单摆运动规律的研究

单摆运动规律的研究

摘要 单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。受各种因素的影响，其运动规律较为复杂。本文建立了理想模式下单摆的数学模型，现实情况下单摆的数学模型.等对单摆的运动进行了探究。

首先，本文从理想情况出发，由牛顿第二定律进行推理，建立了无阻尼小角度单摆运动模型，对单摆的运动进行了初步探究。

然后，本文又建立了无阻尼大角度单摆运动模型，进一步完善了理想模式下单摆的数学模型。

最后，本文从实际出发，考虑单摆运动中受到的阻力因素，以理想模式下单摆的数学模型为基础，建立了现实情况下单摆的运动模型，深度的对单摆运动进行了探索。

关键词 简谐运动 角度 阻尼运动 单摆运动

目录

一、问题的描述

二、 模型假设

三、模型建立及求解

1 理想模式下单摆的数学模型

1.1 小角度单摆运动模型

1.1.1 模型建立

1.1.2 模型求解

1.1.3 结果分析

1.2 大角度单摆运动模型

1.2.1 模型建立

1.2.2 模型求解

1.2.3 结果分析

2 现实模式下单摆的数学模型

2.1 小、大阻尼单摆运动模型

2.1.1 模型建立

2.1.2 模型求解

2.1.3 结果分析

四 模型分析

一 问题的描述

根据平常接触到的摆钟、秋千等实物中，我们可以抽象出单摆的模型。细线一端固定在悬点,另一端系一个小球,如果细线的质量与小球相比可以忽略,球的直接与线的长度相比也可以忽略,这样的装置就叫做单摆.我们从理想情况出发进行分析，并逐渐完善从而推导出单摆实际运动规律。

二 模型假设

1悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球的直径大得多；

2.装置严格水平；

3.无驱动力。

三 模型建立及求解

1 理想模式下单摆的数学模型

图1 简单单摆模型

在 t 时刻，摆锤所受切向力ft(t)是重力mg在其运动圆弧切线方向上的分力，即 f(t) =mg sin(t)

完全理想条件下，根据牛顿第二运动定律，切向加速度为：

a(t) =g sin(t)

因此得到单摆的运动微分方程组：



1.1 小角度单摆运动模型



1.1.1模型建立

当摆角θ很小时,sinθ≈θ，故方程1可简化为

:

1.1.2 模型求解

利用matlab软件在[0, 5o]分别作出方程（1）和方程（2）的解得图像

小角度单摆摆动规律

（—方程（1）的解 ，**方程（2）的解）

1.1.3 结果分析

由图像可以看出两方程的解的图像几乎吻合，可以说明当较小时（θ

1.2 大角度单摆运动模型

1.2.1 模型建立

当摆角很大时，方程sin ≈θ不

再成立，方程（1）和方程（2）的解不再相近，

1.2.2 模型求解

此时利用MATLAB计算软件, 得到2000个不同摆角的的精确解.然后以摆角为横轴,利用绘图函数polt ( x , y ) 绘制出任意摆角下单摆周期的精确解的曲线

%单摆周期与摆角的关系

a= 0;

b= pi/ 2;

n= 1000;

s1= 1: n;

h= ( b-a) / n;

h1= pi/ ( 2* n)

c= 0: h1: pi/ 2

x= a;

s= 0;

for i1= 1: ( n+ 1)

f0= 2/ sqrt ( 1-( sin( c( i1) / 2) ) ^2* ( sin( x ) ) ^2) / pi;

for i2= 1: n

x= x+ h;

f1= 2/ sqrt ( 1-( sin( c( i1) / 2) ) ^2* ( sin( x ) ) ^2) / pi;

s= s+ ( f0+ f1) * h/ 2;

f0= f1;

end

disp( 1/ s)

s1( i1) = s;

s= 0;

end

plot( c, s1)

xlabel( ‘theta0/rad’)

ylabel( ‘T/T0’)

大摆角单摆的运动规律

程序如下：

%建立方程( 1)

Function xdot= per( t,x)

xdot= [ -9. 8* sin( x ( 2) ) x( 1) ]

% 建立方程( 2)

Function xdot= per1( t,x)

xdot= [ -9. 8* x( 2) x( 1) ]

%利用ode45 求解微分方程

t0= 0; tf= 10;

[ t, x] = ode45( ‘per’, [ t0, t f] , [ pi/ 2, 0] )

[ t1, x1 ] = ode45 ( ‘per1’, [ t0, tf ] ,[ pi/ 2, 0] )

plot( t, x( : , 2) , ‘-‘)

holdon

plot( t1, x1( : , 2) , ‘ ‘)

1.2.3 结果分析

如图所示，随着单摆摆角的增大，单摆的周期也会增加图中两根曲线表明：大摆角振动时, 单摆的运动轨迹并不是简单的正、余弦曲线( 虽然很相似),而且,最大摆角越小,两根曲线越相似；摆角越大,分离越明显

2 现实模式下单摆的数学模型

2.1.1 模型建立

现实情况下,绳子的质量,摆球的半径,空气的阻力等等都对单摆的摆动有影响,这些影响的主要作用就是阻止单摆的摆动,为简单起见, 可设单摆在摆动中受到阻力fz，显然阻力与摆锤的运动速度有关，即阻力是单摆线速度的函数：fz = f(v)，fz (t) =kv(t)

上式中，k>0为阻力比例系数，式中的负号表示阻力方向与摆锤运动方向相反。切向加速度由切向合力ftfz产生，根据牛顿第二运动定律，有

因此得到修正后的单摆运动微分方程组

2.1.2 模型求解

据此编写仿真程序：

subplot(2,1,1)

dt=0.0001; %仿真步进

T=16; %仿真时间长度

t=0:dt:T;%仿真计算时间序列

g=9.8;

L=1.5;

m=8;

k=3;

th0=1.5; %初始摆角设置,不能超过π/2

v0=0; %初始摆速设置

v=zeros(size(t)); %程序存储变量预先初始化，可提高执行速度

th=zeros(size(t));

v(1)=v0;

th(1)=th0;

for i=1:length(t) %仿真求解开始

v(i+1)=v(i)+(g*sin(th(i))-k./m.*v(i)).*dt;

th(i+1)=th(i)-1./L.*v(i).*dt;

end %使用双坐标系统来作图

[AX,B1,B2]=plotyy(t,v(1:length(t)),t,th(1:length(t)),'plot');

set(B1,'LineStyle','-'); %设置图线型

set(B2,'LineStyle',':');

set(get(AX(1),'Ylabel'),'String','线速度v(t)m/s');%作标注

set(get(AX(2),'Ylabel'),'String','角位移\th(t)/rad');

xlabel('时间t/s');

legend(B1,'线速度v(t)',2);

legend(B2,'角位移\th(t)',1);

增大阻力系数k=50可以得大阻尼时单摆的运动情况

2.1.3 结果分析

小阻尼情况下，单摆运动不再是谐振动，其振幅不断缩小直到趋于平衡位置而停止，但还是周期运动。大阻尼情况下是非周期运动，很快回到平衡位置。

四.模型分析

本文从理想情况出发，建立了小角度、大角度两种模型，得到简谐运动和类似简谐运动。再以此为基础讨论了实际情况下受到阻力因素的影响，近似的得到了单摆运动的运动规律的大小阻尼运动。

单摆运动规律的研究

摘要 单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。受各种因素的影响，其运动规律较为复杂。本文建立了理想模式下单摆的数学模型，现实情况下单摆的数学模型.等对单摆的运动进行了探究。

首先，本文从理想情况出发，由牛顿第二定律进行推理，建立了无阻尼小角度单摆运动模型，对单摆的运动进行了初步探究。

然后，本文又建立了无阻尼大角度单摆运动模型，进一步完善了理想模式下单摆的数学模型。

最后，本文从实际出发，考虑单摆运动中受到的阻力因素，以理想模式下单摆的数学模型为基础，建立了现实情况下单摆的运动模型，深度的对单摆运动进行了探索。

关键词 简谐运动 角度 阻尼运动 单摆运动

目录

一、问题的描述

二、 模型假设

三、模型建立及求解

1 理想模式下单摆的数学模型

1.1 小角度单摆运动模型

1.1.1 模型建立

1.1.2 模型求解

1.1.3 结果分析

1.2 大角度单摆运动模型

1.2.1 模型建立

1.2.2 模型求解

1.2.3 结果分析

2 现实模式下单摆的数学模型

2.1 小、大阻尼单摆运动模型

2.1.1 模型建立

2.1.2 模型求解

2.1.3 结果分析

四 模型分析

一 问题的描述

根据平常接触到的摆钟、秋千等实物中，我们可以抽象出单摆的模型。细线一端固定在悬点,另一端系一个小球,如果细线的质量与小球相比可以忽略,球的直接与线的长度相比也可以忽略,这样的装置就叫做单摆.我们从理想情况出发进行分析，并逐渐完善从而推导出单摆实际运动规律。

二 模型假设

1悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球的直径大得多；

2.装置严格水平；

3.无驱动力。

三 模型建立及求解

1 理想模式下单摆的数学模型

图1 简单单摆模型

在 t 时刻，摆锤所受切向力ft(t)是重力mg在其运动圆弧切线方向上的分力，即 f(t) =mg sin(t)

完全理想条件下，根据牛顿第二运动定律，切向加速度为：

a(t) =g sin(t)

因此得到单摆的运动微分方程组：



1.1 小角度单摆运动模型



1.1.1模型建立

当摆角θ很小时,sinθ≈θ，故方程1可简化为

:

1.1.2 模型求解

利用matlab软件在[0, 5o]分别作出方程（1）和方程（2）的解得图像

小角度单摆摆动规律

（—方程（1）的解 ，**方程（2）的解）

1.1.3 结果分析

由图像可以看出两方程的解的图像几乎吻合，可以说明当较小时（θ

1.2 大角度单摆运动模型

1.2.1 模型建立

当摆角很大时，方程sin ≈θ不

再成立，方程（1）和方程（2）的解不再相近，

1.2.2 模型求解

此时利用MATLAB计算软件, 得到2000个不同摆角的的精确解.然后以摆角为横轴,利用绘图函数polt ( x , y ) 绘制出任意摆角下单摆周期的精确解的曲线

%单摆周期与摆角的关系

a= 0;

b= pi/ 2;

n= 1000;

s1= 1: n;

h= ( b-a) / n;

h1= pi/ ( 2* n)

c= 0: h1: pi/ 2

x= a;

s= 0;

for i1= 1: ( n+ 1)

f0= 2/ sqrt ( 1-( sin( c( i1) / 2) ) ^2* ( sin( x ) ) ^2) / pi;

for i2= 1: n

x= x+ h;

f1= 2/ sqrt ( 1-( sin( c( i1) / 2) ) ^2* ( sin( x ) ) ^2) / pi;

s= s+ ( f0+ f1) * h/ 2;

f0= f1;

end

disp( 1/ s)

s1( i1) = s;

s= 0;

end

plot( c, s1)

xlabel( ‘theta0/rad’)

ylabel( ‘T/T0’)

大摆角单摆的运动规律

程序如下：

%建立方程( 1)

Function xdot= per( t,x)

xdot= [ -9. 8* sin( x ( 2) ) x( 1) ]

% 建立方程( 2)

Function xdot= per1( t,x)

xdot= [ -9. 8* x( 2) x( 1) ]

%利用ode45 求解微分方程

t0= 0; tf= 10;

[ t, x] = ode45( ‘per’, [ t0, t f] , [ pi/ 2, 0] )

[ t1, x1 ] = ode45 ( ‘per1’, [ t0, tf ] ,[ pi/ 2, 0] )

plot( t, x( : , 2) , ‘-‘)

holdon

plot( t1, x1( : , 2) , ‘ ‘)

1.2.3 结果分析

如图所示，随着单摆摆角的增大，单摆的周期也会增加图中两根曲线表明：大摆角振动时, 单摆的运动轨迹并不是简单的正、余弦曲线( 虽然很相似),而且,最大摆角越小,两根曲线越相似；摆角越大,分离越明显

2 现实模式下单摆的数学模型

2.1.1 模型建立

现实情况下,绳子的质量,摆球的半径,空气的阻力等等都对单摆的摆动有影响,这些影响的主要作用就是阻止单摆的摆动,为简单起见, 可设单摆在摆动中受到阻力fz，显然阻力与摆锤的运动速度有关，即阻力是单摆线速度的函数：fz = f(v)，fz (t) =kv(t)

上式中，k>0为阻力比例系数，式中的负号表示阻力方向与摆锤运动方向相反。切向加速度由切向合力ftfz产生，根据牛顿第二运动定律，有

因此得到修正后的单摆运动微分方程组

2.1.2 模型求解

据此编写仿真程序：

subplot(2,1,1)

dt=0.0001; %仿真步进

T=16; %仿真时间长度

t=0:dt:T;%仿真计算时间序列

g=9.8;

L=1.5;

m=8;

k=3;

th0=1.5; %初始摆角设置,不能超过π/2

v0=0; %初始摆速设置

v=zeros(size(t)); %程序存储变量预先初始化，可提高执行速度

th=zeros(size(t));

v(1)=v0;

th(1)=th0;

for i=1:length(t) %仿真求解开始

v(i+1)=v(i)+(g*sin(th(i))-k./m.*v(i)).*dt;

th(i+1)=th(i)-1./L.*v(i).*dt;

end %使用双坐标系统来作图

[AX,B1,B2]=plotyy(t,v(1:length(t)),t,th(1:length(t)),'plot');

set(B1,'LineStyle','-'); %设置图线型

set(B2,'LineStyle',':');

set(get(AX(1),'Ylabel'),'String','线速度v(t)m/s');%作标注

set(get(AX(2),'Ylabel'),'String','角位移\th(t)/rad');

xlabel('时间t/s');

legend(B1,'线速度v(t)',2);

legend(B2,'角位移\th(t)',1);

增大阻力系数k=50可以得大阻尼时单摆的运动情况

2.1.3 结果分析

小阻尼情况下，单摆运动不再是谐振动，其振幅不断缩小直到趋于平衡位置而停止，但还是周期运动。大阻尼情况下是非周期运动，很快回到平衡位置。

四.模型分析

本文从理想情况出发，建立了小角度、大角度两种模型，得到简谐运动和类似简谐运动。再以此为基础讨论了实际情况下受到阻力因素的影响，近似的得到了单摆运动的运动规律的大小阻尼运动。