数列的解题技巧
编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅 【命题趋向】
从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：
1. 等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有. 2. 数列中
与
之间的互化关系也是高考的一个热点.
3. 函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.
4. 解答题的难度有逐年增大的趋势, 还有一些新颖题型, 如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意：
1. 数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决. 如通项公式、前n 项和公式等.
2. 运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量
、
（或），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.
3. 分类讨论的思想在本章尤为突出. 学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意
和
两种情况等等.
与
的转化；将一些数列转
4. 等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外. 如
化成等差（比）数列来解决等. 复习时，要及时总结归纳.
5. 深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.
6. 解题要善于总结基本数学方法. 如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.
7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.
【考点透视】
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.
2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题.
3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题.
4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位. 高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏. 解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分
度. 有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法. 应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.
【例题解析】
考点一：正确理解和运用数列的概念与通项公式
理解数列的概念, 正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式. 1．（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以
表示第n 堆的乒乓球总数，则
____________（答案
____________；
用n 表示）.
……
思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是1，3,6,10, …，推测出第n 层的球数。
解答过程：显然
.
第n 堆最低层（第一层）的乒乓球数，总
数
相
当
于
前
n
堆
乒
乓
球
的
低
层
，第n 堆的乒乓球数数
之
和
，
即
所以：
2．（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第____________行；第61行中1的个数是
____________．
第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1
…… …………………………………
思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。 解：第1次全行的数都为1的是第=1行，
=3行， =7行，
第2次全行的数都为1的是第 第3次全行的数都为1的是第 ······，
第次全行的数都为1的是第 第61行中1的个数是25=32．
考点二：数列的递推关系式的理解与应用
行；
在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。 如叠加法：若到数列
的通项. ，
，
，…，
且
；我们可把各个关系式列出来进行叠加求和，可得
∴
再看叠乘法：且，可把各个商列出来求积。
另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。
3．（2007年北京卷理）数列），
且
中，
，
（
是常数，
成公比不为的等比数列．
（I ）求的值；（II ）求 思路启迪：（1）由
的通项公式．
成公比不为的等比数列列方程求；
（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出公式. 解： （I ） 因为 当 （II ）当
时，时，由于
，
，
，
，
，
，
，
，解得．
或
．
与n 之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项
成等比数列，所以
，不符合题意舍去，故
所以 又 当 所以
，
，故
．
．
时，上式也成立，
．
小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.
则
( )
4．数列
满足，，…．若，
（Ａ） （Ｂ） ３ （Ｃ） ４ （Ｄ） ５
思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用. 解答过程1：
，
.
相叠加得.
解答过程2：
，
，
.
，
，
.
由得：
，
解答过程3：
，因为，所以.
由得：
从而；；…；.
叠加得：.
，
， 从而.
小结：数列递推关系是近几年高考数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。
对连续两项递推 对连续三项递推的关系
，则上递推关系式可化为
考点三：数列的通项
与前n 项和
，可转化为
，如果方程或
； 有两个根.
之间的关系与应用
与的关系：，数列前n 项和时，一定要注意条件
的式子问题时，通常转化为只含
中,
和通项是数列中两个重
要的量，在运用它们的关系式证
是否适合。解决含
与
，求通项时一定要验或者转化为只
, 若数列
的式子.
5．（2006年辽宁卷） 在等比数列
等于（ ） (B)
(C)
, 前项和为
也是等比数列, 则 (A)
(D)
命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。 过程指引：因数列
为等比，则
，因数列
也是等比数列，则
即
6. 已知在正项数列
中，或者只含
表示前n 项和，且的递推关系式.
时，
；
，即
，求
.
，所以
，故选择答案C.
思路启迪：转化为只含 解答过程1：由已知 当 又
时，
，得当，代入已知有. ，故
，
.
∴数列 故
是首项为.
，公差的等差数列，
解答过程2：由已知，得当n=1时，；
当 所以
时，因为
，
，所以
，
.
，因为
，所以
.
考点四：数列中与n 有关的等式的理解与应用
得到另外的式子。也可以把
对数列中的含n 的式子，注意可以把式子中的n 换为
n 取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.
7．（2006年福建卷）已知数列
的通项公式； 满足
(
), 证明:
满足
(
)
（Ⅰ）求数列 （Ⅱ）若数列
是等差数列;
思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化。 解答过程： （I ）解：∵ ∴ （II ）证法一：∵ ∴ ∴
即
①
②
是以
即
，∴
为首项，2为公比的等比数列。 （
）
，
②－①，得
③－④，得 故
考点五：等差、等比数列的概念与性质的理解与应用 在等差、等比数列中，已知五个元素
是等差数列.
④
，即 ③
， 即
中的任意三个，运用方程的思
和公差
或，
想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项（或公比）。另外注意等差、等比数列的性质的运用. 例如 （1）等差数列 等比数列 （2）等差数列数列，且公差 为
；
中（.
中，项数n 成等差的项中，
；
也成等差数列.
.
）的前n 项和为
，则
中，若中，若的前n 项为
，则
，则，则
.
；
成等差
等比数列成等比数列，且公比 （3）在等差数列 （4）在等差数列
在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式. 注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.
8．（2006年江西卷）已知等差数列
的前n 项和为＝（ ）
，若
，
且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则
A ．100 B. 101 C.200 D.201
命题目的：考查向量性质、等差数列的性质与前n 项和。 过程指引：依题意，
，故选A
9．（2007年安徽卷文、理）
某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 是一个公差为
, 因此，历年所交纳的储备金数目
,
， …
的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，
而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率 为（
）, 那么, 在第年末，第一年所交纳的储备金就变为
，……. 以
与
（
，第二年所交
纳的储备金就变成 （Ⅰ）写出 （Ⅱ）求证
表示到第年末所累计的储备金总额.
）的递推关系式； ，其中{
}是一个等比数列，{
}是一个等差数列.
命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力. 解： （I ）我们有 （II ）
=…=
在①式两端同乘1+r，得
②－①，得
②
，对
反复使用上述关系式，得
①
即
记，，则
，其中{}是等比数列，且首项为，公比为
；是等差数列，且首项为，公比为.
点评：解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
考点六：等差、等比数列前n 项和的理解与应用
等差、等比数列的前n 项和公式要深刻理解。等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次
函数；等比数列的前n 项和公式
是关于n 的指数函数，当
10．（2007年广东卷理）已知数列, 则k=（）
时，
（.
），因此可以改写为
的前n 项和, 第k 项满足
A ．9 B ．8 C ．7 D ．6
思路启迪：本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力． 解：此数列为等差数列， 足:且
是以q 为公比的等比数列.
； 证明数列
是等比数列；
11．（2007
年湖北卷文）已知数列
和
满
，由5
（Ⅰ）证明： （Ⅱ）若
（Ⅲ）求和：.
命题目的：本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：
（I ）证：由 （II ）证：
，有，
，
，
．
，
∴
是首项为5，以
为公比的等比数列．
．
（III ）由（II ）得，，于是
当时，
故
解法2：
（I ）同解法1（I ）．
（II ）证：
是首项为5，以
（III ）由（II ）的类似方法得
当
为公比的等比数列．
，又，
，
． 时
，
．
，．
，．
考点七：数列与函数的迭代问题
．下同解法1．
由函数迭代的数列问题是近几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数与数列知识综合起来，考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等，另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景，它与当前国际数学主流之一的动力系统（拓扑动力系统、微分动力系统）密切相关，数学家们极为推崇，函数迭代一直出现在各类数学竞赛试题中，近几年又频频出现在高考数学试题中.
上，
12．（2006年山东卷）已知数列
中，，点在直线y=x
其中n=1,2,3…. (Ⅰ) 令 (Ⅱ) 求数列
，求证的通项；
是等比数列；
(III)设、分别为数列、的前n 项和, 是否存在实数，使得数列
为等差数列？若存在，试求出. 若不存在, 则说明理由.
是等比数列；对
可由已知用叠加法求出求。
思路启迪：利用等比的定义证明求出
与
便可顺利求出第三问.
解答过程：
（I ）由已知得
又
，
是以为首项，以为公比的等比数列.
（II ）由（I ）知， ，，…， 将以上各式相加得：
（III ）解法一：
存在，使数列是等差数列.
数列是等差数列的充要条件是
即
、是常数
（
又 当且仅当，即时，数列为等差数列.
解法二：存在，使数列是等差数列.
由（I ）、（II ）知，，
.
又.
∴.
当且仅当时，数列是等差数列.
13（2007年陕西卷理） 已知各项全不为零的数列的前k 项和为 且（），其中
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（II ）对任意给定的正整数
，数列满足
. 求
.
.
∴
.
，
思路启迪：注意利用 解：
解决问题．
（Ⅰ）当，由及，得．
当 因为
时，由，所以
，
．从而
．故
，得
．
．
（Ⅱ）因为，所以．
所以
故
考点八：数列综合应用与创新问题
数列与其它数学知识的综合性问题是高考的热点，全面考察数学知识的掌握和运用的情况，以及分析问题解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性等，涉及的数学思想方法又从一般到特殊和从特殊到一般的思想、函数与方程的思想、探索性思想等。 时
14．（2006年湖南卷）在（
）个不同数的排列
与
中，若
（即前面某数大于后面某数），则称构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的的逆序数为
，如排列21的逆序数
总数称为该排列的逆序数. 记排列
，排列321的逆序数则
=____________，
.
=____________，的表达式为____________；
命题目的：考查排列、数列知识.
过程导引：由已知得
15．设
是定义在
，，.
上的单调可导函数. 已知对于任意正数，
都有 （Ⅰ）求
，并求的值；
，且.
（Ⅱ）令 （Ⅲ）设 数列 求证：
是曲线
，证明数列在点
，
是等差数列； 处的切线的斜率（
），
的前项和为
.
思路启迪：根据已知条件求出函数中要求．
解答过程：
的关系式，求出的递推关系式然后可求解题
（Ⅰ）取，；
再取，则，即
，
∵
是定义在
上的单调函数
∴，解得，或（舍去）.
（Ⅱ）设，则，
再令，则，即
∵是定义在上的单调函数
∴，即，解得：或，
又，则，，
由，所以是等差数列.
（3）由（2）得，，则
所以；
又当时，，
则 故.
16．（2007年广东卷理）已知函数，
是方程
个根
，
是的导数；设
，（n=1,2,……）
（1）求
的值；
（2）证明：对任意的正整数n ，都有；
（3）记（n=1,2,……），求数列{}的前n 项和．
思路启迪：（1）注意应用根与系数关系求的值；
（2）注意先求
；
的两
，
（3）注意利用 解： （1）∵
，
的关系．
是方程的两个根，
∴，．
（2）， ，∵ ∴由基本不等式可知
同样，…， （3） 而，即， 同理， 又 .
，
（当且仅当（n=1,2,……）．，
，
，
时取等号），∴
，
数列的解题技巧
编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅 【命题趋向】
从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：
1. 等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有. 2. 数列中
与
之间的互化关系也是高考的一个热点.
3. 函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.
4. 解答题的难度有逐年增大的趋势, 还有一些新颖题型, 如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意：
1. 数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决. 如通项公式、前n 项和公式等.
2. 运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量
、
（或），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.
3. 分类讨论的思想在本章尤为突出. 学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意
和
两种情况等等.
与
的转化；将一些数列转
4. 等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外. 如
化成等差（比）数列来解决等. 复习时，要及时总结归纳.
5. 深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.
6. 解题要善于总结基本数学方法. 如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.
7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.
【考点透视】
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.
2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题.
3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题.
4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位. 高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏. 解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分
度. 有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法. 应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.
【例题解析】
考点一：正确理解和运用数列的概念与通项公式
理解数列的概念, 正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式. 1．（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以
表示第n 堆的乒乓球总数，则
____________（答案
____________；
用n 表示）.
……
思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是1，3,6,10, …，推测出第n 层的球数。
解答过程：显然
.
第n 堆最低层（第一层）的乒乓球数，总
数
相
当
于
前
n
堆
乒
乓
球
的
低
层
，第n 堆的乒乓球数数
之
和
，
即
所以：
2．（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第____________行；第61行中1的个数是
____________．
第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1
…… …………………………………
思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。 解：第1次全行的数都为1的是第=1行，
=3行， =7行，
第2次全行的数都为1的是第 第3次全行的数都为1的是第 ······，
第次全行的数都为1的是第 第61行中1的个数是25=32．
考点二：数列的递推关系式的理解与应用
行；
在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。 如叠加法：若到数列
的通项. ，
，
，…，
且
；我们可把各个关系式列出来进行叠加求和，可得
∴
再看叠乘法：且，可把各个商列出来求积。
另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。
3．（2007年北京卷理）数列），
且
中，
，
（
是常数，
成公比不为的等比数列．
（I ）求的值；（II ）求 思路启迪：（1）由
的通项公式．
成公比不为的等比数列列方程求；
（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出公式. 解： （I ） 因为 当 （II ）当
时，时，由于
，
，
，
，
，
，
，
，解得．
或
．
与n 之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项
成等比数列，所以
，不符合题意舍去，故
所以 又 当 所以
，
，故
．
．
时，上式也成立，
．
小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.
则
( )
4．数列
满足，，…．若，
（Ａ） （Ｂ） ３ （Ｃ） ４ （Ｄ） ５
思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用. 解答过程1：
，
.
相叠加得.
解答过程2：
，
，
.
，
，
.
由得：
，
解答过程3：
，因为，所以.
由得：
从而；；…；.
叠加得：.
，
， 从而.
小结：数列递推关系是近几年高考数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。
对连续两项递推 对连续三项递推的关系
，则上递推关系式可化为
考点三：数列的通项
与前n 项和
，可转化为
，如果方程或
； 有两个根.
之间的关系与应用
与的关系：，数列前n 项和时，一定要注意条件
的式子问题时，通常转化为只含
中,
和通项是数列中两个重
要的量，在运用它们的关系式证
是否适合。解决含
与
，求通项时一定要验或者转化为只
, 若数列
的式子.
5．（2006年辽宁卷） 在等比数列
等于（ ） (B)
(C)
, 前项和为
也是等比数列, 则 (A)
(D)
命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。 过程指引：因数列
为等比，则
，因数列
也是等比数列，则
即
6. 已知在正项数列
中，或者只含
表示前n 项和，且的递推关系式.
时，
；
，即
，求
.
，所以
，故选择答案C.
思路启迪：转化为只含 解答过程1：由已知 当 又
时，
，得当，代入已知有. ，故
，
.
∴数列 故
是首项为.
，公差的等差数列，
解答过程2：由已知，得当n=1时，；
当 所以
时，因为
，
，所以
，
.
，因为
，所以
.
考点四：数列中与n 有关的等式的理解与应用
得到另外的式子。也可以把
对数列中的含n 的式子，注意可以把式子中的n 换为
n 取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.
7．（2006年福建卷）已知数列
的通项公式； 满足
(
), 证明:
满足
(
)
（Ⅰ）求数列 （Ⅱ）若数列
是等差数列;
思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化。 解答过程： （I ）解：∵ ∴ （II ）证法一：∵ ∴ ∴
即
①
②
是以
即
，∴
为首项，2为公比的等比数列。 （
）
，
②－①，得
③－④，得 故
考点五：等差、等比数列的概念与性质的理解与应用 在等差、等比数列中，已知五个元素
是等差数列.
④
，即 ③
， 即
中的任意三个，运用方程的思
和公差
或，
想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项（或公比）。另外注意等差、等比数列的性质的运用. 例如 （1）等差数列 等比数列 （2）等差数列数列，且公差 为
；
中（.
中，项数n 成等差的项中，
；
也成等差数列.
.
）的前n 项和为
，则
中，若中，若的前n 项为
，则
，则，则
.
；
成等差
等比数列成等比数列，且公比 （3）在等差数列 （4）在等差数列
在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式. 注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.
8．（2006年江西卷）已知等差数列
的前n 项和为＝（ ）
，若
，
且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则
A ．100 B. 101 C.200 D.201
命题目的：考查向量性质、等差数列的性质与前n 项和。 过程指引：依题意，
，故选A
9．（2007年安徽卷文、理）
某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 是一个公差为
, 因此，历年所交纳的储备金数目
,
， …
的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，
而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率 为（
）, 那么, 在第年末，第一年所交纳的储备金就变为
，……. 以
与
（
，第二年所交
纳的储备金就变成 （Ⅰ）写出 （Ⅱ）求证
表示到第年末所累计的储备金总额.
）的递推关系式； ，其中{
}是一个等比数列，{
}是一个等差数列.
命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力. 解： （I ）我们有 （II ）
=…=
在①式两端同乘1+r，得
②－①，得
②
，对
反复使用上述关系式，得
①
即
记，，则
，其中{}是等比数列，且首项为，公比为
；是等差数列，且首项为，公比为.
点评：解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
考点六：等差、等比数列前n 项和的理解与应用
等差、等比数列的前n 项和公式要深刻理解。等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次
函数；等比数列的前n 项和公式
是关于n 的指数函数，当
10．（2007年广东卷理）已知数列, 则k=（）
时，
（.
），因此可以改写为
的前n 项和, 第k 项满足
A ．9 B ．8 C ．7 D ．6
思路启迪：本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力． 解：此数列为等差数列， 足:且
是以q 为公比的等比数列.
； 证明数列
是等比数列；
11．（2007
年湖北卷文）已知数列
和
满
，由5
（Ⅰ）证明： （Ⅱ）若
（Ⅲ）求和：.
命题目的：本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：
（I ）证：由 （II ）证：
，有，
，
，
．
，
∴
是首项为5，以
为公比的等比数列．
．
（III ）由（II ）得，，于是
当时，
故
解法2：
（I ）同解法1（I ）．
（II ）证：
是首项为5，以
（III ）由（II ）的类似方法得
当
为公比的等比数列．
，又，
，
． 时
，
．
，．
，．
考点七：数列与函数的迭代问题
．下同解法1．
由函数迭代的数列问题是近几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数与数列知识综合起来，考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等，另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景，它与当前国际数学主流之一的动力系统（拓扑动力系统、微分动力系统）密切相关，数学家们极为推崇，函数迭代一直出现在各类数学竞赛试题中，近几年又频频出现在高考数学试题中.
上，
12．（2006年山东卷）已知数列
中，，点在直线y=x
其中n=1,2,3…. (Ⅰ) 令 (Ⅱ) 求数列
，求证的通项；
是等比数列；
(III)设、分别为数列、的前n 项和, 是否存在实数，使得数列
为等差数列？若存在，试求出. 若不存在, 则说明理由.
是等比数列；对
可由已知用叠加法求出求。
思路启迪：利用等比的定义证明求出
与
便可顺利求出第三问.
解答过程：
（I ）由已知得
又
，
是以为首项，以为公比的等比数列.
（II ）由（I ）知， ，，…， 将以上各式相加得：
（III ）解法一：
存在，使数列是等差数列.
数列是等差数列的充要条件是
即
、是常数
（
又 当且仅当，即时，数列为等差数列.
解法二：存在，使数列是等差数列.
由（I ）、（II ）知，，
.
又.
∴.
当且仅当时，数列是等差数列.
13（2007年陕西卷理） 已知各项全不为零的数列的前k 项和为 且（），其中
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（II ）对任意给定的正整数
，数列满足
. 求
.
.
∴
.
，
思路启迪：注意利用 解：
解决问题．
（Ⅰ）当，由及，得．
当 因为
时，由，所以
，
．从而
．故
，得
．
．
（Ⅱ）因为，所以．
所以
故
考点八：数列综合应用与创新问题
数列与其它数学知识的综合性问题是高考的热点，全面考察数学知识的掌握和运用的情况，以及分析问题解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性等，涉及的数学思想方法又从一般到特殊和从特殊到一般的思想、函数与方程的思想、探索性思想等。 时
14．（2006年湖南卷）在（
）个不同数的排列
与
中，若
（即前面某数大于后面某数），则称构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的的逆序数为
，如排列21的逆序数
总数称为该排列的逆序数. 记排列
，排列321的逆序数则
=____________，
.
=____________，的表达式为____________；
命题目的：考查排列、数列知识.
过程导引：由已知得
15．设
是定义在
，，.
上的单调可导函数. 已知对于任意正数，
都有 （Ⅰ）求
，并求的值；
，且.
（Ⅱ）令 （Ⅲ）设 数列 求证：
是曲线
，证明数列在点
，
是等差数列； 处的切线的斜率（
），
的前项和为
.
思路启迪：根据已知条件求出函数中要求．
解答过程：
的关系式，求出的递推关系式然后可求解题
（Ⅰ）取，；
再取，则，即
，
∵
是定义在
上的单调函数
∴，解得，或（舍去）.
（Ⅱ）设，则，
再令，则，即
∵是定义在上的单调函数
∴，即，解得：或，
又，则，，
由，所以是等差数列.
（3）由（2）得，，则
所以；
又当时，，
则 故.
16．（2007年广东卷理）已知函数，
是方程
个根
，
是的导数；设
，（n=1,2,……）
（1）求
的值；
（2）证明：对任意的正整数n ，都有；
（3）记（n=1,2,……），求数列{}的前n 项和．
思路启迪：（1）注意应用根与系数关系求的值；
（2）注意先求
；
的两
，
（3）注意利用 解： （1）∵
，
的关系．
是方程的两个根，
∴，．
（2）， ，∵ ∴由基本不等式可知
同样，…， （3） 而，即， 同理， 又 .
，
（当且仅当（n=1,2,……）．，
，
，
时取等号），∴
，