三角形问题中常见的辅助线的作法
常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变
换中的“对折”．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的
思维模式是全等变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角
形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平
移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条
线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
三线合一法
一. 直接应用“三线合一”
例1. 已知，如图1，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别是ABD和ACD的高。 求证：AD垂直平分EF
A
E
F
B D C
图1
二. 先连线，再用“三线合一”
例2. 如图2，在ABC中，A90，ABAC，D是BC的中点，P为BC上任一点，作PEAB，PFAC，垂足分别为E、F
求证：（1）DE＝DF；（2）DEDF
A
D
P
C
图2
三. 先构造等腰三角形，再用“三线合一”
例3. 如图3，已知四边形ABCD中，ACBADB90，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN
CD
C
B
B
A
图3
同步训练
1.如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。
B
C
2.如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 求证：DE＝DF
.
C
3.如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，CF＝DF.求证：AF⊥CD.
E
F
4.如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D.求证：∠DBC＝
1
∠BAC
. 2
C
5.如图4，已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D.求证：BF＝2CD.
A
C
6. 如图5，△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠A＝
90°.
B
7. 如图6，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠ABC＝2∠C.求证：CD＝AB+BD
.
C
C
D
倍长中线法
△ABC中
方式1： 延长AD到
E，
AD是BC边中线
使DE=AD，
连接BE
方式2：间接倍长
作CF⊥AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于使DN=MD， 连接CD 连接BE
1． 已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，
求证：BD=CE
2.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC
于F，求证：AF=EF
3. 已知：如图，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC.
A
求证：AE平分BAC
F
CBED
第 1 题图
4.已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
5. 在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF
交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
6. 如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E，DF平分ADC交AC于F. 求证：BECFEF
E
F
BC
D
第 14 题图
7. 已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.
M A
E
T
C
B
A
三角形问题中常见的辅助线的作法
常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变
换中的“对折”．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的
思维模式是全等变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角
形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平
移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条
线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
三线合一法
一. 直接应用“三线合一”
例1. 已知，如图1，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别是ABD和ACD的高。 求证：AD垂直平分EF
A
E
F
B D C
图1
二. 先连线，再用“三线合一”
例2. 如图2，在ABC中，A90，ABAC，D是BC的中点，P为BC上任一点，作PEAB，PFAC，垂足分别为E、F
求证：（1）DE＝DF；（2）DEDF
A
D
P
C
图2
三. 先构造等腰三角形，再用“三线合一”
例3. 如图3，已知四边形ABCD中，ACBADB90，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN
CD
C
B
B
A
图3
同步训练
1.如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。
B
C
2.如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 求证：DE＝DF
.
C
3.如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，CF＝DF.求证：AF⊥CD.
E
F
4.如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D.求证：∠DBC＝
1
∠BAC
. 2
C
5.如图4，已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D.求证：BF＝2CD.
A
C
6. 如图5，△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠A＝
90°.
B
7. 如图6，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠ABC＝2∠C.求证：CD＝AB+BD
.
C
C
D
倍长中线法
△ABC中
方式1： 延长AD到
E，
AD是BC边中线
使DE=AD，
连接BE
方式2：间接倍长
作CF⊥AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于使DN=MD， 连接CD 连接BE
1． 已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，
求证：BD=CE
2.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC
于F，求证：AF=EF
3. 已知：如图，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC.
A
求证：AE平分BAC
F
CBED
第 1 题图
4.已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
5. 在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF
交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
6. 如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E，DF平分ADC交AC于F. 求证：BECFEF
E
F
BC
D
第 14 题图
7. 已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.
M A
E
T
C
B
A