4．垂径定理及其推论有哪些应用？
垂径定理是圆的内容中一个重要定理，这个定理及其推论都有广泛的应用．为此首先需要着重研究它们的基本图形的结构特征与基本关系有哪些？
如图所示，从垂径定理中得到下列性质：
(1)有 4对全等的直角三角形：Rt △CAD 与Rt △CBD ；Rt △OAD 与Rt △OBD ； Rt△OAM 与Rt △OBM ； Rt△MAD 与Rt △MBD ．特别在Rt △CAD 与Rt △CBD 中，直径CD 是它们公共的斜边，AM 、BM 是CD 上的高．
(2)有3个等腰三角形；△CAB 、△OAB 、△DAB ．弦AB 是它们的公共底边，直径CD 是它们的顶角平分线与底边AB 的中垂线．
(3)有3
条弧相等：
(4)添辅助线方法：连接半径或作垂直于弦的直径(或弦心距) ，是两种重要的添线方法．
可见垂径定理及其推论为证明线段相等、角相等、垂直关系与利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据．
例1 已知：AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AB 与CD 相交，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ．求证：CE=DF．
证明 过O 作 OH⊥CD 于 H，
∴CH=DH，
∵AE ⊥CD ， BF⊥CD ，∴ AE∥OH ∥BF ．
∵O 是直径AB 的中点，∴H 是EF 的中点，
∴EH=FH，CH=EH=DH-FH，则CE=DF．
说明：通过作弦心距这条辅助线，使垂径定理与平行线等分线段定理相沟通，从而证得了本命题．
例2 已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，F 是
AF 的延长线交DC 的延长线于G ．求证：∠AFD=∠GFC ．
证明 连接AD ．
∵AB 是直径，弦CD ⊥AB 于E ，
∴，从而有∠AFD=∠ADC ． 上任意一点，
又AFCD 是圆内接四边形，∴∠GFC=∠ADC ．
则∠AFD=∠GFC ．
说明：当出现圆内“直径与弦垂直”时，应利用垂径定理．同时还要利用四点共圆所构成圆内接四边形的性质．两者结合可证角相等．
例3 已知：C 是的中点，O 为所在圆的圆心，CM ⊥AB 于M ，CM=2，AB=8．求：⊙O 的直径．
解 连接OA 并延长CM ．
∵C 是的中点，∴，
又CM ⊥AB ，∴CM 的延长线必过圆心，
设OA=x，OM=x-2，由勾股定理知
x 2=42+(x-2)2．解得x=5，∴2x=10，
则⊙O 的直径为10．
说明：利用垂径定理及其推论，就可构造与半径相关的直角三角形；应用勾股定理就可计算线段长的问题．即把几何问题转化为代数问题．要记牢垂径定理的这个作用．
应用：
(1)已知：⊙O ，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA=OB．求证：AC=BD．
(2)已知：AB 是⊙O 的直径，线段CD 与⊙O 交于E ，F ，且AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足为C 、D ．求证 ：CE=DF．
(3)已知：AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AB 与CD 交于M ，且CM=MD， CD=8， AB=10．求：O 到CD 的距离．(答案： 3)．
(4)已知：⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，弦AE 的延长线与CD 的延长线交于F ．求证：AC ·CF=AF·CE ．
4．垂径定理及其推论有哪些应用？
垂径定理是圆的内容中一个重要定理，这个定理及其推论都有广泛的应用．为此首先需要着重研究它们的基本图形的结构特征与基本关系有哪些？
如图所示，从垂径定理中得到下列性质：
(1)有 4对全等的直角三角形：Rt △CAD 与Rt △CBD ；Rt △OAD 与Rt △OBD ； Rt△OAM 与Rt △OBM ； Rt△MAD 与Rt △MBD ．特别在Rt △CAD 与Rt △CBD 中，直径CD 是它们公共的斜边，AM 、BM 是CD 上的高．
(2)有3个等腰三角形；△CAB 、△OAB 、△DAB ．弦AB 是它们的公共底边，直径CD 是它们的顶角平分线与底边AB 的中垂线．
(3)有3
条弧相等：
(4)添辅助线方法：连接半径或作垂直于弦的直径(或弦心距) ，是两种重要的添线方法．
可见垂径定理及其推论为证明线段相等、角相等、垂直关系与利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据．
例1 已知：AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AB 与CD 相交，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ．求证：CE=DF．
证明 过O 作 OH⊥CD 于 H，
∴CH=DH，
∵AE ⊥CD ， BF⊥CD ，∴ AE∥OH ∥BF ．
∵O 是直径AB 的中点，∴H 是EF 的中点，
∴EH=FH，CH=EH=DH-FH，则CE=DF．
说明：通过作弦心距这条辅助线，使垂径定理与平行线等分线段定理相沟通，从而证得了本命题．
例2 已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，F 是
AF 的延长线交DC 的延长线于G ．求证：∠AFD=∠GFC ．
证明 连接AD ．
∵AB 是直径，弦CD ⊥AB 于E ，
∴，从而有∠AFD=∠ADC ． 上任意一点，
又AFCD 是圆内接四边形，∴∠GFC=∠ADC ．
则∠AFD=∠GFC ．
说明：当出现圆内“直径与弦垂直”时，应利用垂径定理．同时还要利用四点共圆所构成圆内接四边形的性质．两者结合可证角相等．
例3 已知：C 是的中点，O 为所在圆的圆心，CM ⊥AB 于M ，CM=2，AB=8．求：⊙O 的直径．
解 连接OA 并延长CM ．
∵C 是的中点，∴，
又CM ⊥AB ，∴CM 的延长线必过圆心，
设OA=x，OM=x-2，由勾股定理知
x 2=42+(x-2)2．解得x=5，∴2x=10，
则⊙O 的直径为10．
说明：利用垂径定理及其推论，就可构造与半径相关的直角三角形；应用勾股定理就可计算线段长的问题．即把几何问题转化为代数问题．要记牢垂径定理的这个作用．
应用：
(1)已知：⊙O ，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA=OB．求证：AC=BD．
(2)已知：AB 是⊙O 的直径，线段CD 与⊙O 交于E ，F ，且AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足为C 、D ．求证 ：CE=DF．
(3)已知：AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AB 与CD 交于M ，且CM=MD， CD=8， AB=10．求：O 到CD 的距离．(答案： 3)．
(4)已知：⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，弦AE 的延长线与CD 的延长线交于F ．求证：AC ·CF=AF·CE ．