专题 探索规律问题
☞解读考点
☞考点归纳
归纳 1：数字猜想型 基础知识归纳：
数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题． 注意问题归纳：
要认真分析比较，从而发现题中蕴涵的数量关系，通过猜想，再通过计算解决问题． 【例1】一列数：0，-1，3，-6，10，-15，21，„„，按此规律第n 个数为 归纳 2：数式规律型 基础知识归纳：
数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容． 注意问题归纳：
要注意观察、分析、归纳、并验证得出结论．
【例2】有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
则第n 次运算的结果yn= （用含字母x 和n 的代数式表示）． 归纳 3：图形规律型 基础知识归纳：
图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．
注意问题归纳：要注意分析图形的组成与分拆过程中的特点，要注意数形结合．
【例3】如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n 个图形中，点的个数为 ．
归纳 4：数形结合猜想型
基础知识归纳：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题． 注意问题归纳：要注意观察图形，发现图形的变化方式，用好数形结合思想解决问题．
【例4】如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC 边在直线a 上，将△ABC 绕点A 顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时
AP1=AP2=1+
；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时
；„„，按此规律继
；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+
续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014= ．
归纳5：动态规律型
基础知识归纳：动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律，解答此类问题时，要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．
注意问题归纳：要注意探求图形的变化规律，明确发生变化的与没有发生变化的量，从而逐步发现规律．
【例5】如图，在x 轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，„„，An 分别过这些点做x 轴的
1
垂线与反比例函数y=x 的图象相交于点P1，P2，P3，P4，„„Pn 作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，„„，
PnBn ﹣1⊥An ﹣1Pn ﹣1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，„„，Bn ﹣1，连接P1P2，P2P3，P3P4，„„，Pn ﹣1Pn ，得到一组Rt △P1B1P2，Rt △P2B2P3，Rt △P3B3P4，„„，Rt △Pn ﹣1Bn ﹣1Pn ，则Rt △Pn ﹣1Bn ﹣1Pn 的面积为 ．
☞2年中考
【2015年题组】 1．（2015绵阳）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n 个“龟图”中有245个“○”，则n=（ ）
A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题． 2．（2015十堰）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是（ ）
A ．222 B ．280 C ．286 D ．292 3．（2015荆州）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i ，j ）表示正奇数m 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（ ） A ．（31，50） B ．（32，47） C ．（33，46） D ．（34，42）
49164．（2015包头）观察下列各数：1，3，7，15，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（ ） 4253662A ．31 B ．35 C ．7 D ．63
考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题． 5．（2015重庆市）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）
A ．21 B ．24 C ．27 D ．30 6．（2015泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x 的值为（ ）
A ．135 B ．170 C ．209 D ．252 考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题． 7．（2015重庆市）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有
5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依次规律，图⑩中黑色正方形的个数是（ ）
A ．32 B ．29 C ．28 D ．26 考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题． 8．（2015崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（ ）
A ．160 B ．161 C ．162 D ．163 9．（2015贺州）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是（ ） A ．0 B ．3 C ．4 D ．8
考点：1．尾数特征；2．规律型；3．综合题． 10．（2015宜宾）如图，以点O 为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（ ）
A ．231π B ．210π C ．190π D ．171π 11．（2015鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y 轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）
[***********]4
（）（）（）（
）A ．2 B ．2 C ．3 D ．3
【答案】D ．
考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题． 12．（2015庆阳）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1
关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n 是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ）
A ．（4n ﹣1
B ．（2n ﹣1
C ．（4n+1
D ．（2n+1
13．（2015宁德）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x 轴上，点B1，B2，B3…都在直线y =x 上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015的坐标是（ ）
A ．（2
2014
，2
2014
） B ．（2
2015
，2
2015
） C ．（2
2014
，2
2015
） D ．（2
2015
，2
2014
）
考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等腰直角三角形；3．规律型；4．综合题． 14．（2015河南省）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平
π
滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是
（ ）
A ．（2014，0） B ．（2015，﹣1） C ．（2015，1） D ．（2016，0） 考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．
3
15．（2015张家界）任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和，如：2=3+5，
33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m 3分裂后其中有一个奇数是2015，则m 的值是（ ）
A ．46 B ．45 C ．44 D ．43 16．（2015邵阳）如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）
A ．2015π B ．3019.5π C ．3018π D ．3024π 17．（2015威海）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（ ）
2438199A ．2 B
． C ．2 D
．
考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题． 18．（2015日照）观察下列各式及其展开式：
(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2； (a +b ) 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3； (a +b ) 4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4；
(a +b ) 5=a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5；
…
10
(a +b ) 请你猜想的展开式第三项的系数是（ ）
A ．36 B ．45 C ．55 D ．66
考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题． 19．（2015宁波）如图，将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的A2处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE 沿着过AD 中点D1的直线折叠，使点A 落在DE 边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC 的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC 的距离记为h2015，到BC 的距离记为h2015．若h1=1，则h2015的值为（ ）
1
A ．2
2015
1
B ．2
2014
1-
C ．
1
22015 D ．
2-
122014
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理；3．翻折变换（折叠问题）；4．规律型；5．综合题． 20．（2015常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想． 4=2+2； 12=5+7；
6=3+3； 14=3+11=7+7； 8=3+5； 16=3+13=5+11； 10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；
…
通过这组等式，你发现的规律是 （请用文字语言表达）． 21．（2015淮安）将连续正整数按如下规律排列：
若正整数565位于第a 行，第b 列，则a+b= ． 22．（2015雅安）若
m 1，m 2，…，m 2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m 1+m 2+... +m 2015=1525，
(m 1-1) 2+(m 2-1) 2+... +(m 2015-1) 2=1510，则m 1，m 2，…，m 2015中为2的个数是 ．
23．（2015桂林）如图是一个点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有5个点，第三行有11个点，第四行有23个点，…，按此规律，第n 行有 个点．
24．（2015梧州）如图是由等圆组成的一组图，第①个图由1个圆组成，第②个图由5个圆组成，第③个图由12个圆组成…按此规律排列下去，则第⑥个图由 个圆组成．
25．（2015百色）观察下列砌钢管的横截面图：
则第n 个图的钢管数是 （用含n 的式子表示）
26．（2015北海）如图，直线y =-2x +2与两坐标轴分别交于A 、B 两点，将线段OA 分成n 等份，分点分别为P1，P2，P3，…，Pn ﹣1，过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点T1，T2，T3，…，Tn ﹣1，用S1，S2，S3，…，Sn ﹣1分别表示Rt △T1OP1，Rt △T2P1P2，…，Rt △Tn ﹣1Pn ﹣2Pn ﹣1的面积，则当n=2015时，S1+S2+S3+…+Sn﹣1= ．
考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．规律型；3．综合题． 27．（2015南宁）如图，在数轴上，点A 表示1，现将点A 沿x 轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点
，
按照这种移动规律移动下去，第n 次移动到点An ，如果点An 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是 ．
28．（2015常德）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：
，如果自然数m 最少经过7步运算可得到1，则所有符
合条件的m 的值为 ．
S =a +
29．（2015株洲）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为
b
-1
2，孔明只记
得公式中的S 表示多边形的面积，a 和b 中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是 ，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是 ．
30．（2015内江）填空：(a -b )(a +b ) = ；
(a -b )(a 2+ab +b 2) = ；
(a -b )(a 3+a 2b +ab 2+b 3) = ．
n -1n -2n -2n -1
(a -b )(a +a b +... +ab +b ) = （其中n 为正整数，且n ≥2）（2）猜想：． 98732
（3）利用（2）猜想的结论计算：2-2+2-... +2-2+2．
31．（2015
南平）定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．
如图，已知△ABC 中，AB=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC 交AC 于A1． （1）AB =AA1•A C；
（2）探究：△ABC 是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1） （3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB 交BC 于B1，B1A2平分∠A1B1C 交AC 于A2，作A2B2∥AB 交B2，B2A3平分∠A2B2C 交AC 于A3，作A3B3∥AB 交BC 于B3，…，依此规律操作下去，用含a ，n 的代数式表示An ﹣1An ．（n 为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）
2
考点：1．相似形综合题；2．新定义；3．探究型；4．综合题；5．压轴题；6．规律型． 33．（2015重庆市）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．
（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由； （2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x （1≤x≤4，x 为自然数），十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式．
【2014年题组】
1．（2014年南平中考）如图，将1
a ，b ）表示第a 排第b 列的数，则（8，2）与（2014，2014）表示的两个数的积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 1
2．（2014年株洲中考）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位„„依此类推，第n 步的走法是：当n 能被3整除时，则向上走1个单位；当n 被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n 被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（ ） A ． （66，34） B ． （67，33） C ． （100，33） D ． （99，34） 3．（2014年宜宾中考）如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，„„An 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
11() n -1() n
A ．n B ．n-1 C. 4 D ．4
考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质． 4．（2014年崇左中考）如图，在平面直角坐标系中，A （1，1），B （﹣1，1），C （﹣1，﹣2），D （1，﹣2）．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按A ﹣B ﹣C ﹣D ﹣A „„的规律绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A ．（﹣1，0） B ．（1，﹣2） C ．（1，1） D ．（﹣1，﹣1） 5．（2014年百色中考）观察以下等式：32﹣12=8，52﹣12=24，72﹣12=48，92﹣12=80，„„由以上规律可以得出第n 个等式为 ．
6．（2014年衡阳中考） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点针方向旋转45，再将其延长至点向旋转45，再将其延长至点
0)M 0的坐标为(1，OM 0绕原点O 逆时
，将线段
M 1，使得M 1M 0⊥OM 0，得到线段OM 1；又将线段OM 1绕原点O 逆时针方
M 2，使得M 2M 1⊥OM 1，得到线段OM 2；如此下去，得到线段OM 3、OM 4、
OM 5、„„．根据以上规律，请直接写出线段OM 2014的长度为 ．
2014【答案】．
7．（2014年抚顺中考）如图，已知CO1是△ABC 的中线，过点O1作O1E1∥AC 交BC 于点E1，连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC 交BC 于点E2，连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC 交BC 于点E3，„„，如此继续，可以依次得到点O4，O5，„„，On 和点E4，E5，„„，En ．则OnEn= AC ．（用含n 的代数式表示）
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．
8．（2014年资阳中考）如图，以O （0，0）、A （2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A 的中点B 为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B 的中点C 为顶点作△P2CP3，„„，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是
9．（2014年宜宾中考）在平面直角坐标系中，若点P （x ，y ）的坐标x 、y 均为整数，则称点P 为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ，例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．
（1）求出图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 的值．
（2）已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b，其中a ，b 为常数，若某格点多边形对应的N=82，L=38，求S 的值．
考点：1．规律型：图形的变化类； 2．二元一次方程组的应用．
10．（2014年凉山中考）实验与探究：
三角点阵前n 行的点数计算
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点„„第n 行有n 个点„„ 容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+„„+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n 行的点数的和与n 的数量关系
前n 行的点数的和是1+2+3+„„+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n，可以发现．
2×[1+2+3+„„+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n]
=[1+2+3+„„+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n]+[n+（n ﹣1）+（n ﹣2）+„„3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加„„第n 项相加，上式等号的后边变形为这n 个小括号都等于n+1，整个式子等于n （n+1），于是得到
1
1+2+3+„„+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n=2n （n+1）
1
这就是说，三角点阵中前n 项的点数的和是2n （n+1）
下列用一元二次方程解决上述问题
1
设三角点阵中前n 行的点数的和为300，则有2n （n+1）
整理这个方程，得：n2+n﹣600=0
解方程得：n1=24，n2=25
根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．
请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、„„、2n 、„„，你能探究处前n 行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n 行的点数的和能使600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
☞1年模拟
1．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P （-y+1，x+1）叫做点P 的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An ，…．例如：点A1的坐标为（3，1），则点A2的坐标为（0，4），…；若点A1的坐标为（a ，b ），则点A2015的坐标为（ ）
A ．（-b+1，a+1） B ．（-a ，-b+2） C ．（b-1，-a+1） D ．（a ，b ）
2．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，„，照此规律，图A6比图 A2多出“树枝”（ ）
A ．32 B ．56 C ．60 D ．64
3．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，四边形ABCD 中，AC=a，BD=b，且AC ⊥BD ，
顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn ．下列结论正确的是（ ）
①四边形A4B4C4D4是菱形； ②四边形A3B3C3D3是矩形；
③四边形A7B7C7D7周长为； ④四边形AnBnCnDn 面积为．
A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④
1
4．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）如图，已知直线y=-2x+2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ．过线段AB 的中点A1做A1B1⊥x 轴于点B1，过线段A1B 的中点A2作A2B2⊥x 轴于点B2，过线段A2B 的中点A3作A3B3⊥x 轴于点B3…，以此类推，则△AnBnBn-1的面积为（ ）
1111
n -1n n -1n A ．2 B ．2 C ．4 D ．4
5．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是
边长为2的等边三角形，边AO 在y 轴上，点B1，B2，B3，…都在直线
y=x 上，则A2015的坐标是 ．
考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．规律型．
6．（2015届北京市平谷区中考二模）在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(-1,0)．一个电动玩具从坐标原点O 出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B 成中心对称；．„照此规律重复下去．则点P3的坐标为 ；点Pn 在y 轴上，则点Pn 的坐标为 ．
7．（2015届北京市门头沟区中考二模）在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 如图放置，动点P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2次碰到矩形的边时，点P 的坐标为 ；当点P 第6次碰到矩形的边时，点P 的坐标为 ；当点P 第2015次碰到矩形的边时，点P 的坐标为____________．
【答案】（7，4）， （0，3） ，（1，4）．
8．（2015届安徽省安庆市中考二模）一组按规律排列的式子：，，，，„则第n 个式子是 （n 为正整数）．
9．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P′（y+1，-x+1）叫做点P 的影子点．已知点A1的影子点为A2，点A2的影子点为A3，点A3的影子点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An ，…若点A1的坐标为（a ，b ），对于任意的正整数n ，点An 均在y 轴的右侧，则a ，b 应满足的条件是 ．
10．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A （1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B （2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是 ．
（2）若按（1）题找到的规律将△OAB 进行了n 次变换，得到的△OAnBn ，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推出Bn 的坐标是 ．
11．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的两条邻边长分别为6和8，则第n 个菱形的周长为 ．
12．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An 在射线OA 上，点B1，B2，B3，…，
Bn ﹣1在射线OB 上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An ﹣1Bn ﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn ﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An ﹣1AnBn ﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．
1
13．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试））若a 是不为1的有理数，我们把1-a 称为a 的差倒数．如：21111=
的差倒数是1-2=-1，-1的差倒数是1-(-1) 2．已知a1=-3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推．
（1）分别求出a2，a3，a4的值；
（2）求a1+a2+a3+…+a2160的值．
专题 探索规律问题
☞解读考点
☞考点归纳
归纳 1：数字猜想型 基础知识归纳：
数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题． 注意问题归纳：
要认真分析比较，从而发现题中蕴涵的数量关系，通过猜想，再通过计算解决问题． 【例1】一列数：0，-1，3，-6，10，-15，21，„„，按此规律第n 个数为 归纳 2：数式规律型 基础知识归纳：
数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容． 注意问题归纳：
要注意观察、分析、归纳、并验证得出结论．
【例2】有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
则第n 次运算的结果yn= （用含字母x 和n 的代数式表示）． 归纳 3：图形规律型 基础知识归纳：
图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．
注意问题归纳：要注意分析图形的组成与分拆过程中的特点，要注意数形结合．
【例3】如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n 个图形中，点的个数为 ．
归纳 4：数形结合猜想型
基础知识归纳：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题． 注意问题归纳：要注意观察图形，发现图形的变化方式，用好数形结合思想解决问题．
【例4】如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC 边在直线a 上，将△ABC 绕点A 顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时
AP1=AP2=1+
；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时
；„„，按此规律继
；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+
续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014= ．
归纳5：动态规律型
基础知识归纳：动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律，解答此类问题时，要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．
注意问题归纳：要注意探求图形的变化规律，明确发生变化的与没有发生变化的量，从而逐步发现规律．
【例5】如图，在x 轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，„„，An 分别过这些点做x 轴的
1
垂线与反比例函数y=x 的图象相交于点P1，P2，P3，P4，„„Pn 作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，„„，
PnBn ﹣1⊥An ﹣1Pn ﹣1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，„„，Bn ﹣1，连接P1P2，P2P3，P3P4，„„，Pn ﹣1Pn ，得到一组Rt △P1B1P2，Rt △P2B2P3，Rt △P3B3P4，„„，Rt △Pn ﹣1Bn ﹣1Pn ，则Rt △Pn ﹣1Bn ﹣1Pn 的面积为 ．
☞2年中考
【2015年题组】 1．（2015绵阳）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n 个“龟图”中有245个“○”，则n=（ ）
A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题． 2．（2015十堰）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是（ ）
A ．222 B ．280 C ．286 D ．292 3．（2015荆州）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i ，j ）表示正奇数m 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（ ） A ．（31，50） B ．（32，47） C ．（33，46） D ．（34，42）
49164．（2015包头）观察下列各数：1，3，7，15，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（ ） 4253662A ．31 B ．35 C ．7 D ．63
考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题． 5．（2015重庆市）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）
A ．21 B ．24 C ．27 D ．30 6．（2015泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x 的值为（ ）
A ．135 B ．170 C ．209 D ．252 考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题． 7．（2015重庆市）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有
5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依次规律，图⑩中黑色正方形的个数是（ ）
A ．32 B ．29 C ．28 D ．26 考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题． 8．（2015崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（ ）
A ．160 B ．161 C ．162 D ．163 9．（2015贺州）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是（ ） A ．0 B ．3 C ．4 D ．8
考点：1．尾数特征；2．规律型；3．综合题． 10．（2015宜宾）如图，以点O 为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（ ）
A ．231π B ．210π C ．190π D ．171π 11．（2015鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y 轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）
[***********]4
（）（）（）（
）A ．2 B ．2 C ．3 D ．3
【答案】D ．
考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题． 12．（2015庆阳）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1
关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n 是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ）
A ．（4n ﹣1
B ．（2n ﹣1
C ．（4n+1
D ．（2n+1
13．（2015宁德）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x 轴上，点B1，B2，B3…都在直线y =x 上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015的坐标是（ ）
A ．（2
2014
，2
2014
） B ．（2
2015
，2
2015
） C ．（2
2014
，2
2015
） D ．（2
2015
，2
2014
）
考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等腰直角三角形；3．规律型；4．综合题． 14．（2015河南省）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平
π
滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是
（ ）
A ．（2014，0） B ．（2015，﹣1） C ．（2015，1） D ．（2016，0） 考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．
3
15．（2015张家界）任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和，如：2=3+5，
33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m 3分裂后其中有一个奇数是2015，则m 的值是（ ）
A ．46 B ．45 C ．44 D ．43 16．（2015邵阳）如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）
A ．2015π B ．3019.5π C ．3018π D ．3024π 17．（2015威海）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（ ）
2438199A ．2 B
． C ．2 D
．
考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题． 18．（2015日照）观察下列各式及其展开式：
(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2； (a +b ) 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3； (a +b ) 4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4；
(a +b ) 5=a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5；
…
10
(a +b ) 请你猜想的展开式第三项的系数是（ ）
A ．36 B ．45 C ．55 D ．66
考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题． 19．（2015宁波）如图，将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的A2处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE 沿着过AD 中点D1的直线折叠，使点A 落在DE 边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC 的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC 的距离记为h2015，到BC 的距离记为h2015．若h1=1，则h2015的值为（ ）
1
A ．2
2015
1
B ．2
2014
1-
C ．
1
22015 D ．
2-
122014
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理；3．翻折变换（折叠问题）；4．规律型；5．综合题． 20．（2015常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想． 4=2+2； 12=5+7；
6=3+3； 14=3+11=7+7； 8=3+5； 16=3+13=5+11； 10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；
…
通过这组等式，你发现的规律是 （请用文字语言表达）． 21．（2015淮安）将连续正整数按如下规律排列：
若正整数565位于第a 行，第b 列，则a+b= ． 22．（2015雅安）若
m 1，m 2，…，m 2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m 1+m 2+... +m 2015=1525，
(m 1-1) 2+(m 2-1) 2+... +(m 2015-1) 2=1510，则m 1，m 2，…，m 2015中为2的个数是 ．
23．（2015桂林）如图是一个点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有5个点，第三行有11个点，第四行有23个点，…，按此规律，第n 行有 个点．
24．（2015梧州）如图是由等圆组成的一组图，第①个图由1个圆组成，第②个图由5个圆组成，第③个图由12个圆组成…按此规律排列下去，则第⑥个图由 个圆组成．
25．（2015百色）观察下列砌钢管的横截面图：
则第n 个图的钢管数是 （用含n 的式子表示）
26．（2015北海）如图，直线y =-2x +2与两坐标轴分别交于A 、B 两点，将线段OA 分成n 等份，分点分别为P1，P2，P3，…，Pn ﹣1，过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点T1，T2，T3，…，Tn ﹣1，用S1，S2，S3，…，Sn ﹣1分别表示Rt △T1OP1，Rt △T2P1P2，…，Rt △Tn ﹣1Pn ﹣2Pn ﹣1的面积，则当n=2015时，S1+S2+S3+…+Sn﹣1= ．
考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．规律型；3．综合题． 27．（2015南宁）如图，在数轴上，点A 表示1，现将点A 沿x 轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点
，
按照这种移动规律移动下去，第n 次移动到点An ，如果点An 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是 ．
28．（2015常德）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：
，如果自然数m 最少经过7步运算可得到1，则所有符
合条件的m 的值为 ．
S =a +
29．（2015株洲）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为
b
-1
2，孔明只记
得公式中的S 表示多边形的面积，a 和b 中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是 ，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是 ．
30．（2015内江）填空：(a -b )(a +b ) = ；
(a -b )(a 2+ab +b 2) = ；
(a -b )(a 3+a 2b +ab 2+b 3) = ．
n -1n -2n -2n -1
(a -b )(a +a b +... +ab +b ) = （其中n 为正整数，且n ≥2）（2）猜想：． 98732
（3）利用（2）猜想的结论计算：2-2+2-... +2-2+2．
31．（2015
南平）定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．
如图，已知△ABC 中，AB=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC 交AC 于A1． （1）AB =AA1•A C；
（2）探究：△ABC 是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1） （3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB 交BC 于B1，B1A2平分∠A1B1C 交AC 于A2，作A2B2∥AB 交B2，B2A3平分∠A2B2C 交AC 于A3，作A3B3∥AB 交BC 于B3，…，依此规律操作下去，用含a ，n 的代数式表示An ﹣1An ．（n 为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）
2
考点：1．相似形综合题；2．新定义；3．探究型；4．综合题；5．压轴题；6．规律型． 33．（2015重庆市）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．
（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由； （2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x （1≤x≤4，x 为自然数），十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式．
【2014年题组】
1．（2014年南平中考）如图，将1
a ，b ）表示第a 排第b 列的数，则（8，2）与（2014，2014）表示的两个数的积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 1
2．（2014年株洲中考）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位„„依此类推，第n 步的走法是：当n 能被3整除时，则向上走1个单位；当n 被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n 被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（ ） A ． （66，34） B ． （67，33） C ． （100，33） D ． （99，34） 3．（2014年宜宾中考）如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，„„An 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
11() n -1() n
A ．n B ．n-1 C. 4 D ．4
考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质． 4．（2014年崇左中考）如图，在平面直角坐标系中，A （1，1），B （﹣1，1），C （﹣1，﹣2），D （1，﹣2）．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按A ﹣B ﹣C ﹣D ﹣A „„的规律绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A ．（﹣1，0） B ．（1，﹣2） C ．（1，1） D ．（﹣1，﹣1） 5．（2014年百色中考）观察以下等式：32﹣12=8，52﹣12=24，72﹣12=48，92﹣12=80，„„由以上规律可以得出第n 个等式为 ．
6．（2014年衡阳中考） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点针方向旋转45，再将其延长至点向旋转45，再将其延长至点
0)M 0的坐标为(1，OM 0绕原点O 逆时
，将线段
M 1，使得M 1M 0⊥OM 0，得到线段OM 1；又将线段OM 1绕原点O 逆时针方
M 2，使得M 2M 1⊥OM 1，得到线段OM 2；如此下去，得到线段OM 3、OM 4、
OM 5、„„．根据以上规律，请直接写出线段OM 2014的长度为 ．
2014【答案】．
7．（2014年抚顺中考）如图，已知CO1是△ABC 的中线，过点O1作O1E1∥AC 交BC 于点E1，连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC 交BC 于点E2，连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC 交BC 于点E3，„„，如此继续，可以依次得到点O4，O5，„„，On 和点E4，E5，„„，En ．则OnEn= AC ．（用含n 的代数式表示）
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．
8．（2014年资阳中考）如图，以O （0，0）、A （2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A 的中点B 为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B 的中点C 为顶点作△P2CP3，„„，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是
9．（2014年宜宾中考）在平面直角坐标系中，若点P （x ，y ）的坐标x 、y 均为整数，则称点P 为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ，例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．
（1）求出图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 的值．
（2）已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b，其中a ，b 为常数，若某格点多边形对应的N=82，L=38，求S 的值．
考点：1．规律型：图形的变化类； 2．二元一次方程组的应用．
10．（2014年凉山中考）实验与探究：
三角点阵前n 行的点数计算
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点„„第n 行有n 个点„„ 容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+„„+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n 行的点数的和与n 的数量关系
前n 行的点数的和是1+2+3+„„+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n，可以发现．
2×[1+2+3+„„+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n]
=[1+2+3+„„+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n]+[n+（n ﹣1）+（n ﹣2）+„„3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加„„第n 项相加，上式等号的后边变形为这n 个小括号都等于n+1，整个式子等于n （n+1），于是得到
1
1+2+3+„„+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n=2n （n+1）
1
这就是说，三角点阵中前n 项的点数的和是2n （n+1）
下列用一元二次方程解决上述问题
1
设三角点阵中前n 行的点数的和为300，则有2n （n+1）
整理这个方程，得：n2+n﹣600=0
解方程得：n1=24，n2=25
根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．
请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、„„、2n 、„„，你能探究处前n 行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n 行的点数的和能使600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
☞1年模拟
1．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P （-y+1，x+1）叫做点P 的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An ，…．例如：点A1的坐标为（3，1），则点A2的坐标为（0，4），…；若点A1的坐标为（a ，b ），则点A2015的坐标为（ ）
A ．（-b+1，a+1） B ．（-a ，-b+2） C ．（b-1，-a+1） D ．（a ，b ）
2．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，„，照此规律，图A6比图 A2多出“树枝”（ ）
A ．32 B ．56 C ．60 D ．64
3．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，四边形ABCD 中，AC=a，BD=b，且AC ⊥BD ，
顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn ．下列结论正确的是（ ）
①四边形A4B4C4D4是菱形； ②四边形A3B3C3D3是矩形；
③四边形A7B7C7D7周长为； ④四边形AnBnCnDn 面积为．
A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④
1
4．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）如图，已知直线y=-2x+2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ．过线段AB 的中点A1做A1B1⊥x 轴于点B1，过线段A1B 的中点A2作A2B2⊥x 轴于点B2，过线段A2B 的中点A3作A3B3⊥x 轴于点B3…，以此类推，则△AnBnBn-1的面积为（ ）
1111
n -1n n -1n A ．2 B ．2 C ．4 D ．4
5．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是
边长为2的等边三角形，边AO 在y 轴上，点B1，B2，B3，…都在直线
y=x 上，则A2015的坐标是 ．
考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．规律型．
6．（2015届北京市平谷区中考二模）在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(-1,0)．一个电动玩具从坐标原点O 出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B 成中心对称；．„照此规律重复下去．则点P3的坐标为 ；点Pn 在y 轴上，则点Pn 的坐标为 ．
7．（2015届北京市门头沟区中考二模）在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 如图放置，动点P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2次碰到矩形的边时，点P 的坐标为 ；当点P 第6次碰到矩形的边时，点P 的坐标为 ；当点P 第2015次碰到矩形的边时，点P 的坐标为____________．
【答案】（7，4）， （0，3） ，（1，4）．
8．（2015届安徽省安庆市中考二模）一组按规律排列的式子：，，，，„则第n 个式子是 （n 为正整数）．
9．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P′（y+1，-x+1）叫做点P 的影子点．已知点A1的影子点为A2，点A2的影子点为A3，点A3的影子点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An ，…若点A1的坐标为（a ，b ），对于任意的正整数n ，点An 均在y 轴的右侧，则a ，b 应满足的条件是 ．
10．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A （1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B （2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是 ．
（2）若按（1）题找到的规律将△OAB 进行了n 次变换，得到的△OAnBn ，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推出Bn 的坐标是 ．
11．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的两条邻边长分别为6和8，则第n 个菱形的周长为 ．
12．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An 在射线OA 上，点B1，B2，B3，…，
Bn ﹣1在射线OB 上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An ﹣1Bn ﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn ﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An ﹣1AnBn ﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．
1
13．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试））若a 是不为1的有理数，我们把1-a 称为a 的差倒数．如：21111=
的差倒数是1-2=-1，-1的差倒数是1-(-1) 2．已知a1=-3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推．
（1）分别求出a2，a3，a4的值；
（2）求a1+a2+a3+…+a2160的值．