⏹ 掌握NE5000E/80E/40E产品的体系结构 ⏹ 掌握NE5000E/80E/40E的单板构成 ⏹ 掌握NE5000E/80E/40E换板操作 ⏹ 了解NE5000E/80E/40E升级操作
有关椭圆焦点弦的高考题的探究
上海市育才中学 龚新平 201801
（发表在《中学生数学》杂志2007-9上）
刚结束的2007年重庆市高考第22题是关于椭圆的焦点弦一类问题，给我留下了深刻的印象和许多思考，本文将对该问题加以分析和探究。
O 的椭圆的右焦点为F (3，0) ，右准线l 的方程为：x =12。 （1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三点P 1，P 2，P 3，使∠PF P 2=∠P F P 12证明：
1FP 1
+
1FP 2
+
1FP 3
=PF ∠P 3
31
，
为定值，并求此定值。
解：（I ）易得所求椭圆方程为
x
2
36
+
y
2
27
=1；
（2）记椭圆的右顶点为A ，并设∠AFP i =αi （i =1，2，3）， 不失一般性，假设0≤α1
2π3
。
c a =12
，且α2=α1+
2π3
，α3=α1+
4π3
又设点P i 在l 上的射影为Q i ，因椭圆的离心率e =
⎛a 2⎫1
⋅e =-c -FP i cos αi ⎪⋅e =(9-F P i c ⎪
2⎝⎭
3
，从而有
FP i =P i Q i
c αo i s (i =) ，1，2。3
3
2⎛1
= 1+cos αi 变形得：F P i 9⎝2
3
1
⎫1
∴= 。(i =1，2，3) ⎪∑FP ⎭i i =1
∑
i =1
2⎛1⎫
1+cos αi ⎪9⎝2⎭
，
∴
∑
i =1
1FP i
=
2⎡1⎛2π4π⎫⎤
3+cos α+cos(α+) +cos(α+) ⎪⎥ ⎢1119⎣2⎝33⎭⎦
，而
2π3
cos α1+cos(α1+
2π3
) +cos(α1+
4π3
) =2cos(α1+
2π3
) cos
2π3
+cos(α1+
) =0
，
故
1
FP 1
+
1FP 2
+
1FP 3
=
23
为定值．
（1）焦点为F 的椭圆
x a
22
+
y b
22
=1上三点P 1，P 2，P 3，且∠P 1FP 2=∠P 2FP 3=∠
P 3FP 1，
则有
1FP 1
+
1FP 2
+
1FP 3
=
3a b
2
。
证明：这里也可以采用极坐标的方法来证明。（由椭圆的对称性知：不妨设点F 为左焦点）由圆锥曲线的极坐标方程ρ不失一般性，设0≤θ1
1
1
1
=
ep 1-e cos θ
，得
2π3)
1
ρi
=
1-e cos θi
ep
(i =1, 2, 3)
。
2π3
，且θ2
=θ1+
，θ3
=θ1+
4π3
，则有：
4π3)
ρ1
+
ρ2
+
ρ3
=
1-e cos θ1
ep
1-e cos(θ1++
ep 2π3
2π3
1-e cos(θ1++
4π3ep ))
1
ρ1
∴
+
1
ρ2
+
+
1
3-e (cosθ1+cos(θ1+=
ep
) +cos(θ1+
ρ3
+
1FP 1
+
1FP 2
+
1FP 3
111
ρ1ρ2ρ3
=
3ep
=
3c a
(-c ) a c x a
22
2
=a
3a
2
-c
2
=
3a b
2
，即：=
3a b
2
。
（2）焦点为F 的双曲线则有
-
y b
22
=1同支上三点P 1, P 2, P 3F P ，且∠P 1
2
=P ∠F P 2
3
P F P =3∠1
，
FP 1, FP 2, FP 3
倒数的代数和为定值
3a b
2
。（允许极径ρ为负值，证明同（1））
=∠P 2FP 3=∠P FP （3）焦点为F 的抛物线y 2=2px 上三点P 1, P 2, P 3，且∠PFP ，则有1231
1FP 1
+
1FP 2
+
1FP 3
=
3p
。（证明同（1））
n 个点呢？由上面的证明，我们不难得到： （1）焦点为F 的椭圆
P 1, P 2, P n 1FP 1
+
1FP 2
x a
1FP n
22
+
y b
22
=1
上依次有
n
个不同的点
，且满足∠P 1FP 2=∠P 2FP 3= =∠P n FP 1，则有
+ +
=
na b
2
。
=
ep 1-e cos θ=θ1+
证明：由圆锥曲线极坐标方程ρ不失一般性，设0≤θ1
1
1
1
，得
1
ρi
=
1-e cos θi
ep
(i =1, 2, n )
。
2πn
，且θ2
2πn
, ，θn =θ1+2πn ) + +
2(n -1) π
n
，则有：
)
ρ1
1
+
ρ2
1
+ +
ρn
1
=
1-e cos θ1
ep
1-e cos(θ1++
ep 2πn
1-e cos(θ1+
ep
2(n -1) π
n
2(n -1) π
n
n -e (cosθ1+cos(θ1+=
) + +cos(θ1+ep
))
ρ1
+
ρ2
+ +
ρn
2(n -1) π
n
) =0
由复数n 次单位根的知识，易得：cos θ1
+cos(θ1+
2πn
) + +cos(θ1+
∴
1
ρ1
+
1
ρ2
+ +
1
ρn
=
n ep
=
n c a (-c ) a c
22
2
=a
na
2
-c
2
=
na b
2
。
特别的，当n =2及n =4时，就是我们常见的椭圆中过焦点作直线的焦点弦问题。 （2）焦点为F 的双曲线
x a
-y b
22
=1
同支上有
n
个不同点P 1, P 2, P n ，且满足
3a b
2
∠P 1FP 2=∠P 2FP 3= =∠P n FP 1
，则有FP 1, FP 2, FP n 倒数的代数和为定值
。（允许
极径ρ为负值，证明同（1））
（3）焦点为F 的抛物线y 2=2px 上顺次有
∠P 1FP 2=∠P 2FP 3= =∠P n FP 1
n
个不同点P 1, P 2, P n ，且满足
1FP n
，则有
1FP 1
+
1FP 2
+ +
=
n p
。
特别的，当n =2及n =4时，就是我们常见的抛物线中过焦点作直线的焦点弦问题。
而是中心距OP i (i =1, 2, n ) ，是否也有类似的结论呢？ 中心为O 的椭圆
x a
22
+
y b
22
=1上依次有n 个不同点P 1, P 2, P n ，且满足∠P 1FP 2=∠P 2FP 3
= =∠P n FP 1，则有
1OP 1
2
+
1OP 2
2
+ +
1OP n
2
=
n (a
2
+b )
2
2
2
。
2a b
证明：设P i (r i cos θi , r i sin θi ), i =1, 2, n ，不失一般性，设
2πn
, ，θn =θ1+
2(n -1) π
n
n
0≤θ1
2πn
2
，且
θ2=θ1+
，代入方程
n
x a
22
+
y b
22
=1，得
(r i cos θi )
a
2
2
+
(r i sin θi )
b
2
=1
，
cos a
22
θi
+
sin θi
b
2
2
=
1r i
2
，所以∑
i =1
1r i
2
=
∑
i =12
(
cos a
22
θi
+
sin θi
b
2
2n
) =
∑
i =1i
(
1+cos 2θi
2a
2
+
1-cos 2θi
2b
2
)
n
=
∑(
i =1
1+cos 2θi
2a
2
+
1-cos 2θi
2b
2
) =
n (a
2
+b )
2
2
+(
12a
2
-
12b
2
n
)
2a b n (a
2
∑cos 2θ
i =0
=
n (a
2
+b )
2
2
2
。从而有：
2a b
1OP 1
2
+
1OP 2
2
+ +
1OP n
2
=
+b )
2
2
2
。
2a b
n 等份，结果会怎样呢？ 于是有： 将椭圆
x a
22
+
y b
22
=1的长轴A B 分成n 等份，过每个分点作x 轴
的垂线交椭圆的上半部分于P 1, P 2, P n -1共n -1个点，F 是椭圆的一个焦点，则FP 1+FP 2+ +FP n -1=(n -1) a 。
n -1
证明：设P i (x i , y i ), i =1, 2, n ，FP 1
+FP 2+ +FP n -1=
∑(a +a
i =1
c
x i ) =(n -1) a +
c a
n -1
∑
i =1
x i
，
n -1
由椭圆的对称性可知：∑
i =1
x i =0
，所以FP 1+FP 2+ +FP n -1=(n -1) a 。
特别地，当n =8时，即是2006年四川省高考题： 将椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1的长轴A B 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于
P 1, P 2, P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则FP 1+FP 2+ +FP 7= 35 。
FP 1+FP 2+ FP n =0, 是否有类似结论呢？我们继续如下探究： （1）焦点为F 的椭圆
x a
22
+
y b
22
=1
上依次有
n
个不同点P 1, P 2, P n ，若满足
nb a
2
FP 1+FP 2+ FP n =0，则有FP 1+FP 2+ +FP n =
。
n
证明：设P i (x i , y i ), i =1, 2, n ，由FP 1+FP 2+ FP n =0得∑
i =1
n
n
(x i -c ) =0，得：
∑
i =1
x i =nc
，FP 1
+FP 2+ +FP n =
∑
i =1
c ⎛
(a -x i ) =na -
a a
⎝
c
n
∑
i =1
22⎫c nb ⎪x i =n (a -) =
⎪a a ⎭
。
同理，双曲线也有与（1）几乎完全一样的结论！ （2）焦点为F 的抛物线y 2=2px 上依次有
n
个不同点P 1, P 2, P n ，若满足
FP 1+FP 2+ FP n =0，则有FP 1+FP 2+ +FP n =np 。
n
证明：设P i (x i , y i ), i =1, 2, n ，由FP 1+FP 2+ FP n =0得∑
i =1
n
(x i -
p 2
) =0
，得：
∑
i =1
x i =
np 2
n
，从而：
FP 1+FP 2+ +FP n =
∑(x
i =1
i
+
p 2
) =
np 2
n
+
∑
i =1
x i =np
。
2
特别地，当n =3时，即为2007年全国高考题：设F 为抛物线y =4x 的焦点，A ，B ，C
为该抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则FA +FB +FC = 6 。
参考文献：
2007年重庆市高考试卷（理科）
⏹ 掌握NE5000E/80E/40E产品的体系结构 ⏹ 掌握NE5000E/80E/40E的单板构成 ⏹ 掌握NE5000E/80E/40E换板操作 ⏹ 了解NE5000E/80E/40E升级操作
有关椭圆焦点弦的高考题的探究
上海市育才中学 龚新平 201801
（发表在《中学生数学》杂志2007-9上）
刚结束的2007年重庆市高考第22题是关于椭圆的焦点弦一类问题，给我留下了深刻的印象和许多思考，本文将对该问题加以分析和探究。
O 的椭圆的右焦点为F (3，0) ，右准线l 的方程为：x =12。 （1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三点P 1，P 2，P 3，使∠PF P 2=∠P F P 12证明：
1FP 1
+
1FP 2
+
1FP 3
=PF ∠P 3
31
，
为定值，并求此定值。
解：（I ）易得所求椭圆方程为
x
2
36
+
y
2
27
=1；
（2）记椭圆的右顶点为A ，并设∠AFP i =αi （i =1，2，3）， 不失一般性，假设0≤α1
2π3
。
c a =12
，且α2=α1+
2π3
，α3=α1+
4π3
又设点P i 在l 上的射影为Q i ，因椭圆的离心率e =
⎛a 2⎫1
⋅e =-c -FP i cos αi ⎪⋅e =(9-F P i c ⎪
2⎝⎭
3
，从而有
FP i =P i Q i
c αo i s (i =) ，1，2。3
3
2⎛1
= 1+cos αi 变形得：F P i 9⎝2
3
1
⎫1
∴= 。(i =1，2，3) ⎪∑FP ⎭i i =1
∑
i =1
2⎛1⎫
1+cos αi ⎪9⎝2⎭
，
∴
∑
i =1
1FP i
=
2⎡1⎛2π4π⎫⎤
3+cos α+cos(α+) +cos(α+) ⎪⎥ ⎢1119⎣2⎝33⎭⎦
，而
2π3
cos α1+cos(α1+
2π3
) +cos(α1+
4π3
) =2cos(α1+
2π3
) cos
2π3
+cos(α1+
) =0
，
故
1
FP 1
+
1FP 2
+
1FP 3
=
23
为定值．
（1）焦点为F 的椭圆
x a
22
+
y b
22
=1上三点P 1，P 2，P 3，且∠P 1FP 2=∠P 2FP 3=∠
P 3FP 1，
则有
1FP 1
+
1FP 2
+
1FP 3
=
3a b
2
。
证明：这里也可以采用极坐标的方法来证明。（由椭圆的对称性知：不妨设点F 为左焦点）由圆锥曲线的极坐标方程ρ不失一般性，设0≤θ1
1
1
1
=
ep 1-e cos θ
，得
2π3)
1
ρi
=
1-e cos θi
ep
(i =1, 2, 3)
。
2π3
，且θ2
=θ1+
，θ3
=θ1+
4π3
，则有：
4π3)
ρ1
+
ρ2
+
ρ3
=
1-e cos θ1
ep
1-e cos(θ1++
ep 2π3
2π3
1-e cos(θ1++
4π3ep ))
1
ρ1
∴
+
1
ρ2
+
+
1
3-e (cosθ1+cos(θ1+=
ep
) +cos(θ1+
ρ3
+
1FP 1
+
1FP 2
+
1FP 3
111
ρ1ρ2ρ3
=
3ep
=
3c a
(-c ) a c x a
22
2
=a
3a
2
-c
2
=
3a b
2
，即：=
3a b
2
。
（2）焦点为F 的双曲线则有
-
y b
22
=1同支上三点P 1, P 2, P 3F P ，且∠P 1
2
=P ∠F P 2
3
P F P =3∠1
，
FP 1, FP 2, FP 3
倒数的代数和为定值
3a b
2
。（允许极径ρ为负值，证明同（1））
=∠P 2FP 3=∠P FP （3）焦点为F 的抛物线y 2=2px 上三点P 1, P 2, P 3，且∠PFP ，则有1231
1FP 1
+
1FP 2
+
1FP 3
=
3p
。（证明同（1））
n 个点呢？由上面的证明，我们不难得到： （1）焦点为F 的椭圆
P 1, P 2, P n 1FP 1
+
1FP 2
x a
1FP n
22
+
y b
22
=1
上依次有
n
个不同的点
，且满足∠P 1FP 2=∠P 2FP 3= =∠P n FP 1，则有
+ +
=
na b
2
。
=
ep 1-e cos θ=θ1+
证明：由圆锥曲线极坐标方程ρ不失一般性，设0≤θ1
1
1
1
，得
1
ρi
=
1-e cos θi
ep
(i =1, 2, n )
。
2πn
，且θ2
2πn
, ，θn =θ1+2πn ) + +
2(n -1) π
n
，则有：
)
ρ1
1
+
ρ2
1
+ +
ρn
1
=
1-e cos θ1
ep
1-e cos(θ1++
ep 2πn
1-e cos(θ1+
ep
2(n -1) π
n
2(n -1) π
n
n -e (cosθ1+cos(θ1+=
) + +cos(θ1+ep
))
ρ1
+
ρ2
+ +
ρn
2(n -1) π
n
) =0
由复数n 次单位根的知识，易得：cos θ1
+cos(θ1+
2πn
) + +cos(θ1+
∴
1
ρ1
+
1
ρ2
+ +
1
ρn
=
n ep
=
n c a (-c ) a c
22
2
=a
na
2
-c
2
=
na b
2
。
特别的，当n =2及n =4时，就是我们常见的椭圆中过焦点作直线的焦点弦问题。 （2）焦点为F 的双曲线
x a
-y b
22
=1
同支上有
n
个不同点P 1, P 2, P n ，且满足
3a b
2
∠P 1FP 2=∠P 2FP 3= =∠P n FP 1
，则有FP 1, FP 2, FP n 倒数的代数和为定值
。（允许
极径ρ为负值，证明同（1））
（3）焦点为F 的抛物线y 2=2px 上顺次有
∠P 1FP 2=∠P 2FP 3= =∠P n FP 1
n
个不同点P 1, P 2, P n ，且满足
1FP n
，则有
1FP 1
+
1FP 2
+ +
=
n p
。
特别的，当n =2及n =4时，就是我们常见的抛物线中过焦点作直线的焦点弦问题。
而是中心距OP i (i =1, 2, n ) ，是否也有类似的结论呢？ 中心为O 的椭圆
x a
22
+
y b
22
=1上依次有n 个不同点P 1, P 2, P n ，且满足∠P 1FP 2=∠P 2FP 3
= =∠P n FP 1，则有
1OP 1
2
+
1OP 2
2
+ +
1OP n
2
=
n (a
2
+b )
2
2
2
。
2a b
证明：设P i (r i cos θi , r i sin θi ), i =1, 2, n ，不失一般性，设
2πn
, ，θn =θ1+
2(n -1) π
n
n
0≤θ1
2πn
2
，且
θ2=θ1+
，代入方程
n
x a
22
+
y b
22
=1，得
(r i cos θi )
a
2
2
+
(r i sin θi )
b
2
=1
，
cos a
22
θi
+
sin θi
b
2
2
=
1r i
2
，所以∑
i =1
1r i
2
=
∑
i =12
(
cos a
22
θi
+
sin θi
b
2
2n
) =
∑
i =1i
(
1+cos 2θi
2a
2
+
1-cos 2θi
2b
2
)
n
=
∑(
i =1
1+cos 2θi
2a
2
+
1-cos 2θi
2b
2
) =
n (a
2
+b )
2
2
+(
12a
2
-
12b
2
n
)
2a b n (a
2
∑cos 2θ
i =0
=
n (a
2
+b )
2
2
2
。从而有：
2a b
1OP 1
2
+
1OP 2
2
+ +
1OP n
2
=
+b )
2
2
2
。
2a b
n 等份，结果会怎样呢？ 于是有： 将椭圆
x a
22
+
y b
22
=1的长轴A B 分成n 等份，过每个分点作x 轴
的垂线交椭圆的上半部分于P 1, P 2, P n -1共n -1个点，F 是椭圆的一个焦点，则FP 1+FP 2+ +FP n -1=(n -1) a 。
n -1
证明：设P i (x i , y i ), i =1, 2, n ，FP 1
+FP 2+ +FP n -1=
∑(a +a
i =1
c
x i ) =(n -1) a +
c a
n -1
∑
i =1
x i
，
n -1
由椭圆的对称性可知：∑
i =1
x i =0
，所以FP 1+FP 2+ +FP n -1=(n -1) a 。
特别地，当n =8时，即是2006年四川省高考题： 将椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1的长轴A B 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于
P 1, P 2, P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则FP 1+FP 2+ +FP 7= 35 。
FP 1+FP 2+ FP n =0, 是否有类似结论呢？我们继续如下探究： （1）焦点为F 的椭圆
x a
22
+
y b
22
=1
上依次有
n
个不同点P 1, P 2, P n ，若满足
nb a
2
FP 1+FP 2+ FP n =0，则有FP 1+FP 2+ +FP n =
。
n
证明：设P i (x i , y i ), i =1, 2, n ，由FP 1+FP 2+ FP n =0得∑
i =1
n
n
(x i -c ) =0，得：
∑
i =1
x i =nc
，FP 1
+FP 2+ +FP n =
∑
i =1
c ⎛
(a -x i ) =na -
a a
⎝
c
n
∑
i =1
22⎫c nb ⎪x i =n (a -) =
⎪a a ⎭
。
同理，双曲线也有与（1）几乎完全一样的结论！ （2）焦点为F 的抛物线y 2=2px 上依次有
n
个不同点P 1, P 2, P n ，若满足
FP 1+FP 2+ FP n =0，则有FP 1+FP 2+ +FP n =np 。
n
证明：设P i (x i , y i ), i =1, 2, n ，由FP 1+FP 2+ FP n =0得∑
i =1
n
(x i -
p 2
) =0
，得：
∑
i =1
x i =
np 2
n
，从而：
FP 1+FP 2+ +FP n =
∑(x
i =1
i
+
p 2
) =
np 2
n
+
∑
i =1
x i =np
。
2
特别地，当n =3时，即为2007年全国高考题：设F 为抛物线y =4x 的焦点，A ，B ，C
为该抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则FA +FB +FC = 6 。
参考文献：
2007年重庆市高考试卷（理科）