人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念) 人教A 版
习题1.2（第24页）
练习（第32页）
1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达
到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．
2．解：图象如下
[8, 12是递增区间，][12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．解：该函数在[-1, 0]上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，
在[4,5]上是增函数．
4．证明：设x 1, x 2∈R ，且x 10，
即f (x 1) >f (x 2) ， 所以函数f (x ) =-2x +1在R 上是减函数. 5．最小值．
练习（第36页）
1．解：（1）对于函数f (x ) =2x +3x ，其定义域为(-∞, +∞) ，因为对定义域内
每一个x 都有f (-x ) =2(-x ) +3(-x ) =2x +3x =f (x ) ， 所以函数f (x ) =2x +3x 为偶函数；
（2）对于函数f (x ) =x -2x ，其定义域为(-∞, +∞) ，因为对定义域内
每一个x 都有f (-x ) =(-x ) -2(-x ) =-(x -2x ) =-f (x ) ， 所以函数f (x ) =x -2x 为奇函数；
3
3
3
34
2
4
2
4
2
4
2
（3）对于函数f (x ) =
x +1x
2
，其定义域为(-∞, 0) (0,+∞) ，因为对定义域内
每一个x 都有f (-x ) =
(-x ) +1-x
2
=-
x +1x
2
=-f (x ) ，
所以函数f (x ) =
x +1x
2
2
为奇函数；
（4）对于函数f (x ) =x +1，其定义域为(-∞, +∞) ，因为对定义域内
每一个x 都有f (-x ) =(-x ) +1=x +1=f (x ) ， 所以函数f (x ) =x +1为偶函数.
2．解：f (x ) 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； g (x ) 是奇函数，其图象是关于原点对称的．
2
2
2
习题1. 3（第39页）
1．解：（1）
函数在(-∞, （2）
函数在(-∞, 0)
2
5
5
) 上递减；函数在[, +∞) 上递增； 22
上递增；函数在[0,+∞) 上递减.
2
2．证明：（1）设x 10，
即f (x 1) >f (x 2) ，所以函数f (x ) =x +1在(-∞, 0) 上是减函数；
2
（2）设x 1
1x 2
-
1x 1
=
x 1-x 2x 1x 2
，
由x 1x 2>0, x 1-x 2
即f (x 1)
3．解：当m >0时，一次函数y =mx +b 在(-∞, +∞) 上是增函数；
1x
在(-∞, 0) 上是增函数.
当m
当m >0时，m (x 1-x 2)
当m 0，即f (x 1) >f (x 2) ， 得一次函数y =mx +b 在(-∞, +∞) 上
是减函数.
4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为
5．解：对于函数y =-
x
2
50
+162x -21000，
当x =-
1622⨯(-
150)
， =4050时，y max =307050（元）
即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当x 0，而当x ≥0时，f (x ) =x (1+x ) ，
即f (-x ) =-x (1-x ) ，而由已知函数是奇函数，得f (-x ) =-f (x ) ， 得-f (x ) =-x (1-x ) ，即f (x ) =x (1-x ) ，
⎧x (1+x ), x ≥0 所以函数的解析式为f (x ) =⎨.
x (1-x ), x
B 组
1．解：（1）二次函数f (x ) =x -2x 的对称轴为x =1， 则函数f (x ) 的单调区间为(-∞,1),[1,+∞) ，
且函数f (x ) 在(-∞,1) 上为减函数，在[1,+∞) 上为增函数， 函数g (x ) 的单调区间为[2,4]， 且函数g (x ) 在[2,4]上为增函数；
2
（2）当x =1时，f (x ) m in =-1，
因为函数g (x ) 在[2,4]上为增函数，所以g (x ) m in =g (2)=2-2⨯2=0．
2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为
2
30-3x 2
m ，设矩形的面积为S ，
则S =x
30-3x =-
3(x -10x )
2
， 当x =5时，S m ax =37.5m ，即宽x =5m 才能使
2
2
2
建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是37.5m 2
． 3．判断f (x ) 在(-∞, 0) 上是增函数，证明如下： 设x 1-x 2>0，
因为函数f (x ) 在(0,+∞) 上是减函数，得f (-x 1)
复习参考题（第44页）
A 组
1．解：（1）方程x 2
=9的解为x 1=-3, x 2=3，即集合A ={-3, 3}； （2）1≤x ≤2，且x ∈N ，则x =1, 2，即集合B ={1,2}；
（3）方程x 2-3x +2=0的解为x 1=1, x 2=2，即集合C ={1,2}．
2．解：（1）由PA =PB ，得点P 到线段A B 的两个端点的距离相等， 即{P |PA =PB }表示的点组成线段A B 的垂直平分线；
（2）{P |PO =3cm }表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3．解：集合{P |PA =PB }表示的点组成线段A B 的垂直平分线， 集合{P |PA =PC }表示的点组成线段A C 的垂直平分线，
得{P |PA =PB } {P |PA =PC }的点是线段A B 的垂直平分线与线段A C 的
垂直平分线的交点，即∆A B C 的外心．
4．解：显然集合A ={-1,1}，对于集合B ={x |ax =1}， 当a =0时，集合B =∅，满足B ⊆A ，即a =0； 当a ≠0时，集合B ={，而B ⊆A ，则
1a
1a
=-1，或
1a
=1，
得a =-1，或a =1， 综上得：实数a 的值为-1, 0，或1．
5．解：集合A B =⎨(x , y ) |⎨
⎧⎩⎧2x -y =0⎫
⎬={(0,0)}，即A B ={(0,0)}；
⎩3x +y =0⎭
⎧2x -y =0⎫
⎬=∅，即A C =∅；
⎩2x -y =3⎭
集合A C =⎨(x , y ) |⎨
⎧⎩
⎧⎧3x +y =0⎫39
集合B C =⎨(x , y ) |⎨⎬={(, -)}；
55⎩2x -y =3⎭⎩
则(A B ) (B C ) ={(0,0), (
35
, -
95
)}.
⎧x -2≥0
6．解：（1）要使原式有意义，则⎨，即x ≥2，
⎩x +5≥0
得函数的定义域为[2,+∞) ；
⎧x -4≥0
（2）要使原式有意义，则⎨，即x ≥4，且x ≠5，
|x |-5≠0⎩
得函数的定义域为[4,5) (5,+∞) ． 7．解：（1）因为f (x ) = 所以f (a ) =
1-x 1+x 1-a
，
，得f (a ) +1=
1-a 1+a
1+a 2
即f (a ) +1=；
1+a
（2）因为f (x ) =
+1=
21+a
，
1-x 1+x
，
所以f (a +1) = 即f (a +1) =-
1-(a +1) 1+a +1a a +2
22
=-
a a +2
，
．
8．证明：（1）因为f (x ) =
1+x 1-x
，
所以f (-x ) =
1+(-x ) 1-(-x )
22
=
1+x 1-x
22
=f (x ) ，
即f (-x ) =f (x ) ；
（2）因为f (x ) =
1+x 1-x
22
，
12
1+() 2
11+x = 所以f () ==-f (x ) ， 2
1x x -12
1-()
x
即f (
1x
) =-f (x ) .
9．解：该二次函数的对称轴为x =
2
k 8
，
函数f (x ) =4x -kx -8在[5,20]上具有单调性，
则
k 8
≥20，或
k 8
≤5，得k ≥160，或k ≤40，
即实数k 的取值范围为k ≥160，或k ≤40．
10．解：（1）令f (x ) =x 即函数y =x （2）函数y =x （3）函数y =x （4）函数y =x
B 组
1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则15+8+14-3-3-x =28，得x =3，只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有
-2-2
，而f (-x ) =(-x ) 是偶函数；
-2
=x
-2
=f (x ) ，
-2
的图象关于y 轴对称； 在(0,+∞) 上是减函数； 在(-∞, 0) 上是增函数．
-2
-2
9人．
2．解：因为集合A ≠∅，且x ≥0，所以a ≥0．
3．解：由ðU (A B ) ={1,3}，得A B ={2,4, 5, 6, 7, 8, 9}， 集合A B 里除去A (ðU B ) ，得集合B ， 所以集合B ={5,6, 7, 8, 9}.
2
4．解：当x ≥0时，f (x ) =x (x +4) ，得f (1)=1⨯(1+4) =5； 当x
(+⎧(a +1) a
f (a +1) =⎨
(-⎩(a +1) a
.
5) a ≥, -3a )
．
1
1
5．证明：（1）因为f (x ) =ax +b ，得f (
x 1+x 2
2
) =a =a 2
x 1+x 2
2
+b =
a 2
(x 1+x 2) +b ，
f (x 1) +f (x 2)
2x 1+x 2
2
=
ax 1+b +ax +b 2
2
f (x 1) +f (x 2)
2
(x 1+x 2) +b ，
所以f () =
2
；
（2）因为g (x ) =x +ax +b ，
得g (
x 1+x 2
242
g (x 1) +g (x 2) 122
=[(x 1+ax 1+b ) +(x 2+ax 2+b )]
22
12
2
) =
1
(x 1+x 2+2x 1x 2) +a (
22
x 1+x 2
) +b ，
=因为即
(x 1+x 2) +a (
12
2
22
x 1+x 2
2
2
) +b ，
14
(x 1-x 2) ≤0，
2
14
(x 1+x 2+2x 1x 2) -
2
2
2
(x 1+x 2) =-
2
2
14
(x 1+x 2+2x 1x 2) ≤x 1+x 2
2
) ≤
12
(x 1+x 2) ，
.
所以g (
g (x 1) +g (x 2)
2
6．解：（1）函数f (x ) 在[-b , -a ]上也是减函数，证明如下： 设-b
因为函数f (x ) 在[a , b ]上是减函数，则f (-x 2) >f (-x 1) ，
又因为函数f (x ) 是奇函数，则-f (x 2) >-f (x 1) ，即f (x 1) >f (x 2) ， 所以函数f (x ) 在[-b , -a ]上也是减函数； （2）函数g (x ) 在[-b , -a ]上是减函数，证明如下： 设-b
因为函数g (x ) 在[a , b ]上是增函数，则g (-x 2)
又因为函数g (x ) 是偶函数，则g (x 2) g (x 2) ， 所以函数g (x ) 在[-b , -a ]上是减函数．
7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则
⎧0, 0≤x ≤2000⎪
⨯) 5%, 2
y =⎨
x -250⨯0) 10%,
⎪(-400⨯0) 15%,
由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得2500
10=%2，得6x =2517.8，
所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．
人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念) 人教A 版
习题1.2（第24页）
练习（第32页）
1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达
到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．
2．解：图象如下
[8, 12是递增区间，][12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．解：该函数在[-1, 0]上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，
在[4,5]上是增函数．
4．证明：设x 1, x 2∈R ，且x 10，
即f (x 1) >f (x 2) ， 所以函数f (x ) =-2x +1在R 上是减函数. 5．最小值．
练习（第36页）
1．解：（1）对于函数f (x ) =2x +3x ，其定义域为(-∞, +∞) ，因为对定义域内
每一个x 都有f (-x ) =2(-x ) +3(-x ) =2x +3x =f (x ) ， 所以函数f (x ) =2x +3x 为偶函数；
（2）对于函数f (x ) =x -2x ，其定义域为(-∞, +∞) ，因为对定义域内
每一个x 都有f (-x ) =(-x ) -2(-x ) =-(x -2x ) =-f (x ) ， 所以函数f (x ) =x -2x 为奇函数；
3
3
3
34
2
4
2
4
2
4
2
（3）对于函数f (x ) =
x +1x
2
，其定义域为(-∞, 0) (0,+∞) ，因为对定义域内
每一个x 都有f (-x ) =
(-x ) +1-x
2
=-
x +1x
2
=-f (x ) ，
所以函数f (x ) =
x +1x
2
2
为奇函数；
（4）对于函数f (x ) =x +1，其定义域为(-∞, +∞) ，因为对定义域内
每一个x 都有f (-x ) =(-x ) +1=x +1=f (x ) ， 所以函数f (x ) =x +1为偶函数.
2．解：f (x ) 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； g (x ) 是奇函数，其图象是关于原点对称的．
2
2
2
习题1. 3（第39页）
1．解：（1）
函数在(-∞, （2）
函数在(-∞, 0)
2
5
5
) 上递减；函数在[, +∞) 上递增； 22
上递增；函数在[0,+∞) 上递减.
2
2．证明：（1）设x 10，
即f (x 1) >f (x 2) ，所以函数f (x ) =x +1在(-∞, 0) 上是减函数；
2
（2）设x 1
1x 2
-
1x 1
=
x 1-x 2x 1x 2
，
由x 1x 2>0, x 1-x 2
即f (x 1)
3．解：当m >0时，一次函数y =mx +b 在(-∞, +∞) 上是增函数；
1x
在(-∞, 0) 上是增函数.
当m
当m >0时，m (x 1-x 2)
当m 0，即f (x 1) >f (x 2) ， 得一次函数y =mx +b 在(-∞, +∞) 上
是减函数.
4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为
5．解：对于函数y =-
x
2
50
+162x -21000，
当x =-
1622⨯(-
150)
， =4050时，y max =307050（元）
即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当x 0，而当x ≥0时，f (x ) =x (1+x ) ，
即f (-x ) =-x (1-x ) ，而由已知函数是奇函数，得f (-x ) =-f (x ) ， 得-f (x ) =-x (1-x ) ，即f (x ) =x (1-x ) ，
⎧x (1+x ), x ≥0 所以函数的解析式为f (x ) =⎨.
x (1-x ), x
B 组
1．解：（1）二次函数f (x ) =x -2x 的对称轴为x =1， 则函数f (x ) 的单调区间为(-∞,1),[1,+∞) ，
且函数f (x ) 在(-∞,1) 上为减函数，在[1,+∞) 上为增函数， 函数g (x ) 的单调区间为[2,4]， 且函数g (x ) 在[2,4]上为增函数；
2
（2）当x =1时，f (x ) m in =-1，
因为函数g (x ) 在[2,4]上为增函数，所以g (x ) m in =g (2)=2-2⨯2=0．
2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为
2
30-3x 2
m ，设矩形的面积为S ，
则S =x
30-3x =-
3(x -10x )
2
， 当x =5时，S m ax =37.5m ，即宽x =5m 才能使
2
2
2
建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是37.5m 2
． 3．判断f (x ) 在(-∞, 0) 上是增函数，证明如下： 设x 1-x 2>0，
因为函数f (x ) 在(0,+∞) 上是减函数，得f (-x 1)
复习参考题（第44页）
A 组
1．解：（1）方程x 2
=9的解为x 1=-3, x 2=3，即集合A ={-3, 3}； （2）1≤x ≤2，且x ∈N ，则x =1, 2，即集合B ={1,2}；
（3）方程x 2-3x +2=0的解为x 1=1, x 2=2，即集合C ={1,2}．
2．解：（1）由PA =PB ，得点P 到线段A B 的两个端点的距离相等， 即{P |PA =PB }表示的点组成线段A B 的垂直平分线；
（2）{P |PO =3cm }表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3．解：集合{P |PA =PB }表示的点组成线段A B 的垂直平分线， 集合{P |PA =PC }表示的点组成线段A C 的垂直平分线，
得{P |PA =PB } {P |PA =PC }的点是线段A B 的垂直平分线与线段A C 的
垂直平分线的交点，即∆A B C 的外心．
4．解：显然集合A ={-1,1}，对于集合B ={x |ax =1}， 当a =0时，集合B =∅，满足B ⊆A ，即a =0； 当a ≠0时，集合B ={，而B ⊆A ，则
1a
1a
=-1，或
1a
=1，
得a =-1，或a =1， 综上得：实数a 的值为-1, 0，或1．
5．解：集合A B =⎨(x , y ) |⎨
⎧⎩⎧2x -y =0⎫
⎬={(0,0)}，即A B ={(0,0)}；
⎩3x +y =0⎭
⎧2x -y =0⎫
⎬=∅，即A C =∅；
⎩2x -y =3⎭
集合A C =⎨(x , y ) |⎨
⎧⎩
⎧⎧3x +y =0⎫39
集合B C =⎨(x , y ) |⎨⎬={(, -)}；
55⎩2x -y =3⎭⎩
则(A B ) (B C ) ={(0,0), (
35
, -
95
)}.
⎧x -2≥0
6．解：（1）要使原式有意义，则⎨，即x ≥2，
⎩x +5≥0
得函数的定义域为[2,+∞) ；
⎧x -4≥0
（2）要使原式有意义，则⎨，即x ≥4，且x ≠5，
|x |-5≠0⎩
得函数的定义域为[4,5) (5,+∞) ． 7．解：（1）因为f (x ) = 所以f (a ) =
1-x 1+x 1-a
，
，得f (a ) +1=
1-a 1+a
1+a 2
即f (a ) +1=；
1+a
（2）因为f (x ) =
+1=
21+a
，
1-x 1+x
，
所以f (a +1) = 即f (a +1) =-
1-(a +1) 1+a +1a a +2
22
=-
a a +2
，
．
8．证明：（1）因为f (x ) =
1+x 1-x
，
所以f (-x ) =
1+(-x ) 1-(-x )
22
=
1+x 1-x
22
=f (x ) ，
即f (-x ) =f (x ) ；
（2）因为f (x ) =
1+x 1-x
22
，
12
1+() 2
11+x = 所以f () ==-f (x ) ， 2
1x x -12
1-()
x
即f (
1x
) =-f (x ) .
9．解：该二次函数的对称轴为x =
2
k 8
，
函数f (x ) =4x -kx -8在[5,20]上具有单调性，
则
k 8
≥20，或
k 8
≤5，得k ≥160，或k ≤40，
即实数k 的取值范围为k ≥160，或k ≤40．
10．解：（1）令f (x ) =x 即函数y =x （2）函数y =x （3）函数y =x （4）函数y =x
B 组
1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则15+8+14-3-3-x =28，得x =3，只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有
-2-2
，而f (-x ) =(-x ) 是偶函数；
-2
=x
-2
=f (x ) ，
-2
的图象关于y 轴对称； 在(0,+∞) 上是减函数； 在(-∞, 0) 上是增函数．
-2
-2
9人．
2．解：因为集合A ≠∅，且x ≥0，所以a ≥0．
3．解：由ðU (A B ) ={1,3}，得A B ={2,4, 5, 6, 7, 8, 9}， 集合A B 里除去A (ðU B ) ，得集合B ， 所以集合B ={5,6, 7, 8, 9}.
2
4．解：当x ≥0时，f (x ) =x (x +4) ，得f (1)=1⨯(1+4) =5； 当x
(+⎧(a +1) a
f (a +1) =⎨
(-⎩(a +1) a
.
5) a ≥, -3a )
．
1
1
5．证明：（1）因为f (x ) =ax +b ，得f (
x 1+x 2
2
) =a =a 2
x 1+x 2
2
+b =
a 2
(x 1+x 2) +b ，
f (x 1) +f (x 2)
2x 1+x 2
2
=
ax 1+b +ax +b 2
2
f (x 1) +f (x 2)
2
(x 1+x 2) +b ，
所以f () =
2
；
（2）因为g (x ) =x +ax +b ，
得g (
x 1+x 2
242
g (x 1) +g (x 2) 122
=[(x 1+ax 1+b ) +(x 2+ax 2+b )]
22
12
2
) =
1
(x 1+x 2+2x 1x 2) +a (
22
x 1+x 2
) +b ，
=因为即
(x 1+x 2) +a (
12
2
22
x 1+x 2
2
2
) +b ，
14
(x 1-x 2) ≤0，
2
14
(x 1+x 2+2x 1x 2) -
2
2
2
(x 1+x 2) =-
2
2
14
(x 1+x 2+2x 1x 2) ≤x 1+x 2
2
) ≤
12
(x 1+x 2) ，
.
所以g (
g (x 1) +g (x 2)
2
6．解：（1）函数f (x ) 在[-b , -a ]上也是减函数，证明如下： 设-b
因为函数f (x ) 在[a , b ]上是减函数，则f (-x 2) >f (-x 1) ，
又因为函数f (x ) 是奇函数，则-f (x 2) >-f (x 1) ，即f (x 1) >f (x 2) ， 所以函数f (x ) 在[-b , -a ]上也是减函数； （2）函数g (x ) 在[-b , -a ]上是减函数，证明如下： 设-b
因为函数g (x ) 在[a , b ]上是增函数，则g (-x 2)
又因为函数g (x ) 是偶函数，则g (x 2) g (x 2) ， 所以函数g (x ) 在[-b , -a ]上是减函数．
7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则
⎧0, 0≤x ≤2000⎪
⨯) 5%, 2
y =⎨
x -250⨯0) 10%,
⎪(-400⨯0) 15%,
由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得2500
10=%2，得6x =2517.8，
所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．