第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
2-1 试画图示各杆的轴力图。
题2-1图
解:各杆的轴力图如图2-1所示。
轴力图如图2-2a(2)所示,
(a)解:由图2-2a(1)可知,
题2-2图
FN(x)2qaqx
FN,max2qa
图2-1
(b)解:由图2-2b(2)可知,
1
图2-2a
FRqa
2-2
试画图示各杆的轴力图,并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷
均沿杆轴均匀分布,集度为q。
FN(x1)FRqa
FN(x2)FRq(x2a)2qaqx2
轴力图如图2-2b(2)所示,
ζmaxζ100MPa
FN,maxqa
ηmax
ζ
50MPa 2
2-5 某材料的应力-应变曲线如图所示,图中还同时画出了低应变区的详图。
试确定材料的弹性模量E、比例极限p、屈服极限s、强度极限b与伸长率,并判断该材料属于何种类型(塑性或脆性材料)。
图2-2b
2-3 图示轴向受拉等截面杆,横截面面积A=500mm,载荷F=50kN。试求图
2
示斜截面m-m上的正应力与切应力,以及杆内的最大正应力与最大切应力。
题2-3图
解:该拉杆横截面上的正应力为
ζ
F5010N
1.00108Pa100MPa A50010m
2
3
题2-5
解:由题图可以近似确定所求各量。
斜截面m-m的方位角α50,故有
ζζcos2α100MPacos2(50)41.3MPa
Δζ220106Pa
E220109Pa220GPa
Δε0.001
ζ
ηαsin2α50MPasin(100)49.2MPa
2
杆内的最大正应力与最大切应力分别为
ζp220MPa, ζs240MPa
ζb440MPa, δ29.7%
该材料属于塑性材料。
2-7 一圆截面杆,材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d =10mm,
杆长 l =200mm,杆端承受轴向拉力F = 20kN作用,试计算拉力作用时与卸去2-9 图示含圆孔板件,承受轴向载荷F作用。已知载荷F =32kN,板宽b
=100mm,板厚15mm,孔径d =20mm。试求板件横截面上的最大拉应力(考虑应力集中)。
后杆的轴向变形。
题2-6图
解: ζFA420103Nπ0.0102m
2
2.55108Pa255MPa 查上述ζε曲线,知此时的轴向应变为
ε0.00390.39%
轴向变形为
Δllε(0.200m)0.00397.8104m0.78mm
拉力卸去后,有
εe0.00364, εp0.00026
故残留轴向变形为
Δllεp(0.200m)0.000265.2105m0.052mm
题2-9图
解:根据
d/b0.020m/(0.100m)0.2
查应力集中因数曲线,得
K2.42
根据
ζF
n
, Kζmax(bd)δζ
n
得
ζζKF2.4232103N7
maxKn(bd)δ(0.100-0.020)0.015m2
6.4510Pa64.5MPa
2-10 图示板件,承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN,板宽b1
=90mm,
b2=60mm,板厚=10mm,孔径d =10mm,圆角半径R =12mm。试求板件横截面上
的最大拉应力(考虑应力集中)。
3
题2-10图
解:1.在圆孔处 根据
查圆孔应力集中因数曲线,得 故有
2-14
图示桁架,承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A,许用
应力均为[],试确定载荷F的许用值[F]。
d0.010m0.1111 b10.090m
K12.6
K1F2.636103N
ζmaxK1ζn11.17108Pa117MPa (b1-d)δ(0.090-0.010)0.010m
2.在圆角处
根据
题2-14图
解:先后以节点C与B为研究对象,求得各杆的轴力分别为
Db10.090m1.5 db20.060mRR0.012m0.2 db20.060m
FN12F FN2FN3F
根据强度条件,要求
查圆角应力集中因数曲线,得 故有
3. 结论
K21.74
2F
[] A
由此得
[F]
K2F1.7436103N
ζmaxK2ζn21.04108Pa104MPa 2
b2δ0.0600.010m
[]A
2
2-15 图示桁架,承受载荷F作用,已知杆的许用应力为[]。若在节点B
和C的位置保持不变的条件下,试确定使结构重量最轻的值(即确定节点A的最佳位置)。
ζmax117MPa(在圆孔边缘处)
4
题2-15图
解:1.求各杆轴力
设杆AB和BC的轴力分别为FN1和FN2,由节点B的平衡条件求得
FFN1
sinα
, FN2Fctanα 2.求重量最轻的值 由强度条件得
A1
F[ζ]sin, AF
2[ζ]
ctanα
结构的总体积为
VAF1l1A[ζ]sinαlcosαFl[ζ]ctanαFl[ζ](2
2l2
sin2α
ctanα)由
dV
dα0 得
3cos2α10
由此得使结构体积最小或重量最轻的α值为
αopt5444
2-16 图示桁架,承受载荷F作用,已知杆的许用应力为[]。若节点A和
C间的指定距离为 l,为使结构重量最轻,试确定的最佳值。
题2-16图
解:1.求各杆轴力
由于结构及受载左右对称,故有
FN1FN2
F
2sinθ
2.求的最佳值 由强度条件可得
A1A2
F
2[ζ]sinθ
结构总体积为
V2A1l1
F[ζ]sinθl2cosθFl
[ζ]sin2θ
由 dV
dθ
0 得
cos2θ0
5
由此得的最佳值为
于是得
θopt45
由此得
D:h:d1
2-17图示杆件,承受轴向载荷F作用。已知许用应力[]=120MPa,许用切
应力[]=90MPa,许用挤压应力[bs]=240MPa,试从强度方面考虑,建立杆径d、墩[][]
::1 []bs4[]
D:h:d1.225:0.333:1
头直径D及其高度h间的合理比值。
题2-17图
解:根据杆件拉伸、挤压与剪切强度,得载荷F的许用值分别为 [F]d
2
t
π4
[] [F]π(D2d2)b4
[bs]
[F]sπdh[]
理想的情况下,
[F]t[F]b[F]s
在上述条件下,由式(a)与(c)以及式(a)与(b),分别得
h[]4[]d
D1
[]
[]d bs
2-18 图示摇臂,承受载荷F1
与F2
作用。已知载荷F1
=50kN,F2
=35.4kN,
许用切应力[]=100MPa,许用挤压应力[bs]=240MPa。试确定轴销B的直径d。
题2-18图
(a) 解:1. 求轴销处的支反力 (b) 由平衡方程Fx0与Fy0,分别得
(c) FBxF1F2cos4525kN
FByF2sin4525kN
由此得轴销处的总支反力为
F2B25225kN35.4kN
2.确定轴销的直径
由轴销的剪切强度条件(这里是双面剪)
η
FsA2FB
πd2
[η] 6
得
2FB235.4103
dm0.015m
[η]100106
由轴销的挤压强度条件
2-20图示铆接接头,铆钉与板件的材料相同,许用应力[] =160MPa,许
用切应力[] = 120 MPa,许用挤压应力[bs ] = 340 MPa,载荷F = 230 kN。试校核接
头的强度。
得
ζbs
FbF[ζbs] dd
FB35.4103
dm0.01475m
δ[ζbs]0.010240106
结论:取轴销直径d0.015m15mm。
解:最大拉应力为
题2-20图
2-19图示木榫接头,承受轴向载荷F = 50 kN作用,试求接头的剪切与挤压
应力。
230103N
max153.3 MPa
(0.1700.020)(0.010)(m2)
最大挤压与剪切应力则分别为
230103N
bs230 MPa
5(0.020m)(0.010m)
解:剪应力与挤压应力分别为
题2-19图
4230103N146.4 MPa
5π(0.020m)2
2-21 图示两根矩形截面木杆,用两块钢板连接在一起,承受轴向载荷F =
45kN作用。已知木杆的截面宽度b =250mm,沿木纹方向的许用拉应力[]=6MPa,许用挤压应力[bs]=10MPa,许用切应力[]=1MPa。试确定钢板的尺寸与l以及木杆的高度h。
50103N
5 MPa
(0.100m)(0.100m)50103N
bs12.5 MPa
(0.040m)(0.100m)
7
题2-21图
解:由拉伸强度条件 ζ
F
b(h2δ)
[ζ]
得
3
h2δ
Fb[ζ]45100.250610
6
m0.030m 由挤压强度条件 ζF
bs
2bδ
[ζbs] 得
δF45103
2b[ζ0.25010106
m0.009m9mmbs]2由剪切强度条件 η
F
2bl
[η] 得
l
F45103
2b[]20.2501106
m0.090m90mm
取δ0.009m代入式(a),得
h(0.03020.009)m0.048m48mm 结论:取
δ9mm,l90mm,h48mm。
2-22 图示接头,承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径d=20mm,许用应力
[]=160MPa,许用切应力[]=120MPa,许用挤压应力[bs]=340MPa。板件与铆钉
的材料相同。试计算接头的许用载荷。
a)
题2-22图
解:1.考虑板件的拉伸强度 由图2-22所示之轴力图可知,
FN1F, FN23F/4
ζF1
N1AF
(bd)[ζ] b)
1δ
F(bd)δ[ζ](0.200-0.020)0.015160106N4.32105N432kN
ζ2
FN2A3F
4(b2d)δ
[ζ] 2
F43(b2d)δ[ζ]4
3
(0.2000.040)0.015160106N5.12105N512kN
8
(
(
径d=8mm,孔的边距a=20mm,钢带材料的许用切应力[]=100MPa,许用挤压应力[bs]=300MPa,许用拉应力 []=160MPa。试校核钢带的强度。
2.考虑铆钉的剪切强度
2
图2-22
题2-23图
Fs
F 8
η
Fs4F[η] A8πd2
2
6
5
解:1.钢带受力分析
分析表明,当各铆钉的材料与直径均相同,且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影, 通过该面的形心时,通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。
铆钉孔所受挤压力Fb等于铆钉剪切面上的剪力,因此,各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同,钢带的受力如图b所示,挤压力则为
F2πd[η]2π0.02012010N3.0210N302kN
3.考虑铆钉的挤压强度
F6103NFb2.0103N
33
孔表面的最大挤压应力为
Fb
bs
F
4
FbF[bs] d4 d
Fb2.0103Nbs1.25108Pa125MPa[bs]
d(0.002m)(0.008m)
在挤压力作用下,钢带左段虚线所示纵截面受剪(图b),切应力为
F4d[ζbs]40.0150.020340106N4.08105N408kN
结论:比较以上四个F值,得
Fb2.0103N2.5107Pa25MPa[]
2a2(0.002m)(0.020m)
[F]302kN
2-23 图a所示钢带AB,用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接,
钢带承受轴向载荷F作用。已知载荷F=6kN,带宽b=40mm,带厚=2mm,铆钉直
9
钢带的轴力图如图c所示。由图b与c可以看出,截面1-1削弱最严重,而截面2-2的轴力最大,因此,应对此二截面进行拉伸强度校核。
截面1-1与2-2的正应力分别为
FN12F2(6103N)183.3MPa
A13(b2d)3(0.040m20.008m)(0.002m)FN2F6103N293.8MPa
A2(bd)(0.040m0.008m)(0.002m)
端承受轴向拉力F = 200kN作用。若弹性模量E = 80GPa,泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量D及体积改变量V。
解:1. 计算D 由于 故有
ε
FFΔD
, ε
EADEA
4FD40.302001030.060
ΔDεDm22922
EAEπ(Dd)8010π(0.0600.020)
FD
1.79105m0.0179mm
2.计算V
变形后该杆的体积为 故有
3
Fl200100.4003
ΔVVVV(ε2ε)(12μ)m(120.3)
E8010 4.00107m3400mm3
π
VlA(ll)[(DεD)2(dεd)2]Al(1ε)(1ε)2V(1ε2ε)
4
3-4 图示螺栓,拧紧时产生l=0.10mm的轴向变形。已知:d = 8.0mm,d
1
2
= 6.8mm,d3 = 7.0mm;l1=6.0mm,l2=29mm,l3=8mm;E = 210GPa,[]=500MPa。试求预紧力F,并校核螺栓的强度。
第三章 轴向拉压变形
3-2 一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆,杆长l = 400mm,两
10
题3-4图
解:1.求预紧力F
各段轴力数值上均等于F,因此, 由此得
题3-5图
解:1.求各杆轴力
llllFl4Fl1
Δl(123)(22232)
EA1A2A3πEd1d2d3
FN1E1ε1A12001094.0104200106N1.6104N16kN FN2E2ε2A22001092.0104200106N8103N8kN
πEΔlπ2101090.10103
FN1.865104N18.65kN
ll
)4(123)4(
0.00820.006820.0072d1d2d3
2.校核螺栓的强度
2.确定F及θ之值
由节点A的平衡方程Fx0和Fy0得
FN2sin30FsinθFN1sin300 FN1cos30FN2cos30Fcosθ0
F4F418.65103N
ζmax25.14108Pa514MPa 22
Aminπd2π0.0068m
此值虽然超过[ζ],但超过的百分数仅为2.6%,在5%以内,故仍符合强度要求。
化简后,成为
3-5 图示桁架,在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵
-4
ε2= 2.0×10-4。已知杆1与杆2的横截面面积A1= 向正应变分别为ε1= 4.0×10与
FN1FN22Fsinθ
及
联立求解方程(a)与(b),得
11
3(FN1FN2)2Fcosθ
A2=200mm2,弹性模量E1= E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角之值。
由此得
FN1FN2(168)103
tanθ0.1925 3
3(FN1FN2)3(168)10
θ10.8910.9
FN1FN2(168)1034
FN2.1210N21.2kN
2sinθ2sin10.89
3-6
图示变宽度平板,承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为,长度为l,
题3-7图
解:自截面B向上取坐标y,y处的轴力为
该处微段dy的轴向变形为
题3-6图
于是得截面B的位移为 (a)
左、右端的宽度分别为b1与b2,弹性模量为E。试计算板的轴向变形。
FNgAy
dΔy
gAy
EA
l
dy
gy
E
dy
解:对于常轴力变截面的拉压平板,其轴向变形的一般公式为
llFFΔlxx
0EA(x)0Eb(x)
ΔCy
g
E
0ydy
gl2
2E
()
由图可知,若自左向右取坐标x,则该截面的宽度为
代入式(a),于是得
3-8 图示为打入土中的混凝土地桩,顶端承受载荷F,并由作用于地桩的摩
bbb(x)b121x
l
Δl
b2Fl1Fl
xln0bbEδb21xEδ(b2b1)b1
1
l
擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f,且f = ky2,式中,k为常数。已知地桩的横截面面积为A,弹性模量为E,埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量。
3-7 图示杆件,长为l,横截面面积为A,材料密度为,弹性模量为E,试
求自重下杆端截面B的位移。
12
题3-8图
解:1. 轴力分析 摩擦力的合力为
Fy
l
2
l
fdy 0kydykl3
3
根据地桩的轴向平衡,
kl3
3F 由此得
k
3Fl3
截面y处的轴力为
F y
ky
3
fdy y
N 0
ky2dy
3
2. 地桩缩短量计算
截面y处微段dy的缩短量为
dδ
FNdy
EA
积分得
δ l
FNdyk l3kl4
0EA3EA 0ydy12EA
将式(a)代入上式,于是得
δ
Fl
4EA
3-9 图示刚性横梁AB,由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚
度(即产生单位轴向变形所需之力)为k,试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。
题3-9图
解:载荷F作用后,刚性梁AB倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为FN,其总伸长为Δl。
a)
图3-9
以刚性梁为研究对象,由平衡方程MA0得
FNaFN(ab)F(2ab)
由此得
( 13
由图3-9可以看出, 可见,
根据k的定义,有 于是得
FNF FN1FN2F (拉力)
y (2ab)
ΔlΔy1Δy2a(ab)(2ab)
于是得各杆的变形分别为
(b)
FN42F (压力)
FN30
l1l2l4
ΔyΔl
Fl
(伸长) EA
2F2l2Fl
(伸长) EAEA
FNkΔlkΔy
l30
Δy
FNF
kk
3-10 图示各桁架,各杆各截面的拉压刚度均为EA,试计算节点A的水平
如图3-10(1)所示,根据变形l1与l4确定节点B的新位置B’,然后,过该点作
长为l+l2的垂线,并过其下端点作水平直线,与过A点的铅垂线相交于A’,此即结构变形后节点A的新位置。
于是可以看出,节点A的水平与铅垂位移分别为
与铅垂位移。
ΔAx0
ΔAyl12l4l2
Fl2FlFlFl
2212
EAEAEAEA
题3-10图
(a)解:
利用截面法,求得各杆的轴力分别为
14
图3-10
(b)解:显然,杆1与杆2的轴力分别为
FN1F (拉力)
FN20
于是由图3-10(2)可以看出,节点A的水平与铅垂位移分别为
ΔlFlAx1
EA ΔlFlAy1EA 3-11 图示桁架ABC,在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模
量均为E,横截面面积分别为A1=320mm2与A2 =2 580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下,为使节点B的铅垂位移最小,应取何值(即确定节点A的最佳位置)。
15
题3-11图
解:1.求各杆轴力 由图3-11a得
FN1
F
sinθ
FN2Fctanθ
图3-11
2.求变形和位移
由图3-11b得 ΔlF1
N1l1EA2Fl2 ΔlFlFlctanθ
2N2221EA1sin2θEA2EA2
及
3.求θ的最佳值 由dΔBy/dθ0,得 由此得
ΔlΔlFl2ctan2θΔBy()
sinθtanθEA1sin2θsinθA2
2(2cos2θsinθcosθsin2θ)2ctanθcsc2θ
0 22
A1A2sin2θsinθ
解:两杆的轴力均为
题3-12图
FN
2A1cos3θA2(13cos2θ)0
F
2cos
n
轴向变形则均为
于是得节点C的铅垂位移为
将A1与A2的已知数据代入并化简,得
Fllll 2AcosBB
n
cos3θ12.09375cos2θ4.031250
cosθ0.564967
解此三次方程,舍去增根,得
由此得θ的最佳值为
lFnlΔCynn n1
cos2ABcos
3-13 图示结构,梁BD为刚体,杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均
相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F = 20kN,各杆的横截面面积均为A=100mm2,弹性模量E = 200GPa,梁长l = 1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。
θopt55.6
3-12 图示桁架,承受载荷F作用。设各杆的长度为l,横截面面积均为A,
材料的应力应变关系为n=B,其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。
16
题3-13图
解:1.求各杆轴力 由Fx0,得
FN20
由Fy0,得
FN1FN3
F
2
10kN 2.求各杆变形
Δl20
ΔlF1N1lEA101031.0002001010010
m5.010-4m0.50mmΔl33.求中点C的位移 由图3-13易知,
图3-13
ΔxΔl10.50mm(), ΔyΔl10.50mm()
3-14 图a所示桁架,承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA,
试求节点B与C间的相对位移B/C。
题3-14图
解:1. 内力与变形分析
利用截面法,求得各杆的轴力分别为
17
FN1FN2FN3FN4
F (拉力) 2
题3-15图
(a)解:各杆编号示如图3-15a,各杆轴力依次为
该桁架的应变能为
FN5F (压力)
于是得各杆得变形分别为
FN1
221
F, FN2F, FN3F 222
l1l2l3l4
Fl
(伸长) 2EA
F2lFll5(缩短)
EAEA
2
FN112212F2l221ili
Vε(Fl2Fl)()
2EA2EA2242EA4i1
3
2. 位移分析
如图b所示,过d与g分别作杆2与杆3的平行线,并分别与节点C的铅垂线相交于e与h,然后,在de与gh延长线取线段l3与l2,并在其端点m与n分别作垂线,得交点C’,即为节点C的新位置。
可以看出,
依据能量守恒定律, 最后得
图3-15
l52FlFl22Fl
ΔB/C2CiiC'22l322
EA22EA2EA
3-15 如图所示桁架,设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试用能量法求载
荷作用点沿载荷作用方向的位移。
FΔ
Vε 2
2F2l221(221)FlΔ() ()
F2EA44EA
(b)解:各杆编号示如图b 列表计算如下:
18
于是,
2FN(322)F2lili
Vε
2EA2EAi1
5
由表中结果可得
依据 得
依据能量守恒定律, 可得
FΔ
Vε 2Δ
(322)Fl
()
EA
2FN(2)F2lili
Vε
2EA2EAi1
5
3-16 图示桁架,承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试
用能量法求节点B与C间的相对位移B/C。
WV
ΔB/C
(22)Fl
()
EA
3-17 图示变宽度平板,承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为,长度为l,
左、右端的宽度分别为b1与b2,弹性模量为E,试用能量法计算板的轴向变形。
题3-16图
解:依据题意,列表计算如下:
19
题3-17图
解:对于变截面拉压板件,应变能的表达式为
22
lFNFN
Vxx
02EA(x)02Eb(x)
l
(a)
由图可知,若自左向右取坐标x,则该截面的宽度为
b(x)b1
b2b1
x l
题3-19图 (a)解:杆的受力如图3-19a(1)所示,平衡方程为
将上式代入式(a),并考虑到FNF,于是得
b1F2F2l
Vεdxln2
02E2Eδ(b2b1)b1
δb121x
l
设板的轴向变形为l,则根据能量守恒定律可知,
l
F0, FFF
x
Ax
FBx0
或 由此得
FΔl
Vε 2
bFΔlF2l
ln2 22Eδ(b2b1)b1
一个平衡方程,两个未知支反力,故为一度静不定。
bFlΔlln2
Eδ(b2b1)b1
AC,CD与DB段的轴力分别为 由于杆的总长不变,故补充方程为
图3-19a
3-19 图示各杆,承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压
刚度均为EA,试求支反力与最大轴力。
得
FN1FAx, FN2FAxF, FN3FAx2F
l
FAxaFAxFaFAx2Fa
0 EAEAEA
FAxF0
20
由此得
FAxF
FBx2FFAxF
杆的轴力图如3-19a(2)所示,最大轴力为
FN,maxF (b)解:杆的受力如图3-19b(1)所示,平衡方程为
Fx0, qaFAxFBx0
一个平衡方程,两个未知支反力,故为一度静不定。
图3-19b
AC与CB段的轴力分别为 FN1FAx, FN2FAxqx
由于杆的总长不变,故补充方程为
l
FAxa1
a
EAEA
0FAxqxdx0 得
1
qa2
EA2FAxa2
0
由此得
FqaAx
4 FF3qa
BxqaAx4
杆的轴力图如3-19b(2)所示,最大轴力为
F3qa
Nmax
4
3-20图示结构,杆1与杆2的横截面面积相同,弹性模量均为E,梁BC为
刚体,载荷F=20kN,许用拉应力[t]=160MPa, 许用压应力[c]=110MPa,试确定各杆的横截面面积。
题3-20图
解:容易看出,在载荷F作用下,杆2伸长,杆1缩短,且轴向变形相同,故
FN2为拉力,
FN1为压力,且大小相同,即
FN2FN1
以刚性梁BC为研究对象,铰支点为矩心,由平衡方程
M0, FN2aFN1aF2a0
由上述二方程,解得
21
FN2FN1F
根据强度条件,
FN,BCFN,ABF
(
后取节点A为研究对象,由Fx0和Fy0依次得到
FN120103NA11.818104m2 6
[]11010Pa FN,ADFN,AG
(
c及 3
AF2
N22010N[106Pa
1.25104m
2
t]160
2FN,ADcos45FN,AB
取
在节点A处有变形协调关系(节点A铅垂向下)
AΔlBCΔllAB
Δ1A2182mm2
cos45
ΔlAD 3-21物理关系为 图示桁架,承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同,试
N,BClFN,ABlFN,AD2l求各杆轴力。
ΔlBC
FEA
, ΔlAB
EA
, ΔlADEA
ΔlAG
将式(e)代入式(d),化简后得
FN,BCFN,AB2FN,AD
联解方程(a),
(c)和(d),得 F2221N,BC
2F(拉), F2
N,AB2F(压), FN,ADFN,AG2F(拉)(b)解:此为一度静不定问题。
题3-21图
考虑小轮A的平衡,由Fy0,得
(a)解:此为一度静不定桁架。
FN1sin45F0
设FN,AB以压为正,其余各段轴力以拉力为正。先取杆AB为研究对象,由
由此得 Fy0,得
FN12F
22
(
(
(
(
在F作用下,小轮A沿刚性墙面向下有一微小位移,在小变形条件下,Δl20,故有
Fx0,FN1
1
FN2 2
(
FN20
FN2FN3F Fy02
由图b得变形协调方程为
(
FN1的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。
Δl1ctan30
ΔlΔl3 (
sin30
3-22根据胡克定律,有
图示桁架,杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成,许用应力分
N22别为[
Δl1
FN1l1FN1l1E, ΔlFlFN2l1, ΔlFlFl
23N33N311]=40MPa,[2]=60MPa,[3]=120MPa,弹性模量分别为E1=160GPa,E1A121A3E2A2E2A3E3A33E3A3
E2=100GPa,E3=200GPa。若载荷F=160kN,A1= A2= 2A3,试确定各杆的横截面面积。
将式(d)代入式(c),化简后得补充方程为
15FN132FN28FN3
联解方程(a),(b)和(c’),并代入数据,得
FN122.6kN(压), FN226.1kN(拉), FN3146.9kN(拉)
根据强度要求,计算各杆横截面面积如下:
AFN122.6103m2
15.65104[ζ6
m2565mm2 1]4010题3-22图
解:此为一度静不定结构。节点C处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。
AFN226.11032422
2[ζ]60106m4.3510m435mm
2
AFN3146.9103m2
23[ζ12010
6
1.224103m1224mm2 3]根据题意要求,最后取
图3-22
A1A22A32450mm2
由图a可得平衡方程
23
(
(
3-23图a所示支架,由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上,
FN12FN2
联立求解平衡方程(a)与上述补充方程,得
刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同,分别为l=100 mm,A=100 mm2,E=200 GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移ymm,试确定载荷F与各杆轴力。
FN1
4F2F
, FN2
55
2. 由位移y确定载荷F与各杆轴力
变形后,C点位移至C’(CC’AC)(图b),且直线AC与AB具有相同的角位移,因此,C点的总位移为
又由于 由此得
题3-23图
l12l1AB
2y
l1y
将式(c)与(d)的第一式代入上式,于是得
解:1. 求解静不定
在载荷F作用下,刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动,刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然,本问题具有一度静不定。
由平衡方程MA0,得
F
5EAy
4l5(200109Pa)(100106m2)(0.075103m)1.875104N 3
4(10010m)
并从而得
FN1
FN2
F0 2
(a)
FN11.5104N, FN27.5103N
由变形图中可以看出,变形协调条件为
根据胡克定律,
l12l2
Δl1
FN1lFl
, Δl2N2 EAEA
(b)
F=200kN。试在下列两种情况下确定杆端的支反力。
(a) 间隙=0.6 mm; (b) 间隙=0.3 mm。 (c)
3-24图示钢杆,横截面面积A=2500mm ,弹性模量E=210GPa,轴向载荷
2
将上述关系式代入式(b),得补充方程为
24
FBx
FEA22a
3
962
20010N(0.0003m)(21010Pa)(250010m) 47.5 kN
22(1.5m)
而C端的支反力则为
题3-24图
解:当杆右端不存在约束时,在载荷F作用下,杆右端截面的轴向位移为
FCxFFBx200 kN47.5 kN152.5 kN
(200103N)(1.5m)Fa
F0.57mm 962
EA(21010Pa)(250010m)
3-25 图示两端固定的等截面杆AB,杆长为l。在非均匀加热的条件下,距
A端x处的温度增量为TTBx2/l2,式中的TB为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与l。试求杆件横截面上的应力。
当间隙=0.6 mm时,由于F,仅在杆C端存在支反力,其值则为
FCxF200 kN
当间隙=0.3 mm时,由于F,杆两端将存在支反力,杆的受力如图3-24所示。
杆的平衡方程为 补充方程为 由此得
图3-24
题3-25图
解:1.求温度增高引起的杆件伸长
此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉,则在x处的杆微段dx就会因温升而有一个微伸长
FFBxFCx0
FaFBx2a EAEA
αlΔTBx2
d(Δlt)αlΔTdxdx l
lαlΔTBx2
2
全杆伸长为
25
Δlt
l
x
αlΔTBl
3
2.求约束反力
设固定端的约束反力为F,杆件因F作用而引起的缩短量为
由变形协调条件 可得
ΔlF
FNlFl
EAEA
根据平衡条件,由图a可得
图3-26
ΔlFΔlt
F
3.求杆件横截面上的应力
EAαlΔTBlEAαlΔTB
l33FNFEαlΔTB
AA3
由图b可得
FN1FN2FN3
(
ζ
FN4FN5 , FN32FN4cos303FN4
Δl1Δl4
Δl3
cos60cos30
(
3-26 图示桁架,杆BC的实际长度比设计尺寸稍短,误差为。如使杆端B
与节点G强制地连接在一起,试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。
变形协调关系为(参看原题图)
依据胡克定律,有
Δ(
Δli
FNili
(i1~5) EA
(
将式(d)代入式(c),得补充方程
Δ
2FN1l2FN43lFN3l
EAEA3EA
(
联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b),最后得
题3-26图
解:此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号1~5。由强制装配容
易判断,杆1~3受拉,杆4和5受压。装配后节点G和C的受力图分别示如图3-26a和b。
26
即
FN3
(92)EA(332)EA
Δ, FN4Δ
23l23l
(92)EA
Δ (拉)
23l
FN,BCFN,GDFN,GE
FN,CDFN,CE
(332)EA
Δ (压)
23l
3-27图a所示钢螺栓,其外套一长度为l的套管。已知螺栓与套管的横截面
面积分别为Ab与At,弹性模量分别为Eb与Et,螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈,试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。
最后,联立求解平衡方程(a)与补充方程(b),得螺栓与套管所受之力即预紧力为
AbEb
FN0FNbFNt
l1k式中,
k
AbEb
AtEt
3-28 图示组合杆,由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm
的铜管组成,二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后,温度升高40℃,试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es = 200GPa与Ec=100GPa,线膨胀系数分别为ls=12.5×10-6℃-1与
题3-27图
解:首先设想套管未套上,而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈,即旋进=p/5的距离。然后,再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度,故套合后的螺栓将受拉,而套管则受压。
设螺栓所受拉力为FNb,伸长为lb,套管所受压力为FNt,缩短为lt,则由图b与c可知,平衡方程为
而变形协调方程则为
利用胡克定律,得补充方程为
lc=16×10-6℃-1。
题3-28图
解:设温度升高T时钢杆和铜管自由伸长量分别为δTs和δTc,由于二者被铆钉连在一起,变形要一致,即变形协调条件为 (a)
δTsΔlsδTcΔlc 或写成
FNbFNt0
lblt
ΔlsΔlcδTcδTs
FNblFNtl
AbEbAtEt
这里,伸长量Δls和缩短量Δlc均设为正值。 (b)
引入物理关系,得
27
FNslFNcl
(αlcαls)lΔT EsAsEcAc
将静力平衡条件FNsFNcF代入上式,得
(1)解:如图3-29(1)a所示,当杆2未与刚性杆BD连接时,下端点位于D,即
DD。
当杆2与刚性杆BD连接后,下端点铅垂位移至D,同时,杆1的下端点则铅垂位移至C。过C作直线C’e垂直于杆1的轴线,显然CeΔl1,即代表杆1的弹性变形,
F
EsAsEcAc
(αlcαls)ΔT
EsAsEcAc
同时,DDΔl2,即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应,杆1受压,杆2受拉,刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。
注意到每个铆钉有两个剪切面,故其切应力为 由此得
η
FSFEsAsEcAc(αlcαls)ΔT A2A2A(EsAsEcAc)
2001090.0302100109(0.05020.0302)(1612.5)10640N
20.0102[2001090.0302100109(0.05020.0302)]m2 5.9310Pa59.3MPa
7
图3-29(1)
可以看出,
3-29
图示结构,杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA,梁BD为刚体,试
在下列两种情况下,画变形图,建立补充方程。
(1) 若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短,误差为;
(2) 若杆1的温度升高T,材料的热膨胀系数为l。
DD2CC
即变形协调条件为
Δl222Δl1
而补充方程则为
或
F2l4F1l0 EAEA
EA
0 l
F24F1
题3-29图
28
(2)解:如图3-29(2)a所示,当杆1未与刚性杆BD连接时,由于其温度升高,
下端点位于C,即CCllΔT。当杆1与刚性杆BD连接后,下端点C铅垂位移至C,而杆2的下端点D则铅垂位移至D。过C作直线C’e垂直于直线CC,显然,Δl1即代表杆1的弹性变形,同时,Δl2,代表杆2的弹性变形。与上述变形相应,杆1受压,杆2受拉,刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。
设计长度l变为lΔ。试问当为何值时许用载荷最大,其值[F]max为何。
题3-30图
图3-29(2)
可以看出,
解:此为一度静不定问题。
节点C处的受力及变形示如图3-30a和b。
DD2CC
故变形协调条件为
Δl222llΔTΔl1
而补充方程则为
F2lF12l
22lΔTlEAEA
或
由图a得平衡方程为
图3-30
F24F14EAlΔT0
FN1FN2, 2FN1cos30FN3F
由图b得变形协调条件为
(
3-30 图示桁架,三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同,并分别
为A,E与[],试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值,现将杆3的
29
依据胡克定律,有
Δl1Δl3cos30
(
Δli
FNili
EA (i1,2,3) 将式(c)代入式(b),化简后得补充方程为
F4
N33
FN1
将方程(b’)与方程(a)联解,得
F3N1FN2
433F, F4
N3433
FFN1
ζFmax
N3A4F
(433)A
[ζ] 由此得
F
(433)[]A4, [F](433)[]A
4
为了提高[F]值,可将杆3做长,由图b得变形协调条件为
Δl3Δ
Δlcos30
式中,l3与l1均为受载后的伸长,依题意,有了后,应使三根杆同时达到[ζ],即 [ζ]ElΔ4[ζ]3El 由此得
Δ(4
[ζ]l[ζ]l31)E
3E
此时,各杆的强度均充分发挥出来,故有
[F]max2([]Acos30
)[]A(13)[]A
第四章 扭 转
(c)
4-5 一受扭薄壁圆管,外径D = 42mm,内径d = 40mm,扭力偶矩M =
500N•m,切变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力,并计算(b’管表面纵线的倾斜角。)
解:该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为
R1Dd222)20.5mm, Dd0(22
1mm
于是,该圆管横截面上的扭转切应力为
T500N2πR0.02050.001m
2
1.89410822Pa189.4MPa 02π依据切应力互等定理,纵截面上的扭转切应力为
ηη189.4MPa 该圆管表面纵线的倾斜角为
ηG189.41067510
rad2.53103rad 4-7 试证明,在线弹性范围内,且当R0
/≥10时,薄壁圆管的扭转切应力公
式的最大误差不超过4.53%。
解:薄壁圆管的扭转切应力公式为
η
T
2πR2
0δ
设R0/δβ,按上述公式计算的扭转切应力为
η
TT2πR2πβ2δ
3
0δ2按照一般空心圆轴考虑,轴的内、外直径分别为
d2R0δ, D2R0δ
极惯性矩为
Iπp
32(D4d4)ππRδ2
32[(2R0δ)4(2R0δ)4]02
(4R0δ2) 30
(
由此得
ηρC(
ηmax
T(21)TδT
(R0)(2R) 02Ip2πR0(4R02)π3(421)
d1/m
) dx
(
(b) 由静力学可知,
比较式(a)与式(b),得
A
ρdAC(
d1/m
)ρ(m1)/mdAT
Adx
(
ηηmax
π3(421)421
T(21)2(21)2π23
T
取径向宽度为dρ的环形微面积作为dA,即
dA2πρdρ
将式(d)代入式(c),得
(
当
R0
10时, 2πC(
d1/md/2(2m1)/m)ρdρT
0dx
max
41021
0.9548 210(2101)
由此得
(
可见,当R0/δ10时,按薄壁圆管的扭转切应力公式计算η的最大误差不超过4.53%。
d1/m(3m1)T
)
(3m1)/mdx2πCm()2
(
将式(e)代入式(b),并注意到T=M ,最后得扭转切应力公式为
4-8 图a所示受扭圆截面轴,材料的曲线如图b所示,并可用C
面上的切应力分布图。
1/m
表示,式中的C与m为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式,并画横截
M1/m
(3m1)/m
()3m12
横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。
题4-8图
解:所研究的轴是圆截面轴,平面假设仍然成立。据此,从几何方面可以得到
(a)
图4-8
d dx
4-9 在图a所示受扭圆截面轴内,用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC
根据题设,轴横截面上距圆心为ρ处的切应力为
31
切出单元体ABCDEF(图b)。试绘各截面上的应力分布图,并说明该单元体是如何
平衡的。
根据图b,可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为
同理,左端面上的合力为
题4-9图
方向亦示如图c。
设Fz2作用线到水平直径DF的距离为ey(见图b),由 得
Fz2
πd/2T
00
π8T
cos(θ)ρdρdθ Ip23πd
8T
3πd
Fz1
解:单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图4-9a所示。
Fz2ey
TIp
d/23T2πcos()dd 0024π
ey
图4-9
根据图a,不难算出截面AOO1D上分布内力的合力为
T3πd3πd
0.295d 48T32
同理,Fz1作用线到水平直径AC的距离也同此值。
根据图b,还可算出半个右端面DO1E上竖向分布内力的合力为
1d4Tl
Fx1ηmax(l)2
22πd
Fy3
π/2d/2Tρ
0
同理,得截面OCFO1上分布内力的合力为
方向示如图c。
设Fx1与Fx2作用线到x轴线的距离为ez1,容易求出
π4T
sin(θ)ρdρdθ Ip23πd
Fx2
4Tl
πd设Fy3作用线到竖向半径O1E的距离为ez2(见图b),由 得
Fy3ez2
d/23Tπ/22T
cosdd 0
Ip08
2dd
ez1
323
32
ez2
T3πd3πd0.295d 84T32
题4-11图
解:由题图知,圆轴与套管的扭矩均等于M。
1.由圆轴AB求M的许用值
同理,可算出另半个右端面O1FE以及左端面AOB、OCB上的竖向分布内力的合力为
max1
Fy4Fy1Fy2
4T 3πd
M116M1
[1] Wp1πd3
由此得M的许用值为
方向均示如图c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为ez2。
由图c可以看得很清楚,该单元体在四对力的作用下处于平衡状态,这四对力构成四个力偶,显然,这是一个空间力偶系的平衡问题。
πd3[1]π0.056380106
[M1]Nm2.76103Nm2.76kNm
1616
2.由套管CD求M的许用值
Mx0,Fy
(2ez2)Fz2eyFy1(2ez2)Fz1ey4
TT
0 22
R0
D806
mm37mm, δ6mmR0 22
此管不是薄壁圆管。
My0,Fz
lFx1(2ez1)2
lFy3l4
8Tl8Tl
0 3πd3πd
max2
80-6268
0.85 8080
Mz0,Fy
4Tl4Tl
0 3πd3πd
由此得M的许用值为
既然是力偶系,力的平衡方程(共三个)自然满足,这是不言而喻的。 上述讨论中,所有的T在数值上均等于M。
M216M2
[2] Wp2πD3(14)
4-11 如图所示,圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体,并在截面A
承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d = 56mm,许用切应力[1]=80MPa,套管的外径D = 80mm,壁厚= 6mm,许用切应力[2]= 40MPa。试求扭力偶矩M的许用值。
πD3(14)[2]π0.0803(10.854)40106
[M2]Nm
1616
1.922103Nm1.922kNm
可见,扭力偶矩M的许用值为
[M][M2]1.922kNm
4-13 图示阶梯形轴,由AB与BC两段等截面圆轴组成,并承受集度为m
的均匀分布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻,试确定AB与BC段的长度l1与l2
33
以及直径d1与d2。已知轴总长为l,许用切应力为[]。
题4-13图
解:1.轴的强度条件
在截面A处的扭矩最大,其值为
Tmax1ml
由该截面的扭转强度条件
Tmax1
max1W16ml
[η] p1πd3
1得
d3
16ml
1
π[η]
BC段上的最大扭矩在截面B处,其值为
Tmax2ml2
由该截面的扭转强度条件得
d3
16ml2
2
π[η]
2.最轻重量设计 轴的总体积为 Vπd2π2π16ml2/3
16ml41(ll2)22/34d2l24[(π[η])(ll2)(π[η]
)l2]根据极值条件
dV
dl0 2
得
(
16mlπ[])2/3(16mπ[])2/352/3
3
l20 由此得 l(3
25
)3/2l0.465l
从而得
l3
1ll2[1(5)3/2]l0.535l
d2(
16m1/31/3π[])l31/22(5)16ml
π[]
0.775d1 该轴取式(a)~(d)所给尺寸,可使轴的体积最小,重量自然也最轻。
(a)
4-14 一圆柱形密圈螺旋弹簧,承受轴向压缩载荷F = 1kN作用。设弹簧的
平均直径D = 40mm,弹簧丝的直径d = 7mm,许用切应力[]= 480MPa,试校核弹簧的强度。
解:由于
m
Dd40
7
5.7110 故需考虑曲率的影响,此时,
8FD(4m+2)81.001030.040(45.712)N
maxπd3(4m3)
π0.0073(45.713)m2 3.72108Pa372MPa
结论:max[],该弹簧满足强度要求。
34
(
(
(
4-20 图示圆锥形薄壁轴AB,两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为,横截
面A与B的平均直径分别为dA与dB,轴长为l,切变模量为G。试证明截面A和B
4MA/B
πG
d(dAcx)2M2l
(dcx)| 0A
0c(dcx)3πGδcA
l
间的扭转角为
(dA/B
2MlAdB)
π
Gd22
AdB
题4-20图
证明:自左端A向右取坐标x,轴在x处的平均半径为 R(x)12(dddABA1
0lx)2
(dAcx)
式中,
c
dBdA
l
截面x的极惯性矩为 I3
p2πR0
2π [1(dcx)]3πδ
A(d324
Acx)
依据
dT(x)dxGI4Mπ (d pGAcx)3
得截面A和B间的扭转角为
2Ml112Ml(dAdBπGδ (d())222
B dA)dBdAπGδd2AdB
4-21 图示两端固定的圆截面轴,承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设
扭转刚度为已知常数。
题4-21图
(a)解:此为静不定轴,但有对称条件可以利用。
设A与B端的支反力偶矩分别为MA和MB,它们的转向与扭力偶矩M相反。由于左右对称,故知
MAMB
由Mx0可得 MAMB2MA2M
即
35
MAMBM
(b)解:此为静不定轴,可解除右端约束,代之以支反力偶矩MB,示如图4-21b。
变形协调条件为
利用叠加法,得到(x从左端向右取)
B0
(
BB,mB,MB
am(ax)
GIp
MB(2a)ma22MBa
x
GIp2GIpGIp
(
变形协调条件为
利用叠加法,得
图4-21b
将式(d)代入式(c),可得 进而求得
(a)
MB
ma 4
3ma
4
B0
MAmaMB
B
MaM(2a)MB(3a)
GIpGIpGIp
M的转向亦与m相反。
(b) A
将式(b)代入式(a),可得 进而求得
4-22 图示轴,承受扭力偶矩M=400N•m与M=600N•m作用。已知许用
1
2
1MBM
3
1
MAM(转向与MB相反)
3
切应力[]=40MPa,单位长度的许用扭转角[]=0.25(°) / m,切变模量G = 80GPa。试确定轴径。
(c)解:此为静不定轴,与(a)类似,利用左右对称条件,容易得到
MAMB
ma
2
解:1.内力分析
题4-22图
MA和MB的转向与m相反。
(d)解:此为静不定轴,可解除右端约束,代之以支反力偶矩MB,从变形趋势不难判断,MB的转向与m相反。
36
此为静不定轴,设B端支反力偶矩为MB,该轴的相当系统示如图4-22a。
图4-22
利用叠加法,得
1BGI[4000.5006001.250MB2.500]
p
将其代入变形协调条件B0,得
M(6001.2504000.500)Nm2
B2.500m
220Nm该轴的扭矩图示如图4-22b。 2.由扭转强度条件求d 由扭矩图易见,
Tmax380Nm
将其代入扭转强度条件,
Tmax
maxW16Tmax
3
[] pπd
由此得
3
16Tmax316380m3
dπ[]π40106
0.0364m36.4mm
3.由扭转刚度条件求d
将最大扭矩值代入 maxGI32Tmax
Gπd
4
[] p得
d
4
32T
max
32380180m4
πG[]
4
π801090.25π
0.0577m57.7mm
结论:最后确定该轴的直径d57.7mm。
4-23 图示两端固定阶梯形圆轴AB,承受扭力偶矩M作用。已知许用切应
力为[],为使轴的重量最轻,试确定轴径d1与d2。
题4-23图
解:1. 求解静不定
设A与B端的支反力偶矩分别为MA与MB,则轴的平衡方程为
Mx0, MAMBM0
AC与CB段的扭矩分别为
T1MA, T2MB
代入式(a),得
T1T2M0
37
设AC与CB段的扭转角分别为AC与CB,则变形协调条件为
ACCB0
, T2 T1
99
(c)
根据圆轴扭转强度条件,于是得轴的直径为
M8M
利用扭转角与扭矩间的物理关系,分别有
代入式(c),得补充方程为
AC
T1a2Ta
, CB2 GIp1GIp2
d1
d2316T1316M
2π[]9π[]
4-24 图示二平行圆轴,通过刚性摇臂承受载荷F作用。已知载荷F=750N,
轴1和轴2的直径分别为d1=12mm和d2=15mm,轴长均为l=500mm,摇臂长度a
(d)
=300mm,切变模量G = 80GPa,试求轴端的扭转角。
d
T121T20
d2
4
最后,联立求解平衡方程(b)与补充方程(d),得
4
2d14Md2M
, T14T24
d22d14d22d14
(e)
2. 最轻重量设计
从强度方面考虑,要使轴的重量最轻,应使AC与CB段的最大扭转切应力的数值相等,且当扭力偶矩M作用时,最大扭转切应力均等于许用切应力,即要求
由此得
将式(e)代入上式,得 并从而得
TT1
[],2[] Wp1Wp2
解:这是一度静不定问题。
变形协调条件为
题4-24图
T1Wp1d1 2Wp2d2
3
Δ1Δ2 或 12
(
这里,和分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。
d22d1
设二摇臂间的接触力为F2,则轴1和2承受的扭矩分别为
物理关系为
a
T1F()F2a, T2F2a
2
(
38
1
T1lTl
, 22 GIp1GIp2
(c)
物理关系为
12
(
将式(c)代入式(a),并注意到式(b),得 由此得
F2
4d2F
2(d1d2)
1
将式(c)代入式(b),并注意到
T1l1Tl
, 222 G1Ip1G2Ip2
(
2
T2l16Fal167500.3000.500m
4
GIp2πG(d14d2)π80109(0.01240.0154)m
7612πD4πd44
0.8421, Ip2(1), Ip1
763232
得
0.1004 rad5.75|1|
4-26 如图所示,圆轴AB与套管CD借刚性突缘E焊接成一体,并在突缘
E承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d=38mm,许用切应力[1]=80MPa,切变模量G1=80GPa;套管的外径D = 76mm,壁厚= 6mm,许用切应力[2]= 40MPa,切变模量G2 = 40GPa。试求扭力偶矩M的许用值。
2d424384
T1T24T2T20.1676T2
G2Ip2l1D(14)33764(10.84214)
将方程(a)与(d)联解,得
G1Ip1l2
(
T20.856M, T10.144M
2.由圆轴的强度条件定M的许用值
1max
T1160.144M
[1] 3Wp1πd
由此得扭力偶据的许用值为
πd3[1]π0.038380106
[M]1Nm5.99103Nm5.99kNm
160.144160.144
3.由套管的强度条件定M的许用值
题4-26图
解:1. 解静不定
此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为
2max
T2160.856M
[2] 34
Wp2πD(1)
由此得扭力偶据的许用值为 (a)
39
T1T2M
πD3(14)[2]π0.0763(10.84214)40106
[M]2Nm
160.856160.856
2.00103Nm2.00kNm
结论:扭力偶矩的许用值为
两个未知扭力矩,一个平衡方程,故为一度静不定问题。
在横截面B处,钢轴与铜管的角位移相同,即
sc
(
[M][M]22.00kNm
设轴段AB的长度为l,则
4-27 图示组合轴,由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体,
并承受扭力偶矩M=100N·m作用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为[s]=80MPa与[c]=20MPa,切变模量分别为Gs=80GPa与Gc=40GPa,试校核组合轴强度。
s
Tsl
GsIps
c
(MTc)lTl(M2Tc)l
c
GcIpc2GcIpc22GcIpc
将上述关系式代入式(b),并注意到Gs/Gc=2,得补充方程为
Ts(M2Tc)
IpsIpc
联立求解平衡方程(a)与补充方程(c),于是得
2.强度校核
题4-27图
解:1. 求解静不定
如图b所示,在钢轴与刚性平板交接处(即横截面B),假想地将组合轴切开,并设钢轴与铜管的扭矩分别为Ts与Tc,则由平衡方程Mx0可知,
TsTc
IpsMIpc2Ips
π(0.020m)4
Ips1.571108m4
32
Ipc
π(0.040m)40.035m47411.04010m 0.040m32
将相关数据代入式(d),得 (a)
40
TsTc11.6Nm
对于钢轴,
TsTc
对于铜管,
T16(11.6Nm)6
s,maxs7.3810Pa7.38MPa[s] 3
Wpsπ(0.020m)
将式(d)和式(a)代入式(c),得 或写成
TlMlTil
e0 GIpiGIpeGIpi
c,max
Tc,maxWpc
16(100Nm11.6Nm)71.7010Pa17.0MPa[c]4
0.035m
π(0.040m)31
0.040m
由此得
TeM0Ti
IpeIpi
4-28 将截面尺寸分别为100mm×90mm与90mm×80mm的两钢管相套
合,并在内管两端施加扭力偶矩M0=2kN·m后,将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力偶矩M0后,内、外管横截面上的最大扭转切应力。
解:1. 求解静不定
此为静不定问题。在内管两端施加M0后,产生的扭转角为
Te
联立求解方程(e)与(b),得
IpeIpi
(M0Ti)1.395(M0Ti)
(
TiTe0.5825M01.165kNm
2. 计算最大扭转切应力
内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为 (a)
0
M0l
GIpi
i,max
Ti161165N2.17107Pa21.7MPa 342Wpiπ0.090[1(8/9)]m
去掉M0后,有静力学关系
几何关系为
物理关系为
e,max
TiTe
(b)
Te161165N7
1.72510Pa17.25MPa Wpeπ0.1003(10.94)m2
4-29 图示二轴,用突缘与螺栓相连接,各螺栓的材料、直径相同,并均匀
ie0
地排列在直径为D = 100mm的圆周上,突缘的厚度为=10mm,轴所承受的扭力偶矩(c)
为M = 5.0kN·m,螺栓的许用切应力[]=100MPa,许用挤压应力[bs]=300MPa。试确
TlTl
ii, ee
GIpiGIpe
定螺栓的直径d。
(d)
41
题4-29图
解:1. 求每个螺栓所受的剪力 由 MD
x0,
6Fs(2
)M 得
FMs
3D
2.由螺栓的剪切强度条件求d FsA4M3πDd2
[] 由此得
3
2
d
4M3πD[]45.010m
3π0.10010010
6
1.457102m14.57mm 3.由螺栓的挤压强度条件求d bs
FbdM
3Dd
[bs] 由此得 3
d
M3D[5.010m
5.56103m5.bs]30.1000.01030010
6
56mm
结论:最后确定螺栓的直径d14.57mm。
4-30
图示二轴,用突缘与螺栓相连接,其中六个螺栓均匀排列在直径为D1
的圆周上,另外四个螺栓则均匀排列在直径为D2的圆周上。设扭力偶矩为M,各螺栓的材料相同、直径均为d,试计算螺栓剪切面上的切应力。
题4-30图
解:突缘刚度远大于螺栓刚度,因而可将突缘视为刚体。于是可以认为:螺栓i剪切面上的平均切应变i与该截面的形心至旋转中心O的距离ri 成正比,即
ikri
式中,k为比例常数。
利用剪切胡克定律,得螺栓i剪切面上的切应力为
iGkri
而剪力则为
FS,iGAkri
最后,根据平衡方程
22
MDO0, 6GAk1D224GAk2
M 得
k
2M8M
GA(3D2D2222
122)Gπd(3D12D2)
42
于是得外圈与内圈螺栓剪切面上得切应力分别为
由图中可以看出,
所以,
4MD1
12 2
πd(3D122D2)
r1r460103m, r2r320103m
2
4MD2
2
πd2(3D122D2)
πd2π
Ip(2r122r22)(10103m)2(602202)(103m)26.28107m4
42
代入式(a),得
4-31图a所示托架,承受铅垂载荷F=9kN作用。铆钉材料均相同,许用切
应力[]=140MPa,直径均为d=10mm。试校核铆钉的剪切强度。
(9103N)(150103m)(60103m)
1.289108Pa 74
6.2810m
将上述两种切应力叠加,即得铆钉1与4的总切应力即最大切应力为
max22(2.87107Pa)2(1.289108Pa)2
1.3210Pa132MPa[]
8
=3mm,4-34 图示半椭圆形闭口薄壁杆,a=200mm,b=160mm,
1
2
= 4mm,
T=6 kN·m,试求最大扭转切应力。
题4-31图
解:由于铆钉均匀排列,而且直径相同,所以,铆钉群剪切面的形心C,位于铆钉2与铆钉3间的中点处(图b)。将载荷平移至形心C,得集中力F与矩为Fl的附加力偶。
在通过形心C的集中力F作用下,各铆钉剪切面上的切应力相等,其值均为
FF9103N
22.87107MPa 232
πdπdπ(1010m)44
在附加力偶作用下,铆钉1与4剪切面上的切应力最大,其值均为
题4-34图
解:截面中心线所围面积为 (a)
由此得
43
Flr1
Ip
Ωπ(a
12b2
22)(
4
)
Ωπ(0.2000.00150.002)(
0.1600.0042
)m2.41102m2
4
max
M
2
2πR01
于是得最大扭转切应力为
6103N7
max4.1510Pa41.5MPa
2min22.411020.003m2
T
2. 扭转变形计算
用相距dx的两个横截面,与夹角为d的两个径向纵截面,从管的上部切取一微体,其应变能为
由此得整个上半圆管的应变能为
4-35 一长度为l的薄壁管,两端承受矩为M的扭力偶作用。薄壁管的横截面
如图所示,平均半径为R0,上、下半部由两种不同材料制成,切变模量分别为G1与G2,厚度分别为1与2,且1
dVε1
12
2G1
1R0ddx
Vε1
l π
0 0
M2l
1R0ddx3
2G18πG1R01
12
同理得整个下半圆管的应变能为
根据能量守恒定律,
题4-35图
解:1. 扭转切应力计算
闭口薄壁管扭转切应力的一般公式为 现在
所以,最大扭转切应力为
2 ΩπR0
M2l
Vε2 3
8πG2R02
于是得
MM2lM2l
3328πG1R018πG2R02
T
2Ω
Μl11
3
GG4πR01122
4-36 图示三种截面形状的闭口薄壁杆,若截面中心线的长度、壁厚、杆长、
材料以及所受扭矩均相同,试计算最大扭转切应力之比和扭转角之比。
min1
44
题4-36图
解:由于三者中心线的长度相同,故有
2(2bb)4aπd 由此得
b
πdπd
6, a
4
据此可求得长方形、正方形及圆形薄壁截面的Ω,其值依次为 Ωπ2
d
2
12b2
18
Ω2
π2d2
2a16
Ωπd2
34
依据
T
max2Ω
min
可得三种截面薄壁杆的最大扭转切应力之比为
矩max:方max:圆max1.432 :1.273 :1
依据
Tl4GΩ
2
ds
可得三种截面薄壁杆的扭转角之比为
矩:方:圆2.05 :1.621: 1
结果表明:在题设条件下,圆形截面薄壁杆的扭转强度及扭转刚度均最佳,正方形截面薄壁杆的次之,长方形截面薄壁杆的最差。一般说来,在制造闭口薄壁杆时,应尽可能加大其中心线所围的面积Ω,这样对强度和刚度均有利。
4-37 图示闭口薄壁杆,承受扭力偶矩M作用,试计算扭力偶矩的许用值。
已知许用切应力[]=60MPa,单位长度的许用扭转角[]=0.5(°) / m,切变模量G = 80GPa。若在杆上沿杆件母线开一槽,则许用扭力偶矩将减少至何值。
题4-37图
解:1.计算闭口薄壁杆扭力偶矩的许用值 由扭转强度条件
T
max2Ω[] min
得
T2Ωmin[]20.1000.3000.00360106Nm
1.080104
Nm10.80kNm
由扭转刚度条件
Tds
4GΩ2δ
[] 得
45
4GΩ2[]480109(0.1000.300)28.727103TNm
ds2(0.3000.100)
0.003
9.43103Nm9.43kNm
[]Ghii3
n
T
i1
3
8.72710380109[2(0.3000.100)0.0033]其中用到
[]
0.5π
180
rad/m8.727103rad/m 比较可知,
[M]9.43kNm
2.计算开口薄壁杆扭力偶矩的许用值 由扭转强度条件
3Tδmax
max
n
[]
hi3
ii1
得
n
[]h3
ii
T
i1
60106[2(0.3000.100)0.00333 ]max
30.003
Nm144.0Nm由扭转刚度条件
3Tn
[]
Ghi3
ii1得
比较可知,
46
3
Nm5.03Nm
[M]开5.03Nm
所以,金属丝的最大弯曲正应变为
最大弯曲正应力为
而弯矩则为
max
ymax
d2d 2DdDd
maxEmax
Ed
Dd
πd3EdEπd4
MWzmax
32Dd32(Dd)
6-3 图示带传动装置,胶带的横截面为梯形,截面形心至上、下边缘的距离
第六章 弯曲应力
分别为y1与y2,材料的弹性模量为E。试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。
6-2 如图所示,直径为d、弹性模量为E的金属丝,环绕在直径为D的轮缘
上,试求金属丝内的最大弯曲正应变、最大弯曲正应力与弯矩。
题6-3图
解:由题图可见,胶带中性层的最小曲率半径为 依据
解:金属丝的曲率半径为
ρminR1
题6-2图
ζ
Ey ρEy1
R1
可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为
Dd
2
47
ζt,max
ζEy
c,max2R
1
6-6 图a所示正六边形截面,边长为a,试计算抗弯截面系数Wz
与Wy
。
题6-6图
解:1. Wz计算 由图b可以看出,
ba3a
2, h2
所以,ADB对z轴的惯性矩为 3
Ibh3bhz,t
h2
bh31a3a3a4
3623121222
64
中部矩形截面对z轴的的惯性矩为 3
Ia(2h)3a3aa4
z,r
121222
4
于是得整个六边形截面对z轴的惯性矩为
Iz4Iz,tIz,r
43a43a453a4
64416
而对z轴的抗弯截面系数则为
3
WIzz53a425ay8
max16a2. Wy计算
ADB对y轴的惯性矩为
2
Ihb3bhba11a4
y,t36232192
中部矩形截面对y轴的的惯性矩为
I2ha33a4
y,r1212
于是得整个六边形截面对y轴的惯性矩为
I43a4y4Iy,tIy,r
1923a453a41216
而对z轴的抗弯截面系数则为
WIy53a4153a3
y
zmax
16a16
6-7 图示直径为d的圆木,现需从中切取一矩形截面梁。试问:(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高,h和b应分别为何值; (2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高,h和b又应分别为何值。
48
题6-7图
解:(1) 为使弯曲强度最高,应使Wz值最大。 由此得
bh2b22
Wz(db)
66dWz12
(d3b2)0 db6
b
36d, hd2b2d 33
题6-8图
解:1. 内力分析
梁的弯矩图如图b所示,横截面C的弯矩为
梁内的最大弯矩则为
(2) 为使弯曲刚度最高,应使Iz值最大。
bh3h3Izd2h2
1212
由此得
dIz3h2(d2h2)h4
0
22dh12dhd
d, bd2h2 22
qa2
MC
49qa2
Mmax
32
h
6-8 图a所示简支梁,由№18工字钢制成,弹性模量E = 200 GPa, a=1m。
在均布载荷q作用下,测得截面C底边的纵向正应变 = 3.010-4,试计算梁内的最大弯曲正应力。
2. 应力计算(解法一)
横截面C底部的弯曲正应力为
qa2
C,maxEC
4Wz
4ECWz
a2
由此得
代入式(a),得
49
q
Mmax
9ECWz
8
于是得梁的最大弯曲正应力为
max
Mmax9EC9(20010Pa)( 3.010)
67.5MPa Wz88
94
M(x)1
Δlx
0EWEWzz
l
qlq2ql3
xxdx 0212EWz2
l
3. 应力计算(解法二)
横截面C底部的弯曲正应力为
6-10 图示截面梁,由№18工字钢制成,截面上的弯矩M = 20kN·m,材料
的弹性模量E = 200GPa,泊松比= 0.29。试求截面顶边AB与上半腹板CD的长度改变量。
C,maxEC
由于应力与内力成正比,所以,梁内的最大弯曲正应力为
Mmax9EC9qa24
maxC,max2EC67.5 MPa
MC32qa8
计算结果相同。
6-9 图示简支梁,承受均布载荷q作用。已知抗弯截面系数为W,弹性模量
z
为E,试计算梁底边AB的轴向变形。
题6-10图
解:1.截面几何性质
工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图6-10。
解:梁的弯矩方程为
题6-9图
M(x)
qlqxx2 22
M(x)
dx EWz
图6-10
50
横截面x处底边微长dx的轴向变形为
所以,梁底边AB的轴向变形为
d(l)(x)dx
由附录F表4查得 h180mm, b94mm, t10.7mm I4
3
z1660cm, Wz185cm
并从而得
h1h/2t79.3mm。
2.计算顶边AB的长度改变量
顶边处有
ζmax
M
Wzμε
μζ
εmax
E
由此可得AB边的伸长量为
bbM
0.290.094203
EW10
ABz20010918510
6
m 1.474105m0.01474mm
3.计算上半腹板CD的长度改变量
距中性轴z为y1的点,弯曲正应力的绝对值为
ζ(y1
1)
MyI (y1以向上为正) z
该处的横向应变为
(yMy1)
1
EI
z
由此可得线段CD的伸长量为
Δ h1
M
h1
CD 0
εdy1
y1dy Mh2
1
1
EIz
0
2EIz
3
2
0.2920100.079322001091660108
m5.49106
m0.00549mm
6-12 图a所示矩形截面悬臂梁,杆端截面承受剪切载荷F作用。现用纵截
面AC与横截面AB将梁的下部切出,试绘单元体ABCD各切开截面上的应力分布图,并说明该部分是如何平衡的。
题6-12图
解: 1. 单元体的应力分析
梁内各横截面的剪力相同,其值均为F;在固定端处,横截面上的弯矩则为
M(0)Fl 与上述内力相对应,单元体各截面的应力如图b所示。在横截面AB上,弯曲切
应力按抛物线分布,最大切应力为
3F
max
2bh
在该截面上,弯曲正应力线性分布,最大弯曲压应力则为
c,max
6Fl
bh
2 51
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
2-1 试画图示各杆的轴力图。
题2-1图
解:各杆的轴力图如图2-1所示。
轴力图如图2-2a(2)所示,
(a)解:由图2-2a(1)可知,
题2-2图
FN(x)2qaqx
FN,max2qa
图2-1
(b)解:由图2-2b(2)可知,
1
图2-2a
FRqa
2-2
试画图示各杆的轴力图,并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷
均沿杆轴均匀分布,集度为q。
FN(x1)FRqa
FN(x2)FRq(x2a)2qaqx2
轴力图如图2-2b(2)所示,
ζmaxζ100MPa
FN,maxqa
ηmax
ζ
50MPa 2
2-5 某材料的应力-应变曲线如图所示,图中还同时画出了低应变区的详图。
试确定材料的弹性模量E、比例极限p、屈服极限s、强度极限b与伸长率,并判断该材料属于何种类型(塑性或脆性材料)。
图2-2b
2-3 图示轴向受拉等截面杆,横截面面积A=500mm,载荷F=50kN。试求图
2
示斜截面m-m上的正应力与切应力,以及杆内的最大正应力与最大切应力。
题2-3图
解:该拉杆横截面上的正应力为
ζ
F5010N
1.00108Pa100MPa A50010m
2
3
题2-5
解:由题图可以近似确定所求各量。
斜截面m-m的方位角α50,故有
ζζcos2α100MPacos2(50)41.3MPa
Δζ220106Pa
E220109Pa220GPa
Δε0.001
ζ
ηαsin2α50MPasin(100)49.2MPa
2
杆内的最大正应力与最大切应力分别为
ζp220MPa, ζs240MPa
ζb440MPa, δ29.7%
该材料属于塑性材料。
2-7 一圆截面杆,材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d =10mm,
杆长 l =200mm,杆端承受轴向拉力F = 20kN作用,试计算拉力作用时与卸去2-9 图示含圆孔板件,承受轴向载荷F作用。已知载荷F =32kN,板宽b
=100mm,板厚15mm,孔径d =20mm。试求板件横截面上的最大拉应力(考虑应力集中)。
后杆的轴向变形。
题2-6图
解: ζFA420103Nπ0.0102m
2
2.55108Pa255MPa 查上述ζε曲线,知此时的轴向应变为
ε0.00390.39%
轴向变形为
Δllε(0.200m)0.00397.8104m0.78mm
拉力卸去后,有
εe0.00364, εp0.00026
故残留轴向变形为
Δllεp(0.200m)0.000265.2105m0.052mm
题2-9图
解:根据
d/b0.020m/(0.100m)0.2
查应力集中因数曲线,得
K2.42
根据
ζF
n
, Kζmax(bd)δζ
n
得
ζζKF2.4232103N7
maxKn(bd)δ(0.100-0.020)0.015m2
6.4510Pa64.5MPa
2-10 图示板件,承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN,板宽b1
=90mm,
b2=60mm,板厚=10mm,孔径d =10mm,圆角半径R =12mm。试求板件横截面上
的最大拉应力(考虑应力集中)。
3
题2-10图
解:1.在圆孔处 根据
查圆孔应力集中因数曲线,得 故有
2-14
图示桁架,承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A,许用
应力均为[],试确定载荷F的许用值[F]。
d0.010m0.1111 b10.090m
K12.6
K1F2.636103N
ζmaxK1ζn11.17108Pa117MPa (b1-d)δ(0.090-0.010)0.010m
2.在圆角处
根据
题2-14图
解:先后以节点C与B为研究对象,求得各杆的轴力分别为
Db10.090m1.5 db20.060mRR0.012m0.2 db20.060m
FN12F FN2FN3F
根据强度条件,要求
查圆角应力集中因数曲线,得 故有
3. 结论
K21.74
2F
[] A
由此得
[F]
K2F1.7436103N
ζmaxK2ζn21.04108Pa104MPa 2
b2δ0.0600.010m
[]A
2
2-15 图示桁架,承受载荷F作用,已知杆的许用应力为[]。若在节点B
和C的位置保持不变的条件下,试确定使结构重量最轻的值(即确定节点A的最佳位置)。
ζmax117MPa(在圆孔边缘处)
4
题2-15图
解:1.求各杆轴力
设杆AB和BC的轴力分别为FN1和FN2,由节点B的平衡条件求得
FFN1
sinα
, FN2Fctanα 2.求重量最轻的值 由强度条件得
A1
F[ζ]sin, AF
2[ζ]
ctanα
结构的总体积为
VAF1l1A[ζ]sinαlcosαFl[ζ]ctanαFl[ζ](2
2l2
sin2α
ctanα)由
dV
dα0 得
3cos2α10
由此得使结构体积最小或重量最轻的α值为
αopt5444
2-16 图示桁架,承受载荷F作用,已知杆的许用应力为[]。若节点A和
C间的指定距离为 l,为使结构重量最轻,试确定的最佳值。
题2-16图
解:1.求各杆轴力
由于结构及受载左右对称,故有
FN1FN2
F
2sinθ
2.求的最佳值 由强度条件可得
A1A2
F
2[ζ]sinθ
结构总体积为
V2A1l1
F[ζ]sinθl2cosθFl
[ζ]sin2θ
由 dV
dθ
0 得
cos2θ0
5
由此得的最佳值为
于是得
θopt45
由此得
D:h:d1
2-17图示杆件,承受轴向载荷F作用。已知许用应力[]=120MPa,许用切
应力[]=90MPa,许用挤压应力[bs]=240MPa,试从强度方面考虑,建立杆径d、墩[][]
::1 []bs4[]
D:h:d1.225:0.333:1
头直径D及其高度h间的合理比值。
题2-17图
解:根据杆件拉伸、挤压与剪切强度,得载荷F的许用值分别为 [F]d
2
t
π4
[] [F]π(D2d2)b4
[bs]
[F]sπdh[]
理想的情况下,
[F]t[F]b[F]s
在上述条件下,由式(a)与(c)以及式(a)与(b),分别得
h[]4[]d
D1
[]
[]d bs
2-18 图示摇臂,承受载荷F1
与F2
作用。已知载荷F1
=50kN,F2
=35.4kN,
许用切应力[]=100MPa,许用挤压应力[bs]=240MPa。试确定轴销B的直径d。
题2-18图
(a) 解:1. 求轴销处的支反力 (b) 由平衡方程Fx0与Fy0,分别得
(c) FBxF1F2cos4525kN
FByF2sin4525kN
由此得轴销处的总支反力为
F2B25225kN35.4kN
2.确定轴销的直径
由轴销的剪切强度条件(这里是双面剪)
η
FsA2FB
πd2
[η] 6
得
2FB235.4103
dm0.015m
[η]100106
由轴销的挤压强度条件
2-20图示铆接接头,铆钉与板件的材料相同,许用应力[] =160MPa,许
用切应力[] = 120 MPa,许用挤压应力[bs ] = 340 MPa,载荷F = 230 kN。试校核接
头的强度。
得
ζbs
FbF[ζbs] dd
FB35.4103
dm0.01475m
δ[ζbs]0.010240106
结论:取轴销直径d0.015m15mm。
解:最大拉应力为
题2-20图
2-19图示木榫接头,承受轴向载荷F = 50 kN作用,试求接头的剪切与挤压
应力。
230103N
max153.3 MPa
(0.1700.020)(0.010)(m2)
最大挤压与剪切应力则分别为
230103N
bs230 MPa
5(0.020m)(0.010m)
解:剪应力与挤压应力分别为
题2-19图
4230103N146.4 MPa
5π(0.020m)2
2-21 图示两根矩形截面木杆,用两块钢板连接在一起,承受轴向载荷F =
45kN作用。已知木杆的截面宽度b =250mm,沿木纹方向的许用拉应力[]=6MPa,许用挤压应力[bs]=10MPa,许用切应力[]=1MPa。试确定钢板的尺寸与l以及木杆的高度h。
50103N
5 MPa
(0.100m)(0.100m)50103N
bs12.5 MPa
(0.040m)(0.100m)
7
题2-21图
解:由拉伸强度条件 ζ
F
b(h2δ)
[ζ]
得
3
h2δ
Fb[ζ]45100.250610
6
m0.030m 由挤压强度条件 ζF
bs
2bδ
[ζbs] 得
δF45103
2b[ζ0.25010106
m0.009m9mmbs]2由剪切强度条件 η
F
2bl
[η] 得
l
F45103
2b[]20.2501106
m0.090m90mm
取δ0.009m代入式(a),得
h(0.03020.009)m0.048m48mm 结论:取
δ9mm,l90mm,h48mm。
2-22 图示接头,承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径d=20mm,许用应力
[]=160MPa,许用切应力[]=120MPa,许用挤压应力[bs]=340MPa。板件与铆钉
的材料相同。试计算接头的许用载荷。
a)
题2-22图
解:1.考虑板件的拉伸强度 由图2-22所示之轴力图可知,
FN1F, FN23F/4
ζF1
N1AF
(bd)[ζ] b)
1δ
F(bd)δ[ζ](0.200-0.020)0.015160106N4.32105N432kN
ζ2
FN2A3F
4(b2d)δ
[ζ] 2
F43(b2d)δ[ζ]4
3
(0.2000.040)0.015160106N5.12105N512kN
8
(
(
径d=8mm,孔的边距a=20mm,钢带材料的许用切应力[]=100MPa,许用挤压应力[bs]=300MPa,许用拉应力 []=160MPa。试校核钢带的强度。
2.考虑铆钉的剪切强度
2
图2-22
题2-23图
Fs
F 8
η
Fs4F[η] A8πd2
2
6
5
解:1.钢带受力分析
分析表明,当各铆钉的材料与直径均相同,且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影, 通过该面的形心时,通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。
铆钉孔所受挤压力Fb等于铆钉剪切面上的剪力,因此,各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同,钢带的受力如图b所示,挤压力则为
F2πd[η]2π0.02012010N3.0210N302kN
3.考虑铆钉的挤压强度
F6103NFb2.0103N
33
孔表面的最大挤压应力为
Fb
bs
F
4
FbF[bs] d4 d
Fb2.0103Nbs1.25108Pa125MPa[bs]
d(0.002m)(0.008m)
在挤压力作用下,钢带左段虚线所示纵截面受剪(图b),切应力为
F4d[ζbs]40.0150.020340106N4.08105N408kN
结论:比较以上四个F值,得
Fb2.0103N2.5107Pa25MPa[]
2a2(0.002m)(0.020m)
[F]302kN
2-23 图a所示钢带AB,用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接,
钢带承受轴向载荷F作用。已知载荷F=6kN,带宽b=40mm,带厚=2mm,铆钉直
9
钢带的轴力图如图c所示。由图b与c可以看出,截面1-1削弱最严重,而截面2-2的轴力最大,因此,应对此二截面进行拉伸强度校核。
截面1-1与2-2的正应力分别为
FN12F2(6103N)183.3MPa
A13(b2d)3(0.040m20.008m)(0.002m)FN2F6103N293.8MPa
A2(bd)(0.040m0.008m)(0.002m)
端承受轴向拉力F = 200kN作用。若弹性模量E = 80GPa,泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量D及体积改变量V。
解:1. 计算D 由于 故有
ε
FFΔD
, ε
EADEA
4FD40.302001030.060
ΔDεDm22922
EAEπ(Dd)8010π(0.0600.020)
FD
1.79105m0.0179mm
2.计算V
变形后该杆的体积为 故有
3
Fl200100.4003
ΔVVVV(ε2ε)(12μ)m(120.3)
E8010 4.00107m3400mm3
π
VlA(ll)[(DεD)2(dεd)2]Al(1ε)(1ε)2V(1ε2ε)
4
3-4 图示螺栓,拧紧时产生l=0.10mm的轴向变形。已知:d = 8.0mm,d
1
2
= 6.8mm,d3 = 7.0mm;l1=6.0mm,l2=29mm,l3=8mm;E = 210GPa,[]=500MPa。试求预紧力F,并校核螺栓的强度。
第三章 轴向拉压变形
3-2 一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆,杆长l = 400mm,两
10
题3-4图
解:1.求预紧力F
各段轴力数值上均等于F,因此, 由此得
题3-5图
解:1.求各杆轴力
llllFl4Fl1
Δl(123)(22232)
EA1A2A3πEd1d2d3
FN1E1ε1A12001094.0104200106N1.6104N16kN FN2E2ε2A22001092.0104200106N8103N8kN
πEΔlπ2101090.10103
FN1.865104N18.65kN
ll
)4(123)4(
0.00820.006820.0072d1d2d3
2.校核螺栓的强度
2.确定F及θ之值
由节点A的平衡方程Fx0和Fy0得
FN2sin30FsinθFN1sin300 FN1cos30FN2cos30Fcosθ0
F4F418.65103N
ζmax25.14108Pa514MPa 22
Aminπd2π0.0068m
此值虽然超过[ζ],但超过的百分数仅为2.6%,在5%以内,故仍符合强度要求。
化简后,成为
3-5 图示桁架,在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵
-4
ε2= 2.0×10-4。已知杆1与杆2的横截面面积A1= 向正应变分别为ε1= 4.0×10与
FN1FN22Fsinθ
及
联立求解方程(a)与(b),得
11
3(FN1FN2)2Fcosθ
A2=200mm2,弹性模量E1= E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角之值。
由此得
FN1FN2(168)103
tanθ0.1925 3
3(FN1FN2)3(168)10
θ10.8910.9
FN1FN2(168)1034
FN2.1210N21.2kN
2sinθ2sin10.89
3-6
图示变宽度平板,承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为,长度为l,
题3-7图
解:自截面B向上取坐标y,y处的轴力为
该处微段dy的轴向变形为
题3-6图
于是得截面B的位移为 (a)
左、右端的宽度分别为b1与b2,弹性模量为E。试计算板的轴向变形。
FNgAy
dΔy
gAy
EA
l
dy
gy
E
dy
解:对于常轴力变截面的拉压平板,其轴向变形的一般公式为
llFFΔlxx
0EA(x)0Eb(x)
ΔCy
g
E
0ydy
gl2
2E
()
由图可知,若自左向右取坐标x,则该截面的宽度为
代入式(a),于是得
3-8 图示为打入土中的混凝土地桩,顶端承受载荷F,并由作用于地桩的摩
bbb(x)b121x
l
Δl
b2Fl1Fl
xln0bbEδb21xEδ(b2b1)b1
1
l
擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f,且f = ky2,式中,k为常数。已知地桩的横截面面积为A,弹性模量为E,埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量。
3-7 图示杆件,长为l,横截面面积为A,材料密度为,弹性模量为E,试
求自重下杆端截面B的位移。
12
题3-8图
解:1. 轴力分析 摩擦力的合力为
Fy
l
2
l
fdy 0kydykl3
3
根据地桩的轴向平衡,
kl3
3F 由此得
k
3Fl3
截面y处的轴力为
F y
ky
3
fdy y
N 0
ky2dy
3
2. 地桩缩短量计算
截面y处微段dy的缩短量为
dδ
FNdy
EA
积分得
δ l
FNdyk l3kl4
0EA3EA 0ydy12EA
将式(a)代入上式,于是得
δ
Fl
4EA
3-9 图示刚性横梁AB,由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚
度(即产生单位轴向变形所需之力)为k,试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。
题3-9图
解:载荷F作用后,刚性梁AB倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为FN,其总伸长为Δl。
a)
图3-9
以刚性梁为研究对象,由平衡方程MA0得
FNaFN(ab)F(2ab)
由此得
( 13
由图3-9可以看出, 可见,
根据k的定义,有 于是得
FNF FN1FN2F (拉力)
y (2ab)
ΔlΔy1Δy2a(ab)(2ab)
于是得各杆的变形分别为
(b)
FN42F (压力)
FN30
l1l2l4
ΔyΔl
Fl
(伸长) EA
2F2l2Fl
(伸长) EAEA
FNkΔlkΔy
l30
Δy
FNF
kk
3-10 图示各桁架,各杆各截面的拉压刚度均为EA,试计算节点A的水平
如图3-10(1)所示,根据变形l1与l4确定节点B的新位置B’,然后,过该点作
长为l+l2的垂线,并过其下端点作水平直线,与过A点的铅垂线相交于A’,此即结构变形后节点A的新位置。
于是可以看出,节点A的水平与铅垂位移分别为
与铅垂位移。
ΔAx0
ΔAyl12l4l2
Fl2FlFlFl
2212
EAEAEAEA
题3-10图
(a)解:
利用截面法,求得各杆的轴力分别为
14
图3-10
(b)解:显然,杆1与杆2的轴力分别为
FN1F (拉力)
FN20
于是由图3-10(2)可以看出,节点A的水平与铅垂位移分别为
ΔlFlAx1
EA ΔlFlAy1EA 3-11 图示桁架ABC,在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模
量均为E,横截面面积分别为A1=320mm2与A2 =2 580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下,为使节点B的铅垂位移最小,应取何值(即确定节点A的最佳位置)。
15
题3-11图
解:1.求各杆轴力 由图3-11a得
FN1
F
sinθ
FN2Fctanθ
图3-11
2.求变形和位移
由图3-11b得 ΔlF1
N1l1EA2Fl2 ΔlFlFlctanθ
2N2221EA1sin2θEA2EA2
及
3.求θ的最佳值 由dΔBy/dθ0,得 由此得
ΔlΔlFl2ctan2θΔBy()
sinθtanθEA1sin2θsinθA2
2(2cos2θsinθcosθsin2θ)2ctanθcsc2θ
0 22
A1A2sin2θsinθ
解:两杆的轴力均为
题3-12图
FN
2A1cos3θA2(13cos2θ)0
F
2cos
n
轴向变形则均为
于是得节点C的铅垂位移为
将A1与A2的已知数据代入并化简,得
Fllll 2AcosBB
n
cos3θ12.09375cos2θ4.031250
cosθ0.564967
解此三次方程,舍去增根,得
由此得θ的最佳值为
lFnlΔCynn n1
cos2ABcos
3-13 图示结构,梁BD为刚体,杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均
相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F = 20kN,各杆的横截面面积均为A=100mm2,弹性模量E = 200GPa,梁长l = 1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。
θopt55.6
3-12 图示桁架,承受载荷F作用。设各杆的长度为l,横截面面积均为A,
材料的应力应变关系为n=B,其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。
16
题3-13图
解:1.求各杆轴力 由Fx0,得
FN20
由Fy0,得
FN1FN3
F
2
10kN 2.求各杆变形
Δl20
ΔlF1N1lEA101031.0002001010010
m5.010-4m0.50mmΔl33.求中点C的位移 由图3-13易知,
图3-13
ΔxΔl10.50mm(), ΔyΔl10.50mm()
3-14 图a所示桁架,承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA,
试求节点B与C间的相对位移B/C。
题3-14图
解:1. 内力与变形分析
利用截面法,求得各杆的轴力分别为
17
FN1FN2FN3FN4
F (拉力) 2
题3-15图
(a)解:各杆编号示如图3-15a,各杆轴力依次为
该桁架的应变能为
FN5F (压力)
于是得各杆得变形分别为
FN1
221
F, FN2F, FN3F 222
l1l2l3l4
Fl
(伸长) 2EA
F2lFll5(缩短)
EAEA
2
FN112212F2l221ili
Vε(Fl2Fl)()
2EA2EA2242EA4i1
3
2. 位移分析
如图b所示,过d与g分别作杆2与杆3的平行线,并分别与节点C的铅垂线相交于e与h,然后,在de与gh延长线取线段l3与l2,并在其端点m与n分别作垂线,得交点C’,即为节点C的新位置。
可以看出,
依据能量守恒定律, 最后得
图3-15
l52FlFl22Fl
ΔB/C2CiiC'22l322
EA22EA2EA
3-15 如图所示桁架,设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试用能量法求载
荷作用点沿载荷作用方向的位移。
FΔ
Vε 2
2F2l221(221)FlΔ() ()
F2EA44EA
(b)解:各杆编号示如图b 列表计算如下:
18
于是,
2FN(322)F2lili
Vε
2EA2EAi1
5
由表中结果可得
依据 得
依据能量守恒定律, 可得
FΔ
Vε 2Δ
(322)Fl
()
EA
2FN(2)F2lili
Vε
2EA2EAi1
5
3-16 图示桁架,承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试
用能量法求节点B与C间的相对位移B/C。
WV
ΔB/C
(22)Fl
()
EA
3-17 图示变宽度平板,承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为,长度为l,
左、右端的宽度分别为b1与b2,弹性模量为E,试用能量法计算板的轴向变形。
题3-16图
解:依据题意,列表计算如下:
19
题3-17图
解:对于变截面拉压板件,应变能的表达式为
22
lFNFN
Vxx
02EA(x)02Eb(x)
l
(a)
由图可知,若自左向右取坐标x,则该截面的宽度为
b(x)b1
b2b1
x l
题3-19图 (a)解:杆的受力如图3-19a(1)所示,平衡方程为
将上式代入式(a),并考虑到FNF,于是得
b1F2F2l
Vεdxln2
02E2Eδ(b2b1)b1
δb121x
l
设板的轴向变形为l,则根据能量守恒定律可知,
l
F0, FFF
x
Ax
FBx0
或 由此得
FΔl
Vε 2
bFΔlF2l
ln2 22Eδ(b2b1)b1
一个平衡方程,两个未知支反力,故为一度静不定。
bFlΔlln2
Eδ(b2b1)b1
AC,CD与DB段的轴力分别为 由于杆的总长不变,故补充方程为
图3-19a
3-19 图示各杆,承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压
刚度均为EA,试求支反力与最大轴力。
得
FN1FAx, FN2FAxF, FN3FAx2F
l
FAxaFAxFaFAx2Fa
0 EAEAEA
FAxF0
20
由此得
FAxF
FBx2FFAxF
杆的轴力图如3-19a(2)所示,最大轴力为
FN,maxF (b)解:杆的受力如图3-19b(1)所示,平衡方程为
Fx0, qaFAxFBx0
一个平衡方程,两个未知支反力,故为一度静不定。
图3-19b
AC与CB段的轴力分别为 FN1FAx, FN2FAxqx
由于杆的总长不变,故补充方程为
l
FAxa1
a
EAEA
0FAxqxdx0 得
1
qa2
EA2FAxa2
0
由此得
FqaAx
4 FF3qa
BxqaAx4
杆的轴力图如3-19b(2)所示,最大轴力为
F3qa
Nmax
4
3-20图示结构,杆1与杆2的横截面面积相同,弹性模量均为E,梁BC为
刚体,载荷F=20kN,许用拉应力[t]=160MPa, 许用压应力[c]=110MPa,试确定各杆的横截面面积。
题3-20图
解:容易看出,在载荷F作用下,杆2伸长,杆1缩短,且轴向变形相同,故
FN2为拉力,
FN1为压力,且大小相同,即
FN2FN1
以刚性梁BC为研究对象,铰支点为矩心,由平衡方程
M0, FN2aFN1aF2a0
由上述二方程,解得
21
FN2FN1F
根据强度条件,
FN,BCFN,ABF
(
后取节点A为研究对象,由Fx0和Fy0依次得到
FN120103NA11.818104m2 6
[]11010Pa FN,ADFN,AG
(
c及 3
AF2
N22010N[106Pa
1.25104m
2
t]160
2FN,ADcos45FN,AB
取
在节点A处有变形协调关系(节点A铅垂向下)
AΔlBCΔllAB
Δ1A2182mm2
cos45
ΔlAD 3-21物理关系为 图示桁架,承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同,试
N,BClFN,ABlFN,AD2l求各杆轴力。
ΔlBC
FEA
, ΔlAB
EA
, ΔlADEA
ΔlAG
将式(e)代入式(d),化简后得
FN,BCFN,AB2FN,AD
联解方程(a),
(c)和(d),得 F2221N,BC
2F(拉), F2
N,AB2F(压), FN,ADFN,AG2F(拉)(b)解:此为一度静不定问题。
题3-21图
考虑小轮A的平衡,由Fy0,得
(a)解:此为一度静不定桁架。
FN1sin45F0
设FN,AB以压为正,其余各段轴力以拉力为正。先取杆AB为研究对象,由
由此得 Fy0,得
FN12F
22
(
(
(
(
在F作用下,小轮A沿刚性墙面向下有一微小位移,在小变形条件下,Δl20,故有
Fx0,FN1
1
FN2 2
(
FN20
FN2FN3F Fy02
由图b得变形协调方程为
(
FN1的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。
Δl1ctan30
ΔlΔl3 (
sin30
3-22根据胡克定律,有
图示桁架,杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成,许用应力分
N22别为[
Δl1
FN1l1FN1l1E, ΔlFlFN2l1, ΔlFlFl
23N33N311]=40MPa,[2]=60MPa,[3]=120MPa,弹性模量分别为E1=160GPa,E1A121A3E2A2E2A3E3A33E3A3
E2=100GPa,E3=200GPa。若载荷F=160kN,A1= A2= 2A3,试确定各杆的横截面面积。
将式(d)代入式(c),化简后得补充方程为
15FN132FN28FN3
联解方程(a),(b)和(c’),并代入数据,得
FN122.6kN(压), FN226.1kN(拉), FN3146.9kN(拉)
根据强度要求,计算各杆横截面面积如下:
AFN122.6103m2
15.65104[ζ6
m2565mm2 1]4010题3-22图
解:此为一度静不定结构。节点C处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。
AFN226.11032422
2[ζ]60106m4.3510m435mm
2
AFN3146.9103m2
23[ζ12010
6
1.224103m1224mm2 3]根据题意要求,最后取
图3-22
A1A22A32450mm2
由图a可得平衡方程
23
(
(
3-23图a所示支架,由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上,
FN12FN2
联立求解平衡方程(a)与上述补充方程,得
刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同,分别为l=100 mm,A=100 mm2,E=200 GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移ymm,试确定载荷F与各杆轴力。
FN1
4F2F
, FN2
55
2. 由位移y确定载荷F与各杆轴力
变形后,C点位移至C’(CC’AC)(图b),且直线AC与AB具有相同的角位移,因此,C点的总位移为
又由于 由此得
题3-23图
l12l1AB
2y
l1y
将式(c)与(d)的第一式代入上式,于是得
解:1. 求解静不定
在载荷F作用下,刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动,刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然,本问题具有一度静不定。
由平衡方程MA0,得
F
5EAy
4l5(200109Pa)(100106m2)(0.075103m)1.875104N 3
4(10010m)
并从而得
FN1
FN2
F0 2
(a)
FN11.5104N, FN27.5103N
由变形图中可以看出,变形协调条件为
根据胡克定律,
l12l2
Δl1
FN1lFl
, Δl2N2 EAEA
(b)
F=200kN。试在下列两种情况下确定杆端的支反力。
(a) 间隙=0.6 mm; (b) 间隙=0.3 mm。 (c)
3-24图示钢杆,横截面面积A=2500mm ,弹性模量E=210GPa,轴向载荷
2
将上述关系式代入式(b),得补充方程为
24
FBx
FEA22a
3
962
20010N(0.0003m)(21010Pa)(250010m) 47.5 kN
22(1.5m)
而C端的支反力则为
题3-24图
解:当杆右端不存在约束时,在载荷F作用下,杆右端截面的轴向位移为
FCxFFBx200 kN47.5 kN152.5 kN
(200103N)(1.5m)Fa
F0.57mm 962
EA(21010Pa)(250010m)
3-25 图示两端固定的等截面杆AB,杆长为l。在非均匀加热的条件下,距
A端x处的温度增量为TTBx2/l2,式中的TB为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与l。试求杆件横截面上的应力。
当间隙=0.6 mm时,由于F,仅在杆C端存在支反力,其值则为
FCxF200 kN
当间隙=0.3 mm时,由于F,杆两端将存在支反力,杆的受力如图3-24所示。
杆的平衡方程为 补充方程为 由此得
图3-24
题3-25图
解:1.求温度增高引起的杆件伸长
此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉,则在x处的杆微段dx就会因温升而有一个微伸长
FFBxFCx0
FaFBx2a EAEA
αlΔTBx2
d(Δlt)αlΔTdxdx l
lαlΔTBx2
2
全杆伸长为
25
Δlt
l
x
αlΔTBl
3
2.求约束反力
设固定端的约束反力为F,杆件因F作用而引起的缩短量为
由变形协调条件 可得
ΔlF
FNlFl
EAEA
根据平衡条件,由图a可得
图3-26
ΔlFΔlt
F
3.求杆件横截面上的应力
EAαlΔTBlEAαlΔTB
l33FNFEαlΔTB
AA3
由图b可得
FN1FN2FN3
(
ζ
FN4FN5 , FN32FN4cos303FN4
Δl1Δl4
Δl3
cos60cos30
(
3-26 图示桁架,杆BC的实际长度比设计尺寸稍短,误差为。如使杆端B
与节点G强制地连接在一起,试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。
变形协调关系为(参看原题图)
依据胡克定律,有
Δ(
Δli
FNili
(i1~5) EA
(
将式(d)代入式(c),得补充方程
Δ
2FN1l2FN43lFN3l
EAEA3EA
(
联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b),最后得
题3-26图
解:此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号1~5。由强制装配容
易判断,杆1~3受拉,杆4和5受压。装配后节点G和C的受力图分别示如图3-26a和b。
26
即
FN3
(92)EA(332)EA
Δ, FN4Δ
23l23l
(92)EA
Δ (拉)
23l
FN,BCFN,GDFN,GE
FN,CDFN,CE
(332)EA
Δ (压)
23l
3-27图a所示钢螺栓,其外套一长度为l的套管。已知螺栓与套管的横截面
面积分别为Ab与At,弹性模量分别为Eb与Et,螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈,试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。
最后,联立求解平衡方程(a)与补充方程(b),得螺栓与套管所受之力即预紧力为
AbEb
FN0FNbFNt
l1k式中,
k
AbEb
AtEt
3-28 图示组合杆,由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm
的铜管组成,二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后,温度升高40℃,试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es = 200GPa与Ec=100GPa,线膨胀系数分别为ls=12.5×10-6℃-1与
题3-27图
解:首先设想套管未套上,而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈,即旋进=p/5的距离。然后,再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度,故套合后的螺栓将受拉,而套管则受压。
设螺栓所受拉力为FNb,伸长为lb,套管所受压力为FNt,缩短为lt,则由图b与c可知,平衡方程为
而变形协调方程则为
利用胡克定律,得补充方程为
lc=16×10-6℃-1。
题3-28图
解:设温度升高T时钢杆和铜管自由伸长量分别为δTs和δTc,由于二者被铆钉连在一起,变形要一致,即变形协调条件为 (a)
δTsΔlsδTcΔlc 或写成
FNbFNt0
lblt
ΔlsΔlcδTcδTs
FNblFNtl
AbEbAtEt
这里,伸长量Δls和缩短量Δlc均设为正值。 (b)
引入物理关系,得
27
FNslFNcl
(αlcαls)lΔT EsAsEcAc
将静力平衡条件FNsFNcF代入上式,得
(1)解:如图3-29(1)a所示,当杆2未与刚性杆BD连接时,下端点位于D,即
DD。
当杆2与刚性杆BD连接后,下端点铅垂位移至D,同时,杆1的下端点则铅垂位移至C。过C作直线C’e垂直于杆1的轴线,显然CeΔl1,即代表杆1的弹性变形,
F
EsAsEcAc
(αlcαls)ΔT
EsAsEcAc
同时,DDΔl2,即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应,杆1受压,杆2受拉,刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。
注意到每个铆钉有两个剪切面,故其切应力为 由此得
η
FSFEsAsEcAc(αlcαls)ΔT A2A2A(EsAsEcAc)
2001090.0302100109(0.05020.0302)(1612.5)10640N
20.0102[2001090.0302100109(0.05020.0302)]m2 5.9310Pa59.3MPa
7
图3-29(1)
可以看出,
3-29
图示结构,杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA,梁BD为刚体,试
在下列两种情况下,画变形图,建立补充方程。
(1) 若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短,误差为;
(2) 若杆1的温度升高T,材料的热膨胀系数为l。
DD2CC
即变形协调条件为
Δl222Δl1
而补充方程则为
或
F2l4F1l0 EAEA
EA
0 l
F24F1
题3-29图
28
(2)解:如图3-29(2)a所示,当杆1未与刚性杆BD连接时,由于其温度升高,
下端点位于C,即CCllΔT。当杆1与刚性杆BD连接后,下端点C铅垂位移至C,而杆2的下端点D则铅垂位移至D。过C作直线C’e垂直于直线CC,显然,Δl1即代表杆1的弹性变形,同时,Δl2,代表杆2的弹性变形。与上述变形相应,杆1受压,杆2受拉,刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。
设计长度l变为lΔ。试问当为何值时许用载荷最大,其值[F]max为何。
题3-30图
图3-29(2)
可以看出,
解:此为一度静不定问题。
节点C处的受力及变形示如图3-30a和b。
DD2CC
故变形协调条件为
Δl222llΔTΔl1
而补充方程则为
F2lF12l
22lΔTlEAEA
或
由图a得平衡方程为
图3-30
F24F14EAlΔT0
FN1FN2, 2FN1cos30FN3F
由图b得变形协调条件为
(
3-30 图示桁架,三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同,并分别
为A,E与[],试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值,现将杆3的
29
依据胡克定律,有
Δl1Δl3cos30
(
Δli
FNili
EA (i1,2,3) 将式(c)代入式(b),化简后得补充方程为
F4
N33
FN1
将方程(b’)与方程(a)联解,得
F3N1FN2
433F, F4
N3433
FFN1
ζFmax
N3A4F
(433)A
[ζ] 由此得
F
(433)[]A4, [F](433)[]A
4
为了提高[F]值,可将杆3做长,由图b得变形协调条件为
Δl3Δ
Δlcos30
式中,l3与l1均为受载后的伸长,依题意,有了后,应使三根杆同时达到[ζ],即 [ζ]ElΔ4[ζ]3El 由此得
Δ(4
[ζ]l[ζ]l31)E
3E
此时,各杆的强度均充分发挥出来,故有
[F]max2([]Acos30
)[]A(13)[]A
第四章 扭 转
(c)
4-5 一受扭薄壁圆管,外径D = 42mm,内径d = 40mm,扭力偶矩M =
500N•m,切变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力,并计算(b’管表面纵线的倾斜角。)
解:该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为
R1Dd222)20.5mm, Dd0(22
1mm
于是,该圆管横截面上的扭转切应力为
T500N2πR0.02050.001m
2
1.89410822Pa189.4MPa 02π依据切应力互等定理,纵截面上的扭转切应力为
ηη189.4MPa 该圆管表面纵线的倾斜角为
ηG189.41067510
rad2.53103rad 4-7 试证明,在线弹性范围内,且当R0
/≥10时,薄壁圆管的扭转切应力公
式的最大误差不超过4.53%。
解:薄壁圆管的扭转切应力公式为
η
T
2πR2
0δ
设R0/δβ,按上述公式计算的扭转切应力为
η
TT2πR2πβ2δ
3
0δ2按照一般空心圆轴考虑,轴的内、外直径分别为
d2R0δ, D2R0δ
极惯性矩为
Iπp
32(D4d4)ππRδ2
32[(2R0δ)4(2R0δ)4]02
(4R0δ2) 30
(
由此得
ηρC(
ηmax
T(21)TδT
(R0)(2R) 02Ip2πR0(4R02)π3(421)
d1/m
) dx
(
(b) 由静力学可知,
比较式(a)与式(b),得
A
ρdAC(
d1/m
)ρ(m1)/mdAT
Adx
(
ηηmax
π3(421)421
T(21)2(21)2π23
T
取径向宽度为dρ的环形微面积作为dA,即
dA2πρdρ
将式(d)代入式(c),得
(
当
R0
10时, 2πC(
d1/md/2(2m1)/m)ρdρT
0dx
max
41021
0.9548 210(2101)
由此得
(
可见,当R0/δ10时,按薄壁圆管的扭转切应力公式计算η的最大误差不超过4.53%。
d1/m(3m1)T
)
(3m1)/mdx2πCm()2
(
将式(e)代入式(b),并注意到T=M ,最后得扭转切应力公式为
4-8 图a所示受扭圆截面轴,材料的曲线如图b所示,并可用C
面上的切应力分布图。
1/m
表示,式中的C与m为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式,并画横截
M1/m
(3m1)/m
()3m12
横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。
题4-8图
解:所研究的轴是圆截面轴,平面假设仍然成立。据此,从几何方面可以得到
(a)
图4-8
d dx
4-9 在图a所示受扭圆截面轴内,用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC
根据题设,轴横截面上距圆心为ρ处的切应力为
31
切出单元体ABCDEF(图b)。试绘各截面上的应力分布图,并说明该单元体是如何
平衡的。
根据图b,可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为
同理,左端面上的合力为
题4-9图
方向亦示如图c。
设Fz2作用线到水平直径DF的距离为ey(见图b),由 得
Fz2
πd/2T
00
π8T
cos(θ)ρdρdθ Ip23πd
8T
3πd
Fz1
解:单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图4-9a所示。
Fz2ey
TIp
d/23T2πcos()dd 0024π
ey
图4-9
根据图a,不难算出截面AOO1D上分布内力的合力为
T3πd3πd
0.295d 48T32
同理,Fz1作用线到水平直径AC的距离也同此值。
根据图b,还可算出半个右端面DO1E上竖向分布内力的合力为
1d4Tl
Fx1ηmax(l)2
22πd
Fy3
π/2d/2Tρ
0
同理,得截面OCFO1上分布内力的合力为
方向示如图c。
设Fx1与Fx2作用线到x轴线的距离为ez1,容易求出
π4T
sin(θ)ρdρdθ Ip23πd
Fx2
4Tl
πd设Fy3作用线到竖向半径O1E的距离为ez2(见图b),由 得
Fy3ez2
d/23Tπ/22T
cosdd 0
Ip08
2dd
ez1
323
32
ez2
T3πd3πd0.295d 84T32
题4-11图
解:由题图知,圆轴与套管的扭矩均等于M。
1.由圆轴AB求M的许用值
同理,可算出另半个右端面O1FE以及左端面AOB、OCB上的竖向分布内力的合力为
max1
Fy4Fy1Fy2
4T 3πd
M116M1
[1] Wp1πd3
由此得M的许用值为
方向均示如图c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为ez2。
由图c可以看得很清楚,该单元体在四对力的作用下处于平衡状态,这四对力构成四个力偶,显然,这是一个空间力偶系的平衡问题。
πd3[1]π0.056380106
[M1]Nm2.76103Nm2.76kNm
1616
2.由套管CD求M的许用值
Mx0,Fy
(2ez2)Fz2eyFy1(2ez2)Fz1ey4
TT
0 22
R0
D806
mm37mm, δ6mmR0 22
此管不是薄壁圆管。
My0,Fz
lFx1(2ez1)2
lFy3l4
8Tl8Tl
0 3πd3πd
max2
80-6268
0.85 8080
Mz0,Fy
4Tl4Tl
0 3πd3πd
由此得M的许用值为
既然是力偶系,力的平衡方程(共三个)自然满足,这是不言而喻的。 上述讨论中,所有的T在数值上均等于M。
M216M2
[2] Wp2πD3(14)
4-11 如图所示,圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体,并在截面A
承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d = 56mm,许用切应力[1]=80MPa,套管的外径D = 80mm,壁厚= 6mm,许用切应力[2]= 40MPa。试求扭力偶矩M的许用值。
πD3(14)[2]π0.0803(10.854)40106
[M2]Nm
1616
1.922103Nm1.922kNm
可见,扭力偶矩M的许用值为
[M][M2]1.922kNm
4-13 图示阶梯形轴,由AB与BC两段等截面圆轴组成,并承受集度为m
的均匀分布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻,试确定AB与BC段的长度l1与l2
33
以及直径d1与d2。已知轴总长为l,许用切应力为[]。
题4-13图
解:1.轴的强度条件
在截面A处的扭矩最大,其值为
Tmax1ml
由该截面的扭转强度条件
Tmax1
max1W16ml
[η] p1πd3
1得
d3
16ml
1
π[η]
BC段上的最大扭矩在截面B处,其值为
Tmax2ml2
由该截面的扭转强度条件得
d3
16ml2
2
π[η]
2.最轻重量设计 轴的总体积为 Vπd2π2π16ml2/3
16ml41(ll2)22/34d2l24[(π[η])(ll2)(π[η]
)l2]根据极值条件
dV
dl0 2
得
(
16mlπ[])2/3(16mπ[])2/352/3
3
l20 由此得 l(3
25
)3/2l0.465l
从而得
l3
1ll2[1(5)3/2]l0.535l
d2(
16m1/31/3π[])l31/22(5)16ml
π[]
0.775d1 该轴取式(a)~(d)所给尺寸,可使轴的体积最小,重量自然也最轻。
(a)
4-14 一圆柱形密圈螺旋弹簧,承受轴向压缩载荷F = 1kN作用。设弹簧的
平均直径D = 40mm,弹簧丝的直径d = 7mm,许用切应力[]= 480MPa,试校核弹簧的强度。
解:由于
m
Dd40
7
5.7110 故需考虑曲率的影响,此时,
8FD(4m+2)81.001030.040(45.712)N
maxπd3(4m3)
π0.0073(45.713)m2 3.72108Pa372MPa
结论:max[],该弹簧满足强度要求。
34
(
(
(
4-20 图示圆锥形薄壁轴AB,两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为,横截
面A与B的平均直径分别为dA与dB,轴长为l,切变模量为G。试证明截面A和B
4MA/B
πG
d(dAcx)2M2l
(dcx)| 0A
0c(dcx)3πGδcA
l
间的扭转角为
(dA/B
2MlAdB)
π
Gd22
AdB
题4-20图
证明:自左端A向右取坐标x,轴在x处的平均半径为 R(x)12(dddABA1
0lx)2
(dAcx)
式中,
c
dBdA
l
截面x的极惯性矩为 I3
p2πR0
2π [1(dcx)]3πδ
A(d324
Acx)
依据
dT(x)dxGI4Mπ (d pGAcx)3
得截面A和B间的扭转角为
2Ml112Ml(dAdBπGδ (d())222
B dA)dBdAπGδd2AdB
4-21 图示两端固定的圆截面轴,承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设
扭转刚度为已知常数。
题4-21图
(a)解:此为静不定轴,但有对称条件可以利用。
设A与B端的支反力偶矩分别为MA和MB,它们的转向与扭力偶矩M相反。由于左右对称,故知
MAMB
由Mx0可得 MAMB2MA2M
即
35
MAMBM
(b)解:此为静不定轴,可解除右端约束,代之以支反力偶矩MB,示如图4-21b。
变形协调条件为
利用叠加法,得到(x从左端向右取)
B0
(
BB,mB,MB
am(ax)
GIp
MB(2a)ma22MBa
x
GIp2GIpGIp
(
变形协调条件为
利用叠加法,得
图4-21b
将式(d)代入式(c),可得 进而求得
(a)
MB
ma 4
3ma
4
B0
MAmaMB
B
MaM(2a)MB(3a)
GIpGIpGIp
M的转向亦与m相反。
(b) A
将式(b)代入式(a),可得 进而求得
4-22 图示轴,承受扭力偶矩M=400N•m与M=600N•m作用。已知许用
1
2
1MBM
3
1
MAM(转向与MB相反)
3
切应力[]=40MPa,单位长度的许用扭转角[]=0.25(°) / m,切变模量G = 80GPa。试确定轴径。
(c)解:此为静不定轴,与(a)类似,利用左右对称条件,容易得到
MAMB
ma
2
解:1.内力分析
题4-22图
MA和MB的转向与m相反。
(d)解:此为静不定轴,可解除右端约束,代之以支反力偶矩MB,从变形趋势不难判断,MB的转向与m相反。
36
此为静不定轴,设B端支反力偶矩为MB,该轴的相当系统示如图4-22a。
图4-22
利用叠加法,得
1BGI[4000.5006001.250MB2.500]
p
将其代入变形协调条件B0,得
M(6001.2504000.500)Nm2
B2.500m
220Nm该轴的扭矩图示如图4-22b。 2.由扭转强度条件求d 由扭矩图易见,
Tmax380Nm
将其代入扭转强度条件,
Tmax
maxW16Tmax
3
[] pπd
由此得
3
16Tmax316380m3
dπ[]π40106
0.0364m36.4mm
3.由扭转刚度条件求d
将最大扭矩值代入 maxGI32Tmax
Gπd
4
[] p得
d
4
32T
max
32380180m4
πG[]
4
π801090.25π
0.0577m57.7mm
结论:最后确定该轴的直径d57.7mm。
4-23 图示两端固定阶梯形圆轴AB,承受扭力偶矩M作用。已知许用切应
力为[],为使轴的重量最轻,试确定轴径d1与d2。
题4-23图
解:1. 求解静不定
设A与B端的支反力偶矩分别为MA与MB,则轴的平衡方程为
Mx0, MAMBM0
AC与CB段的扭矩分别为
T1MA, T2MB
代入式(a),得
T1T2M0
37
设AC与CB段的扭转角分别为AC与CB,则变形协调条件为
ACCB0
, T2 T1
99
(c)
根据圆轴扭转强度条件,于是得轴的直径为
M8M
利用扭转角与扭矩间的物理关系,分别有
代入式(c),得补充方程为
AC
T1a2Ta
, CB2 GIp1GIp2
d1
d2316T1316M
2π[]9π[]
4-24 图示二平行圆轴,通过刚性摇臂承受载荷F作用。已知载荷F=750N,
轴1和轴2的直径分别为d1=12mm和d2=15mm,轴长均为l=500mm,摇臂长度a
(d)
=300mm,切变模量G = 80GPa,试求轴端的扭转角。
d
T121T20
d2
4
最后,联立求解平衡方程(b)与补充方程(d),得
4
2d14Md2M
, T14T24
d22d14d22d14
(e)
2. 最轻重量设计
从强度方面考虑,要使轴的重量最轻,应使AC与CB段的最大扭转切应力的数值相等,且当扭力偶矩M作用时,最大扭转切应力均等于许用切应力,即要求
由此得
将式(e)代入上式,得 并从而得
TT1
[],2[] Wp1Wp2
解:这是一度静不定问题。
变形协调条件为
题4-24图
T1Wp1d1 2Wp2d2
3
Δ1Δ2 或 12
(
这里,和分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。
d22d1
设二摇臂间的接触力为F2,则轴1和2承受的扭矩分别为
物理关系为
a
T1F()F2a, T2F2a
2
(
38
1
T1lTl
, 22 GIp1GIp2
(c)
物理关系为
12
(
将式(c)代入式(a),并注意到式(b),得 由此得
F2
4d2F
2(d1d2)
1
将式(c)代入式(b),并注意到
T1l1Tl
, 222 G1Ip1G2Ip2
(
2
T2l16Fal167500.3000.500m
4
GIp2πG(d14d2)π80109(0.01240.0154)m
7612πD4πd44
0.8421, Ip2(1), Ip1
763232
得
0.1004 rad5.75|1|
4-26 如图所示,圆轴AB与套管CD借刚性突缘E焊接成一体,并在突缘
E承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d=38mm,许用切应力[1]=80MPa,切变模量G1=80GPa;套管的外径D = 76mm,壁厚= 6mm,许用切应力[2]= 40MPa,切变模量G2 = 40GPa。试求扭力偶矩M的许用值。
2d424384
T1T24T2T20.1676T2
G2Ip2l1D(14)33764(10.84214)
将方程(a)与(d)联解,得
G1Ip1l2
(
T20.856M, T10.144M
2.由圆轴的强度条件定M的许用值
1max
T1160.144M
[1] 3Wp1πd
由此得扭力偶据的许用值为
πd3[1]π0.038380106
[M]1Nm5.99103Nm5.99kNm
160.144160.144
3.由套管的强度条件定M的许用值
题4-26图
解:1. 解静不定
此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为
2max
T2160.856M
[2] 34
Wp2πD(1)
由此得扭力偶据的许用值为 (a)
39
T1T2M
πD3(14)[2]π0.0763(10.84214)40106
[M]2Nm
160.856160.856
2.00103Nm2.00kNm
结论:扭力偶矩的许用值为
两个未知扭力矩,一个平衡方程,故为一度静不定问题。
在横截面B处,钢轴与铜管的角位移相同,即
sc
(
[M][M]22.00kNm
设轴段AB的长度为l,则
4-27 图示组合轴,由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体,
并承受扭力偶矩M=100N·m作用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为[s]=80MPa与[c]=20MPa,切变模量分别为Gs=80GPa与Gc=40GPa,试校核组合轴强度。
s
Tsl
GsIps
c
(MTc)lTl(M2Tc)l
c
GcIpc2GcIpc22GcIpc
将上述关系式代入式(b),并注意到Gs/Gc=2,得补充方程为
Ts(M2Tc)
IpsIpc
联立求解平衡方程(a)与补充方程(c),于是得
2.强度校核
题4-27图
解:1. 求解静不定
如图b所示,在钢轴与刚性平板交接处(即横截面B),假想地将组合轴切开,并设钢轴与铜管的扭矩分别为Ts与Tc,则由平衡方程Mx0可知,
TsTc
IpsMIpc2Ips
π(0.020m)4
Ips1.571108m4
32
Ipc
π(0.040m)40.035m47411.04010m 0.040m32
将相关数据代入式(d),得 (a)
40
TsTc11.6Nm
对于钢轴,
TsTc
对于铜管,
T16(11.6Nm)6
s,maxs7.3810Pa7.38MPa[s] 3
Wpsπ(0.020m)
将式(d)和式(a)代入式(c),得 或写成
TlMlTil
e0 GIpiGIpeGIpi
c,max
Tc,maxWpc
16(100Nm11.6Nm)71.7010Pa17.0MPa[c]4
0.035m
π(0.040m)31
0.040m
由此得
TeM0Ti
IpeIpi
4-28 将截面尺寸分别为100mm×90mm与90mm×80mm的两钢管相套
合,并在内管两端施加扭力偶矩M0=2kN·m后,将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力偶矩M0后,内、外管横截面上的最大扭转切应力。
解:1. 求解静不定
此为静不定问题。在内管两端施加M0后,产生的扭转角为
Te
联立求解方程(e)与(b),得
IpeIpi
(M0Ti)1.395(M0Ti)
(
TiTe0.5825M01.165kNm
2. 计算最大扭转切应力
内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为 (a)
0
M0l
GIpi
i,max
Ti161165N2.17107Pa21.7MPa 342Wpiπ0.090[1(8/9)]m
去掉M0后,有静力学关系
几何关系为
物理关系为
e,max
TiTe
(b)
Te161165N7
1.72510Pa17.25MPa Wpeπ0.1003(10.94)m2
4-29 图示二轴,用突缘与螺栓相连接,各螺栓的材料、直径相同,并均匀
ie0
地排列在直径为D = 100mm的圆周上,突缘的厚度为=10mm,轴所承受的扭力偶矩(c)
为M = 5.0kN·m,螺栓的许用切应力[]=100MPa,许用挤压应力[bs]=300MPa。试确
TlTl
ii, ee
GIpiGIpe
定螺栓的直径d。
(d)
41
题4-29图
解:1. 求每个螺栓所受的剪力 由 MD
x0,
6Fs(2
)M 得
FMs
3D
2.由螺栓的剪切强度条件求d FsA4M3πDd2
[] 由此得
3
2
d
4M3πD[]45.010m
3π0.10010010
6
1.457102m14.57mm 3.由螺栓的挤压强度条件求d bs
FbdM
3Dd
[bs] 由此得 3
d
M3D[5.010m
5.56103m5.bs]30.1000.01030010
6
56mm
结论:最后确定螺栓的直径d14.57mm。
4-30
图示二轴,用突缘与螺栓相连接,其中六个螺栓均匀排列在直径为D1
的圆周上,另外四个螺栓则均匀排列在直径为D2的圆周上。设扭力偶矩为M,各螺栓的材料相同、直径均为d,试计算螺栓剪切面上的切应力。
题4-30图
解:突缘刚度远大于螺栓刚度,因而可将突缘视为刚体。于是可以认为:螺栓i剪切面上的平均切应变i与该截面的形心至旋转中心O的距离ri 成正比,即
ikri
式中,k为比例常数。
利用剪切胡克定律,得螺栓i剪切面上的切应力为
iGkri
而剪力则为
FS,iGAkri
最后,根据平衡方程
22
MDO0, 6GAk1D224GAk2
M 得
k
2M8M
GA(3D2D2222
122)Gπd(3D12D2)
42
于是得外圈与内圈螺栓剪切面上得切应力分别为
由图中可以看出,
所以,
4MD1
12 2
πd(3D122D2)
r1r460103m, r2r320103m
2
4MD2
2
πd2(3D122D2)
πd2π
Ip(2r122r22)(10103m)2(602202)(103m)26.28107m4
42
代入式(a),得
4-31图a所示托架,承受铅垂载荷F=9kN作用。铆钉材料均相同,许用切
应力[]=140MPa,直径均为d=10mm。试校核铆钉的剪切强度。
(9103N)(150103m)(60103m)
1.289108Pa 74
6.2810m
将上述两种切应力叠加,即得铆钉1与4的总切应力即最大切应力为
max22(2.87107Pa)2(1.289108Pa)2
1.3210Pa132MPa[]
8
=3mm,4-34 图示半椭圆形闭口薄壁杆,a=200mm,b=160mm,
1
2
= 4mm,
T=6 kN·m,试求最大扭转切应力。
题4-31图
解:由于铆钉均匀排列,而且直径相同,所以,铆钉群剪切面的形心C,位于铆钉2与铆钉3间的中点处(图b)。将载荷平移至形心C,得集中力F与矩为Fl的附加力偶。
在通过形心C的集中力F作用下,各铆钉剪切面上的切应力相等,其值均为
FF9103N
22.87107MPa 232
πdπdπ(1010m)44
在附加力偶作用下,铆钉1与4剪切面上的切应力最大,其值均为
题4-34图
解:截面中心线所围面积为 (a)
由此得
43
Flr1
Ip
Ωπ(a
12b2
22)(
4
)
Ωπ(0.2000.00150.002)(
0.1600.0042
)m2.41102m2
4
max
M
2
2πR01
于是得最大扭转切应力为
6103N7
max4.1510Pa41.5MPa
2min22.411020.003m2
T
2. 扭转变形计算
用相距dx的两个横截面,与夹角为d的两个径向纵截面,从管的上部切取一微体,其应变能为
由此得整个上半圆管的应变能为
4-35 一长度为l的薄壁管,两端承受矩为M的扭力偶作用。薄壁管的横截面
如图所示,平均半径为R0,上、下半部由两种不同材料制成,切变模量分别为G1与G2,厚度分别为1与2,且1
dVε1
12
2G1
1R0ddx
Vε1
l π
0 0
M2l
1R0ddx3
2G18πG1R01
12
同理得整个下半圆管的应变能为
根据能量守恒定律,
题4-35图
解:1. 扭转切应力计算
闭口薄壁管扭转切应力的一般公式为 现在
所以,最大扭转切应力为
2 ΩπR0
M2l
Vε2 3
8πG2R02
于是得
MM2lM2l
3328πG1R018πG2R02
T
2Ω
Μl11
3
GG4πR01122
4-36 图示三种截面形状的闭口薄壁杆,若截面中心线的长度、壁厚、杆长、
材料以及所受扭矩均相同,试计算最大扭转切应力之比和扭转角之比。
min1
44
题4-36图
解:由于三者中心线的长度相同,故有
2(2bb)4aπd 由此得
b
πdπd
6, a
4
据此可求得长方形、正方形及圆形薄壁截面的Ω,其值依次为 Ωπ2
d
2
12b2
18
Ω2
π2d2
2a16
Ωπd2
34
依据
T
max2Ω
min
可得三种截面薄壁杆的最大扭转切应力之比为
矩max:方max:圆max1.432 :1.273 :1
依据
Tl4GΩ
2
ds
可得三种截面薄壁杆的扭转角之比为
矩:方:圆2.05 :1.621: 1
结果表明:在题设条件下,圆形截面薄壁杆的扭转强度及扭转刚度均最佳,正方形截面薄壁杆的次之,长方形截面薄壁杆的最差。一般说来,在制造闭口薄壁杆时,应尽可能加大其中心线所围的面积Ω,这样对强度和刚度均有利。
4-37 图示闭口薄壁杆,承受扭力偶矩M作用,试计算扭力偶矩的许用值。
已知许用切应力[]=60MPa,单位长度的许用扭转角[]=0.5(°) / m,切变模量G = 80GPa。若在杆上沿杆件母线开一槽,则许用扭力偶矩将减少至何值。
题4-37图
解:1.计算闭口薄壁杆扭力偶矩的许用值 由扭转强度条件
T
max2Ω[] min
得
T2Ωmin[]20.1000.3000.00360106Nm
1.080104
Nm10.80kNm
由扭转刚度条件
Tds
4GΩ2δ
[] 得
45
4GΩ2[]480109(0.1000.300)28.727103TNm
ds2(0.3000.100)
0.003
9.43103Nm9.43kNm
[]Ghii3
n
T
i1
3
8.72710380109[2(0.3000.100)0.0033]其中用到
[]
0.5π
180
rad/m8.727103rad/m 比较可知,
[M]9.43kNm
2.计算开口薄壁杆扭力偶矩的许用值 由扭转强度条件
3Tδmax
max
n
[]
hi3
ii1
得
n
[]h3
ii
T
i1
60106[2(0.3000.100)0.00333 ]max
30.003
Nm144.0Nm由扭转刚度条件
3Tn
[]
Ghi3
ii1得
比较可知,
46
3
Nm5.03Nm
[M]开5.03Nm
所以,金属丝的最大弯曲正应变为
最大弯曲正应力为
而弯矩则为
max
ymax
d2d 2DdDd
maxEmax
Ed
Dd
πd3EdEπd4
MWzmax
32Dd32(Dd)
6-3 图示带传动装置,胶带的横截面为梯形,截面形心至上、下边缘的距离
第六章 弯曲应力
分别为y1与y2,材料的弹性模量为E。试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。
6-2 如图所示,直径为d、弹性模量为E的金属丝,环绕在直径为D的轮缘
上,试求金属丝内的最大弯曲正应变、最大弯曲正应力与弯矩。
题6-3图
解:由题图可见,胶带中性层的最小曲率半径为 依据
解:金属丝的曲率半径为
ρminR1
题6-2图
ζ
Ey ρEy1
R1
可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为
Dd
2
47
ζt,max
ζEy
c,max2R
1
6-6 图a所示正六边形截面,边长为a,试计算抗弯截面系数Wz
与Wy
。
题6-6图
解:1. Wz计算 由图b可以看出,
ba3a
2, h2
所以,ADB对z轴的惯性矩为 3
Ibh3bhz,t
h2
bh31a3a3a4
3623121222
64
中部矩形截面对z轴的的惯性矩为 3
Ia(2h)3a3aa4
z,r
121222
4
于是得整个六边形截面对z轴的惯性矩为
Iz4Iz,tIz,r
43a43a453a4
64416
而对z轴的抗弯截面系数则为
3
WIzz53a425ay8
max16a2. Wy计算
ADB对y轴的惯性矩为
2
Ihb3bhba11a4
y,t36232192
中部矩形截面对y轴的的惯性矩为
I2ha33a4
y,r1212
于是得整个六边形截面对y轴的惯性矩为
I43a4y4Iy,tIy,r
1923a453a41216
而对z轴的抗弯截面系数则为
WIy53a4153a3
y
zmax
16a16
6-7 图示直径为d的圆木,现需从中切取一矩形截面梁。试问:(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高,h和b应分别为何值; (2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高,h和b又应分别为何值。
48
题6-7图
解:(1) 为使弯曲强度最高,应使Wz值最大。 由此得
bh2b22
Wz(db)
66dWz12
(d3b2)0 db6
b
36d, hd2b2d 33
题6-8图
解:1. 内力分析
梁的弯矩图如图b所示,横截面C的弯矩为
梁内的最大弯矩则为
(2) 为使弯曲刚度最高,应使Iz值最大。
bh3h3Izd2h2
1212
由此得
dIz3h2(d2h2)h4
0
22dh12dhd
d, bd2h2 22
qa2
MC
49qa2
Mmax
32
h
6-8 图a所示简支梁,由№18工字钢制成,弹性模量E = 200 GPa, a=1m。
在均布载荷q作用下,测得截面C底边的纵向正应变 = 3.010-4,试计算梁内的最大弯曲正应力。
2. 应力计算(解法一)
横截面C底部的弯曲正应力为
qa2
C,maxEC
4Wz
4ECWz
a2
由此得
代入式(a),得
49
q
Mmax
9ECWz
8
于是得梁的最大弯曲正应力为
max
Mmax9EC9(20010Pa)( 3.010)
67.5MPa Wz88
94
M(x)1
Δlx
0EWEWzz
l
qlq2ql3
xxdx 0212EWz2
l
3. 应力计算(解法二)
横截面C底部的弯曲正应力为
6-10 图示截面梁,由№18工字钢制成,截面上的弯矩M = 20kN·m,材料
的弹性模量E = 200GPa,泊松比= 0.29。试求截面顶边AB与上半腹板CD的长度改变量。
C,maxEC
由于应力与内力成正比,所以,梁内的最大弯曲正应力为
Mmax9EC9qa24
maxC,max2EC67.5 MPa
MC32qa8
计算结果相同。
6-9 图示简支梁,承受均布载荷q作用。已知抗弯截面系数为W,弹性模量
z
为E,试计算梁底边AB的轴向变形。
题6-10图
解:1.截面几何性质
工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图6-10。
解:梁的弯矩方程为
题6-9图
M(x)
qlqxx2 22
M(x)
dx EWz
图6-10
50
横截面x处底边微长dx的轴向变形为
所以,梁底边AB的轴向变形为
d(l)(x)dx
由附录F表4查得 h180mm, b94mm, t10.7mm I4
3
z1660cm, Wz185cm
并从而得
h1h/2t79.3mm。
2.计算顶边AB的长度改变量
顶边处有
ζmax
M
Wzμε
μζ
εmax
E
由此可得AB边的伸长量为
bbM
0.290.094203
EW10
ABz20010918510
6
m 1.474105m0.01474mm
3.计算上半腹板CD的长度改变量
距中性轴z为y1的点,弯曲正应力的绝对值为
ζ(y1
1)
MyI (y1以向上为正) z
该处的横向应变为
(yMy1)
1
EI
z
由此可得线段CD的伸长量为
Δ h1
M
h1
CD 0
εdy1
y1dy Mh2
1
1
EIz
0
2EIz
3
2
0.2920100.079322001091660108
m5.49106
m0.00549mm
6-12 图a所示矩形截面悬臂梁,杆端截面承受剪切载荷F作用。现用纵截
面AC与横截面AB将梁的下部切出,试绘单元体ABCD各切开截面上的应力分布图,并说明该部分是如何平衡的。
题6-12图
解: 1. 单元体的应力分析
梁内各横截面的剪力相同,其值均为F;在固定端处,横截面上的弯矩则为
M(0)Fl 与上述内力相对应,单元体各截面的应力如图b所示。在横截面AB上,弯曲切
应力按抛物线分布,最大切应力为
3F
max
2bh
在该截面上,弯曲正应力线性分布,最大弯曲压应力则为
c,max
6Fl
bh
2 51