北航线性代数试题

一、单项选择题 (每小题3分，共24分)

1. 设A , B 为n 阶方阵，满足等式AB =0, 则必有A. A =0或B =0 B. A +B =0 C . |A |=0或|B |=0 D. |A |+|B |=0

2. 若

⎛12⎫⎛x 1 3-1⎪⎪ ⎝⎭⎝x 2y 1⎫⎛111⎫

⎪= 175⎪⎪, 则 (x 1, y 1y 2⎪⎭⎭⎝

A. (-2，4) B . (5，3) C. (5, -2) D. (3，4) 3. 设有向量组

α1

=(1,-1,2,4),

α2

=(0,3,1,2),

α3

=(3,0,7,14),

α4

=(1,-2,2,0),

α5=(2,1,5,10), 则该向量组的最大线性无关组为A. α1, α2, α3B . α1, α2, α4 C. α1, α2, α5 D. α1, α2, α4, α5

4. 已知Q =

⎛123⎫ ⎪24t ⎪ 369⎪⎝⎭

, P 为三阶非零矩阵且满足PQ = 0,

则 .

A. t = 6时P 的秩必为1 B. t = 6时P 的秩必为2 C . t ≠ 6时P 的秩必为1 D. t ≠ 6时P 的秩必为2 5. 设向量组I：α1, α2, , αr 可由向量组II：则 .

A . 当r >s 时，向量组I必线性相关 B. 当r s 时，向量组II必线性相关 D. 当r

6. 设A 为m ⨯n 矩阵，AX =0是非齐次线性方程组AX =b 对应的齐次线性方程组，则下列结论中正确的是 . A. 若AX =0仅有零解，则AX =b 有唯一解 B. 若AX =0有非零解，则AX =b 有无穷多个解 C. 若AX =b 有无穷多个解，则AX =0仅有零解 D . 若AX =b 有无穷多个解，则AX =0有非零解

7. 设A , B 均为三阶方阵，且A ∽B , A 的特征值为1，2，3，则(2B *) -1的特征值为 .

β1, β2, , βs 线性表示，

（

A -1=

A *A n -1

, A *=A A -1, (A *)-1=(A -1)*=, A *=A . ） A A

11111

, C. 6,3,2 D . , , 231264

A. 1,2,3 B. 1,

8. 设A , B 均为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则.

λE -A = λE -B

B. 对任意常数t , tE -A 与tE -B 相似 C. A 与B 有相同的特征值和特征向量 D. A 与B 都相似于一个对角阵

二、填空题 (每小题3分，共24分)

5x 1

1. 行列式

1x 1x 2123123

中含x 的项为.

x 322x

⎛5 B =

⎝

⎫⎪y ⎪-4⎪⎭

2. 已知

⎛1-2-4⎫

⎪A = -2x -2⎪

-4-21⎪⎝⎭

与相似，则x =

_____________, y = （由相似矩阵的行列式相等考虑） 3. 设

A =(

γ1, γ2, , γn -1, α

) ，B =(

γ1, γ2, , γn -1, β

), 其中

γ1, γ2, , γn -1, α, β

_____.

都是n 维列向量，若|A |=a , |B |=b , 则|A +B |=___________

4. 设A 为4阶方阵，且R (A )=3，则R (A *5. 设γ1, γ2, , γr 是AX =0的基础解系，α1, α2, , αn 是A 的n 个列向量，若

β=α1+α2+ αn

，则方程组AX =

的通解为

(1, 1, , 1) T +k 1γ1+k 2γ2+ k r γr

6. 已知A 为三阶对称矩阵，其特征值λ1=λ2=1,

λ3=2, B=2A 2-5A +E ，则当

时，B - t E 为降秩矩阵，其中E 为三阶单位阵.

7. 若二次型f (x 1, x 2, x 3)=2x 1+x 2+x 3+2x 1x 2

222

+k x 2x 3正定，则k 的取值范围

是_________ _____ ______.（由顺阶主子式>0） 8. 设三维线性空间中两组基分别为ε1=(1,0,0)',

ε2=(0,1,0)', ε3=(0,0,1)'与e 1=(1,0,0)',

e 2=(1,1,0)', e 3=(1,1,1)', 则由第二组基

到第一组基的过渡矩阵为_______

1x 1+1

三、(8分) 计算行列式

1x 2+1

2x 2+x 2

1x n +1

2x n +x n .

x 12+x 1

x 1n -1+x 1n -2

n -1n -2n -1n -2

x 2+x 2 x n +x n

第二行减第一行后的新行列式中，第三行减去第二行，余类推。得范德蒙行列式。

⎛301⎫

⎪

四10分设矩阵A 和B 满足AB =A +2B ，其中A = 110⎪，求矩阵B .

014⎪⎝⎭

⎧x 1+x 2+x 3-3x 4=2

⎪

⎪3x 1+4x 2+x 3-8x 4=9

五、(12分) 已知线性方程组⎨, 问当a , b

⎪5x 1+7x 2+ax 3-13x 4=b +14⎪⎩10x 1+13x 2+4x 3+(a -28) x 4=29

各取何值时, 方程组 (1)无解? (2)有唯一解? (3)有无穷多解? 有无穷多解时求出通解 (用解向量形式表示) .

六、(12分) 设二次型f (x 1, x 2, x 3) = X 'AX = a x 1+2x 2-2x 3+2b x 1x 3 (b >0)，其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12.

(1) 求a , b 的值;

(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.

（利用n 阶方阵的迹和行列式等于特征值的乘积求a,b ）

七、(10分) (1) 设非齐次线性方程组Ax = b 有解且R (A ) = r , 则方程组有n - r + 1个线性无关的解向量.

(2) 已知A 是实对称可逆矩阵, 若A -E 是正定矩阵, 证明E -A -1是正定矩阵.