bm-1rbmr（I）

b0smb1sm1bm-1sbmB(s)

F(s)n(nm) n-1n-2

A(s)sa1sa2san-1san

其中分母多项式可以分解因式为：

A(s)(sp1)(sp2)(spn) (II)

pi为A(s)的根(特征根)，分两种情形讨论：

⑴：A(s)0无重根时：(依代数定理可以把F(s)表示为：)

n

c3c1c2cnc

F(s)i

sp1sp2sp3spni1spi

n

f(t)c1e

p1t

c2e

p2t

c3e

p3t

cne

pnt

ciepit

i1

即：若ci可以定出来，则可得解：而ci计算公式：

cilim(spi).F(s)

spi

(Ⅲ)

ci

B(s)A'(s)

spi

(Ⅲ′)

(说明(Ⅲ)的原理，推导(Ⅲ′) ) ● 例2：F(s)解：F(s)

III

s2

求f(t)? 2

s4s3

s2cc

12

(s1)(s3)s1s3s2121



(s1)(s3)132s2321



(s1)(s3)312

c1lim(s1)

s1III

c2lim(s3)

s3

F(s)

2211

 f(t)ete3t s1s322

s25s5

● 例3：F(s)2 ，求f(t)?

s4s3

解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)

(s24s3)s2s2

F(s)12

(s1)(s3)s4s311

f(t)(t)ete3t

22

● 例4：F(s) 解法一：

c1c2 s3s3



s22s2(s1-j)(s1j)s1-js1j

c1lim(s1-j)

s1j

s32j



(s1-j)(s1j)2js32-j



(s1-j)(s1j)2j

c2lim(s1j)

s1-j

f(t)

2j(1j)t2-j(1j)t

ee

2j2j

1tejtejtejtejtjt-jt

e(2j)e(2j)e （sint,cost） 2j2j2





1t

e2cost4sintjet(cost2sint) 2j

s3s12s12

 2222

(s1)1(s1)1(s1)1(s1)1

虚位移定理

F(s)

f(t)

cost.et2sint.et

解法二：

F(s)

s3s12s11

2

(s1)212(s1)212(s1)212(s1)212

f(t)et.cost2et.sint (复位移定理)

⑵：A(s)0有重根时：

设p1为m阶重根，sm1,sn为单根 .则F(s)可表示为：

F(s)

cmcm-1c1cm1cn



(s-p1)m(s-p1)m-1s-p1s-pm1s-pn

其中单根cm1,cn的计算仍由(1)中公式(Ⅲ) (Ⅲ′)来计算. 重根项系数的计算公式：(说明原理)

cmlim(sp1)m.F(s)

sp1

dclim(sp1)m.F(s)m-1

dssp1



 (IV)  1d(j)m

cm-jj!limdsj(sp1).F(s)sp1 1d(m-1)

limm-1(sp1)m.F(s)c1

(m-1)!dssp1







f(t)L1F(s)

cmcm-1c1cm1cn

L1mm-1

(s-p)(s-p)s-ps-ps-p111m1n

n

cmp1tcm-1m2m1

ttc2tc1.eciepit (V)

(m2)!im1(m1)!

●例5 F(s)解：F(s)

IV

s2

2

s(s1)(s3)

求f(t)?

c3c2c1c4

2

s1ss3(s1)

s2121

 2

s(s1)(s3)(1)(13)2

c2lim(s1)2

s1

c1lim

IV

ds2s(s3)(s2)[(s3)s]32

(s1)lims1222s1ds4s(s1)(s3)s(s3)

s22



s(s1)2(s3)3

s21

 2

s(s1)(s3)12

c3lims.

s0

c4lim(s3).

s-3

11312111

F(s)....

2(s1)24s13s12s31321

f(t)tetete3t

24312

复习拉普拉斯变换的有关内容

1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 sj 复函数 FsFxjFy 例：Fss22j （2）复函数模、相角

FsFx2Fy2

FsFy Fx

（3）复数的共轭 FsFxjFy

（4）解析：若F(s)在s点的各阶导数都存在，称F(s)在s点解析。

2 拉氏变换定义：

st

FsLft0ftedt



f(t)：原



F(s)：像

3 几种常见函数的拉氏变换

0 t0

⑴ 单位阶跃：1t

1 t0

L1t1estdt



1st

es



0



1

011 ss

0 t0

⑵ 指数函数：f(t)at

e t0

L[f(t)]eatestdtesatdt



1(sa)t

e

sa



0

11(01)sasa

t00 ejtejt

⑶ 正弦函数： （欧拉公式sintf(t)

sint t02jLf(t)sintestdt

0

）





1jt

eejtestdt2j0





   

1-(s-j)t

ee(sj)tdt2j0



11(sj)t1(sj)t

ee002jsjsj1112jsjsj12j

2

2js2s22

4 拉氏变换的几个重要定理

（1）线性性质： Laf1(t)bf2(t)aF1(s)bF2(s) （2）微分定理： LftsFsf0

证明：左ftedtestdft

st

st

eftftde

-st

st 0-f0sftedt

0







sFsf0 右

nsnFssn-1f0sn-2f0sfn-20fn10 ft 进一步：L

零初始条件下有：LfntsnFs

例：求Lcost 解：cost

1

（3）积分定理：LftdtFsf-10 （证略） 零初始条件下有：LftdtFs 进一步有：

1111n

LftdtnFsnf10n1f20fn0

ssss

n





Lsint1

s

1s

1





s

s

 2222

ss



1

s

【f(n)(0)表示f(0)的n重积分】

 例：求L[t]=? 解：t1tdt

LtL1tdtt

t2

 例：求L

2



11ss1s

t0



1 s2

t2

解：tdt

2

t2111t2

LLtdt2

sss22





t0

1

3s

（4）位移定理

s

Fs 实位移定理：Lft-e

0 t0



 例： ft1 0 t1 求Fs

0 t0

解：f(t)1(t)1(t1) 

Fses1es

1s

1s

1s

atLeftFs-a（证略） （5）复位移定理：

 例：求Le

1

1te 解: LeLsa

at

at

at



 例：Le-3tcos5t

ss252



ss3

s3

s32

5

2

2t2t

 例：Lecos(5t)Lecos5(t) 315







ss2-15ss215

ee 2222

s5ss2s25



（6）终值定理（极限确实存在时）

limftflimsFs

t

s0

证明：由微分定理ftestdtsFsf0



取极限：limftestdtlimsFsf0

s0

s0



左ftlime





st

s0

dtft1dtft

0s0

0

ff0右limsFsf0

sFs 证毕 ∴有：flims0

 例：Fs

1

求f

ssasb11



ssasbab

flims 解：

s0

s 例：fsinttlim

s0



0 s22

拉氏变换附加作业 一． 已知f(t),求F(s)=?

1).f(t)1-e

1-tT

11

Fs

1ss1

ssTT

1

s0.121

2).f(t)0.03(1cos2t) F(s)0.032222

ss2ss2s50.866s2.515

3).f(t)sin(5t) F(s)22e

3s5s252



4).f(t)e0.4tcos12t F(s)

5).f(t)t11tt0

s0.4

s0.4

2

122



s0.4

s20.8s144.16

11t0set0s

Fs

s2

3s22s8

6).已知F(s) 求f? f(0)? f()1, f(0)0 2

ss2s2s4二．已知F(s),求f(t)=?

2s25s1

1).F(s) f(t)1cost-5sint 2

ss

12).F(s)

s

f(t)4tcos(t14)2

s8s17

e4tcost4sint

11t19t10t

f(t)ee

s321s2120s1008181

3).F(s)

3s22s8-2tt

4).F(s) f(t)1-2ee 2

s

s2(s2s4)5).F(s)

s2ss1s3

2

f(t)

213t13t(t)ee 32412

5. 拉氏反变换 (1) 反变换公式：f(t)

1jst

F(s).eds 2jj

(2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法)

1

例1. F(s),求f(t)

s(sa)

解.F(s)

1(sa)-s111



as(sa)assa1a

f(t)1eat 微分方程一般形式：

C(n)a1C(n-1)an-1CCb0r(m)b1r(m-1)bm-1rbmr L:(设初条件为0)

s

n

a1sn-1a2sn-2an-1sanC(s)b0smb1sm1bm-1sbmR(s)





(b0smb1sm1bm-1sbm)R(s)B(s).R(s)

C(s)nn-1n-2

A(s)sa1sa2san-1san



B(s).R(s)

(sp1)(sp2)(spn)

n

c3c1c2cnc

C(s)i pi:特征根

sp1sp2sp3spni1spi

n

f(t)c1e

p1t

c2e

p2t

c3e

p3t

cne

pnt

ciepit epit:模态

i1

F(s)的一般表达式为：

来自：C(n)a1C(n-1)an-1CCb0r(m)b1r(m-1)bm-1rbmr（I）

b0smb1sm1bm-1sbmB(s)

F(s)n(nm) n-1n-2

A(s)sa1sa2san-1san

其中分母多项式可以分解因式为：

A(s)(sp1)(sp2)(spn) (II)

pi为A(s)的根(特征根)，分两种情形讨论：

⑴：A(s)0无重根时：(依代数定理可以把F(s)表示为：)

n

c3c1c2cnc

F(s)i

sp1sp2sp3spni1spi

n

f(t)c1e

p1t

c2e

p2t

c3e

p3t

cne

pnt

ciepit

i1

即：若ci可以定出来，则可得解：而ci计算公式：

cilim(spi).F(s)

spi

(Ⅲ)

ci

B(s)A'(s)

spi

(Ⅲ′)

(说明(Ⅲ)的原理，推导(Ⅲ′) ) ● 例2：F(s)解：F(s)

III

s2

求f(t)? 2

s4s3

s2cc

12

(s1)(s3)s1s3s2121



(s1)(s3)132s2321



(s1)(s3)312

c1lim(s1)

s1III

c2lim(s3)

s3

F(s)

2211

 f(t)ete3t s1s322

s25s5

● 例3：F(s)2 ，求f(t)?

s4s3

解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)

(s24s3)s2s2

F(s)12

(s1)(s3)s4s311

f(t)(t)ete3t

22

● 例4：F(s) 解法一：

c1c2 s3s3



s22s2(s1-j)(s1j)s1-js1j

c1lim(s1-j)

s1j

s32j



(s1-j)(s1j)2js32-j



(s1-j)(s1j)2j

c2lim(s1j)

s1-j

f(t)

2j(1j)t2-j(1j)t

ee

2j2j

1tejtejtejtejtjt-jt

e(2j)e(2j)e （sint,cost） 2j2j2





1t

e2cost4sintjet(cost2sint) 2j

s3s12s12

 2222

(s1)1(s1)1(s1)1(s1)1

虚位移定理

F(s)

f(t)

cost.et2sint.et

解法二：

F(s)

s3s12s11

2

(s1)212(s1)212(s1)212(s1)212

f(t)et.cost2et.sint (复位移定理)

⑵：A(s)0有重根时：

设p1为m阶重根，sm1,sn为单根 .则F(s)可表示为：

F(s)

cmcm-1c1cm1cn



(s-p1)m(s-p1)m-1s-p1s-pm1s-pn

其中单根cm1,cn的计算仍由(1)中公式(Ⅲ) (Ⅲ′)来计算. 重根项系数的计算公式：(说明原理)

cmlim(sp1)m.F(s)

sp1

dclim(sp1)m.F(s)m-1

dssp1



 (IV)  1d(j)m

cm-jj!limdsj(sp1).F(s)sp1 1d(m-1)

limm-1(sp1)m.F(s)c1

(m-1)!dssp1







f(t)L1F(s)

cmcm-1c1cm1cn

L1mm-1

(s-p)(s-p)s-ps-ps-p111m1n

n

cmp1tcm-1m2m1

ttc2tc1.eciepit (V)

(m2)!im1(m1)!

●例5 F(s)解：F(s)

IV

s2

2

s(s1)(s3)

求f(t)?

c3c2c1c4

2

s1ss3(s1)

s2121

 2

s(s1)(s3)(1)(13)2

c2lim(s1)2

s1

c1lim

IV

ds2s(s3)(s2)[(s3)s]32

(s1)lims1222s1ds4s(s1)(s3)s(s3)

s22



s(s1)2(s3)3

s21

 2

s(s1)(s3)12

c3lims.

s0

c4lim(s3).

s-3

11312111

F(s)....

2(s1)24s13s12s31321

f(t)tetete3t

24312