数值计算基础作业
学院：生物工程学院
专业：轻工技术与工程 学号：XXXXXXXXXXX
姓名: XXXX
问题一：利用最小二乘法进行数据拟合
蛋白质是一类生物大生子，是生物体生命活动的直接承担者。现有一种微孔滤纸，可以使溶液中的蛋白质吸附在滤纸上，从而使样品中蛋白质的含量下降，现为了测定微孔滤纸吸附蛋白的能力采用考马斯亮蓝法进行测定。考马斯亮蓝G-250能够与蛋白质发生反应，溶液颜色由蓝色变为红色。现设置浓度梯度为0.02mg/ml、0.04mg/ml、0.06mg/ml、0.08mg/ml、0.10mg/ml的标准蛋白溶液，加入考马斯亮蓝后在波长为595nm 处测定吸光度，每个样品测定三次，求平均值绘制标准曲线，求解曲线方程。数据记录如下： 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 标准蛋白浓0 度（mg/ml） 0.000 0.168 0.270 0.406 0.532 0.646 0.000 0.166 0.272 0.407 0.529 0.639 吸光值 0.000 0.163 0.261 0.412 0.532 0.634 0.000 0.166 0.268 0.408 0.531 0.640 平均值
现根据已有数据求出蛋白的标准曲线？ 答：
（1）根据描点的结果，将曲线拟合成 y = ax+b 列表如下：
i Xi yi xiyi Xi 0 0.00 0.000 0.000 0.0000 1 0.02 0.166 0.00332 0.0004 2 0.04 0.268 0.01072 0.0016 3 0.06 0.408 0.02448 0.0036 4 0.08 0.531 0.04248 0.0064 5 0.10 0.640 0.06400 0.0100 ∑ ∑X i 0.3 ∑y i 2.013 ∑x i y i 0.145 ∑x i 2 0.022
0. 3⎤⎡b ⎤⎡2. 013⎤⎡6
法方程组为⎢ =⎢⎥⎢⎥⎥
⎣0. 30. 022⎦⎣a ⎦⎣0. 145⎦
解得 a=6.33571429 b= 0.01871429
（2）最小二乘法线性拟合的MATLAB 程序polyfit.m function p = polyfit(x,y,n) G = zeros(n+1,n+1); for k = 0:n for j = 0:n
G(k+1,j+1) = sum (x.^(k+j)); end
b(k+1) = sum (x.^k.*y); end a = G\b'; p = fliplr(a');
（3）程序运行结果
>> x=[0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10];
>> y=[0.000 0.166 0.268 0.408 0.531 0.640]; >>p =
6.335714 0.018714 所拟合曲线方程为：
y = 6.335714x +0.018714.
（4）分析
在多项式拟合中，构得的法方程组往往是病态的，影响拟合的精确度，这时可以根据观察点构造一组正交多项式作为基函数，进行正交多项式拟合。
问题二：利用Lagrange 插值多项式进行求值
在评价水产品的鲜度时挥发性盐基氮的含量是一个非常重要的指标，对虾在贮藏运输的过程中因为细菌及微生物的活动以及自身的生物化学反应使得肌体中的蛋白质和非蛋白氮分解产生氨以及胺类等碱性含氮化合物，这类化合物具有挥发性，其含量越高表明蛋白质破坏的程度越高，使得对虾的营养价值大大降低甚至产生食品安全问题。用多糖溶液处理对虾，检测其挥发性盐基氮的含量，验证多糖溶液是否能延长对虾的保质期。同时设置对照。检测第0、3、6、9、12天对虾中的挥发性盐基氮。数据记录如下表。
0 3 6 9 12 时间/天
挥发性盐
基氮的含
量 (mg/100g)
对照组 实验组
8.91 8.91
20.93 15.64
35.47 26.38
56.82 35.9
69.32 54.32
现根据已有数据试估计对照组第五天和实验组第七天样品中的挥发性盐基氮？ 答：
（1）取节点信息（3,20.93），（6,35.47）由Lagrange 插值函数有
t -6t -3
L 1(t ) =20. 93⨯+35. 47⨯
3-66-3
将t= 5代入有L 1（5）=35.62333333...... （2）取节点信息（6,26.38），（9,35.90）由Lagrange 插值函数有
t -9t -6
L （1t ）=26. 38⨯+35. 90⨯
6-99-6
将t=7代入有L 1（7）=29.5533333......
（3）Lagrange 插值的MATLAB 程序Lagrange.m function y = Lagrange(x0,y0,x)
n = length(x0);m = length(x);s = zeros(1,m); for i = 1:n
p = ones(1,m); for k = 1:i-1
p = p.*(x-x0(k))/(x0(i)-x0(k)); end
for k = i+1:n
p = p.*(x-x0(k))/(x0(i)-x0(k)); end
s = p*y0(i)+s; end y=s;
（4）程序运算结果
对照组第五天挥发性盐基氮的含量： >> x0=[3,6];
>> y0=[20.93,35.47]; >> y=Lagrange(x0,y0,5) y = 30.623
实验组第七天挥发性盐基氮的含量： >> x0=[6,9];
>> y0=[26.38,35.90]; >> y=Lagrange(x0,y0,7) y =
29.553
第五天对照组中对虾的挥发性盐基氮含量为30.623mg/100g；第七天实验组中对虾的含量为29.553mg/100g。 （5）： 分析
一次插值技术即分段线性插值，其特点是计算简单，但是对于样本点的斜率变化有点大，但是对于本实验来说是对对虾中的挥发性盐基氮做一个粗略的估算，不要求高精度，因此其结果是可以接受的。
三：利用Newton 迭代法求解方程的根
苯是一种无色透明的液体，不溶于水，易溶于有机溶剂同时自身也可以作为有机溶剂，具有易挥发、易燃的特点。甲苯是苯的同系物，能与乙醇、丙酮、氯仿以任意比例互溶，甲苯的沸点是110.6℃。苯与一氯甲烷（CH 3Cl ）在氯化铝AlCl 的催化作用下可以生成甲苯。利用苯与甲苯的沸点不同，可以进行蒸馏将苯与甲苯分离开来。假设蒸馏过程符合理想溶液简单蒸馏，则反应器中的残液量与苯之间的关系式：
F 01v 1(1-v ) 1-v v
l =l n ]+l n )
F 1α-1v (1-v 1) 1-v 1
式中：
F 0：初始料液量；F 1：残液量；v 1：苯的初始浓度；v ：苯的残余浓度；α为平均相对挥发度，α=2.5。
现假设初始料液量为100L ，苯的初始浓度为0.5。求：蒸馏至初始料液量的1/4时，苯在反应器中的浓度？ 答：（1）由题意可知将值代入上式有： ln 整理有：
52
ln(1-v ) -ln v -ln 2=0 33
（2）将上式改写成Newton 迭代格式：
10010. 5*(1-v ) 1-v
=l n ]+l n ) 252. 5-1v *(1-0. 5) 1-0. 5
⎧任取初始向量v 0=0. 4, ⎫
⎪⎪⎪5ln(1-v k ) -2ln v k -3ln 2⎪ ⎨v k +1=v k -⎬
11⎪⎪5-2⎪⎪v k -1v k ⎩⎭
进行迭代计算，如果取精度ε=10-4，可得
X= 0.20146时，y=0.0000
（3）牛顿迭代的MATLAB 程序为： function [x,y,k] = Newton(f,df,x0,tol,N)
fprintf('x(%2d)=%10.8f y(%2d)=%10.8f\n',0,x0,0,f(x0)) for k=1:N
x=x0- f(x0)/df(x0); err = abs(x-x0); x0 = x; y = f(x);
fprintf('x(%2d)=%10.8f y(%2d)=%10.8f\n',k,x,k,y) if (err
end
（4）程序的运行结果：
>> f=inline('5/3*log(1-x)-2/3*log(x)-log(2)'); >> df=inline('5/3*1/(x-1)-2/3/x');
>> [x,y,k]=Newton(f,df,0.4,1e-7,1000); x( 0)=0.40000000 y( 0)=-0.93366273 x( 1)=0.18992589 y( 1)=0.06321783 x( 2)=0.20128055 y( 2)=0.00098068 x( 3)=0.20146220 y( 3)=0.00000023 x( 4)=0.20146224 y( 4)=0.00000000
即蒸馏至初始料液量的1/4时，苯在反应器中的浓度为0.20146。 （5）分析：
当非线性方程组的一阶导数可求时，采用newton 迭代法求根至少具有二阶收敛。同时为了避免导数运算，还可以选择正割法进行运算。
问题四：
GPS 全球定位系统带来了导航、测量、地图制作行业一系列的革命，并广泛应用于各行各业中，GPS 系统的原理是卫星不断地向地球发射信号，报告当前的位置及时钟差。建立如下方程：
[(x -x )+(y -y )+(z -z )i
2
i
2
i
122
=c (t i -t ) i=1,2,3,......,m,
其中各个参数意义如下：
t i 为第i 颗卫星的信号到达接收机所经历的时间，由卫星星历提供；
（x i ,y i ,z i ）为第i 颗卫星在时刻t i 的空间直角坐标，可由卫星导航电文求得；
C 为GPS 信号的传播速度（即光速）；
待测点空间直角坐标x,y,z 和时间t 为未知参数。因此，GPS 至少需要4颗卫星来定位。 现地球上一个GPS 接收机，同时接收到卫星1-6的发送信号
位置（x i ,y i ,z i ） 时钟差t i
卫星1 卫星2 卫星3 卫星4 卫星5 卫星6
（1,4,9） （7,6,7） （1,7,3） （5,7,4） （1,3,1） （3,2,3）
10030.02076857 10023.34948666 10020.01384571 10016.67820476 10013.34256381 10010.00692286
答：
（1）光速c=0.299792458km/us,将上表数据代入方程消去二次项得方程组： 6y-12z+1.79875t=17993.5, 8x+6y-10z+2.39834t=24031.4, -2y-16z+2.99792t=29957.2,
这是个四元线性方程组，可知，该线性方程组的系数矩阵A 的秩为4. 由线性代数的知识可知，当方程组的秩与未知数的个数一致时，方程有唯一解。
⎡124⎢06A =⎢
⎢86⎢
⎣0-2
-4-12-10-16
1. 1992⎤⎡1. 0000000⎤⎡12. 00004. 0000-4. 00001. 1992⎤
⎢0⎥⎢0⎥1. 7988⎥1. 0000006. 0000-12. 00001. 7988⎥=⎢⎥⎢⎥
2. 3983⎥⎢0. 66670. 55561. 00000⎥⎢000. 66670. 5996⎥
⎥⎢⎥⎢⎥2. 9979⎦⎣0-0. 333330. 00001. 0000⎦⎣000-14. 3901⎦
解方程组
Ly=b Ux=y
得 x=5.0000, y=2.9999, z=1.0000, t=10000.
（2）利用直接三角分解法求解线性方程组的程序，参见下面的Luyx.m 函数。 function [L,U,y,x]= Luyx(A,b)
n = length(b);x = zeros(n,1);y = zeros(n,1);
L = zeros(n,n);U = zeros(n,n); for i = 1:n L(i,i) = 1; end
for k = 1:n for j = k:n
U(k,j) = A(k,j) - sum(L(k,1:k-1).*U(1:k-1,j)'); end
for i = k+1:n
L(i,k) = (A(i,k)-sum(L(i,1:k-1).*U(1:k-1,k)'))/U(k,k); end end
y(1) = b(1); for i = 2:n
y(i) = b(i)-L(i,1:i-1)*y(1:i-1); end
x(n) = y(n)/U(n,n); for i = n-1:-1:1
x(i)= (y(i)-U(i,i+1:n)*x(i+1:n))/U(i,i); End
（3）程序运行结果：
>> A=[12 4 -4 1.19917;0 6 -12 1.79875;8 6 -10 2.39834;0 -2 -16 2.99792]; >> b=[12059.7;17993.5;24031.4;29957.2]; >> [L,U,y,x]=Luyx(A,b) L =
1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 0.66667 0.55556 1.00000 0.00000 0.00000 -0.33333 30.00000 1.00000 U =
12.00000 4.00000 -4.00000 1.19917 0.00000 6.00000 -12.00000 1.79875 0.00000 0.00000 -0.66667 0.59959 0.00000 0.00000 0.00000 -14.39013 y =
1.2060e+004 1.7994e+004 5.9952e+003 -1.4390e+005 x =
5.0000e+000 3.0000e+000 1.0000e+000
1.0000e+004
（4）分析：
直接法是在假设计算过程没有舍入误差的情形下，经过有限步求得精确解，但是由于舍入误差不可避免，因此，只能求得近似解。直接法适合于阶数不太高的线性方程组，当系数矩阵对称正定可以选择平方根法和追赶法。
数值计算基础作业
学院：生物工程学院
专业：轻工技术与工程 学号：XXXXXXXXXXX
姓名: XXXX
问题一：利用最小二乘法进行数据拟合
蛋白质是一类生物大生子，是生物体生命活动的直接承担者。现有一种微孔滤纸，可以使溶液中的蛋白质吸附在滤纸上，从而使样品中蛋白质的含量下降，现为了测定微孔滤纸吸附蛋白的能力采用考马斯亮蓝法进行测定。考马斯亮蓝G-250能够与蛋白质发生反应，溶液颜色由蓝色变为红色。现设置浓度梯度为0.02mg/ml、0.04mg/ml、0.06mg/ml、0.08mg/ml、0.10mg/ml的标准蛋白溶液，加入考马斯亮蓝后在波长为595nm 处测定吸光度，每个样品测定三次，求平均值绘制标准曲线，求解曲线方程。数据记录如下： 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 标准蛋白浓0 度（mg/ml） 0.000 0.168 0.270 0.406 0.532 0.646 0.000 0.166 0.272 0.407 0.529 0.639 吸光值 0.000 0.163 0.261 0.412 0.532 0.634 0.000 0.166 0.268 0.408 0.531 0.640 平均值
现根据已有数据求出蛋白的标准曲线？ 答：
（1）根据描点的结果，将曲线拟合成 y = ax+b 列表如下：
i Xi yi xiyi Xi 0 0.00 0.000 0.000 0.0000 1 0.02 0.166 0.00332 0.0004 2 0.04 0.268 0.01072 0.0016 3 0.06 0.408 0.02448 0.0036 4 0.08 0.531 0.04248 0.0064 5 0.10 0.640 0.06400 0.0100 ∑ ∑X i 0.3 ∑y i 2.013 ∑x i y i 0.145 ∑x i 2 0.022
0. 3⎤⎡b ⎤⎡2. 013⎤⎡6
法方程组为⎢ =⎢⎥⎢⎥⎥
⎣0. 30. 022⎦⎣a ⎦⎣0. 145⎦
解得 a=6.33571429 b= 0.01871429
（2）最小二乘法线性拟合的MATLAB 程序polyfit.m function p = polyfit(x,y,n) G = zeros(n+1,n+1); for k = 0:n for j = 0:n
G(k+1,j+1) = sum (x.^(k+j)); end
b(k+1) = sum (x.^k.*y); end a = G\b'; p = fliplr(a');
（3）程序运行结果
>> x=[0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10];
>> y=[0.000 0.166 0.268 0.408 0.531 0.640]; >>p =
6.335714 0.018714 所拟合曲线方程为：
y = 6.335714x +0.018714.
（4）分析
在多项式拟合中，构得的法方程组往往是病态的，影响拟合的精确度，这时可以根据观察点构造一组正交多项式作为基函数，进行正交多项式拟合。
问题二：利用Lagrange 插值多项式进行求值
在评价水产品的鲜度时挥发性盐基氮的含量是一个非常重要的指标，对虾在贮藏运输的过程中因为细菌及微生物的活动以及自身的生物化学反应使得肌体中的蛋白质和非蛋白氮分解产生氨以及胺类等碱性含氮化合物，这类化合物具有挥发性，其含量越高表明蛋白质破坏的程度越高，使得对虾的营养价值大大降低甚至产生食品安全问题。用多糖溶液处理对虾，检测其挥发性盐基氮的含量，验证多糖溶液是否能延长对虾的保质期。同时设置对照。检测第0、3、6、9、12天对虾中的挥发性盐基氮。数据记录如下表。
0 3 6 9 12 时间/天
挥发性盐
基氮的含
量 (mg/100g)
对照组 实验组
8.91 8.91
20.93 15.64
35.47 26.38
56.82 35.9
69.32 54.32
现根据已有数据试估计对照组第五天和实验组第七天样品中的挥发性盐基氮？ 答：
（1）取节点信息（3,20.93），（6,35.47）由Lagrange 插值函数有
t -6t -3
L 1(t ) =20. 93⨯+35. 47⨯
3-66-3
将t= 5代入有L 1（5）=35.62333333...... （2）取节点信息（6,26.38），（9,35.90）由Lagrange 插值函数有
t -9t -6
L （1t ）=26. 38⨯+35. 90⨯
6-99-6
将t=7代入有L 1（7）=29.5533333......
（3）Lagrange 插值的MATLAB 程序Lagrange.m function y = Lagrange(x0,y0,x)
n = length(x0);m = length(x);s = zeros(1,m); for i = 1:n
p = ones(1,m); for k = 1:i-1
p = p.*(x-x0(k))/(x0(i)-x0(k)); end
for k = i+1:n
p = p.*(x-x0(k))/(x0(i)-x0(k)); end
s = p*y0(i)+s; end y=s;
（4）程序运算结果
对照组第五天挥发性盐基氮的含量： >> x0=[3,6];
>> y0=[20.93,35.47]; >> y=Lagrange(x0,y0,5) y = 30.623
实验组第七天挥发性盐基氮的含量： >> x0=[6,9];
>> y0=[26.38,35.90]; >> y=Lagrange(x0,y0,7) y =
29.553
第五天对照组中对虾的挥发性盐基氮含量为30.623mg/100g；第七天实验组中对虾的含量为29.553mg/100g。 （5）： 分析
一次插值技术即分段线性插值，其特点是计算简单，但是对于样本点的斜率变化有点大，但是对于本实验来说是对对虾中的挥发性盐基氮做一个粗略的估算，不要求高精度，因此其结果是可以接受的。
三：利用Newton 迭代法求解方程的根
苯是一种无色透明的液体，不溶于水，易溶于有机溶剂同时自身也可以作为有机溶剂，具有易挥发、易燃的特点。甲苯是苯的同系物，能与乙醇、丙酮、氯仿以任意比例互溶，甲苯的沸点是110.6℃。苯与一氯甲烷（CH 3Cl ）在氯化铝AlCl 的催化作用下可以生成甲苯。利用苯与甲苯的沸点不同，可以进行蒸馏将苯与甲苯分离开来。假设蒸馏过程符合理想溶液简单蒸馏，则反应器中的残液量与苯之间的关系式：
F 01v 1(1-v ) 1-v v
l =l n ]+l n )
F 1α-1v (1-v 1) 1-v 1
式中：
F 0：初始料液量；F 1：残液量；v 1：苯的初始浓度；v ：苯的残余浓度；α为平均相对挥发度，α=2.5。
现假设初始料液量为100L ，苯的初始浓度为0.5。求：蒸馏至初始料液量的1/4时，苯在反应器中的浓度？ 答：（1）由题意可知将值代入上式有： ln 整理有：
52
ln(1-v ) -ln v -ln 2=0 33
（2）将上式改写成Newton 迭代格式：
10010. 5*(1-v ) 1-v
=l n ]+l n ) 252. 5-1v *(1-0. 5) 1-0. 5
⎧任取初始向量v 0=0. 4, ⎫
⎪⎪⎪5ln(1-v k ) -2ln v k -3ln 2⎪ ⎨v k +1=v k -⎬
11⎪⎪5-2⎪⎪v k -1v k ⎩⎭
进行迭代计算，如果取精度ε=10-4，可得
X= 0.20146时，y=0.0000
（3）牛顿迭代的MATLAB 程序为： function [x,y,k] = Newton(f,df,x0,tol,N)
fprintf('x(%2d)=%10.8f y(%2d)=%10.8f\n',0,x0,0,f(x0)) for k=1:N
x=x0- f(x0)/df(x0); err = abs(x-x0); x0 = x; y = f(x);
fprintf('x(%2d)=%10.8f y(%2d)=%10.8f\n',k,x,k,y) if (err
end
（4）程序的运行结果：
>> f=inline('5/3*log(1-x)-2/3*log(x)-log(2)'); >> df=inline('5/3*1/(x-1)-2/3/x');
>> [x,y,k]=Newton(f,df,0.4,1e-7,1000); x( 0)=0.40000000 y( 0)=-0.93366273 x( 1)=0.18992589 y( 1)=0.06321783 x( 2)=0.20128055 y( 2)=0.00098068 x( 3)=0.20146220 y( 3)=0.00000023 x( 4)=0.20146224 y( 4)=0.00000000
即蒸馏至初始料液量的1/4时，苯在反应器中的浓度为0.20146。 （5）分析：
当非线性方程组的一阶导数可求时，采用newton 迭代法求根至少具有二阶收敛。同时为了避免导数运算，还可以选择正割法进行运算。
问题四：
GPS 全球定位系统带来了导航、测量、地图制作行业一系列的革命，并广泛应用于各行各业中，GPS 系统的原理是卫星不断地向地球发射信号，报告当前的位置及时钟差。建立如下方程：
[(x -x )+(y -y )+(z -z )i
2
i
2
i
122
=c (t i -t ) i=1,2,3,......,m,
其中各个参数意义如下：
t i 为第i 颗卫星的信号到达接收机所经历的时间，由卫星星历提供；
（x i ,y i ,z i ）为第i 颗卫星在时刻t i 的空间直角坐标，可由卫星导航电文求得；
C 为GPS 信号的传播速度（即光速）；
待测点空间直角坐标x,y,z 和时间t 为未知参数。因此，GPS 至少需要4颗卫星来定位。 现地球上一个GPS 接收机，同时接收到卫星1-6的发送信号
位置（x i ,y i ,z i ） 时钟差t i
卫星1 卫星2 卫星3 卫星4 卫星5 卫星6
（1,4,9） （7,6,7） （1,7,3） （5,7,4） （1,3,1） （3,2,3）
10030.02076857 10023.34948666 10020.01384571 10016.67820476 10013.34256381 10010.00692286
答：
（1）光速c=0.299792458km/us,将上表数据代入方程消去二次项得方程组： 6y-12z+1.79875t=17993.5, 8x+6y-10z+2.39834t=24031.4, -2y-16z+2.99792t=29957.2,
这是个四元线性方程组，可知，该线性方程组的系数矩阵A 的秩为4. 由线性代数的知识可知，当方程组的秩与未知数的个数一致时，方程有唯一解。
⎡124⎢06A =⎢
⎢86⎢
⎣0-2
-4-12-10-16
1. 1992⎤⎡1. 0000000⎤⎡12. 00004. 0000-4. 00001. 1992⎤
⎢0⎥⎢0⎥1. 7988⎥1. 0000006. 0000-12. 00001. 7988⎥=⎢⎥⎢⎥
2. 3983⎥⎢0. 66670. 55561. 00000⎥⎢000. 66670. 5996⎥
⎥⎢⎥⎢⎥2. 9979⎦⎣0-0. 333330. 00001. 0000⎦⎣000-14. 3901⎦
解方程组
Ly=b Ux=y
得 x=5.0000, y=2.9999, z=1.0000, t=10000.
（2）利用直接三角分解法求解线性方程组的程序，参见下面的Luyx.m 函数。 function [L,U,y,x]= Luyx(A,b)
n = length(b);x = zeros(n,1);y = zeros(n,1);
L = zeros(n,n);U = zeros(n,n); for i = 1:n L(i,i) = 1; end
for k = 1:n for j = k:n
U(k,j) = A(k,j) - sum(L(k,1:k-1).*U(1:k-1,j)'); end
for i = k+1:n
L(i,k) = (A(i,k)-sum(L(i,1:k-1).*U(1:k-1,k)'))/U(k,k); end end
y(1) = b(1); for i = 2:n
y(i) = b(i)-L(i,1:i-1)*y(1:i-1); end
x(n) = y(n)/U(n,n); for i = n-1:-1:1
x(i)= (y(i)-U(i,i+1:n)*x(i+1:n))/U(i,i); End
（3）程序运行结果：
>> A=[12 4 -4 1.19917;0 6 -12 1.79875;8 6 -10 2.39834;0 -2 -16 2.99792]; >> b=[12059.7;17993.5;24031.4;29957.2]; >> [L,U,y,x]=Luyx(A,b) L =
1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 0.66667 0.55556 1.00000 0.00000 0.00000 -0.33333 30.00000 1.00000 U =
12.00000 4.00000 -4.00000 1.19917 0.00000 6.00000 -12.00000 1.79875 0.00000 0.00000 -0.66667 0.59959 0.00000 0.00000 0.00000 -14.39013 y =
1.2060e+004 1.7994e+004 5.9952e+003 -1.4390e+005 x =
5.0000e+000 3.0000e+000 1.0000e+000
1.0000e+004
（4）分析：
直接法是在假设计算过程没有舍入误差的情形下，经过有限步求得精确解，但是由于舍入误差不可避免，因此，只能求得近似解。直接法适合于阶数不太高的线性方程组，当系数矩阵对称正定可以选择平方根法和追赶法。