在球面运行的万向轮式移动机器人运动学模型的建立

第21卷第3期

1999年5月

机器人　ROBO T

V o l . 21,N o. 3

　M ay, 1999

文章编号:100220446(1999) 0320184207

在球面运行的万向轮式移动机器人

运动学模型的建立

仲　欣　吕恬生

(上海交通大学机器人研究所　200030)

摘　要:爬壁机器人技术的不断发展, 使研制可以吸附在大型球面工作的轮式移动机器人成为可能. 本文采用坐标变换方法, 对于其它类型的在球面工作的轮式移动机器人也同样适用.

关键词:万向轮式移动机器人; 运动学建模分类; 中图分类号:　T P 24　　　　文献标识码:1　引言

M ob ile Robo t , 以下均简称WM R ) 非常适合在光滑、坚硬的表面工作, . WM R 与传统的工业机器人相比, 其运动学特性具有以下不同之处:

(1) WM R 含有多个闭环链, 而工业机械臂一般仅在夹持固定物体时, 才形成闭环链; (2) WM R 的车轮与地面形成多个高副, 而工业机械臂往往仅含低副; (3) 一般工业机械臂的所有运动副均装有驱动机构和位移、速度传感器, 而WM R 仅有某些车轮在某些自由度上安装驱动机构和传感器. 可见, 适用于工业机械臂的D enavit 2. M u ir 和H atenberg 表示法已不适于WM R 建模问题

. 文[3]、[4]均是在此N eum an 在文[1]中提出了基于坐标变换的WM R 运动学建模系统方法

基础上的发展. 但是, 目前有关WM R 建模问题的研究几乎均局限于二维平面问题, 如文[1]

～[5]. 本文将利用文[1]中的符号表示方法, 针对工作在三维球面上的万向式WM R 建立运动学模型, 是一种新尝试.

本文所做工作是针对一类设想中的WM R 提出的. 随着爬壁机器人技术的发展, 我们完全可以设计一种装备吸附装置的WM R , 其吸附装置可产生足够大的吸附力, 使WM R 能够克服重力影响在整个(或部分) 球面自由运行. 此类WM R 可以承担球形建筑拱顶、大型球形容器表面的喷涂、焊接和检查等工作, 具有重要的实用价值. 本文所做工作将为此类WM R 的设计与分析提供必需的理论模型.

2　假设与约定

为不失一般性, 本文对WM R 作以下假设:(1) WM R 与球面均为刚体.

收稿日期:1998-09-27

第21卷第3期仲　欣等:　在球面运行的万向轮式移动机器人运动学模型的建立185

(2) 忽略所有车轮厚度对WM R 运动的影响. (3) 如图1所示, WM R 装有3个具有固

定转轴的瑞士轮, 3个车轮均由电机分别驱动. 3个车轮均始终与球面垂直并保持点接触. 接触点、车轮轴心和球心3点共线. 车轮与球面的接触点成等边三角形. 三角形中心为P , P 到3个顶点的距离为l . 取与P 到轮1轴心方向一致的大圆方向为WM R 的正向. 图1中的箭头表示瑞士轮母轮转动的正向. 取从WM R 中心向外的方向为瑞士轮子轮转动的正向.

(4) 车轮与球面间不能发生与和球面接触

图1　WM R 结构示意图

的子轮轴向平行的滑动, 而只能发生绕子轮、(5) 车轮与球面间可以发生绕通过接触点、另外, 为了方便表示, 本文约定如下:

, 向相反时, .

・以(, C 表示co s () 函数.

3如图2所示, 瑞典轮(Sw edish w heel ) 由绕固定轴转动的母轮和分布在其周围的形状相同的多个子轮组成, 瑞典轮半径为r , 子轮半径为a , 所有子轮轴向与母轮滚动方向均成Γ角. 瑞典轮的母轮由电机驱动, 子轮绕各自的转轴自由转动.

如图3所示, 瑞典轮i 球面上纯滚动, 车轮与球面的瞬时接触点为S .

i 在瑞典轮轴心建立

图2　瑞典轮结构示意图　　　　　　　　　　图3　瑞典轮速度与角速度关系示意图

与球面相对静止的直角坐标系A . 公式(1) 描述了与瑞士轮i 在S i 处的速度与自身转动角速度之间的关系. 式中, Ξix 、Ξiz 表示在坐标系A 中车轮绕x 、z 轴的角速度; Ξia 为瑞典轮i 的子轮绕

α自身转轴转动的角速度; v ix 、、v iy 、v iz 和Ηi 分别表示车轮i 与球面接触点S i 平行于x 轴y 轴、z 轴的速度分量和绕z 轴转动的角速度. 其中i =1, 2, 3.

186　　　　机　器　人1999年5月

v ix v iy v iz

aS Γ

00-aC Γ000

Ξix Ξia Ξiz

(1)

αΗi

4　建立坐标系统

建立如下各坐标系:

(1) 在球心O 处建立与球面固结的惯性系F .

相对于F , WM R 参考点P 的球面坐标可表示为(R S , Α, Β) , 其中常量R S 表示球面半径, Α表示球心O 到参考点P 的矢径与Z 轴所成角, Β为矢径O P 在O X Y X 轴所成角.

(2) 在球心O 处建立与WM R 其z P , y 轴与WM R 的正向平行、. x 轴与y 轴、z 轴垂直

在坐标系R 中, 车轮i i 样可用球面坐标(R S , i Βi ) 的姿态角的F 中的矢径[-co 　]T 所成的角, 于是

) 确姿态可以由三元组(Β, Α, ΗWM R 的位置、

定.

另外, 坐标系R 可以由坐标系F 经过如下

变换得到:首先绕坐标系F 的Z 轴将F 转动Β图4　(Α) =(Α, Β, Η, Π 2, 0) 时F 与R 的变换关系角得到O x ′轴将坐标系y ′z 坐标系; 然后绕y ′坐标系; 最后绕z ″轴将坐标系O x ″转动Η, 得到坐标系R . 所O x ′y ′z 转动Α角, 得到O x ″y ′z ″y ′z ″以, Β, Α, Η是R 相对于坐标系F 的32223型Eu ler 角.

(3) 在球心O 处建立与车轮i 固结的坐标系C i , 其z 轴与球心到车轮i 的接触点S i 的矢径重合, y 轴与车轮母轮i 前进方向平行, x 轴垂直于y 轴、. z 轴

定义车轮i 的姿态角Ηi 为坐标系C i 的y 轴与坐标系R 中的矢径[-sin Βi 　co s Βi 　0]所成角, 同样地, Βi , Α223型Eu ler 角. 本文WM R 车轮的位姿i , Ηi 为车轮i 相对于坐标系R 的32

参数如表1所示.

表1　WM R 车轮的方位参数表

2arcsin (l R s ) -Π 60

3arcsin (l R s ) -5Π 60

Αi Βi Ηi

arcsin (l R s )

2Π

ϖ、θ　　(4) 分别建立与坐标系R 、坐标系C 的坐标原点、坐标轴均重合的瞬时重合坐标系R C i . ϖC θi 为惯性坐标系, 与坐标系F 相对静止, 而R ϖ与R , C θi 与C i 之间存在相对运动. R 、

ϖ、θ建立瞬时坐标系R C i 的目的是以统一的坐标变换形式将WM R 和车轮的角速度表示为

第21卷第3期仲　欣等:　在球面运行的万向轮式移动机器人运动学模型的建立187

与位置、姿态无关的量. 另外, 本文在球面中心建立各坐标系统, 不仅是为了简化计算和表示, 更重要的是为了在模型中以恰当的形式包含球面约束因素.

5　速度坐标变换求解

本文规定以符号A T B 、ΥB 表示坐标系A 到坐标系B 的坐标变换矩阵, 当变换矩阵中含有变量时, 以A ΥB 表示; 反之, 当变

换矩阵由常量组成时, 用A T B 表示. 另外由

C i 坐标系统的定义, 可知R ΥR 、ΥC i 均为单位矩阵. 本文所建立的坐标系之间存在如图5

ϖθ

图5　WM R 坐标变换关系示意图

所示的坐标变换关系.

由坐标变换原理的链式规则得到:

ϖR

ϖ]-Υ[F T R R =

θi T C C i ]i

θC

(2) (3)

i θ=ϖT C R R C i C ϖR θC

-1

对(2) 两边求导得

ϖ]-[F R R 1F

θi ΥT C C i [T C i ]i

θC

-1

(4) (5)

将(3) 代入有

ϖαθαR R C -1i 　R ΥT C i i ΥR =C i [T C i ]

ϖαθαC

由坐标变换原理容易得到对偶微分矩阵R ΥR 和i ΥC i :

αΕα

αΕ

α0-Η0-Η

αα0αα0Η0-ΚΗ0-ΚϖαϖR R

Υ ΥR =R =αΚααΚα-Ε00-Ε00

000000ααα分别表示相对于坐标系R ϖ, 坐标系R 绕x 、上式中, Κ, Ε, Η. y 、z 轴转动的角速度

(6)

θC i

α-Ηi 0

R S

v iz

α-Ηi 0

R S

v iz

αΥC i =

αΗi

R S

ΥC i =

θC i

αΗi

R S

(7)

000000

由坐标系R 和C i 的变换关系, 得到

T C i =R (k , Βi ) R (j , Αi ) R (k , Ηi ) =

C ΑS Βi S Ηi C Βi C Ηi -i C Αi S Βi C Ηi +C Βi S Ηi

-C ΑS Βi C ΗS Αi C Βi S Ηi -i i C Βi -C ΑS Αi S Βi S Ηi +C Βi C Ηi i S Βi

S Αi S Ηi

C Αi

000(9) (8)

-S Αi C Ηi

(6) 、(7) 、(8) 代入(5) 式, 并经整理得到:将(1) 、

ααα[Κ　Ε　Η]T =J i [Ξix 　Ξia 　Ξiz ]T

188　　　　机　器　人1999年5月

其中

-J i =

r r

R S

a a

S Αi C

Βi

R S S Αi C Βi

R S

aS Αi

R S

C Αi

R S

S Αi C Ηi R S

矩阵J i 称为球面WM R 的瑞士轮i 的雅可比矩阵. 当时 J i ≠0, 有

ααα[Ξ　Ξ　Ξ]T =J -1[Κ　Ε　Η]T

(10)

6　运动方程的构造

根据本文假设, 车轮相对于WM R 参考点P (. 将表i , , ) 表示1中参数依次代入(9) , 分别求得3J 2, J 3. 1J 、 J 3 均不

-1-1--1-1

为零, 所以存在逆阵J -11、J 2、J 3. 1, 2, A , 据(10) 式有

ααα2x Ξ3x ]

=A [Κ　Ε　Η]T

[J -11]1, 1

A =

[J -11]1, 2[J -21]1, 2[J -31]1, 2

[J -11]1, 3[J -21]1, 3[J -31]1, (11)

[J -21]1, 1[J -31]1, 1

由 A ≠0, 得

=A Ξ1x

-1

Ξ2x Ξ3(12)

ααα以上推导可以看出, 由于 A ≠0, 瑞士轮转速[Ξ1x 　Ξ2x 　Ξ3x ]T 与WM R 运动状态[Κ　Ε　Η]之

ααα间存在一一对应关系. 对于任意给定的WM R 运动状态[Κ　Ε　Η]T , 均可由(11) 求得对应的驱动方案[Ξ1x 　Ξ2x 　Ξ3x ]T . 所以本文WM

R 具有3个运动自由度, 是万向式WM R .

αααϖ的角速度, 应用

(11) 、(12) 式求解球面由于[Κ　Ε　Η]T 为WM R 相对瞬时重合坐标系R ) 来表, ΗWM R 的运动学问题是很不方便的, 所以应当利用相对于惯性坐标系F 的三元组(Β, Α

示WM R 的运动状态.

对于WM R 在球面上运行的任意轨迹, 可由时间参数方程表示:

Β=Β(t )

Α=Α(t ) Η=Η(t )

假定以上参数方程均为可微函数, 由32223型Eu ler 角性质得

-S ΑC ΗS Η=S ΑS ΗC Η0C Α

(13)

0(14)

(11) 式得到WM R 的反向运动学方程为由(14) 、

第21卷第3期仲　欣等:　在球面运行的万向轮式移动机器人运动学模型的建立189

1x Ξ2x =Ξ3[J -11]1, 1[J -21]1, 1[J -

31]1, 1

[J -11]1, 2[J -21]1, 2[J -31]1, 2

[J -11]1,

3[J -

21]1, 3[J -31]1, -

S ΑC ΗS Η0

S ΑS ΗC Α

C Η0

0-1

(15)

(12) 式得到WM R 的正向运动学方程为:由(14) 、

-1-C Η S ΑS Η S Α[J 1]1, 1

=S ΗC Η0[J -21]1, 11C ΗC Α S Α-S ΗC Α S Α[J -3]1, 1

[J -11]1, 2[J -21]1, 2[J -31]1, 2

[J -11]

1, 3[J -21]1, 3[J -31]1, Ξ1x Ξ2x Ξ3(16)

　　至此, 我们已经建立了在球面上运行的WM R 的完整的运动学模型. 利用反向运动学方

程(15) , 我们可以由WM R 的运动状态得到WM R 各车轮驱动电机应有的转速; 利用正向运动学方程(16) , 我们可以依据由码盘或其它传感器测得的车轮转动角速度, WM R 的运动速度, 进而对WM R 相对球面的位置进行估计.

举例. 已知:球面和WM R 的结构参数R S =5m 2. 0. 、l =. . , Γ=Π求:当WM R 按如下轨迹运行时, WM R 3? 速度单位为m s , 时间单位为s , 角速度单位为rad )

t , 00, , 0. A . (Β(t ) , Α(t ) , ) 2t , t , 0, 初始状态为(0, 0, 0) . B . (, ) , Η

) 6030

(10

) 式可求得[Ξ1x , Ξ1a ]T =[0, 26, 18]T , [Ξ2x , Ξ2a ]T =[-4. 526, -A , 利用(14) 、13

. 09]T , [Ξ3x , Ξ3a ]T =[4. 526, -13. 09]T .

对于轨迹B , 有

Ξia =J -i Ξ1

-S ΑC ΗS ΗS ΑS ΗC Α

C Η0

0=J -i -S (

)

010

001

60300

(17)

C (

) 30

(b ) 、(c ) 分别描述了3个车轮的母、图6的(a ) 、子轮之角速度随时间的变化关系. 图中:f (t ) 表

(a ) 　　　　　　　　　　　　(b ) 　　　　　　　　　　　(c )

图6　子轮的角速度变化WM R 按轨迹B 运行时3个车轮母、

示母轮角速度; g (t ) 表示子轮角速度; t 表示时间.

190　　　　机　器　人1999年5月

7　结论

本文利用坐标变换方法详细地推导了在球面运行的万向式WM R 运动学方程, 不仅为设计球面WM R 提供了理论模型, 而且将WM R 坐标变换运动学建模方法拓展到三维球面.

本文建模方法对各类球面WM R 具有很强的通用性. 1) 对工作在球面内外表面的WM R 同样适用. 2) 只需对轮矩阵重新构造, 就可以求得固定轮、中心转向轮、球轮的雅可比矩阵. 由以上不同车轮任意配置的WM R 均可采用最小方差方法由车轮的雅可比矩阵推导出球面

[1]

WM R 的运动学方程.

今后, 将利用本文运动学模型, 设计球面WM R 的系统原型, 进而研究其路径规划和反馈控制方法, 推动球面WM R 技术的发展.

参　考　文　献

1　M uir P F , N eum an C P . K inem atic M odeling of W heeled M of s , 1987, 4(2) :281

～340

2　A lexander J C , M addock s J H . O n inem atic of ts . Journal of Robo tics R esearch , 1989, 8(5) :

15～27

3　Cyril X, M H , . inem of utom ated Guided V eh icles w ith A n Inclined Steering Co lum n and an O ffset

～1981D istance 2on of Inverse K inem atic So luti on . Journal of Robo tic System , 1992, 9(8) :1059

4　R ajagopalan R A Generic K inem atic Fo r m ulati on fo r W heeled M obile Robo ts . Journal of Robo tic System , 1997, 14(2) :

77～91

5　Camp i on G , Bastin G , etc . Structural P roperties and C lassificati on of K inem atic and D ynam icM odels of W heeled M obile

～61Robo ts . IEEE T ransacti on on Robo tics and A utom ati on , 1996, 12(1) :47

K INE M AT I C MOD EL ING OF OM N I D IRECT I ONAL W HEEL ED

MOB I L E ROB OTS RUNN ING ON SPHER I CAL SURFACES

ZHON G X in 　LU T ian sheng

(R obotics R esea rch Institu te , S hang ha i J iao T ong U n iversity 　200030)

　Abstract :T hank s to the fast developm ent of w all cli m bing robo tics , developm ent w heeled mobile robo ts

w h ich can run on large spherical surfaces is reasonable now . T h is paper deals w ith k inem atic modeling of an om nidirecti onal w heeled mobile robo t running on spherical surfaces by coo rdinate transfo r m ati on m ethod . T he m ethod in th is paper is general , w h ich is suitable fo r al mo st all k inds of w heeled mobile robo ts running . on spherical surfaces

　Key words :Om nidirecti onal w heeled mobile robo t ; k inem atic modeling ; spherical surface

作者简介:

　仲　欣:男, 26岁, 博士研究生. 研究领域:移动机器人、机电控制及自动化.

　吕恬生:男, 52岁, 教授, 博士生导师. 主要研究领域:机器人学、特种机器人及仿生机械.

第21卷第3期

1999年5月

机器人　ROBO T

V o l . 21,N o. 3

　M ay, 1999

文章编号:100220446(1999) 0320184207

在球面运行的万向轮式移动机器人

运动学模型的建立

仲　欣　吕恬生

(上海交通大学机器人研究所　200030)

关键词:万向轮式移动机器人; 运动学建模分类; 中图分类号:　T P 24　　　　文献标识码:1　引言

M ob ile Robo t , 以下均简称WM R ) 非常适合在光滑、坚硬的表面工作, . WM R 与传统的工业机器人相比, 其运动学特性具有以下不同之处:

. 文[3]、[4]均是在此N eum an 在文[1]中提出了基于坐标变换的WM R 运动学建模系统方法

基础上的发展. 但是, 目前有关WM R 建模问题的研究几乎均局限于二维平面问题, 如文[1]

～[5]. 本文将利用文[1]中的符号表示方法, 针对工作在三维球面上的万向式WM R 建立运动学模型, 是一种新尝试.

2　假设与约定

为不失一般性, 本文对WM R 作以下假设:(1) WM R 与球面均为刚体.

收稿日期:1998-09-27

第21卷第3期仲　欣等:　在球面运行的万向轮式移动机器人运动学模型的建立185

(2) 忽略所有车轮厚度对WM R 运动的影响. (3) 如图1所示, WM R 装有3个具有固

(4) 车轮与球面间不能发生与和球面接触

图1　WM R 结构示意图

的子轮轴向平行的滑动, 而只能发生绕子轮、(5) 车轮与球面间可以发生绕通过接触点、另外, 为了方便表示, 本文约定如下:

, 向相反时, .

・以(, C 表示co s () 函数.

如图3所示, 瑞典轮i 球面上纯滚动, 车轮与球面的瞬时接触点为S .

i 在瑞典轮轴心建立

图2　瑞典轮结构示意图　　　　　　　　　　图3　瑞典轮速度与角速度关系示意图

α自身转轴转动的角速度; v ix 、、v iy 、v iz 和Ηi 分别表示车轮i 与球面接触点S i 平行于x 轴y 轴、z 轴的速度分量和绕z 轴转动的角速度. 其中i =1, 2, 3.

186　　　　机　器　人1999年5月

v ix v iy v iz

aS Γ

00-aC Γ000

Ξix Ξia Ξiz

(1)

αΗi

4　建立坐标系统

建立如下各坐标系:

(1) 在球心O 处建立与球面固结的惯性系F .

(2) 在球心O 处建立与WM R 其z P , y 轴与WM R 的正向平行、. x 轴与y 轴、z 轴垂直

在坐标系R 中, 车轮i i 样可用球面坐标(R S , i Βi ) 的姿态角的F 中的矢径[-co 　]T 所成的角, 于是

) 确姿态可以由三元组(Β, Α, ΗWM R 的位置、

定.

另外, 坐标系R 可以由坐标系F 经过如下

(3) 在球心O 处建立与车轮i 固结的坐标系C i , 其z 轴与球心到车轮i 的接触点S i 的矢径重合, y 轴与车轮母轮i 前进方向平行, x 轴垂直于y 轴、. z 轴

参数如表1所示.

表1　WM R 车轮的方位参数表

2arcsin (l R s ) -Π 60

3arcsin (l R s ) -5Π 60

Αi Βi Ηi

arcsin (l R s )

2Π

ϖ、θ建立瞬时坐标系R C i 的目的是以统一的坐标变换形式将WM R 和车轮的角速度表示为

第21卷第3期仲　欣等:　在球面运行的万向轮式移动机器人运动学模型的建立187

与位置、姿态无关的量. 另外, 本文在球面中心建立各坐标系统, 不仅是为了简化计算和表示, 更重要的是为了在模型中以恰当的形式包含球面约束因素.

5　速度坐标变换求解

本文规定以符号A T B 、ΥB 表示坐标系A 到坐标系B 的坐标变换矩阵, 当变换矩阵中含有变量时, 以A ΥB 表示; 反之, 当变

换矩阵由常量组成时, 用A T B 表示. 另外由

C i 坐标系统的定义, 可知R ΥR 、ΥC i 均为单位矩阵. 本文所建立的坐标系之间存在如图5

ϖθ

图5　WM R 坐标变换关系示意图

所示的坐标变换关系.

由坐标变换原理的链式规则得到:

ϖR

ϖ]-Υ[F T R R =

θi T C C i ]i

θC

(2) (3)

i θ=ϖT C R R C i C ϖR θC

-1

对(2) 两边求导得

ϖ]-[F R R 1F

θi ΥT C C i [T C i ]i

θC

-1

(4) (5)

将(3) 代入有

ϖαθαR R C -1i 　R ΥT C i i ΥR =C i [T C i ]

ϖαθαC

由坐标变换原理容易得到对偶微分矩阵R ΥR 和i ΥC i :

αΕα

αΕ

α0-Η0-Η

αα0αα0Η0-ΚΗ0-ΚϖαϖR R

Υ ΥR =R =αΚααΚα-Ε00-Ε00

000000ααα分别表示相对于坐标系R ϖ, 坐标系R 绕x 、上式中, Κ, Ε, Η. y 、z 轴转动的角速度

(6)

θC i

α-Ηi 0

R S

v iz

α-Ηi 0

R S

v iz

αΥC i =

αΗi

R S

ΥC i =

θC i

αΗi

R S

(7)

000000

由坐标系R 和C i 的变换关系, 得到

T C i =R (k , Βi ) R (j , Αi ) R (k , Ηi ) =

C ΑS Βi S Ηi C Βi C Ηi -i C Αi S Βi C Ηi +C Βi S Ηi

-C ΑS Βi C ΗS Αi C Βi S Ηi -i i C Βi -C ΑS Αi S Βi S Ηi +C Βi C Ηi i S Βi

S Αi S Ηi

C Αi

000(9) (8)

-S Αi C Ηi

(6) 、(7) 、(8) 代入(5) 式, 并经整理得到:将(1) 、

ααα[Κ　Ε　Η]T =J i [Ξix 　Ξia 　Ξiz ]T

188　　　　机　器　人1999年5月

其中

-J i =

r r

R S

a a

S Αi C

Βi

R S S Αi C Βi

R S

aS Αi

R S

C Αi

R S

S Αi C Ηi R S

矩阵J i 称为球面WM R 的瑞士轮i 的雅可比矩阵. 当时 J i ≠0, 有

ααα[Ξ　Ξ　Ξ]T =J -1[Κ　Ε　Η]T

(10)

6　运动方程的构造

根据本文假设, 车轮相对于WM R 参考点P (. 将表i , , ) 表示1中参数依次代入(9) , 分别求得3J 2, J 3. 1J 、 J 3 均不

-1-1--1-1

为零, 所以存在逆阵J -11、J 2、J 3. 1, 2, A , 据(10) 式有

ααα2x Ξ3x ]

=A [Κ　Ε　Η]T

[J -11]1, 1

A =

[J -11]1, 2[J -21]1, 2[J -31]1, 2

[J -11]1, 3[J -21]1, 3[J -31]1, (11)

[J -21]1, 1[J -31]1, 1

由 A ≠0, 得

=A Ξ1x

-1

Ξ2x Ξ3(12)

ααα以上推导可以看出, 由于 A ≠0, 瑞士轮转速[Ξ1x 　Ξ2x 　Ξ3x ]T 与WM R 运动状态[Κ　Ε　Η]之

ααα间存在一一对应关系. 对于任意给定的WM R 运动状态[Κ　Ε　Η]T , 均可由(11) 求得对应的驱动方案[Ξ1x 　Ξ2x 　Ξ3x ]T . 所以本文WM

R 具有3个运动自由度, 是万向式WM R .

αααϖ的角速度, 应用

示WM R 的运动状态.

对于WM R 在球面上运行的任意轨迹, 可由时间参数方程表示:

Β=Β(t )

Α=Α(t ) Η=Η(t )

假定以上参数方程均为可微函数, 由32223型Eu ler 角性质得

-S ΑC ΗS Η=S ΑS ΗC Η0C Α

(13)

0(14)

(11) 式得到WM R 的反向运动学方程为由(14) 、

第21卷第3期仲　欣等:　在球面运行的万向轮式移动机器人运动学模型的建立189

1x Ξ2x =Ξ3[J -11]1, 1[J -21]1, 1[J -

31]1, 1

[J -11]1, 2[J -21]1, 2[J -31]1, 2

[J -11]1,

3[J -

21]1, 3[J -31]1, -

S ΑC ΗS Η0

S ΑS ΗC Α

C Η0

0-1

(15)

(12) 式得到WM R 的正向运动学方程为:由(14) 、

-1-C Η S ΑS Η S Α[J 1]1, 1

=S ΗC Η0[J -21]1, 11C ΗC Α S Α-S ΗC Α S Α[J -3]1, 1

[J -11]1, 2[J -21]1, 2[J -31]1, 2

[J -11]

1, 3[J -21]1, 3[J -31]1, Ξ1x Ξ2x Ξ3(16)

　　至此, 我们已经建立了在球面上运行的WM R 的完整的运动学模型. 利用反向运动学方

举例. 已知:球面和WM R 的结构参数R S =5m 2. 0. 、l =. . , Γ=Π求:当WM R 按如下轨迹运行时, WM R 3? 速度单位为m s , 时间单位为s , 角速度单位为rad )

t , 00, , 0. A . (Β(t ) , Α(t ) , ) 2t , t , 0, 初始状态为(0, 0, 0) . B . (, ) , Η

) 6030

(10

) 式可求得[Ξ1x , Ξ1a ]T =[0, 26, 18]T , [Ξ2x , Ξ2a ]T =[-4. 526, -A , 利用(14) 、13

. 09]T , [Ξ3x , Ξ3a ]T =[4. 526, -13. 09]T .

对于轨迹B , 有

Ξia =J -i Ξ1

-S ΑC ΗS ΗS ΑS ΗC Α

C Η0

0=J -i -S (

)

010

001

60300

(17)

C (

) 30

(b ) 、(c ) 分别描述了3个车轮的母、图6的(a ) 、子轮之角速度随时间的变化关系. 图中:f (t ) 表

(a ) 　　　　　　　　　　　　(b ) 　　　　　　　　　　　(c )

图6　子轮的角速度变化WM R 按轨迹B 运行时3个车轮母、

示母轮角速度; g (t ) 表示子轮角速度; t 表示时间.

190　　　　机　器　人1999年5月

7　结论

[1]

WM R 的运动学方程.

今后, 将利用本文运动学模型, 设计球面WM R 的系统原型, 进而研究其路径规划和反馈控制方法, 推动球面WM R 技术的发展.

参　考　文　献

1　M uir P F , N eum an C P . K inem atic M odeling of W heeled M of s , 1987, 4(2) :281

～340

2　A lexander J C , M addock s J H . O n inem atic of ts . Journal of Robo tics R esearch , 1989, 8(5) :

15～27

3　Cyril X, M H , . inem of utom ated Guided V eh icles w ith A n Inclined Steering Co lum n and an O ffset

～1981D istance 2on of Inverse K inem atic So luti on . Journal of Robo tic System , 1992, 9(8) :1059

4　R ajagopalan R A Generic K inem atic Fo r m ulati on fo r W heeled M obile Robo ts . Journal of Robo tic System , 1997, 14(2) :

77～91

5　Camp i on G , Bastin G , etc . Structural P roperties and C lassificati on of K inem atic and D ynam icM odels of W heeled M obile

～61Robo ts . IEEE T ransacti on on Robo tics and A utom ati on , 1996, 12(1) :47

K INE M AT I C MOD EL ING OF OM N I D IRECT I ONAL W HEEL ED

MOB I L E ROB OTS RUNN ING ON SPHER I CAL SURFACES

ZHON G X in 　LU T ian sheng

(R obotics R esea rch Institu te , S hang ha i J iao T ong U n iversity 　200030)

　Abstract :T hank s to the fast developm ent of w all cli m bing robo tics , developm ent w heeled mobile robo ts

　Key words :Om nidirecti onal w heeled mobile robo t ; k inem atic modeling ; spherical surface

作者简介:

　仲　欣:男, 26岁, 博士研究生. 研究领域:移动机器人、机电控制及自动化.

　吕恬生:男, 52岁, 教授, 博士生导师. 主要研究领域:机器人学、特种机器人及仿生机械.

在球面运行的万向轮式移动机器人运动学模型的建立

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