相似三角形应用
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.相似多边及位似图形
(1) 定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
(2) 相似多边形的性质：（1）相似多边形的周长的比等于相似比；（2）相似多边形的
对应对角线的比等于相似比；（3）相似多边形的面积的比等于相似比的平方；（4）相似多边形的对应对角线相似，相似比等于相似多边形的相似比．
(3) 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都
经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比．
2.相似的应用: 相似形的性质与识别在日常生活中有非常广泛的应用，如可应用其对
应边成比例来求一些线段的长;可运用相似三角形的原理来进行测量等
（二）：【课前练习】
1.下列说法正确的是（ ）
A．所有的矩形都是相似形 B．所有的正方形都是相似形
C．对应角相等的两个多边形相似 D．对应边成比例的两个多边形相似
2.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可选在（ ）
A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置
3.如图是小明做的一个风筝的支架，AB=40cm，BP=60cm，
△ABC∽△APQ的相似比是（ ）
A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5
4.如图，正方形的网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
等于( )
A.175° B．180° C．210 ° D．225°
5.如图，Rt△ABC中，有三个内接正方形，DF=9cm，
GK=6cm，求第三个正方形的边长PQ．
二：【经典考题剖析】
1.小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，
幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片
到屏幕的距离是30㎝，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是（ ）
A．50cm B．500cm C．60cm D、600cm
2.如图是跷跷板的示意图．支柱OC与地面垂直，点O是横板AB的中点 ，AB可以绕着点O上下转动，当A端落地时，∠OAC=20°，横板上下可转动的最大角度(即∠A′OA）是（ ）
A．80° B．60° C．40° D．20°
3.一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔5m有一棵树，在河的对岸每隔50m有一根电线杆，在这岸离开岸边25m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，求河的宽度．
4.(1)请在如图所示的方格纸中，将△ABC向上平移3格，再向右平移6格，得△A1B1C1
，
再将△A1B1C1绕点B1按顺时针方向旋转90°，得△A2B1C2，最后将△A2B1C2以点C2为位似中心放大到2倍，得△A3B3C2；
(2)请在方格纸的适当位置画上坐标轴(一个小正方形的边长为1个单位长度)，在你所建立的直角坐标系中，点C、C1、C2的坐标分别为：点C( )、点C1( )、点C2( )、
5.我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由
三：【课后训练】
1.针孔成像问题：根据图中尺寸(AB∥A′B′)，可以知道
物像A′B′的长与物AB的长之间的关系是____________.
2.如图，上是Rt△ABC的斜边 BC上异于 B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
3.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________.
4.如图，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6 ，AD=2，
那么当AB 的长等于 时，使得两个直角三角形相似．
5.有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别
为200厘米、300厘米，CD=300厘米.现有一人站在斜杆AB下方的
点E处，直立、单手上举时中指指尖（点F）到地面的高度为EF，
屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB的点G处，此时，就
将EG与EF的差值y（厘米）作为此人此次的弹跳成绩.
（1）设CE=x（厘米），EF=a（厘米），求出由x和a算出y的计算公式；
（2）现有甲、乙两组同学，每组三人，每人各选择一个适当的位置尽力跳了一次，且均刚好触到斜杆，由所得公式算得两组同学弹跳成绩如下表所示，由于某种原因，甲组C同学的弹跳成绩认不清，但知他弹跳时的位置为x 150厘米，a=205厘米，请你计算C
同学此次的弹跳成绩，并从两组同学弹跳成绩的整齐程度比较甲、乙两组同学的弹跳
成绩。
6.小颖的妈妈为小颖缝制了一个长50cm，宽30cm的矩形坐垫，又在坐垫的周围缝上了一圈宽3 cm的花边，妈妈说：“里外两个矩形是相似形”，小颖说：“这两个矩形不是相似形”你认为谁说得对，并说明你的理由．
7.某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得1．5米长的竹竿影长0．9米，但当他马上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是2．4米，留在墙上部分的影高是1.5米，求松树的高度．
8.如图，已知Rt△ABC与Rt△ DEF不相似，其中∠C、∠F为直角，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使AABC分成的两个三角形与ADEF所分成的两个三角形分别对应相似？如果能，请你计设出一种分割方案．
9.王明同学为了测量河对岸树AB的高度．他在河岸边放一面平面镜，他站在C处通过平面镜看到树的顶端A．如图，然后他量得B、P间的距离是56米，C、P 间距离是 12
米，他的身高是1．74米．
⑴他这种测量的方法应用了物理学科 的什么知识？请简要说明； ⑵请你帮他计算出树AB的高度．
10.如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)求直线AB的解析式；
(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
(3)当t为何值时，△APQ的面积为
四：【课后小结】
24个平方单位？ 5
相似三角形应用
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.相似多边及位似图形
(1) 定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
(2) 相似多边形的性质：（1）相似多边形的周长的比等于相似比；（2）相似多边形的
对应对角线的比等于相似比；（3）相似多边形的面积的比等于相似比的平方；（4）相似多边形的对应对角线相似，相似比等于相似多边形的相似比．
(3) 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都
经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比．
2.相似的应用: 相似形的性质与识别在日常生活中有非常广泛的应用，如可应用其对
应边成比例来求一些线段的长;可运用相似三角形的原理来进行测量等
（二）：【课前练习】
1.下列说法正确的是（ ）
A．所有的矩形都是相似形 B．所有的正方形都是相似形
C．对应角相等的两个多边形相似 D．对应边成比例的两个多边形相似
2.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可选在（ ）
A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置
3.如图是小明做的一个风筝的支架，AB=40cm，BP=60cm，
△ABC∽△APQ的相似比是（ ）
A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5
4.如图，正方形的网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
等于( )
A.175° B．180° C．210 ° D．225°
5.如图，Rt△ABC中，有三个内接正方形，DF=9cm，
GK=6cm，求第三个正方形的边长PQ．
二：【经典考题剖析】
1.小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，
幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片
到屏幕的距离是30㎝，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是（ ）
A．50cm B．500cm C．60cm D、600cm
2.如图是跷跷板的示意图．支柱OC与地面垂直，点O是横板AB的中点 ，AB可以绕着点O上下转动，当A端落地时，∠OAC=20°，横板上下可转动的最大角度(即∠A′OA）是（ ）
A．80° B．60° C．40° D．20°
3.一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔5m有一棵树，在河的对岸每隔50m有一根电线杆，在这岸离开岸边25m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，求河的宽度．
4.(1)请在如图所示的方格纸中，将△ABC向上平移3格，再向右平移6格，得△A1B1C1
，
再将△A1B1C1绕点B1按顺时针方向旋转90°，得△A2B1C2，最后将△A2B1C2以点C2为位似中心放大到2倍，得△A3B3C2；
(2)请在方格纸的适当位置画上坐标轴(一个小正方形的边长为1个单位长度)，在你所建立的直角坐标系中，点C、C1、C2的坐标分别为：点C( )、点C1( )、点C2( )、
5.我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由
三：【课后训练】
1.针孔成像问题：根据图中尺寸(AB∥A′B′)，可以知道
物像A′B′的长与物AB的长之间的关系是____________.
2.如图，上是Rt△ABC的斜边 BC上异于 B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
3.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________.
4.如图，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6 ，AD=2，
那么当AB 的长等于 时，使得两个直角三角形相似．
5.有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别
为200厘米、300厘米，CD=300厘米.现有一人站在斜杆AB下方的
点E处，直立、单手上举时中指指尖（点F）到地面的高度为EF，
屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB的点G处，此时，就
将EG与EF的差值y（厘米）作为此人此次的弹跳成绩.
（1）设CE=x（厘米），EF=a（厘米），求出由x和a算出y的计算公式；
（2）现有甲、乙两组同学，每组三人，每人各选择一个适当的位置尽力跳了一次，且均刚好触到斜杆，由所得公式算得两组同学弹跳成绩如下表所示，由于某种原因，甲组C同学的弹跳成绩认不清，但知他弹跳时的位置为x 150厘米，a=205厘米，请你计算C
同学此次的弹跳成绩，并从两组同学弹跳成绩的整齐程度比较甲、乙两组同学的弹跳
成绩。
6.小颖的妈妈为小颖缝制了一个长50cm，宽30cm的矩形坐垫，又在坐垫的周围缝上了一圈宽3 cm的花边，妈妈说：“里外两个矩形是相似形”，小颖说：“这两个矩形不是相似形”你认为谁说得对，并说明你的理由．
7.某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得1．5米长的竹竿影长0．9米，但当他马上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是2．4米，留在墙上部分的影高是1.5米，求松树的高度．
8.如图，已知Rt△ABC与Rt△ DEF不相似，其中∠C、∠F为直角，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使AABC分成的两个三角形与ADEF所分成的两个三角形分别对应相似？如果能，请你计设出一种分割方案．
9.王明同学为了测量河对岸树AB的高度．他在河岸边放一面平面镜，他站在C处通过平面镜看到树的顶端A．如图，然后他量得B、P间的距离是56米，C、P 间距离是 12
米，他的身高是1．74米．
⑴他这种测量的方法应用了物理学科 的什么知识？请简要说明； ⑵请你帮他计算出树AB的高度．
10.如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)求直线AB的解析式；
(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
(3)当t为何值时，△APQ的面积为
四：【课后小结】
24个平方单位？ 5