孙恒芳教你学物理----- 追及与相遇问题专题
【考点自清】
晶品质心_新浪博客
一、相遇
指两物体分别从相距x 的两地运动到同一位置，它的特点是：两物体运动的位移的矢量和等于x ，分析时要注意：
⑴、两物体是否同时开始运动，两物体运动至相遇时运动时间可建立某种关系；
⑵、两物体各做什么形式的运动；
⑶、由两者的时间关系，根据两者的运动形式建立位移的矢量方程。
【例1】1999年5月11日《北京晚报》报道了一位青年奋勇接住一个从15层高楼窗口落下的孩子的事迹。设每层楼高是2.8m ，这位青年所在的地方离高楼的水平距离为12m ，这位青年以6m/s的速度匀速冲到楼窗口下方，请你估算出他要接住小孩至多允许他有的反应时间（反应时间指人从发现情况到采取相应行动经过的时间）。 (g取10m/s2)
【答案】0.8s 晶品质心_新浪博客
【针对练习1】一人站在离公路h=50m远处，如图所示，
公路上有一辆汽车以v 1=10m/s的速度行驶，当汽车到A
点与在B 点的人相距d=200m时，人以v 2=3m/s的平均速
度奔跑，为了使人跑到公路上恰与汽车相遇，则此人应该朝哪个方向跑?
【答案】此人要朝与AB 连线夹角α=arcsin(5/6)的方向跑
二、追及
指两物体同向运动而达到同一位置。找出两者的时间关系、位移关系是解决追及问题的关键，同时追及物与被追及物的速度恰好相等时临界条件，往往是解决问题的重要条件：
（
1）类型一：一定能追上类
特点： 晶品质心_新浪博客
①追击者的速度最终能超过被追击者的速度。
②追上之前有最大距离发生在两者速度相等时。
【例2】一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开使行驶，恰在这时一辆自行车在汽车前方相距18m 的地方以6m/s的速度匀速行驶，则何时相距最远？最远间距是多少？何时相遇？相遇时汽车速度是多大？
【方法提炼】解决这类追击问题的思路：
①根据对两物体运动过程的分析，画运动示意图
②由运动示意图中找两物体间的位移关系，时间关系
③联立方程求解，并对结果加以验证
【针对练习2】一辆执勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边驶过的货车（以8m/s的速度匀速行驶）有违章行为时，决定前去追赶，经2.5s 将警车发动起来，以2m/s2的加速度匀加速追赶。求：①发现后经多长时间能追上违章货车？②追上前，两车最大间距是多少？
（2）、类型二：不一定能追上类
特点： 晶品质心_新浪博客
①被追击者的速度最终能超过追击者的速度。
②两者速度相等时如果还没有追上，则追不上，且有最小距离。
【例3】一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开使行驶，恰在这时一辆自行车在汽车后方相距20m 的地方以6m/s的速度匀速行驶，则自行车能否追上汽车？若追不上，两车间的最小间距是多少？
【针对练习3】例3中若汽车在自行车前方4m 的地方，则自行车能否追上汽车？若能，两车经多长时间相遇？
【答案】能追上。
设经过t 追上；则有x 汽+x0=x自；
3×t2/2+4=6t
得t=(6±2√3)/3s，二次相遇
【重点精析】 晶品质心_新浪博客
一、追及问题的解题思路和方法
⑴审题：分析追赶物和被追赶物的运动过程，画出两物追赶过程的示意图。 ⑵根据两物体的运动性质列出位移方程，注意两物体运动的时间关系。 ⑶由运动示意图找出两物体位移方程。
⑷挖掘隐含的临界条件；速度相等是两物体间距离最大、最小或恰好追上的临界条件。
⑸联立方程求解。
【例4】一辆汽车在十字路口等候绿灯. 当绿灯亮时汽车以a=2m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v 自=10m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车. 问：
（1）汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？最远距离是多少？
（2）经多长时间汽车追上自行车？此时汽车离路口多远？汽车的速度是大？
能否用v —t 图象来直观地反应汽车追赶自行车的过程呢？
【方法提炼】分析追及问题时应注意：
(1)抓住一个条件，两个关系.
一个条件：是两物体满足的临界条件：速度相等.
两个关系：是时间关系和位移关系. 其中通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，
是解题的突破口
.
（2）仔细审题，充分挖掘题设中的隐含条件，如“刚好”、“最多”、“至少”，往往对应一个临界状态，是解题的关键.
（3）解题方法常用：分析法、代数法、图象法、相对运动法等.
二、避碰问题
【例5】在水平轨道上有两列火车A 和B 相距s ，A 车在后面做初速度为v 0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，而B 车同时做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同. 要使两车不相撞，求A 车的初速度v 0应满足什么条件？
【方法提炼】三种解法中，解法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距有极值时速度
应相等这一关键条件来求解；
解法二中由位移关系得到一元二次方程，
然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过图象不仅将两物体运动情况直观、形象地表示出来，也可以将位移情况显示，从而快速解答.
三、若被追击者做匀减速直线运动，要注意追上之前是否已经停止运动。
【例6】甲车在前以15m/s的速度匀速行驶，乙车在后以9m/s的速度行驶。当两车相距32m 时，甲车开始刹车，加速度大小为1m/s2。问（1）两车间的最大距离（2）经多少时间乙车可追上甲车？
【同步作业】 晶品质心_新浪博客
1、两辆游戏赛车a 、b 在两条平行的直车道上行驶.t ＝0时两车都在同一计时处，此时比赛开始. 它们在四次比赛中的v-t 图象如图所示. 哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上另一辆( )
2、（2008宁夏卷17）甲乙两车在公路上沿同
一方向做直线运动，它们的v-t 图象如图所示。两
图象在t=t1时相交于P 点，P 在横轴上的投影为Q ，
△OPQ 的面积为S 。在t=0时刻，乙车在甲车前面，
相距为d 。已知此后两车相遇两次，且第一次相遇
的时刻为
t′
，则下面四组t′和d 的组合可能是( )
A．t′＝t1，d=S B．t′＝t1/2，d=S/4
C．t′＝t1/2，d=S/２ D．t′＝t1/2，d=3S/4
【解析】本题考查追击相遇问题。在t 1时刻如果甲车没有追上乙车，以后就不可能追上了，故t ′＜t 1，A 错；从图像中甲、乙与坐标轴围成的面积即对应的位移看，甲在t 1时间内运动的位移比乙的多S ，当t ′=0.5t1时，甲的面积比乙的面积多出3S/4，即相距d=3S/4，选项D 正确。此类问题要抓住图像的交点的物理意义
3、现检测汽车A 的制动性能：以标准速度20m/s在平直公路上行驶时，制动后40s 停下来. 若A 在平直公路上以20m/s的速度行驶时发现前方180m 处有一
货车B 以6m/s 的速度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发生撞车事故？ 晶品质心_新浪博客
4、在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L 满足什么条件时可以使(1)两车不相遇；(2)两车只相遇一次；(3)两车能相遇两次(设两车相遇时互不影响各自的运动).
5、从地面上以初速度2v 0竖直上抛物体A ，相隔Δt时间后再以初速度v 0竖直上抛物体B. 要使A 、B 在空中相遇，Δt应满足什么条件？
6、汽车以速度v 1=15m/s的速度在平直公路上匀速行驶，突然发现正前方距车x=25m处有一辆自行车沿相同方向以速度v 2=5m/s的速度匀速运动. 司机立即使汽车做匀减速运动，加速度大小为a ，要使两者不相撞，求加速度a 应满足的条件.
7、从离地面高度为h 处有自由下落的甲物体，同时在它正下方的地面上有乙物体以初速度v 0竖直上抛，要使两物体在空中相碰，则做竖直上抛运动物体的初速度v 0应满足什么条件？（不计空气阻力，两物体均看作质点）. 若要乙物
体在下落过程中与甲物体相碰，则
v
0应满足什么条件？
8、（1999年全国）为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离. 已知某高速公路的最高限速v=120km/h.假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即反应时间）t=0.50s，刹车时汽车受到阻力的大小f 为汽车重的0.40倍，该高速公路上汽车间的距离s 至少应为多少？（取重力加速度g=10m/s2）
9、在某市区内，一辆小汽车在公路上以速度v 1向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路。汽车司机发现游客途经D 处时，经过0.7s 作出反应紧急刹车，但仍将正步行至B 处的游客撞伤，该汽车最终在C 处停下，如图所示。为了判断汽车司机是否超速行驶以及游客横穿马路的速度是否过快，警方派一警车以法定最高速度v m ＝
14.0m/s行驶在同一马路的同一地段，
在肇事汽车的起始制动点A 紧急刹
车，经14.0m 后停下来。在事故现
场测得AB ＝17.5m ，BC ＝14.0m ，
BD ＝2.6m ．肇事汽车的刹车性能良好，问：
（1）该肇事汽车的初速度 vA 是多大?
（
2）游客横过马路的速度是多大?
孙恒芳教你学物理----- 追及与相遇问题专题
【考点自清】
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一、相遇
指两物体分别从相距x 的两地运动到同一位置，它的特点是：两物体运动的位移的矢量和等于x ，分析时要注意：
⑴、两物体是否同时开始运动，两物体运动至相遇时运动时间可建立某种关系；
⑵、两物体各做什么形式的运动；
⑶、由两者的时间关系，根据两者的运动形式建立位移的矢量方程。
【例1】1999年5月11日《北京晚报》报道了一位青年奋勇接住一个从15层高楼窗口落下的孩子的事迹。设每层楼高是2.8m ，这位青年所在的地方离高楼的水平距离为12m ，这位青年以6m/s的速度匀速冲到楼窗口下方，请你估算出他要接住小孩至多允许他有的反应时间（反应时间指人从发现情况到采取相应行动经过的时间）。 (g取10m/s2)
【答案】0.8s 晶品质心_新浪博客
【针对练习1】一人站在离公路h=50m远处，如图所示，
公路上有一辆汽车以v 1=10m/s的速度行驶，当汽车到A
点与在B 点的人相距d=200m时，人以v 2=3m/s的平均速
度奔跑，为了使人跑到公路上恰与汽车相遇，则此人应该朝哪个方向跑?
【答案】此人要朝与AB 连线夹角α=arcsin(5/6)的方向跑
二、追及
指两物体同向运动而达到同一位置。找出两者的时间关系、位移关系是解决追及问题的关键，同时追及物与被追及物的速度恰好相等时临界条件，往往是解决问题的重要条件：
（
1）类型一：一定能追上类
特点： 晶品质心_新浪博客
①追击者的速度最终能超过被追击者的速度。
②追上之前有最大距离发生在两者速度相等时。
【例2】一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开使行驶，恰在这时一辆自行车在汽车前方相距18m 的地方以6m/s的速度匀速行驶，则何时相距最远？最远间距是多少？何时相遇？相遇时汽车速度是多大？
【方法提炼】解决这类追击问题的思路：
①根据对两物体运动过程的分析，画运动示意图
②由运动示意图中找两物体间的位移关系，时间关系
③联立方程求解，并对结果加以验证
【针对练习2】一辆执勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边驶过的货车（以8m/s的速度匀速行驶）有违章行为时，决定前去追赶，经2.5s 将警车发动起来，以2m/s2的加速度匀加速追赶。求：①发现后经多长时间能追上违章货车？②追上前，两车最大间距是多少？
（2）、类型二：不一定能追上类
特点： 晶品质心_新浪博客
①被追击者的速度最终能超过追击者的速度。
②两者速度相等时如果还没有追上，则追不上，且有最小距离。
【例3】一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开使行驶，恰在这时一辆自行车在汽车后方相距20m 的地方以6m/s的速度匀速行驶，则自行车能否追上汽车？若追不上，两车间的最小间距是多少？
【针对练习3】例3中若汽车在自行车前方4m 的地方，则自行车能否追上汽车？若能，两车经多长时间相遇？
【答案】能追上。
设经过t 追上；则有x 汽+x0=x自；
3×t2/2+4=6t
得t=(6±2√3)/3s，二次相遇
【重点精析】 晶品质心_新浪博客
一、追及问题的解题思路和方法
⑴审题：分析追赶物和被追赶物的运动过程，画出两物追赶过程的示意图。 ⑵根据两物体的运动性质列出位移方程，注意两物体运动的时间关系。 ⑶由运动示意图找出两物体位移方程。
⑷挖掘隐含的临界条件；速度相等是两物体间距离最大、最小或恰好追上的临界条件。
⑸联立方程求解。
【例4】一辆汽车在十字路口等候绿灯. 当绿灯亮时汽车以a=2m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v 自=10m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车. 问：
（1）汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？最远距离是多少？
（2）经多长时间汽车追上自行车？此时汽车离路口多远？汽车的速度是大？
能否用v —t 图象来直观地反应汽车追赶自行车的过程呢？
【方法提炼】分析追及问题时应注意：
(1)抓住一个条件，两个关系.
一个条件：是两物体满足的临界条件：速度相等.
两个关系：是时间关系和位移关系. 其中通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，
是解题的突破口
.
（2）仔细审题，充分挖掘题设中的隐含条件，如“刚好”、“最多”、“至少”，往往对应一个临界状态，是解题的关键.
（3）解题方法常用：分析法、代数法、图象法、相对运动法等.
二、避碰问题
【例5】在水平轨道上有两列火车A 和B 相距s ，A 车在后面做初速度为v 0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，而B 车同时做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同. 要使两车不相撞，求A 车的初速度v 0应满足什么条件？
【方法提炼】三种解法中，解法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距有极值时速度
应相等这一关键条件来求解；
解法二中由位移关系得到一元二次方程，
然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过图象不仅将两物体运动情况直观、形象地表示出来，也可以将位移情况显示，从而快速解答.
三、若被追击者做匀减速直线运动，要注意追上之前是否已经停止运动。
【例6】甲车在前以15m/s的速度匀速行驶，乙车在后以9m/s的速度行驶。当两车相距32m 时，甲车开始刹车，加速度大小为1m/s2。问（1）两车间的最大距离（2）经多少时间乙车可追上甲车？
【同步作业】 晶品质心_新浪博客
1、两辆游戏赛车a 、b 在两条平行的直车道上行驶.t ＝0时两车都在同一计时处，此时比赛开始. 它们在四次比赛中的v-t 图象如图所示. 哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上另一辆( )
2、（2008宁夏卷17）甲乙两车在公路上沿同
一方向做直线运动，它们的v-t 图象如图所示。两
图象在t=t1时相交于P 点，P 在横轴上的投影为Q ，
△OPQ 的面积为S 。在t=0时刻，乙车在甲车前面，
相距为d 。已知此后两车相遇两次，且第一次相遇
的时刻为
t′
，则下面四组t′和d 的组合可能是( )
A．t′＝t1，d=S B．t′＝t1/2，d=S/4
C．t′＝t1/2，d=S/２ D．t′＝t1/2，d=3S/4
【解析】本题考查追击相遇问题。在t 1时刻如果甲车没有追上乙车，以后就不可能追上了，故t ′＜t 1，A 错；从图像中甲、乙与坐标轴围成的面积即对应的位移看，甲在t 1时间内运动的位移比乙的多S ，当t ′=0.5t1时，甲的面积比乙的面积多出3S/4，即相距d=3S/4，选项D 正确。此类问题要抓住图像的交点的物理意义
3、现检测汽车A 的制动性能：以标准速度20m/s在平直公路上行驶时，制动后40s 停下来. 若A 在平直公路上以20m/s的速度行驶时发现前方180m 处有一
货车B 以6m/s 的速度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发生撞车事故？ 晶品质心_新浪博客
4、在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L 满足什么条件时可以使(1)两车不相遇；(2)两车只相遇一次；(3)两车能相遇两次(设两车相遇时互不影响各自的运动).
5、从地面上以初速度2v 0竖直上抛物体A ，相隔Δt时间后再以初速度v 0竖直上抛物体B. 要使A 、B 在空中相遇，Δt应满足什么条件？
6、汽车以速度v 1=15m/s的速度在平直公路上匀速行驶，突然发现正前方距车x=25m处有一辆自行车沿相同方向以速度v 2=5m/s的速度匀速运动. 司机立即使汽车做匀减速运动，加速度大小为a ，要使两者不相撞，求加速度a 应满足的条件.
7、从离地面高度为h 处有自由下落的甲物体，同时在它正下方的地面上有乙物体以初速度v 0竖直上抛，要使两物体在空中相碰，则做竖直上抛运动物体的初速度v 0应满足什么条件？（不计空气阻力，两物体均看作质点）. 若要乙物
体在下落过程中与甲物体相碰，则
v
0应满足什么条件？
8、（1999年全国）为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离. 已知某高速公路的最高限速v=120km/h.假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即反应时间）t=0.50s，刹车时汽车受到阻力的大小f 为汽车重的0.40倍，该高速公路上汽车间的距离s 至少应为多少？（取重力加速度g=10m/s2）
9、在某市区内，一辆小汽车在公路上以速度v 1向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路。汽车司机发现游客途经D 处时，经过0.7s 作出反应紧急刹车，但仍将正步行至B 处的游客撞伤，该汽车最终在C 处停下，如图所示。为了判断汽车司机是否超速行驶以及游客横穿马路的速度是否过快，警方派一警车以法定最高速度v m ＝
14.0m/s行驶在同一马路的同一地段，
在肇事汽车的起始制动点A 紧急刹
车，经14.0m 后停下来。在事故现
场测得AB ＝17.5m ，BC ＝14.0m ，
BD ＝2.6m ．肇事汽车的刹车性能良好，问：
（1）该肇事汽车的初速度 vA 是多大?
（
2）游客横过马路的速度是多大?