一元二次方程实际运用
（二）列一元二次方程解应用题
（1）解应用题步骤 即：
1．审题；
2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；
3．找等量关系列方程；
4．解方程；
5．判断解是否符合题意；
6．写出正确的解．
（2）常见类型
1、传播问题
有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人
可传染人数 共传染人数
第0轮 1（传染源） 1
第1轮 x x+1
第2轮 x(x+1) 1+x+ x(x+1)
列方程 1+x+ x(x+1)=121
解方程，得
X1=10，X2=-12
X2=-12不符合题意，
所以原方程的解是x=10
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。
类似问题还有树枝开叉等。
2、循环问题
又可分为单循环问题，双循环问题和复杂循环问题
a ．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？
b. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？
c. 一个正八边形，它有多少条对角线？
3、平均率问题
最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系： M=a(1±x)n n 为增长或降低次数 M 为最后产量，a 为基数，x 为平均增长率 或降低率 平均率和时间相关，必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。
（a ）平均增长率问题
某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？
解：设每年经营总收入的年增长率为a.
列方程， 600÷40%×(1+a)2=2160
解方程， a1=0.2 a2=-2.2，(不符合题意，舍去)
∴每年经营总收入的年增长率为0.2
则 2001年预计经营总收入为：
600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800
答：2001年预计经营总收入为1800万元.
（b ）平均下降率问题
从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？
剖析：第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．若设每次倒出x 升，则第一次倒出纯酒精x 升，第二次倒出纯酒精（ •x）升．根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数．
20－x － •x＝5．
4、商品销售问题
常用关系式：售价—进价=利润 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额）
（a ）给出关系式
1. 某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件) 与每件的销售价X(元) 满足关系：P=100-2X销售量P ，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？
(b)一个“+” 一个“—”
3. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
5、面积问题
例3:如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直) ，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽?
剖析：设路宽为x 米，那么两条纵路所占的面积为2•x•20＝40x （米2），一条
横路所占的面积为32x(米2) ．
纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形ABCD 、EFGH 的面积，所以三条路所占耕地面积应当是(40x＋32x －2x2) 米2，根据题意可列出方程
32×20－（40x ＋32x －2x2）＝570．
解：设道路宽为x 米，根据题意，得
32×20－（40x ＋32x －2x2）＝570．
整理，得x2－36x ＋35＝0．
解这个方程，得x1＝1，x2＝35．
x2＝35不合题意，所以只能取x1＝1．
答：道路宽为1米．
说明：本题的分析中，若把所求三条路平移到矩形耕地边上(如图12—2) ，就更易发现等量关系列出方程．
如前所设，知矩形MNPQ 的长MN ＝(32－2x) 米，宽NP ＝(20－x) 米，则矩形MNPQ 的面积为：(32－2x)(20－x) ．而由题意可知矩形MNPQ 的面积为570平方米．进而列出方程(32－2x)(20－x) ＝570，思路清晰，简单明了．
6、银行问题
王明同学将100元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共63元，求第一次存款时的年利率．
解：设第一次存款时的年利率为x ，
根据题意，得［100（1＋x ）－50］（1＋ x ）＝63．
整理，得50x2＋125x －13＝0．
解得x1＝ ，x2＝－ ．
∵x2＝－ 不合题意，
∴x ＝ ＝10％．
答：第一次存款时的年利率为10％．
说明：要理解“本金”“利息”“利率”“本息和”等有关的概念，再找清问题之间的相等关系．
7、图表信息问题
14．某开发区为改善居民的住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加（人均住房面积＝ ，单位：平方米/人）．该开发区1997年至1999年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如图12—4，请根据两图中所提供的信息解答下面的问题：
（1）该区1998年和1999年两年中，哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少万平方米?
答：_______年比上一年增加的住房面积多，多增加__________万平方米．
（2）由于经济的发展，预计到2001年底，该区人口总数将比1999年年底增加2万，为使到2001年年底该区人均住房面积达到11平方米/人，试求2000年和2001年两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几？14．(1)1999，
7．4
(2)10％
8、行程问题：
1、A 、B 两地相距82km ，甲骑车由A 向B 驶去，9分钟后，乙骑自行车由B 出发以每小时比甲快2km 的速度向A 驶去，两人在相距B 点40km 处相遇。问甲、乙的速度各是多少?
9、工程问题：
1、某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A ．请甲队单独完成此项工程出．B 请乙队单独完成此项工程；C ．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？
10、数学问题：
例1：一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数．
剖析：设原来两位数个位上的数字为x ，则十位上的数字为(5－x) ，原来的两位数就是：
10(5－x) ＋x ．新的两位数个位上的数字为(5－x) ，十位上的数字为x ，新的两位数就是：10x ＋(5－x) ．
可列出方程：［10（5－x ）＋x ］［10x ＋(5－x) ］＝736．
解：设原来两位数个位上的数字为x ，则十位上的数字为(5－x) ．
根据题意，得 ［10（5－x ）＋x ］［10x ＋(5－x) ］＝736．
整理，得x2－5x ＋6＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
当x ＝2时，5－x ＝5－2＝3；
当x ＝3时，5－x ＝5－3＝2．
答：原来的两位数是32或23．
说明：解决这类问题，关键是写出表示这个数的代数式．
11、动态几何：
如图，在△ABC 中，∠B=90o。点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s的速度移动。如
果P 、Q 分别从A ，B 同时出发，经过几秒， △ PBQ 的面积等于8cm2 ？
解：设经过x 秒，得：
BP=6-x，BQ=2x
∵ S △PBQ=BP×BQ÷2
∴（6-x ）×2x÷2=8
解得：x1=2，x2=4
最后一题的图传不上来，想要就给我发追问
一元二次方程实际运用
（二）列一元二次方程解应用题
（1）解应用题步骤 即：
1．审题；
2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；
3．找等量关系列方程；
4．解方程；
5．判断解是否符合题意；
6．写出正确的解．
（2）常见类型
1、传播问题
有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人
可传染人数 共传染人数
第0轮 1（传染源） 1
第1轮 x x+1
第2轮 x(x+1) 1+x+ x(x+1)
列方程 1+x+ x(x+1)=121
解方程，得
X1=10，X2=-12
X2=-12不符合题意，
所以原方程的解是x=10
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。
类似问题还有树枝开叉等。
2、循环问题
又可分为单循环问题，双循环问题和复杂循环问题
a ．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？
b. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？
c. 一个正八边形，它有多少条对角线？
3、平均率问题
最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系： M=a(1±x)n n 为增长或降低次数 M 为最后产量，a 为基数，x 为平均增长率 或降低率 平均率和时间相关，必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。
（a ）平均增长率问题
某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？
解：设每年经营总收入的年增长率为a.
列方程， 600÷40%×(1+a)2=2160
解方程， a1=0.2 a2=-2.2，(不符合题意，舍去)
∴每年经营总收入的年增长率为0.2
则 2001年预计经营总收入为：
600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800
答：2001年预计经营总收入为1800万元.
（b ）平均下降率问题
从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？
剖析：第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．若设每次倒出x 升，则第一次倒出纯酒精x 升，第二次倒出纯酒精（ •x）升．根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数．
20－x － •x＝5．
4、商品销售问题
常用关系式：售价—进价=利润 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额）
（a ）给出关系式
1. 某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件) 与每件的销售价X(元) 满足关系：P=100-2X销售量P ，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？
(b)一个“+” 一个“—”
3. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
5、面积问题
例3:如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直) ，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽?
剖析：设路宽为x 米，那么两条纵路所占的面积为2•x•20＝40x （米2），一条
横路所占的面积为32x(米2) ．
纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形ABCD 、EFGH 的面积，所以三条路所占耕地面积应当是(40x＋32x －2x2) 米2，根据题意可列出方程
32×20－（40x ＋32x －2x2）＝570．
解：设道路宽为x 米，根据题意，得
32×20－（40x ＋32x －2x2）＝570．
整理，得x2－36x ＋35＝0．
解这个方程，得x1＝1，x2＝35．
x2＝35不合题意，所以只能取x1＝1．
答：道路宽为1米．
说明：本题的分析中，若把所求三条路平移到矩形耕地边上(如图12—2) ，就更易发现等量关系列出方程．
如前所设，知矩形MNPQ 的长MN ＝(32－2x) 米，宽NP ＝(20－x) 米，则矩形MNPQ 的面积为：(32－2x)(20－x) ．而由题意可知矩形MNPQ 的面积为570平方米．进而列出方程(32－2x)(20－x) ＝570，思路清晰，简单明了．
6、银行问题
王明同学将100元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共63元，求第一次存款时的年利率．
解：设第一次存款时的年利率为x ，
根据题意，得［100（1＋x ）－50］（1＋ x ）＝63．
整理，得50x2＋125x －13＝0．
解得x1＝ ，x2＝－ ．
∵x2＝－ 不合题意，
∴x ＝ ＝10％．
答：第一次存款时的年利率为10％．
说明：要理解“本金”“利息”“利率”“本息和”等有关的概念，再找清问题之间的相等关系．
7、图表信息问题
14．某开发区为改善居民的住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加（人均住房面积＝ ，单位：平方米/人）．该开发区1997年至1999年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如图12—4，请根据两图中所提供的信息解答下面的问题：
（1）该区1998年和1999年两年中，哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少万平方米?
答：_______年比上一年增加的住房面积多，多增加__________万平方米．
（2）由于经济的发展，预计到2001年底，该区人口总数将比1999年年底增加2万，为使到2001年年底该区人均住房面积达到11平方米/人，试求2000年和2001年两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几？14．(1)1999，
7．4
(2)10％
8、行程问题：
1、A 、B 两地相距82km ，甲骑车由A 向B 驶去，9分钟后，乙骑自行车由B 出发以每小时比甲快2km 的速度向A 驶去，两人在相距B 点40km 处相遇。问甲、乙的速度各是多少?
9、工程问题：
1、某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A ．请甲队单独完成此项工程出．B 请乙队单独完成此项工程；C ．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？
10、数学问题：
例1：一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数．
剖析：设原来两位数个位上的数字为x ，则十位上的数字为(5－x) ，原来的两位数就是：
10(5－x) ＋x ．新的两位数个位上的数字为(5－x) ，十位上的数字为x ，新的两位数就是：10x ＋(5－x) ．
可列出方程：［10（5－x ）＋x ］［10x ＋(5－x) ］＝736．
解：设原来两位数个位上的数字为x ，则十位上的数字为(5－x) ．
根据题意，得 ［10（5－x ）＋x ］［10x ＋(5－x) ］＝736．
整理，得x2－5x ＋6＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
当x ＝2时，5－x ＝5－2＝3；
当x ＝3时，5－x ＝5－3＝2．
答：原来的两位数是32或23．
说明：解决这类问题，关键是写出表示这个数的代数式．
11、动态几何：
如图，在△ABC 中，∠B=90o。点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s的速度移动。如
果P 、Q 分别从A ，B 同时出发，经过几秒， △ PBQ 的面积等于8cm2 ？
解：设经过x 秒，得：
BP=6-x，BQ=2x
∵ S △PBQ=BP×BQ÷2
∴（6-x ）×2x÷2=8
解得：x1=2，x2=4
最后一题的图传不上来，想要就给我发追问