相似三角形经典大题
1.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，∠B和∠C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h． （1）请你用含x的代数式表示h．
（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？
2．如图，抛物线经过A(4，，0)B(1，，0)C(0，-2)三点． （1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，
M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，
请说明理由；
3．如图，已知直线l1:y=
28
x+与直线l2:y=-2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴33
于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在且点G与点B重合． （1）求△ABC的面积；
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长； （3）若矩形DEFG从原点出发，沿
x轴上，
x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移
动时间为t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t
的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
4．如图，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a>3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米／秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若a=4厘米，t=1秒，则PM=______厘米；
（2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；
（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
N 5．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
5．分别以
6．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝3
OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点
F．求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点
N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不
存在，请说明理由．
.7．在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1 = ∠2 = 45°． （1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系； （2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB．
求证：AC = BD，AC ⊥ BD；
（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求
A
A
图7-2
图7-3
B
M M BD
的值． AC
A
N
2
B
图7-1
B
M
N
N
10．如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。
（1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？
（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；
（3）在P、Q运动过程中，是否可能出现PQ⊥MN？若有可能，求出此时间t；若不可能，
请说明理由；
（4）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？若存在，求出此时间t；若
不可能，请说明理由；
O P M X
相似三角形经典大题
1.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，∠B和∠C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h． （1）请你用含x的代数式表示h．
（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？
2．如图，抛物线经过A(4，，0)B(1，，0)C(0，-2)三点． （1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，
M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，
请说明理由；
3．如图，已知直线l1:y=
28
x+与直线l2:y=-2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴33
于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在且点G与点B重合． （1）求△ABC的面积；
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长； （3）若矩形DEFG从原点出发，沿
x轴上，
x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移
动时间为t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t
的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
4．如图，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a>3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米／秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若a=4厘米，t=1秒，则PM=______厘米；
（2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；
（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
N 5．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
5．分别以
6．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝3
OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点
F．求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点
N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不
存在，请说明理由．
.7．在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1 = ∠2 = 45°． （1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系； （2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB．
求证：AC = BD，AC ⊥ BD；
（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求
A
A
图7-2
图7-3
B
M M BD
的值． AC
A
N
2
B
图7-1
B
M
N
N
10．如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。
（1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？
（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；
（3）在P、Q运动过程中，是否可能出现PQ⊥MN？若有可能，求出此时间t；若不可能，
请说明理由；
（4）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？若存在，求出此时间t；若
不可能，请说明理由；
O P M X