二次函数各种题型汇总

一、利用函数的对称性解题

（一）用对称比较大小

例1、已知二次函数y=x2-3x-4，若x 2-3/2＞3/2-x1＞0，比较y 1与y 2的大小

解：抛物线的对称轴为x=3/2，且3/2-x1＞0，x 2-3/2＞0，所以x 1在对称轴的左侧，x 2在对称轴的右侧，

由已知条件x 2-3/2＞3/2-x1＞0，得：x2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离，所以y 2＞y 1

（二）用对称求解析式

例1、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（－1，4），与x 轴两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式。

解：因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x=－1，又因为抛物线与x 轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为：

x 1=－1－3=－4，x 2=－1+3=2 则两交点的坐标为（－4，0）、（2，0）；

设抛物线的解析式为顶点式：ya （x+1）+4，把（2，0）代入得a=－4/9。

所以抛物线的解析式为y=－4/9（x+1）2+4

（三）用对称性解题

例1：关于x 的方程x 2+px+1=0（p ＞0）的两根之差为1，则p 等于（）

A. 2 B. 4 C. D.

解：设方程x 2+px+1=0（p ＞0）的两根为x1、x2，则抛物线y=x2+px+1与x 轴两交点的坐标为（x1，0），（x2，0）。因为抛物线的对称轴为x=－p/2，所以x1=－p/2－1/2，x2=－p/2+1/2，因为x1x2=1。所以(－p/2－1/2)(－p/2+1/2=1，p 2=5 因为p ＞0，所以p=

例2、如图，已知抛物线y=x2 +bx+c的对称轴为x=2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（）

A ．（2，3） B ．（3，2） C ．（3，3） D ．（4，3）

解：由点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行可知，点A ，B 关于x=2对称。

设点B 的横坐标为x B ，∵点A 的坐标为（0，3），所以，（0+xB ）/2=2，x B =4

∴B 点坐标为（4，3）

例2 （2010，山东日照）如图2是二次函数 y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c＜0的解集是多少

解析：由抛物线的对称性可知，抛物线与ｘ轴的另一交点为（－1，0），ax 2+bx+c＜0的解集就是抛物线落在x 轴下方的部分所对应的x 的取值，不等式ax 2+bx+c＜0的解集是－1＜x ＜3．

例3、（2010，浙江金华）若二次函数y=－x 2+2x+k的部分图象如图3所示，则关于x 的一元二次方程－x 2+2x+k=0的一个解x 1=3，另一个解x 2 是多少；

解：依题意得二次函数y=-x2+2x+k的对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为（3，0）， ∴抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为1-（3-1）=-1，∴交点坐标为（-1，0）

∴关于x 的一元二次方程-x 2+2x+k=0的解为x 1=3或x 2=－1．故填空答案：x 1=-1

例4：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a ＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P （3，0），则 a

－b+c的值为（） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2

解法1：将P 代入得：9a+3b+c=0

由对称轴得：-b/2a=1, 得b=-2a 9a+3b+c=3a+c=0

即a+2a+c=0 则 a-b+c=0

解法2：由抛物线的对称轴:x=1，及点P （3，0），可求出抛物线上点P 关于对称轴x=1的对称点的坐标为Q （-1，0），由于Q 在抛物线上，有（-1，0）满足关系式，因为点p ，Q 在x 轴上所以a-b+c=0，故选A ．

例5、抛物线y=ax2+bx+c经过点A （-2,7），B （6,7），C （3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_______________

解析：由点A （-2,7），B （6,7）的纵坐标相同，可知A 、B 关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x=（-2+6）/2=2，于是设该抛物线上纵坐标为–8的另一点的坐标为（x 2,-8) ，则有2=（3+x2）/2，从而得x 2=1，故答案为(1,-8).

例6、已知抛物线上有不同的两点E(k+3，-k 2+1)和F(-k-1，-k 2+1)．求抛物线的解析式．

分析：关键是确定一次项系数b ．观察抛物线上不同的两点E(k+3，-k 2+1)和F(-k-1，-k 2+1)．纵坐标相同，因此判断得点E 和点F 关于抛物线对称轴对称．

解：的对称轴为x=-b÷（-1/2×2）=b

因为抛物线上不同的两点E(k+3，-k 2+1)和F(-k-1，-k 2+1)．纵坐标相同，∴点E 和点F 关于抛物线对称轴对称，则b=[（k+3)+(-k-1)]÷2=1，∴ 抛物线的解析式为y=1/2x+x+4

例7（2010，山东聊城）如图5，已知抛物线y ＝ax2+bx+c（a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求此时点

M 的坐标；． 2

分析：（1）由点C （0，－3）知c ＝－3，只需求得a 、b 两个未知的系数，根据点A （－1,0）和对称轴x=1，利用待定系数法可求解；（2）由抛物线的对称性知，直线x=1是AB 的垂直平分线，因此MA ＝MB ，要使得MA+MC最小，只要MC+MB最小，所以点M 就是直线BC 与抛物线对称轴的交点．

解：（1）∵抛物线经过点C （0，－3）∴c ＝－3，∴y ＝ax2+bx-3。

又抛物线经过点A （－1，0），对称轴为x=1，

所以a-b-3=0 －b/2a=1 解得 a=1 b=-2

∴抛物线的函数关系式为y ＝x2－2x-3

由B （3，0），C （0，－3），解得y=x-3, 由x=1, 解得y=-2.

当点M （1，-2）时，M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小

（2）∵点A （－1,0），对称轴为x=1，∴点B （3，0）．连接BC, 交对称轴x=1于点M. ∵点M 在对称轴上，MA=MB ,

∴直线BC 与对称轴x=1的交点即为所求的M 点. 设直线BC 的函数关系式为y=kx+b，由B （3，0），C （0，－3），解得y=x-3, 由x=1, 解得y=-2.

当点M （1，-2）时，M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小

例8、二次函数图像经过A （-3，1）、B （1，1）、C （-1，3）三点，求二次函数的解析式。分析：由观察可知点A （-3，1）、B （1，1）是抛物线上对称的两点。根据结论2，可知直线x =-1是此抛物线的对称轴，所以点C （-1，3）恰为抛物线的顶点。设二次函数的解析式为y =a (x +1) +3（顶点式），所以

1y =-(x +1) 2+32。 21=a (1+1) 2+3，a =-12。从而可确定二次函数的解析式为

2y =ax +bx +c (a ≠0) 经过点A （-3，-5），且b =2a 。试求抛物线经过除例9. 已知抛物线

A 点以外的另一定点的坐标。

2y =ax +bx +c ，再确定某一常数点，思维受阻。考虑到分析：按照常规思维写出解析式

b =2a ，从而可知对称轴为x =-1。根据结论3，A （-3，-5）关于对称轴x =-1的对称点A ’一定在抛物线上，A ’点的坐标为（1，-5）。因而另一定点的坐标为（1，-5）。

例10、已知，抛物线y =a (x -t -1) 2+t 2（a 、t 是常数且不等于零）的顶点是A ，如图所示，抛物线y =x 2-2x +1的顶点是B 。

（1）判断点A 是否在抛物线y =x -2x +1上，为什么？

（2）如果抛物线y =a (x -t -1) +t 经过点B ，①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的

两个交点和它的顶点A 能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。

解析：（1）抛物线y =a (x -t -1) +t 的顶点A （t +1，t ），而x =t +1当时，222222问题图

y =x 2-2x +1=(x -1) 2=(x +1-1) 2＝t 2，所以点A 在抛物线y =x 2-2x +1上。

2222（2）①顶点B （1，0），a (1-t -1) +t =0，∵t ≠0，∴a =-1；②设抛物线y =a (x -t -1) +t 与

x 轴的另一交点为C ，∴B （1，0），C （2t +1，0），由抛物线的对称性可知，△ABC 为等腰直角三角形，

2过A 作AD ⊥x 轴于D ，则AD ＝BD 。当点C 在点B 的左边时，t =1-(t +1) ，解得t =-1或t =0（舍）；

2当点C 在点B 的右边时，t =(t +1) -1，解得t =1或t =0（舍）。故t =±1。

例11. 如图2所示，圆O 的直径为2，AB 、EF 为互相垂直的两条直径，以AB 所在直线为y 轴，过点A 作x 轴，建立直角坐标系。

（1）写出E 、F 的坐标；

（2）经过E 、F 两点的抛物线从左至右交x 轴于C 、D 两点，若|CD |=3，试判定抛物线的顶点是否在圆内。

（3）若经过E 、F 两点的抛物线的顶点恰好在圆O 上，试求抛物线的解析式。

分析：（1）E 点的坐标为（-1，1），F 点的坐标为（1，1）；

（2）根据结论2可知，E 、F 关于对称轴对称，从而可知对称轴为x =0。C 、D 是抛物线与x 轴的两个交

⎧⎪1=a +b +c ⎪3233⎪2点，根据结论1，易知C 点坐标为(-，0) 。设解析式为y =ax +bx +c ，建立方程组⎨0=(-) a -b +c 222⎪⎪b -=0⎪⎩2a

可得解析式为y =-4299x +。易知顶点在线段AB 上。因为

22 （3）根据抛物线的对称性和圆的对称性可知，抛物线的顶点只能为B 点或A 点，现分两种情况讨论。（1）当B 点为顶点时，设解析式为y =ax +2（顶点式），所以1=a (-1) +2。解得a =-1，所以解析式为

222（2）当A 点为顶点时，设解析式为y =ax ，所以1=a (-1) 。解得a =1，所以解析式为y =x 。 y =-x 2+2。

注意：求抛物线的解析式的过程中，为避免方程组中出现相同的方程，对称的两点中，只用其中一个点的坐标来列方程。

二、二次函数a 、b 、c 之间的关系题型及字母求值的题型

1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，给出下列结论：① b2－4ac>0；② 2a+b

A. ①② B. ②③

C. ③④ D. ①④

解析：由图可知，对称轴为x=1，图象与x 轴有两个交点（-1，0）和（3，0），故b 2－4ac >0；a-b+c=0,2a+b=0, 所以b=-2a,c=-3a,所以a ︰b ︰c = -1︰2︰3. 解答：选D ．

2、如图为二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象，则下列说法中正确的个数为（） ①a ＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞

0 （）

A ．1 B ．2 C ．3 D ．

解：①图象开口向下，能得到a ＜0；②对称轴在y 轴右侧，x==1

，则有﹣=1，即2a+b=0；

③当x=1时，y ＞0，则a+b+c＞0； ④由图可知，当﹣1＜x ＜3时，y ＞0．故选C ．

1 3、已知:M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y =上，点N 在直线y=x+3上，设点2x

M 的坐标为（a,b ），则二次函数y = –abx 2+(a+b)x

99 A . 有最大值，最大值为 – B . 有最大值，最大值为 22

99 C . 有最小值，最小值为 D . 有最小值，最小值为 – 22

1；∵N 在直线上，∴b =–a +3,即a +b =3； 2

9911 ∴二次函数y = –abx 2+(a+b)x= –x 2+3x = –(x –3) 2+，∴有最大值，最大值为，【答案】B 2222 【解析】M (a , b ) ，则N (–a , b ) ，∵M 在双曲线上，∴ab =

4、在平面直角坐标系中，将抛物线y =x 2-x -6向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为（ B ）

A ．1 B ．2 C ．3 D ．6

【解析】因为是左或右平移，所以由y =x 2-x -6=(x -3)(x +2) 求出抛物线与x 轴有两个交点（3,0），（-2,0）将抛物线向右平移2个单位，恰好使得抛物线经过原点，且移动距离最小．

5、二次函数y=ax2+bx+c（a ，b ，c 是常数，a ≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图像的一部分如图所示，对于下列说法：①abc0．其中正确的是__________(把正确说法的序号都填上) ．

【解析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

∵抛物线的开口向下，∴a ＜0，

∵与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，

∵对称轴为x =-b =1，得2a =－b ，∴a 、b 异号，即b ＞0， 2a

又∵c ＞0，∴abc ＜0，故①正确；

∵抛物线与x 轴的交点可以看出，

当x =－1时，y ＜0，∴a －b +c ＜0，故②正确；

当x =－1时，y ＜0，

而此时a －b +c =3a +c ，即3a +c

观察图形，显然④不正确．【答案】①②③

2y =x -2mx -3，有下列说法：其中正确的说法是． 6、对于二次函数

①它的图象与x 轴有两个公共点；

②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m =1；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m =-1；

④如果当x =4时的函数值与x =2008时的函数值相等，则当x =2012时的函数值为-3．

【解析】①根据函数与方程的关系解答；∵△＝4m 2－4×（－3）＝4m 2＋12＞0，∴它的图象与x 轴有两个公共点，故本选项正确；

②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；∵当x≤1时y 随x 的增大而减小（注意x 的取值包含1，一般情况下，二次函数的增减性是以对称轴为界限，但不包含对称轴，即x 的取

值不能包含对称轴的值，）∴函数的对称轴x ＝－－2m =m，在直线x ＝1的右侧，故本选项错误； 2

③将m ＝－1代入解析式，求出和x 轴的交点坐标；将m ＝－1代入解析式，得y ＝x 2＋2x －3，当y ＝0时，得x 2＋2x －3＝0，即（x －1）（x ＋3）＝0，解得，x 1＝1，x 2＝－3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；

④根据坐标的对称性，求出m 的值，得到函数解析式，将m ＝2013代入解析式；④∵当x

－2m 4+2008＝4时的函数值与x ＝2008时的函数值相等，∴对称轴为x ＝＝1006，则－＝1006，22

即m ＝1006，原函数可化为y ＝x 2－2013x －3，当x ＝2013时，y ＝20132－2013×2013－3＝－3，故本选项正确．【答案】①④（多填、少填或错填均不给分）

7、（2013年广西玉林市，11，3）二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,有如下结论：①c ＜1；②2a+b=0；③b 2＜4ac ；④若方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x2=2，则正确的结论是（）A ．①② B．①③ C．②④ D．③④

解：由抛物线与y 轴的交点位置得到：c ＞1，选项①错误；

b ∵抛物线的对称轴为x=- =1，∴2a+b=0，选项②正确； 2a

由抛物线与x 轴有两个交点，得到b 2-4ac ＞0，即b 2＞4ac ，选项③错误；

b b 2令抛物线解析式中y=0，得到ax +bx+c=0，∵方程的两根为x 1，x 2，且- =1，及- =2， 2a a

b ∴x 1+x2=- =2，选项④正确，综上，正确的结论有②④．故选C a

8、已知二次函数y=ax2+bx+c，且a ＜0，a-b+c＞0，则一定有（A ）

A. 有两个不相等的实根 B. 有两个相等的实根 C. 没有实根 D. 无法确定

因为a0，可知x=-1时，函数值y>0，所以方程两个根分别位于-1两侧, 显然这两个根不相等。

9、已知二次函数y=ax2+bx+c，且a ＜0，a-b+c＞0，则一定有（ A ）

A 、b 2-4ac ＞0 B 、b 2-4ac=0 C 、b 2-4ac ＜0 D 、b 2-4ac ≤

解：∵a ＜0 ∴抛物线的开口向下

∵a-b+c＞0 ∴当x=-1时，y=a-b+c＞0 抛物线与x 轴有两个交点 ∴b2-4ac ＞0

10、已知：a ＞b ＞c ，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）

A ． B ．

C ． D ．

A 、由图知a ＞0，-b/2a=1，c ＞0，即b ＜0，∵已知a ＞b ＞c ，故本选项错误；

B 、由图知a ＜0，而已知a ＞b ＞c ，且a+b+c=0，必须a ＞0，故本选项错误；

C 、图C 中条件满足a ＞b ＞c ，且a+b+c=0，故本选项正确； D 、∵a+b+c=0，

即当x=1时a+b+c=0，与图中与x 轴的交点不符，故本选项错误．故选C ．

11、二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图所示，那么abc 、b 2-4ac 、2a +b 、4a -2b +c ，a+b+c， a-b+c这几个代数式中，值为正的有（ A ） A 、6个 B 、3个 C 、2个 D 、1个

解：由图知a ＞0, 对称轴x=-b/2a＞0, 知b

抛物线与y 轴交于负半轴，c ＜0, 所以abc ＞0,

因为图像与x 轴有两个交点，所以b ²-4ac ＞0,

由对称轴

x=-b/2a＜1.a ＞0知-b ＜2a, 即2a+b＞0 由图知当x=1时,y=a+b+c＜0. 由图知当x=-1时,y=a-b+c＞0.

由图知当x=-2时,y=4a-2b+c＞0

12、二次函数y =ax +bx +c 的图像如图所示，OA ＝OC ，则下列结论：

①abc ＜0； ②4ac

A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个解：由函数图象可以得到以下信息：

a ＞0，b ＜0，c ＜0，则①abc ＜0, 错误；（开口朝上，a ＞0，对称轴在y 轴右侧，x=-b/2a＞0， b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，c ＜0）

②抛物线与x 轴有两个交点,b 2-4ac ＞0, 正确；

③∵OA=OC, ∴A 点横坐标等于c, 则ac 2+bc+c=0, 则ac+b+1=0, ac+b=-1，故ac-b=-1,不正确； ④对称轴x=-b/2a＞1,2a+b＜0, 正确；

⑤OAOB=|xA x B |=- c/a,故正确；

⑥当x=-2时,4a-2b+c＞0, 错误；故选B ．

13、若抛物线y =(m -1) x 2+2mx +3m -2的最低点在x 轴上，则m 的值为。

解：根据题型，函数抛物线的顶点在x 轴上，且开口朝上，m-1＞0，再根据顶点的y 坐标为零即可求得。

三、二次函数的平移第1题图

1、抛物线y=（x+2）2-3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程中正确的是（）

A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位

B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位

C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位

D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

解析：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2-3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选B ．答案：B

2、已知下列函数：①y=x2， ②y= -x2， ③y=(x-1)2+2.其中，图像通过平移可以得到函数

y= -x2+2x-3的图像有.

解析：只要二次项的系数相同，这类二次函数图像均可以通过平移得到. 答案：②.

2y =ax +bx +c 向下平移1个单位，再向左平移5个a +b +c =0a 3、已知，≠0，把抛物线

单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。

分析：①由a +b +c =0可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。

22y =a (x +2) y =a (x +2-5) +1。解：可设新抛物线的解析式为，则原抛物线的解析式为

又因为a +b +c =0，易知原抛物线过点（1，0）

∴0=a (1+2-5) +1，解得2a =-11y =-(x -3) 2+14 ∴原抛物线的解析式为：4

抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是a 反号；②两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于x 轴对称，a 反号；③两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称；

4、二次函数y =x 2+bx +c 的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为y =x 2-2x +1，则b 与c 分别等于（ c ）

A 、6、4 B 、－8、14 C 、4、6 D 、－8、－14

5、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为。

解：因为二次函数的图像经过点（0，3），说明这是该函数和y 轴的交点，图象向左平移2个单位后以Y 轴为对称轴，说明该函数的对称轴为X=2的一条直线，图像向下平移1个单位后与X 轴只有一个公共点，说明顶点是（2,1），设这个二次函数图像的解析式为y=a（x-2)2+1 把点（0，3）代入得a （x-2)2+1=3 解得a=1/2，所以y=1/2（x-2）2+1=1/2x^2-2x+3

所以二次函数图像的解析式为y=1/2x^2-2x+3

6、已知二次函数的图象过点（0，3），图象向左平移2个单位以后y 轴为对称轴，图象向下平移1个单位后与x 轴只有一个公共点，则这个二次函数的解析式为（）

A. y=1/2x2-2x+1 B. y=1/2x2+1 C. y=1/2x2+2x+3 D. y=1/2x2-2x+3 ∵二次函数的图象过点（0，3），∴各选项中c=3的只有C ，D 两个选项．

向左平移2个单位以后y 轴为对称轴，说明原函数解析式的对称轴在y 轴的右边，而只有D 选项的对称轴在y 轴的右边．故选D

四、交点个数与字母的取值

例1、已知函数y=(x-1)2-1(x≤3), y=(x-5)2-1(x>3),则使y=k成立的x 值恰好有三个, 则k 的值为（ D ） A.0 B.1 C.2 D.3

画出图像, 易知当根据图象知道当y=k=3时，对应成立的x 有恰好有三个，

例2、已知函数y=|x2-2x|,若使y=k成立的x 值恰好有两个，则k 的值为( )

A. -1 B.0 C.1 D 以上均正确

方法一，你把A,B,C 的答案带进去。其实，A 、D 答案可以首先排掉，因为y>=0.将C 答案带进去X 的值有3个。所以选B 。

方法二，画出y=|x2-2x|的图像，再用y=k这条直线去截。只有当k=0时交点有2个。k=-1时无交点。k=1时有3个交点。交点的个数即成立的x 值的个数。

例3、函数y=|x2-1|和函数y=x+k的图像恰有三个交点，则k 的值是（1或5/4）

解：1. 先画y=x2-1图象. 然后把x 轴下方图象翻到上面. 得y=|x2-1|图象.

2.y=x+k是一个平行直线系. 特点是斜率不变(不同直线系特点不同, 还有的恒过某一定点). 纵轴截距随k 的变化而变化.

3. 平移直线. 从下往上试. 比如说与y=|x2-1|交于(1,0),正好是一个交点. 然后继续往上平移, 可以得到两个交点. 不久就发现了, 当与y=|x2-1|交于(-1,0)时, 恰有3个交点. 得k=1. 然后继续向上平移一点, 得到4个交点. 在平移一点, 当与y=|x2-1|中间突起部分相切时, 也是恰好个交点. 下面通过运算求这个切点.

只考虑突起这部分函数. 是y=-x2+1.让它与y=x+k联立, 消去y 得-x 2+1=x+k.

即x 2+x+k-1=0.只有一个交点, 判别式为0. 即1-4*(k-1)=0.得k=5/4.

例4、已知二次函数y=ax2-2ax-3a（a ＞0）．

（1）求此二次函数图象与x 轴交点A 、B （A 在B 的左边）的坐标；

（1）令ax2-2ax-3a=0（1分）解得x1=-1，x2=3（2分）

所以A （-1，0），B （3，0）．（1分）

例5、已知二次函数y=kx2-7x-7的图像与x 轴有交点，求k 的取值范围

因为二次函数y=kx2-7x-7的图像与x 轴有交点，所以△≥0。即（-7）^2-4×k×(-7)≥0, k≥-7/4.且k≠0。

例6、已知关于x 的二次函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的图象与x 轴总有交点,(1)求m 的取值范围 (2)当函数图象与x 轴两交点横坐标倒数和等于-4时，求m 值

（1）Δ=4(m-1)²-4（m+1）（m+6）≥0，

（2）得到m≤-5/9。

（2）x1+x2=-b/a=-2（m-1）/(m+6)， x1x2=c/a=(m+1)/(m+6）,

1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2=(-2m+2)/(m+1)=-4, 得到m=-3

例7、抛物线y =-3x 2-x +4 与坐标轴的交点个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0

方法1：抛物线解析式-3x 2-x +4，令x=0，解得：y=4，∴抛物线与y 轴的交点为（0，4），令

y=0，得到-3x 2-x +4=0，即3x 2+x -4=0，分解因式得：(3x +4)(x -1) =0 ，解得：x 1=- ,

x 2=1:。

方法2：抛物线解析式-3x 2-x +4，令x=0，解得：y=4，∴抛物线与y 轴的交点为（0，4），判断△＞0，则抛物线与x 轴有两个交点

∴抛物线与x 轴的交点分别为（-，0），（1，0），综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3．【答

案】选A

五、二次函数的对称轴及顶点。

y =4x -mx +5，当x -2时，y 随x 的增 1、二次函数

大而增大。则当x =-1时，y 的值是 7 。

2、已知抛物线y =(m 2-2) x 2-4mx +n 的对称轴是x =2，且它的最高点在直线y =

的顶点为，n ＝。

x +1上，则它2

六、函数与几何图形

1、如图，已知△ABC 中，BC ＝8，BC 边上的高h =4，D 为BC 上一点，EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，△DEF 的面积为y ，那么y 关于x 的函数图像大致是（） A

B D C

第3题图

解：过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，所以根据相似比可知：EF/BC=(4-X)/4，即EF/8=(4-X)/4

解得：EF=2（4-x +4x 因此选D 题图 3题图），所以△DEF 的面积为：y=1/2×2（4-x ）x= -x3

22、若抛物线y =ax 与四条直线x =1，x =2，y =1，y =2围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是（）

A 、

1111

≤a ≤1 B 、≤a ≤2 C 、≤a ≤1 D 、≤a ≤2 4224

解：根据题意得，抛物线的开口向上，a ＞0，a 越大，抛物线的开口越小，它与正方形的临界

关系有两种种，第一经过点(2，1) ，第二经过点(1，2) ，其中经过点(1，2) 的时候a 取最大值，带入得a=2；其中经过点(2，1) 的时候a 取最小值，带入得a=1/4，所以得到1/4≤a≤2 3、如图，一次函数y =kx +b 与二次函数y =ax 2+bx +c 的大致图像是（ C ）

3题图题图 A 3 B 3C D 3题图题图

4、如图，一次函数y=ax+b与二次函数y =ax 2+bx +c 的大致图像是（ C ）

3题图题图 A 3 B 3C D 3题图题图

七、解决实际问题：

1、已知函数y =x -(m -2) x +m 的图像过点（－1，15），设其图像与x 轴交于点A 、B ，点C 在图像上，且S ∆ABC =1，求点C 的坐标。

2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函

数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3

3、抛物线y =x ，y =-

x 和直线x =a （a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB ＝900。 2

（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式；（2）为使直线y =

2x +b 与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合？

4、如图，抛物线y =ax +4ax +t 与x 轴的一个交点为A （－1，0）。

（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；

（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：1、C （3+2、（1）S =

2，1）或（3-2，1）、（3，－1）

122t -2t ；（2）10月；（3）5. 5万元 3、（1）y =x ；（2）－3≤b ≤0 24

4、（1）B （－3，0）；（2）y =x +4x +3或y =-x -4x -3；（3）在抛物线的对称轴上存在点P （－2，

），使△APE 的周长最小。 2

八、函数与一元二次方程

【例1】已抛物线y =(m -1) x 2+(m -2) x -1（m 为实数）。

（1）m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？

（2）如果抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且△ABC 的面积为2，求该抛物线的解析式。分析：抛物线与x 轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m 应满足的条件。

⎧m -1≠0

略解：（1）由已知有⎨，解得m ≠0且m ≠1 2

⎩∆=m >0

（2）由x =0得C （0，－1）又∵AB =

∆m

a m -1

∴S ∆ABC =∴y =

11m 44

⋅AB ⋅OC =⋅⋅1=2 ∴m =或m = 22m -135

12216

x -x -1或y =-x 2-x -1 3355

【例2】已知抛物线y =x -(m +8) x +2(m +6) 。

（1）求证：不论m 为任何实数，抛物线与x 轴有两个不同的交点，且这两个点都在x 轴的正半轴上；

（2）设抛物线与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点，当△ABC 的面积为48平方单位时，求m 的值。（3）在（2）的条件下，以BC 为直径作⊙M ，问⊙M 是否经过抛物线的顶点P ？

解析：（1）∆=(m +4) >0，由x 1+x 2=m +8>0，x 1x 2=2(m +6) >0可得证。（2）BC =x 1-x 2=

(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=(m 2+8) 2-8(m 2+6) ＝m 2+4

⋅(m 2+4) ⋅2(m 2+6) =48 2

=2(m +6) 又∵S ∆ABC =48 ∴

解得m =2或m =-12（舍去） ∴m =±2

（3）y =x 2-10x +16，顶点（5，－9），BC =6 ∵-9>6 ∴⊙M 不经过抛物线的顶点P 。

评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。探索与创新：

c 2

【问题】如图，抛物线y =x -(a +b ) x +，其中a 、b 、c 分别是△ABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边。

（1）求证：该抛物线与x 轴必有两个交点；

（2）设有直线y =ax -bc 与抛物线交于点E 、F ，与y 轴交于点M ，抛物线与y 轴交于点N ，若抛物线的对称轴为x =a ，△MNE 与△MNF 的面积之比为5∶1，求证：△ABC 是等边三角形；

（2）当S ∆ABC =3时，设抛物线与x 轴交于点P 、Q ，问是否存在过P 、Q 两点且与y 轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：（1）∆=(a +b ) 2-c 2=(a +b +c )(a +b -c ) ∵a +b +c >0，a +b -c >0 ∴∆>0 （2）由

a +b

=a 得a =b 2

⎧c 22

c 2⎪y =x -(a +b ) x +

+ac =0 由⎨4得：x -3ax +4⎪y =ax -bc

⎩

c 2

+ac 设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），那么：x 1+x 2=3a ，x 1x 2=4

由S ∆MNE ∶S ∆MNF ＝5∶1得：x 1=5x 2 ∴x 1=5x 2或x 1=-5x 2

由x 1⋅x 2>0知x 1=-5x 2应舍去。

⎧x 1+x 2=3a a

由⎨解得x 2=

2⎩x 1=5x 2

c 2⎛a ⎫

∴5 ⎪=+ac ，即5a 2-4ac -c 2=0

4⎝2⎭

∴ a =c 或5a +c =0（舍去）

∴ a =b =c

∴△ABC 是等边三角形。（3）S ∆ABC =3，即

a =3

∴a =2或a =-2（舍去）

∴a =b =c =2，此时抛物线y =x 2-4x +1的对称轴是x =2，与x 轴的两交点坐标为P （2-，0），Q （2+3，0）

设过P 、Q 两点的圆与y 轴的切点坐标为（0，t ），由切割线定理有：t

=OP ⋅OQ

∴t =±1

故所求圆的圆心坐标为（2，－1）或（2，1）

评注：本题（1）（2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。跟踪训练：一、选择题：

1、已知抛物线y =5x +(m -1) x +m 与x 轴两交点在y 轴同侧，它们的距离的平方等于（）

A 、－2 B 、12 C 、24 D 、－2或24

2、已知二次函数y 1=ax +bx +c （a ≠0）与一次函数y 2=kx +m （k ≠0）的图像交于点A （－2，4），B （8，2），如图所示，则能使y 1>y 2成立的x 的取值范围是（）

A 、x 8 C 、-28

，则m 的值为25

第2题图

第4题图

3、如图，抛物线y =ax +bx +c 与两坐标轴的交点分别是A 、B 、E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，

则下列关系：①a +c =0；②b =0；③ac =-1；④S ∆ABE =c 其中正确的有（）

A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个

4、设函数y =-x +2(m -1) x +m +1的图像如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，线段OA 与OB 的比为1∶3，则m 的值为（） A 、

或2 B 、 C 、1 D 、2 33

二、填空题：

1、已知抛物线y =x -(k -1) x -3k -2与x 轴交于两点A （α，0），B （β，0），且α+β=17，则k ＝。

2、抛物线y =x -(2m -1) x -2m 与x 轴的两交点坐标分别是A （x 1，0），B （x 2，0），且的值为。

x 1

=1，则m x 2

3、若抛物线y =-

x +mx +m -1交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且∠ACB ＝900，则m ＝。 2

x 2(x 1

时，y =1；②当x >x 2时，y >0；③方程kx 2+(2k -1) x -1＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2；④x 1

+4k 2

，其中所有正确的结论是 x 2>-1；⑤x 2-x 1=

三、解答题：

1、已知二次函数y =ax +bx +c （a ≠0）的图像过点E （2，3），对称轴为x =1，它的图像与x 轴交

于两点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在（1）中抛物线上是否存在点P ，使△POA 的面积等于△EOB 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

2、已知抛物线y =-x 2+(m -4) x +2m +4与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0）两点，与y 轴交于点C ，且x 1

（1）求过点C 、B 、D 的抛物线解析式；

（2）若P 是（1）中所求抛物线的顶点，H 是这条抛物线上异于点C 的另一点，且△HBD 与△CBD 的面积相等，求直线PH 的解析式；

3、已知抛物线y =

123

x -mx -2m 交x 轴于点A （x 1，0），B （x 2，0）两点，交y 轴于点C ，且x 1

(AO +BO ) 2=12CO +1。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点，使∠APB 为锐角、钝角，若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题：CDBD 二、填空题：

1、2；2、三、解答题：

1、（1）y =-x +2x +3；（2）存在，P （1+，－9）或（1-，－9） 2

2、（1）y =x -6x +8；（2）y =3x -10

；3、3；4、①③④ 2

3、（1）y =为钝角。

123

x -x -2；（2）当0

二次函数各种题型汇总

一、利用函数的对称性解题

（一）用对称比较大小

例1、已知二次函数y=x2-3x-4，若x 2-3/2＞3/2-x1＞0，比较y 1与y 2的大小

解：抛物线的对称轴为x=3/2，且3/2-x1＞0，x 2-3/2＞0，所以x 1在对称轴的左侧，x 2在对称轴的右侧，

由已知条件x 2-3/2＞3/2-x1＞0，得：x2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离，所以y 2＞y 1

（二）用对称求解析式

例1、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（－1，4），与x 轴两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式。

解：因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x=－1，又因为抛物线与x 轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为：

x 1=－1－3=－4，x 2=－1+3=2 则两交点的坐标为（－4，0）、（2，0）；

设抛物线的解析式为顶点式：ya （x+1）+4，把（2，0）代入得a=－4/9。

所以抛物线的解析式为y=－4/9（x+1）2+4

（三）用对称性解题

例1：关于x 的方程x 2+px+1=0（p ＞0）的两根之差为1，则p 等于（）

A. 2 B. 4 C. D.

例2、如图，已知抛物线y=x2 +bx+c的对称轴为x=2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（）

A ．（2，3） B ．（3，2） C ．（3，3） D ．（4，3）

解：由点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行可知，点A ，B 关于x=2对称。

设点B 的横坐标为x B ，∵点A 的坐标为（0，3），所以，（0+xB ）/2=2，x B =4

∴B 点坐标为（4，3）

例3、（2010，浙江金华）若二次函数y=－x 2+2x+k的部分图象如图3所示，则关于x 的一元二次方程－x 2+2x+k=0的一个解x 1=3，另一个解x 2 是多少；

解：依题意得二次函数y=-x2+2x+k的对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为（3，0）， ∴抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为1-（3-1）=-1，∴交点坐标为（-1，0）

∴关于x 的一元二次方程-x 2+2x+k=0的解为x 1=3或x 2=－1．故填空答案：x 1=-1

例4：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a ＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P （3，0），则 a

－b+c的值为（） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2

解法1：将P 代入得：9a+3b+c=0

由对称轴得：-b/2a=1, 得b=-2a 9a+3b+c=3a+c=0

即a+2a+c=0 则 a-b+c=0

例5、抛物线y=ax2+bx+c经过点A （-2,7），B （6,7），C （3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_______________

例6、已知抛物线上有不同的两点E(k+3，-k 2+1)和F(-k-1，-k 2+1)．求抛物线的解析式．

分析：关键是确定一次项系数b ．观察抛物线上不同的两点E(k+3，-k 2+1)和F(-k-1，-k 2+1)．纵坐标相同，因此判断得点E 和点F 关于抛物线对称轴对称．

解：的对称轴为x=-b÷（-1/2×2）=b

例7（2010，山东聊城）如图5，已知抛物线y ＝ax2+bx+c（a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求此时点

M 的坐标；． 2

解：（1）∵抛物线经过点C （0，－3）∴c ＝－3，∴y ＝ax2+bx-3。

又抛物线经过点A （－1，0），对称轴为x=1，

所以a-b-3=0 －b/2a=1 解得 a=1 b=-2

∴抛物线的函数关系式为y ＝x2－2x-3

由B （3，0），C （0，－3），解得y=x-3, 由x=1, 解得y=-2.

当点M （1，-2）时，M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小

（2）∵点A （－1,0），对称轴为x=1，∴点B （3，0）．连接BC, 交对称轴x=1于点M. ∵点M 在对称轴上，MA=MB ,

∴直线BC 与对称轴x=1的交点即为所求的M 点. 设直线BC 的函数关系式为y=kx+b，由B （3，0），C （0，－3），解得y=x-3, 由x=1, 解得y=-2.

当点M （1，-2）时，M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小

1y =-(x +1) 2+32。 21=a (1+1) 2+3，a =-12。从而可确定二次函数的解析式为

2y =ax +bx +c (a ≠0) 经过点A （-3，-5），且b =2a 。试求抛物线经过除例9. 已知抛物线

A 点以外的另一定点的坐标。

2y =ax +bx +c ，再确定某一常数点，思维受阻。考虑到分析：按照常规思维写出解析式

例10、已知，抛物线y =a (x -t -1) 2+t 2（a 、t 是常数且不等于零）的顶点是A ，如图所示，抛物线y =x 2-2x +1的顶点是B 。

（1）判断点A 是否在抛物线y =x -2x +1上，为什么？

（2）如果抛物线y =a (x -t -1) +t 经过点B ，①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的

两个交点和它的顶点A 能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。

解析：（1）抛物线y =a (x -t -1) +t 的顶点A （t +1，t ），而x =t +1当时，222222问题图

y =x 2-2x +1=(x -1) 2=(x +1-1) 2＝t 2，所以点A 在抛物线y =x 2-2x +1上。

2222（2）①顶点B （1，0），a (1-t -1) +t =0，∵t ≠0，∴a =-1；②设抛物线y =a (x -t -1) +t 与

x 轴的另一交点为C ，∴B （1，0），C （2t +1，0），由抛物线的对称性可知，△ABC 为等腰直角三角形，

2过A 作AD ⊥x 轴于D ，则AD ＝BD 。当点C 在点B 的左边时，t =1-(t +1) ，解得t =-1或t =0（舍）；

2当点C 在点B 的右边时，t =(t +1) -1，解得t =1或t =0（舍）。故t =±1。

例11. 如图2所示，圆O 的直径为2，AB 、EF 为互相垂直的两条直径，以AB 所在直线为y 轴，过点A 作x 轴，建立直角坐标系。

（1）写出E 、F 的坐标；

（2）经过E 、F 两点的抛物线从左至右交x 轴于C 、D 两点，若|CD |=3，试判定抛物线的顶点是否在圆内。

（3）若经过E 、F 两点的抛物线的顶点恰好在圆O 上，试求抛物线的解析式。

分析：（1）E 点的坐标为（-1，1），F 点的坐标为（1，1）；

（2）根据结论2可知，E 、F 关于对称轴对称，从而可知对称轴为x =0。C 、D 是抛物线与x 轴的两个交

⎧⎪1=a +b +c ⎪3233⎪2点，根据结论1，易知C 点坐标为(-，0) 。设解析式为y =ax +bx +c ，建立方程组⎨0=(-) a -b +c 222⎪⎪b -=0⎪⎩2a

可得解析式为y =-4299x +。易知顶点在线段AB 上。因为

222（2）当A 点为顶点时，设解析式为y =ax ，所以1=a (-1) 。解得a =1，所以解析式为y =x 。 y =-x 2+2。

注意：求抛物线的解析式的过程中，为避免方程组中出现相同的方程，对称的两点中，只用其中一个点的坐标来列方程。

二、二次函数a 、b 、c 之间的关系题型及字母求值的题型

1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，给出下列结论：① b2－4ac>0；② 2a+b

A. ①② B. ②③

C. ③④ D. ①④

2、如图为二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象，则下列说法中正确的个数为（） ①a ＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞

0 （）

A ．1 B ．2 C ．3 D ．

解：①图象开口向下，能得到a ＜0；②对称轴在y 轴右侧，x==1

，则有﹣=1，即2a+b=0；

③当x=1时，y ＞0，则a+b+c＞0； ④由图可知，当﹣1＜x ＜3时，y ＞0．故选C ．

1 3、已知:M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y =上，点N 在直线y=x+3上，设点2x

M 的坐标为（a,b ），则二次函数y = –abx 2+(a+b)x

99 A . 有最大值，最大值为 – B . 有最大值，最大值为 22

99 C . 有最小值，最小值为 D . 有最小值，最小值为 – 22

1；∵N 在直线上，∴b =–a +3,即a +b =3； 2

9911 ∴二次函数y = –abx 2+(a+b)x= –x 2+3x = –(x –3) 2+，∴有最大值，最大值为，【答案】B 2222 【解析】M (a , b ) ，则N (–a , b ) ，∵M 在双曲线上，∴ab =

4、在平面直角坐标系中，将抛物线y =x 2-x -6向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为（ B ）

A ．1 B ．2 C ．3 D ．6

∵抛物线的开口向下，∴a ＜0，

∵与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，

∵对称轴为x =-b =1，得2a =－b ，∴a 、b 异号，即b ＞0， 2a

又∵c ＞0，∴abc ＜0，故①正确；

∵抛物线与x 轴的交点可以看出，

当x =－1时，y ＜0，∴a －b +c ＜0，故②正确；

当x =－1时，y ＜0，

而此时a －b +c =3a +c ，即3a +c

观察图形，显然④不正确．【答案】①②③

2y =x -2mx -3，有下列说法：其中正确的说法是． 6、对于二次函数

①它的图象与x 轴有两个公共点；

②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m =1；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m =-1；

④如果当x =4时的函数值与x =2008时的函数值相等，则当x =2012时的函数值为-3．

【解析】①根据函数与方程的关系解答；∵△＝4m 2－4×（－3）＝4m 2＋12＞0，∴它的图象与x 轴有两个公共点，故本选项正确；

值不能包含对称轴的值，）∴函数的对称轴x ＝－－2m =m，在直线x ＝1的右侧，故本选项错误； 2

④根据坐标的对称性，求出m 的值，得到函数解析式，将m ＝2013代入解析式；④∵当x

－2m 4+2008＝4时的函数值与x ＝2008时的函数值相等，∴对称轴为x ＝＝1006，则－＝1006，22

即m ＝1006，原函数可化为y ＝x 2－2013x －3，当x ＝2013时，y ＝20132－2013×2013－3＝－3，故本选项正确．【答案】①④（多填、少填或错填均不给分）

解：由抛物线与y 轴的交点位置得到：c ＞1，选项①错误；

b ∵抛物线的对称轴为x=- =1，∴2a+b=0，选项②正确； 2a

由抛物线与x 轴有两个交点，得到b 2-4ac ＞0，即b 2＞4ac ，选项③错误；

b b 2令抛物线解析式中y=0，得到ax +bx+c=0，∵方程的两根为x 1，x 2，且- =1，及- =2， 2a a

b ∴x 1+x2=- =2，选项④正确，综上，正确的结论有②④．故选C a

8、已知二次函数y=ax2+bx+c，且a ＜0，a-b+c＞0，则一定有（A ）

A. 有两个不相等的实根 B. 有两个相等的实根 C. 没有实根 D. 无法确定

因为a0，可知x=-1时，函数值y>0，所以方程两个根分别位于-1两侧, 显然这两个根不相等。

9、已知二次函数y=ax2+bx+c，且a ＜0，a-b+c＞0，则一定有（ A ）

A 、b 2-4ac ＞0 B 、b 2-4ac=0 C 、b 2-4ac ＜0 D 、b 2-4ac ≤

解：∵a ＜0 ∴抛物线的开口向下

∵a-b+c＞0 ∴当x=-1时，y=a-b+c＞0 抛物线与x 轴有两个交点 ∴b2-4ac ＞0

10、已知：a ＞b ＞c ，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）

A ． B ．

C ． D ．

A 、由图知a ＞0，-b/2a=1，c ＞0，即b ＜0，∵已知a ＞b ＞c ，故本选项错误；

B 、由图知a ＜0，而已知a ＞b ＞c ，且a+b+c=0，必须a ＞0，故本选项错误；

C 、图C 中条件满足a ＞b ＞c ，且a+b+c=0，故本选项正确； D 、∵a+b+c=0，

即当x=1时a+b+c=0，与图中与x 轴的交点不符，故本选项错误．故选C ．

解：由图知a ＞0, 对称轴x=-b/2a＞0, 知b

抛物线与y 轴交于负半轴，c ＜0, 所以abc ＞0,

因为图像与x 轴有两个交点，所以b ²-4ac ＞0,

由对称轴

x=-b/2a＜1.a ＞0知-b ＜2a, 即2a+b＞0 由图知当x=1时,y=a+b+c＜0. 由图知当x=-1时,y=a-b+c＞0.

由图知当x=-2时,y=4a-2b+c＞0

12、二次函数y =ax +bx +c 的图像如图所示，OA ＝OC ，则下列结论：

①abc ＜0； ②4ac

A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个解：由函数图象可以得到以下信息：

a ＞0，b ＜0，c ＜0，则①abc ＜0, 错误；（开口朝上，a ＞0，对称轴在y 轴右侧，x=-b/2a＞0， b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，c ＜0）

②抛物线与x 轴有两个交点,b 2-4ac ＞0, 正确；

③∵OA=OC, ∴A 点横坐标等于c, 则ac 2+bc+c=0, 则ac+b+1=0, ac+b=-1，故ac-b=-1,不正确； ④对称轴x=-b/2a＞1,2a+b＜0, 正确；

⑤OAOB=|xA x B |=- c/a,故正确；

⑥当x=-2时,4a-2b+c＞0, 错误；故选B ．

13、若抛物线y =(m -1) x 2+2mx +3m -2的最低点在x 轴上，则m 的值为。

解：根据题型，函数抛物线的顶点在x 轴上，且开口朝上，m-1＞0，再根据顶点的y 坐标为零即可求得。

三、二次函数的平移第1题图

1、抛物线y=（x+2）2-3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程中正确的是（）

A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位

B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位

C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位

D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

2、已知下列函数：①y=x2， ②y= -x2， ③y=(x-1)2+2.其中，图像通过平移可以得到函数

y= -x2+2x-3的图像有.

解析：只要二次项的系数相同，这类二次函数图像均可以通过平移得到. 答案：②.

2y =ax +bx +c 向下平移1个单位，再向左平移5个a +b +c =0a 3、已知，≠0，把抛物线

单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。

分析：①由a +b +c =0可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。

22y =a (x +2) y =a (x +2-5) +1。解：可设新抛物线的解析式为，则原抛物线的解析式为

又因为a +b +c =0，易知原抛物线过点（1，0）

∴0=a (1+2-5) +1，解得2a =-11y =-(x -3) 2+14 ∴原抛物线的解析式为：4

4、二次函数y =x 2+bx +c 的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为y =x 2-2x +1，则b 与c 分别等于（ c ）

A 、6、4 B 、－8、14 C 、4、6 D 、－8、－14

5、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为。

所以二次函数图像的解析式为y=1/2x^2-2x+3

A. y=1/2x2-2x+1 B. y=1/2x2+1 C. y=1/2x2+2x+3 D. y=1/2x2-2x+3 ∵二次函数的图象过点（0，3），∴各选项中c=3的只有C ，D 两个选项．

向左平移2个单位以后y 轴为对称轴，说明原函数解析式的对称轴在y 轴的右边，而只有D 选项的对称轴在y 轴的右边．故选D

四、交点个数与字母的取值

例1、已知函数y=(x-1)2-1(x≤3), y=(x-5)2-1(x>3),则使y=k成立的x 值恰好有三个, 则k 的值为（ D ） A.0 B.1 C.2 D.3

画出图像, 易知当根据图象知道当y=k=3时，对应成立的x 有恰好有三个，

例2、已知函数y=|x2-2x|,若使y=k成立的x 值恰好有两个，则k 的值为( )

A. -1 B.0 C.1 D 以上均正确

方法一，你把A,B,C 的答案带进去。其实，A 、D 答案可以首先排掉，因为y>=0.将C 答案带进去X 的值有3个。所以选B 。

方法二，画出y=|x2-2x|的图像，再用y=k这条直线去截。只有当k=0时交点有2个。k=-1时无交点。k=1时有3个交点。交点的个数即成立的x 值的个数。

例3、函数y=|x2-1|和函数y=x+k的图像恰有三个交点，则k 的值是（1或5/4）

解：1. 先画y=x2-1图象. 然后把x 轴下方图象翻到上面. 得y=|x2-1|图象.

2.y=x+k是一个平行直线系. 特点是斜率不变(不同直线系特点不同, 还有的恒过某一定点). 纵轴截距随k 的变化而变化.

只考虑突起这部分函数. 是y=-x2+1.让它与y=x+k联立, 消去y 得-x 2+1=x+k.

即x 2+x+k-1=0.只有一个交点, 判别式为0. 即1-4*(k-1)=0.得k=5/4.

例4、已知二次函数y=ax2-2ax-3a（a ＞0）．

（1）求此二次函数图象与x 轴交点A 、B （A 在B 的左边）的坐标；

（1）令ax2-2ax-3a=0（1分）解得x1=-1，x2=3（2分）

所以A （-1，0），B （3，0）．（1分）

例5、已知二次函数y=kx2-7x-7的图像与x 轴有交点，求k 的取值范围

因为二次函数y=kx2-7x-7的图像与x 轴有交点，所以△≥0。即（-7）^2-4×k×(-7)≥0, k≥-7/4.且k≠0。

例6、已知关于x 的二次函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的图象与x 轴总有交点,(1)求m 的取值范围 (2)当函数图象与x 轴两交点横坐标倒数和等于-4时，求m 值

（1）Δ=4(m-1)²-4（m+1）（m+6）≥0，

（2）得到m≤-5/9。

（2）x1+x2=-b/a=-2（m-1）/(m+6)， x1x2=c/a=(m+1)/(m+6）,

1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2=(-2m+2)/(m+1)=-4, 得到m=-3

例7、抛物线y =-3x 2-x +4 与坐标轴的交点个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0

方法1：抛物线解析式-3x 2-x +4，令x=0，解得：y=4，∴抛物线与y 轴的交点为（0，4），令

y=0，得到-3x 2-x +4=0，即3x 2+x -4=0，分解因式得：(3x +4)(x -1) =0 ，解得：x 1=- ,

x 2=1:。

方法2：抛物线解析式-3x 2-x +4，令x=0，解得：y=4，∴抛物线与y 轴的交点为（0，4），判断△＞0，则抛物线与x 轴有两个交点

∴抛物线与x 轴的交点分别为（-，0），（1，0），综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3．【答

案】选A

五、二次函数的对称轴及顶点。

y =4x -mx +5，当x -2时，y 随x 的增 1、二次函数

大而增大。则当x =-1时，y 的值是 7 。

2、已知抛物线y =(m 2-2) x 2-4mx +n 的对称轴是x =2，且它的最高点在直线y =

的顶点为，n ＝。

x +1上，则它2

六、函数与几何图形

B D C

第3题图

解：过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，所以根据相似比可知：EF/BC=(4-X)/4，即EF/8=(4-X)/4

解得：EF=2（4-x +4x 因此选D 题图 3题图），所以△DEF 的面积为：y=1/2×2（4-x ）x= -x3

22、若抛物线y =ax 与四条直线x =1，x =2，y =1，y =2围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是（）

A 、

1111

≤a ≤1 B 、≤a ≤2 C 、≤a ≤1 D 、≤a ≤2 4224

解：根据题意得，抛物线的开口向上，a ＞0，a 越大，抛物线的开口越小，它与正方形的临界

3题图题图 A 3 B 3C D 3题图题图

4、如图，一次函数y=ax+b与二次函数y =ax 2+bx +c 的大致图像是（ C ）

3题图题图 A 3 B 3C D 3题图题图

七、解决实际问题：

1、已知函数y =x -(m -2) x +m 的图像过点（－1，15），设其图像与x 轴交于点A 、B ，点C 在图像上，且S ∆ABC =1，求点C 的坐标。

2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3

3、抛物线y =x ，y =-

x 和直线x =a （a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB ＝900。 2

（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式；（2）为使直线y =

2x +b 与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合？

4、如图，抛物线y =ax +4ax +t 与x 轴的一个交点为A （－1，0）。

（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；

（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；

答案：1、C （3+2、（1）S =

2，1）或（3-2，1）、（3，－1）

122t -2t ；（2）10月；（3）5. 5万元 3、（1）y =x ；（2）－3≤b ≤0 24

4、（1）B （－3，0）；（2）y =x +4x +3或y =-x -4x -3；（3）在抛物线的对称轴上存在点P （－2，

），使△APE 的周长最小。 2

八、函数与一元二次方程

【例1】已抛物线y =(m -1) x 2+(m -2) x -1（m 为实数）。

（1）m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？

⎧m -1≠0

略解：（1）由已知有⎨，解得m ≠0且m ≠1 2

⎩∆=m >0

（2）由x =0得C （0，－1）又∵AB =

∆m

a m -1

∴S ∆ABC =∴y =

11m 44

⋅AB ⋅OC =⋅⋅1=2 ∴m =或m = 22m -135

12216

x -x -1或y =-x 2-x -1 3355

【例2】已知抛物线y =x -(m +8) x +2(m +6) 。

（1）求证：不论m 为任何实数，抛物线与x 轴有两个不同的交点，且这两个点都在x 轴的正半轴上；

解析：（1）∆=(m +4) >0，由x 1+x 2=m +8>0，x 1x 2=2(m +6) >0可得证。（2）BC =x 1-x 2=

(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=(m 2+8) 2-8(m 2+6) ＝m 2+4

⋅(m 2+4) ⋅2(m 2+6) =48 2

=2(m +6) 又∵S ∆ABC =48 ∴

解得m =2或m =-12（舍去） ∴m =±2

（3）y =x 2-10x +16，顶点（5，－9），BC =6 ∵-9>6 ∴⊙M 不经过抛物线的顶点P 。

c 2

【问题】如图，抛物线y =x -(a +b ) x +，其中a 、b 、c 分别是△ABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边。

（1）求证：该抛物线与x 轴必有两个交点；

解析：（1）∆=(a +b ) 2-c 2=(a +b +c )(a +b -c ) ∵a +b +c >0，a +b -c >0 ∴∆>0 （2）由

a +b

=a 得a =b 2

⎧c 22

c 2⎪y =x -(a +b ) x +

+ac =0 由⎨4得：x -3ax +4⎪y =ax -bc

⎩

c 2

+ac 设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），那么：x 1+x 2=3a ，x 1x 2=4

由S ∆MNE ∶S ∆MNF ＝5∶1得：x 1=5x 2 ∴x 1=5x 2或x 1=-5x 2

由x 1⋅x 2>0知x 1=-5x 2应舍去。

⎧x 1+x 2=3a a

由⎨解得x 2=

2⎩x 1=5x 2

c 2⎛a ⎫

∴5 ⎪=+ac ，即5a 2-4ac -c 2=0

4⎝2⎭

∴ a =c 或5a +c =0（舍去）

∴ a =b =c

∴△ABC 是等边三角形。（3）S ∆ABC =3，即

a =3

∴a =2或a =-2（舍去）

∴a =b =c =2，此时抛物线y =x 2-4x +1的对称轴是x =2，与x 轴的两交点坐标为P （2-，0），Q （2+3，0）

设过P 、Q 两点的圆与y 轴的切点坐标为（0，t ），由切割线定理有：t

=OP ⋅OQ

∴t =±1

故所求圆的圆心坐标为（2，－1）或（2，1）

1、已知抛物线y =5x +(m -1) x +m 与x 轴两交点在y 轴同侧，它们的距离的平方等于（）

A 、－2 B 、12 C 、24 D 、－2或24

A 、x 8 C 、-28

，则m 的值为25

第2题图

第4题图

3、如图，抛物线y =ax +bx +c 与两坐标轴的交点分别是A 、B 、E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，

则下列关系：①a +c =0；②b =0；③ac =-1；④S ∆ABE =c 其中正确的有（）

A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个

4、设函数y =-x +2(m -1) x +m +1的图像如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，线段OA 与OB 的比为1∶3，则m 的值为（） A 、

或2 B 、 C 、1 D 、2 33

二、填空题：

1、已知抛物线y =x -(k -1) x -3k -2与x 轴交于两点A （α，0），B （β，0），且α+β=17，则k ＝。

2、抛物线y =x -(2m -1) x -2m 与x 轴的两交点坐标分别是A （x 1，0），B （x 2，0），且的值为。

x 1

=1，则m x 2

3、若抛物线y =-

x +mx +m -1交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且∠ACB ＝900，则m ＝。 2

x 2(x 1

时，y =1；②当x >x 2时，y >0；③方程kx 2+(2k -1) x -1＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2；④x 1

+4k 2

，其中所有正确的结论是 x 2>-1；⑤x 2-x 1=

三、解答题：

1、已知二次函数y =ax +bx +c （a ≠0）的图像过点E （2，3），对称轴为x =1，它的图像与x 轴交

于两点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在（1）中抛物线上是否存在点P ，使△POA 的面积等于△EOB 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

2、已知抛物线y =-x 2+(m -4) x +2m +4与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0）两点，与y 轴交于点C ，且x 1

（1）求过点C 、B 、D 的抛物线解析式；

（2）若P 是（1）中所求抛物线的顶点，H 是这条抛物线上异于点C 的另一点，且△HBD 与△CBD 的面积相等，求直线PH 的解析式；

3、已知抛物线y =

123

x -mx -2m 交x 轴于点A （x 1，0），B （x 2，0）两点，交y 轴于点C ，且x 1

(AO +BO ) 2=12CO +1。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点，使∠APB 为锐角、钝角，若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题：CDBD 二、填空题：

1、2；2、三、解答题：

1、（1）y =-x +2x +3；（2）存在，P （1+，－9）或（1-，－9） 2

2、（1）y =x -6x +8；（2）y =3x -10

；3、3；4、①③④ 2

3、（1）y =为钝角。

123

x -x -2；（2）当0

二次函数各种题型汇总

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