圆的标准方程
青海师大附中 朱永祥
人教版高中数学（必修）第二册（上）
［教学目标］
(一)知识目标
1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；
2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。
(二)能力目标
1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；
2. 通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；
3. 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。
(三)情感目标
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。
［教学重、难点］
(一)教学重点
圆的标准方程的理解、掌握。
(二)教学难点
圆的标准方程的应用。
［教学方法］
选用引导―探究式的教学方法。
［教学手段］
借助多媒体进行辅助教学。
［教学过程］
Ⅰ.复习提问、引入课题
师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？
生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M ︳p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。［多媒体演示］ 师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。［给出标题］
22222师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x+y=5 即x+y=25.
若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？ 222生：x+y=r.
师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？
22222生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即 xyr，亦即 x+y=r.
师：x+y=r 表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？ 222
生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合，
22由两点间的距离公式得(xa)(yb)r 即：（x-a）+(y-b)= r
Ⅱ.讲授新课、尝试练习222师：方程（x-a）+(y-b)= r 叫做圆的标准方程2 特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x师：圆的标准方程由哪些量决定？
生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。
师：很好！实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见，要确定圆的方程，只需确定a、b、
r这三个独立变量即可。
1、 写出下列各圆的标准方程：［多媒体演示］
① 圆心在原点，半径是3 ：________________________
② 圆心在点C（3，4），半径是5 ：______________________
③ 经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）：_______________________
2、 变式题［多媒体演示］
① 求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。
答案：(x-1) + (y-3) =
2222222256 252 ② 已知圆的方程是 (x-a) +y = a ,写出圆心坐标和半径。
答案： C（a,0）, r=|a|
Ⅲ.例题分析、巩固应用
师：下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.
［例1］ 已知圆的方程是 x+y=17，求经过圆上一点P（7，）的切线的方程。 22
师：你打算怎样求过P点的切线方程？师： 斜率怎样求？生：。。。。。。师：已知条件有哪些？能利用吗？不妨结合图形来看看 （如图）生：切线与过切点的半径垂直，故斜率互为负倒数
半径OP的斜率 K1＝7， 所以切线的斜率 K所以所求切线方程：y-= －7
(x-7)
即：x+y=17 (教师板书)
师：对照圆的方程x+y=17和经过点P（7，）的切线方程7x+y=17，你能作出怎22
样的猜想？
生：。。。。。。
师：由x+y=17怎样写出切线方程7x+y=17,与已知点P（，）有何关系？
（若看不出来，再看一例）
/ 22［例1］圆的方程是x+y=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。
答案：2x+3y=13 即：2x+3y－13＝0
师：发现规律了吗？（学生纷纷举手回答）
生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。
师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（xo,yo）,则结论将会发生怎样的变化？大
胆地猜一猜！
2生：xox+yoy=r.
师：这个猜想对不对？若对，可否给出证明？
生：。。。。。。
222［例2］已知圆的方程是 x+y=r，求经过圆上一点P（xo,yo）的切线的方程。
解：如图(上一页)，因为切线与过切点的半径垂直，故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数 ∵半径OP的斜率 K1＝22yox1，∴切线的斜率 K＝－＝－o K1xoyo
xo (x-xo) yo
2∴所求切线方程：y-yo= －22即：xox+yoy=xo+yo 亦即：xox+yoy=r. (教师板书)
当点P在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。
2归纳总结：圆的方程可看成 x.x+y.y=r,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo 替换，可得到切线方程
［例3］右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造时每隔4M需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。（精确到0.01M）
引导学生分析，共同完成解答。
师生分析：①建系； ②设圆的标准方程（待定系数）；③求系数（求出圆的标准方程）；④利用方
程求A2P2的长度。
解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立如图所示的坐标系。则圆心在Y轴上，设为
222（0，b）,半径为r，那么圆的方程是 x+(y-b)=r.
∵P(0,4),B(10,0)
02(4-b)2r2
22210(0-b)r解得：b=-10.5 ,r=14.5
222∴圆的方程为 x+(y＋10.5)=14.5.
将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程且取22得：y=.5(2)10.5 22
≈14.36-10.5=3.86 (M)
答：支柱A2P2的长度约为3.86M。
Ⅳ.课堂练习、课时小结
课本Ｐ77练习2，3
师：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并掌握切线方程的探求过程和方法，能运用圆
的方程解决实际问题.
Ⅴ.问题延伸、课后作业
222(一)若P（xo,yo）在圆（x-a）+(y-b)= r上时，試求过P点的圆的切线方程。
课本Ｐ81习题7.7 : 1，2，3，4
(二)预习课本Ｐ77～Ｐ79
教学设计说明
设计思想：
在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学实验环境，在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。
设计理念：
设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。
设计思路：
本节课的设计与教材的呈现方式有所不同，教材只是教学的蓝本，教师在理解教材编写意图的基础上，应发挥主观能动作用，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学有利于认知结构与知识结构的有机结合，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程。鉴于此，本节在给出圆的标准方程的过程中，运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想，使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学中的美——对称、简洁。圆的标准方程的应用是本节的难点。为了突破难点，设计三个例题。第一、二个例题，从特殊到一般给出切线方程，培养学生探究问题的兴趣，不断完善自己的认知结构。第三个例题，充分利用多媒体的动感演示，刺激学生的感官，引起更强的注意，从而使学生理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，增强应用意识；同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。最后设计了“问题延伸”，让学生带着问题走进课堂，又带着问题走出课堂，激发学生不断求知、不断探索的欲望。
在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来，教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境，一种动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知的欲望，促使学生掌握知识，解决问题。
媒体设计：
采用powerpoint媒体。本节知识容量大，同时又有图形。为了在短时间内完成教学内容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，节省时间。同时动态演示图形，刺激学生的感官，引起更强的注意，提高课堂教学效率。
圆的标准方程
青海师大附中 朱永祥
人教版高中数学（必修）第二册（上）
［教学目标］
(一)知识目标
1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；
2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。
(二)能力目标
1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；
2. 通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；
3. 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。
(三)情感目标
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。
［教学重、难点］
(一)教学重点
圆的标准方程的理解、掌握。
(二)教学难点
圆的标准方程的应用。
［教学方法］
选用引导―探究式的教学方法。
［教学手段］
借助多媒体进行辅助教学。
［教学过程］
Ⅰ.复习提问、引入课题
师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？
生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M ︳p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。［多媒体演示］ 师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。［给出标题］
22222师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x+y=5 即x+y=25.
若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？ 222生：x+y=r.
师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？
22222生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即 xyr，亦即 x+y=r.
师：x+y=r 表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？ 222
生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合，
22由两点间的距离公式得(xa)(yb)r 即：（x-a）+(y-b)= r
Ⅱ.讲授新课、尝试练习222师：方程（x-a）+(y-b)= r 叫做圆的标准方程2 特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x师：圆的标准方程由哪些量决定？
生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。
师：很好！实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见，要确定圆的方程，只需确定a、b、
r这三个独立变量即可。
1、 写出下列各圆的标准方程：［多媒体演示］
① 圆心在原点，半径是3 ：________________________
② 圆心在点C（3，4），半径是5 ：______________________
③ 经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）：_______________________
2、 变式题［多媒体演示］
① 求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。
答案：(x-1) + (y-3) =
2222222256 252 ② 已知圆的方程是 (x-a) +y = a ,写出圆心坐标和半径。
答案： C（a,0）, r=|a|
Ⅲ.例题分析、巩固应用
师：下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.
［例1］ 已知圆的方程是 x+y=17，求经过圆上一点P（7，）的切线的方程。 22
师：你打算怎样求过P点的切线方程？师： 斜率怎样求？生：。。。。。。师：已知条件有哪些？能利用吗？不妨结合图形来看看 （如图）生：切线与过切点的半径垂直，故斜率互为负倒数
半径OP的斜率 K1＝7， 所以切线的斜率 K所以所求切线方程：y-= －7
(x-7)
即：x+y=17 (教师板书)
师：对照圆的方程x+y=17和经过点P（7，）的切线方程7x+y=17，你能作出怎22
样的猜想？
生：。。。。。。
师：由x+y=17怎样写出切线方程7x+y=17,与已知点P（，）有何关系？
（若看不出来，再看一例）
/ 22［例1］圆的方程是x+y=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。
答案：2x+3y=13 即：2x+3y－13＝0
师：发现规律了吗？（学生纷纷举手回答）
生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。
师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（xo,yo）,则结论将会发生怎样的变化？大
胆地猜一猜！
2生：xox+yoy=r.
师：这个猜想对不对？若对，可否给出证明？
生：。。。。。。
222［例2］已知圆的方程是 x+y=r，求经过圆上一点P（xo,yo）的切线的方程。
解：如图(上一页)，因为切线与过切点的半径垂直，故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数 ∵半径OP的斜率 K1＝22yox1，∴切线的斜率 K＝－＝－o K1xoyo
xo (x-xo) yo
2∴所求切线方程：y-yo= －22即：xox+yoy=xo+yo 亦即：xox+yoy=r. (教师板书)
当点P在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。
2归纳总结：圆的方程可看成 x.x+y.y=r,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo 替换，可得到切线方程
［例3］右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造时每隔4M需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。（精确到0.01M）
引导学生分析，共同完成解答。
师生分析：①建系； ②设圆的标准方程（待定系数）；③求系数（求出圆的标准方程）；④利用方
程求A2P2的长度。
解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立如图所示的坐标系。则圆心在Y轴上，设为
222（0，b）,半径为r，那么圆的方程是 x+(y-b)=r.
∵P(0,4),B(10,0)
02(4-b)2r2
22210(0-b)r解得：b=-10.5 ,r=14.5
222∴圆的方程为 x+(y＋10.5)=14.5.
将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程且取22得：y=.5(2)10.5 22
≈14.36-10.5=3.86 (M)
答：支柱A2P2的长度约为3.86M。
Ⅳ.课堂练习、课时小结
课本Ｐ77练习2，3
师：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并掌握切线方程的探求过程和方法，能运用圆
的方程解决实际问题.
Ⅴ.问题延伸、课后作业
222(一)若P（xo,yo）在圆（x-a）+(y-b)= r上时，試求过P点的圆的切线方程。
课本Ｐ81习题7.7 : 1，2，3，4
(二)预习课本Ｐ77～Ｐ79
教学设计说明
设计思想：
在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学实验环境，在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。
设计理念：
设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。
设计思路：
本节课的设计与教材的呈现方式有所不同，教材只是教学的蓝本，教师在理解教材编写意图的基础上，应发挥主观能动作用，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学有利于认知结构与知识结构的有机结合，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程。鉴于此，本节在给出圆的标准方程的过程中，运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想，使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学中的美——对称、简洁。圆的标准方程的应用是本节的难点。为了突破难点，设计三个例题。第一、二个例题，从特殊到一般给出切线方程，培养学生探究问题的兴趣，不断完善自己的认知结构。第三个例题，充分利用多媒体的动感演示，刺激学生的感官，引起更强的注意，从而使学生理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，增强应用意识；同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。最后设计了“问题延伸”，让学生带着问题走进课堂，又带着问题走出课堂，激发学生不断求知、不断探索的欲望。
在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来，教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境，一种动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知的欲望，促使学生掌握知识，解决问题。
媒体设计：
采用powerpoint媒体。本节知识容量大，同时又有图形。为了在短时间内完成教学内容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，节省时间。同时动态演示图形，刺激学生的感官，引起更强的注意，提高课堂教学效率。