1.1 集合
1．1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义
一、基础过关
1． 下列各项中，不可以组成集合的是
( )
A．所有的正数
B．等于2的数 C．接近于0的数
D．不等于0的偶数
2． 集合A中只含有元素a，则下列各式正确的是
( ) A．0∈A
B．a∉A
C．a∈A
D．a＝A 3． 由实数x，－x，|x|x2，－
3x3所组成的集合，最多含
( )
A．2个元素 B．3个元素 C．4个元素
D．5个元素
4． 由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)
①不超过π的正整数； ②本班中成绩好的同学； ③高一数学课本中所有的简单题； ④平方后等于自身的数．
5． 如果有一集合含有三个元素1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________． 6． 判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合； (3)1,0.5，321
2
(4)某校的年轻教师．
7．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a. 二、能力提升
8． 已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是
( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 9． 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( A．2
B．3
C．0或3
D．0,2,3均可
)
10．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________. 11．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，
定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？ 三、探究与拓展
112．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
1－a
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． 答案
1±5
1． C 2.C 3.A 4．①④ 5．x≠0,1,2，2
6． 解 (1)正确．因为参加2012年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的．
(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．
(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝2为一个元素，故这个集合含有三个元素． (4)不正确．因为年轻没有明确的标准．
7． 解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
3
∴a＝－1或a＝－2
则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
37
当a＝－时，a－2＝－2a2＋5a＝－3，
223
∴a＝－2
8． D 9．B 10．2
11．解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8； 当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
1
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个． 12．证明 (1)若a∈A，则∈A.
1－a
又∵2∈A，∴A.
1－2∵－1∈A，∴
1－－111∈A，∴A. 21
1－
21
∴A中另外两个元素为－1，.
2(2)若A为单元素集，则a＝可能是单元素集．
1
1
1
1
＝∈A. 2
1－a
1
a2－a＋1＝0，方程无解．∴aA不1－a
1
第2课时 集合的表示
一、基础过关
1． 集合{x∈N＋|x－3
A．{0,1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} A．方程y＝2x－1 B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
( )
B．{1,2,3,4}
D．{1,2,3,4,5}
( )
2． 集合{(x，y)|y＝2x－1}表示
x＋y＝5
表示成列举法，正确的是 3． 将集合x，y|
2x－y＝1
( ) A．{2,3} A．5
B．{(2,3)} B．4
C．{(3,2)} C．3
D．(2,3) D．2
4． 若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( ) 5． 用列举法表示下列集合：
(1)A＝{x∈N||x|≤2}＝________； (2)B＝{x∈Z||x|≤2}＝________；
(3)C＝{(x，y)|x2＋y2＝4，x∈Z，y∈Z}＝______. 6． 下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)
①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}； ②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；
③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}． 7． 用适当的方法表示下列集合．
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x－2>6的解的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
8． 已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相
等吗？试说明理由． 二、能力提升
9． 下列集合中，不同于另外三个集合的是
A．{x|x＝1} C．{x＝1}
( )
B．{y|(y－1)2＝0} D．{1}
10．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是
( )
A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集 C．第四象限内的点集 D．第二、四象限内的点集
11．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是______．(填序号)
①M＝{π}，N＝{3.141 59}； ②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；
③M＝{x|－1
13．定义集合运算A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的
所有元素之和是多少？ 答案
1． B 2.D 3.B 4.C 5．(1){0,1,2} (2){－2，－1,0,1,2} (3){(2,0)，(－2，0)，(0,2)，
(0，－2)} 6．②
7． 解 (1)∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，
∴解集为{0，－1}；
(2){x|x＝2n＋1，且x8}； (4){1,2,3,4,5,6}．
8． 解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}． 集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}． 9． C 10．D 11．④
12．解 (1)当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.
此时集合A＝{2}．
3，π}，N＝{π，1，|－3|}．
12．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法
(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有一个实根． 只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}； 当k＝1时，A＝{4}．
13．解 当x＝1或2，y＝0时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝2；当x＝2，y＝2时，z＝4.
所以A*B＝{0,2,4}，所以元素之和为0＋2＋4＝6.
1.1 集合
1．1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义
一、基础过关
1． 下列各项中，不可以组成集合的是
( )
A．所有的正数
B．等于2的数 C．接近于0的数
D．不等于0的偶数
2． 集合A中只含有元素a，则下列各式正确的是
( ) A．0∈A
B．a∉A
C．a∈A
D．a＝A 3． 由实数x，－x，|x|x2，－
3x3所组成的集合，最多含
( )
A．2个元素 B．3个元素 C．4个元素
D．5个元素
4． 由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)
①不超过π的正整数； ②本班中成绩好的同学； ③高一数学课本中所有的简单题； ④平方后等于自身的数．
5． 如果有一集合含有三个元素1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________． 6． 判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合； (3)1,0.5，321
2
(4)某校的年轻教师．
7．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a. 二、能力提升
8． 已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是
( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 9． 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( A．2
B．3
C．0或3
D．0,2,3均可
)
10．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________. 11．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，
定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？ 三、探究与拓展
112．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
1－a
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． 答案
1±5
1． C 2.C 3.A 4．①④ 5．x≠0,1,2，2
6． 解 (1)正确．因为参加2012年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的．
(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．
(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝2为一个元素，故这个集合含有三个元素． (4)不正确．因为年轻没有明确的标准．
7． 解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
3
∴a＝－1或a＝－2
则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
37
当a＝－时，a－2＝－2a2＋5a＝－3，
223
∴a＝－2
8． D 9．B 10．2
11．解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8； 当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
1
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个． 12．证明 (1)若a∈A，则∈A.
1－a
又∵2∈A，∴A.
1－2∵－1∈A，∴
1－－111∈A，∴A. 21
1－
21
∴A中另外两个元素为－1，.
2(2)若A为单元素集，则a＝可能是单元素集．
1
1
1
1
＝∈A. 2
1－a
1
a2－a＋1＝0，方程无解．∴aA不1－a
1
第2课时 集合的表示
一、基础过关
1． 集合{x∈N＋|x－3
A．{0,1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} A．方程y＝2x－1 B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
( )
B．{1,2,3,4}
D．{1,2,3,4,5}
( )
2． 集合{(x，y)|y＝2x－1}表示
x＋y＝5
表示成列举法，正确的是 3． 将集合x，y|
2x－y＝1
( ) A．{2,3} A．5
B．{(2,3)} B．4
C．{(3,2)} C．3
D．(2,3) D．2
4． 若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( ) 5． 用列举法表示下列集合：
(1)A＝{x∈N||x|≤2}＝________； (2)B＝{x∈Z||x|≤2}＝________；
(3)C＝{(x，y)|x2＋y2＝4，x∈Z，y∈Z}＝______. 6． 下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)
①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}； ②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；
③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}． 7． 用适当的方法表示下列集合．
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x－2>6的解的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
8． 已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相
等吗？试说明理由． 二、能力提升
9． 下列集合中，不同于另外三个集合的是
A．{x|x＝1} C．{x＝1}
( )
B．{y|(y－1)2＝0} D．{1}
10．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是
( )
A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集 C．第四象限内的点集 D．第二、四象限内的点集
11．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是______．(填序号)
①M＝{π}，N＝{3.141 59}； ②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；
③M＝{x|－1
13．定义集合运算A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的
所有元素之和是多少？ 答案
1． B 2.D 3.B 4.C 5．(1){0,1,2} (2){－2，－1,0,1,2} (3){(2,0)，(－2，0)，(0,2)，
(0，－2)} 6．②
7． 解 (1)∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，
∴解集为{0，－1}；
(2){x|x＝2n＋1，且x8}； (4){1,2,3,4,5,6}．
8． 解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}． 集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}． 9． C 10．D 11．④
12．解 (1)当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.
此时集合A＝{2}．
3，π}，N＝{π，1，|－3|}．
12．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法
(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有一个实根． 只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}； 当k＝1时，A＝{4}．
13．解 当x＝1或2，y＝0时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝2；当x＝2，y＝2时，z＝4.
所以A*B＝{0,2,4}，所以元素之和为0＋2＋4＝6.