函数项级数一致收敛的判别

函数项级数一致收敛的判别

姓名： 学号： 指导老师：

摘要：函数项级数问题是数学分析中极其重要的部分，判别其一致收敛的方法有多种。本文探讨了对函数项级数一致收敛的判别方法, 并对有关的注意事项进行了分析。 关键字：函数项级数 一致收敛 判别法

Judgment on Uniform Convergence for Function Series

Name: Student Number: Advisor:

Abstract: Issue of function series plays a very important role in Mathematical Analysis.There are various methods to judging the uniform convergence of function series .This paper gives several methods of juding the uniform convergence of function series. Apart from that, the paper also analysizes some relative points that need to be paid special attention. Key words: Function series Uniformly convergence Judgment

在数学分析中级数问题是一个特别重要的问题。级数内容主要分为两大块，即数

项级数与函数项级数。数项级数通常被认为是函数项级数的一个典型例子，而函数项级数，在某种意义上，是对数项级数的延伸。在研究内容和性质上，它们又有着许多类似的地方，例如使用第n 个部分和数列的敛散性来判断级数的敛散性，以及判别收敛性的方法等。对于函数项级数，研究它的性质和一致收敛的判别则是学习的重点，并且它还是研究级数问题最重要的工具，对进一步研究函数项级数的性质起着重要的作用。教材中判别一致收敛的方法有很多，下面给出一种最基本的方法，即根据一致收敛的定义来进行判别。

一 利用一致收敛的定义

定义1： 设函数项级数∑u n (x )在D 上和函数为S (x )，称R n (x )=S x (

[1]

n =1∞

)-S n (x )

为函数项级数∑u n (x )的余项.

n =1

∞

定义2： 设函数项级数∑u n (x )在区间I 上收敛于和函数S (x )，若任给

[1]

n =1

∞

ε>0, ∃N ∈N +，∀n >N ，∀x ∈I ，有S (x )-S n (x )=R n (x )

∑u (x )在区间I 上一致收敛或一致收敛于和函数S (x ).

n n =1

∞

例1 证明：函数项级数∑x n 在[0,1-δ](其中0

n =1

∞

证 因为 ∀x ∈[0,1)，有

S (x )-S n (x )=R n (x )=x +x

n

n +1

x n x n

+... ==

1-x 1-x

∀x ∈[0,1-δ], ∀ε>0, 要使不等式

(1-δ)

S (x )-S n (x )=R n (x )=≤

1-x δ

成立，从不等式

n

(1-δ)

δ

解得

n >

取

n

In εδ,

In 1-δ⎡In εδ⎤ N=⎢⎥

⎣In 1-δ⎦

于是

⎡In εδ⎤

∀ε>0, ∃N=⎢⎥∈N +

In 1-δ⎣⎦

∀n >N ，∀x ∈[0,1-δ]

有

S (x )-S n (x )

即函数项级数∑x n 在[0,1-δ]一致收敛。

n =1

∞

以上的方法判别函数项级数∑u n (x )的一致收敛性，都必须要给出和函数S (x )，

n =1

∞

如果在题目中没有给出或者很难计算出和函数S (x )，那么怎样才能判别它的一致收

敛性，这时可以使用余项法来进行判断。

二 利用余项的一致收敛性

定理1 函数项级数∑u n (x )在区间D 上一致收敛于S (x )的充要条件是：

[2]

n =1∞

lim SUP R n (x )=lim SUP S (x )-S n (x )=0.

x →∞x ∈D

x →∞x ∈D

n (-1)

例2 证明：函数项级数∑2在(-∞, +∞)内一致收敛. 2

n +x n =1

∞

n

x 2-y 2y '

证 设函数f (y )=2，则f (y )=，可见∀x ∈(-∞, +∞), 当n 充分2222y +x (x +y )

大时，级数通项的绝对值因而

n

趋于0，（当n →∞），故该级数为Leibniz 级数，22

n +x

R n (x )≤

∞

n

n +1

(n +1)

2

+x 2

≤

1

→0 （当n →∞） n +1

n (-1)

所以函数级数∑2在(-∞, +∞)内一致收敛. 2

n +x n =1

注意 如果函数项级数的和函数或余项易于求得，判别它的一致收敛性可应用上述的定义2或定理1.

有时虽然知道函数项级数∑u n (x )在区间I 上收敛，但很难求得它的和函数或

n =1∞

余项，这时候，如果要想判别此函数项级数在区间I 上的敛散性，可以通过分析级数本身的结构和组合特点，并对相关的判别法进行比较，选择最恰当的方法，下面给出Cauchy 判别法。

三 利用Cauchy 准则判别

定理2 函数项级数∑u n (x )在区间D 上一致收敛的充要条件为：对任意给定

[3]

n =1∞

的ε>0, 存在正整数N =N (ε)，使得当n >N 时，对一切x ∈D 和任意的p ∈N +，，都有: S n +p (x )-S n (x )

⎛x n x n +1⎫

例3 证明：函数项级数∑ -⎪在区间[-1,1]上一致收敛

n +1⎭n =1⎝n

∞

证 ∀x ∈1, 1[-]. 即x ≤1 ∀ε>0, 要使不等式

⎛x n +1x n +2⎫⎛x n +2x n +3⎫⎛x n +p x n +p +1⎫

S n +p (x )-S n (x )= ---⎪+ ⎪+⋅⋅⋅+ ⎪

⎝n +1n +2⎭⎝n +2n +3⎭⎝n +p n +p +1⎭

⎛x n +1x n +p +1⎫

-= ⎪ n +1n +p +1⎝⎭

≤

x

n +1

n +1n +p +1

+

x

n +p +1

≤

112

+

成立. 从不等式

2

解得

2 n >-1

ε

取

⎡2⎤ N=⎢-1⎥，

⎣ε⎦

于是，

⎡2⎤

∀ε>0, ∃N=⎢-1⎥∈N +，∀n >N ，∀p ∈N +，

ε⎣⎦

⎛x n x n +1⎫

有 S n +p (x )-S n (x )

n +1⎭n =1⎝n

∞

通过上文的几个例题，我们可以看出，判别函数项级数的一致收敛性的方法有很多，这就要求大家在平时学习时，要学会善于总结。在做题目的过程中，我们会发现有这样一类级数，它们可以通过各项的特点来判别，比如对级数的通项进行适当放大，这样就会显得更加简便，下面给出利用weierstrass 判别法。

四 利用weierstrass 判别法

定理3 设函数项级数∑u n (x )定义在数集D 上，∑M n 为收敛的正项级数，

[4]

n =1

∞

若∀x ∈D ，每一项u n (x )满足u n (x )≤M n n =1,2⋅⋅⋅，则函数项级数∑u n (x )在数集

n =1

∞

D 上一致收敛.

例4 证明：函数项级数∑x n (1-x )在闭区间[0,1]上一致收敛.

2

n =1

∞

证 对通项u n (x )=x n (1-x )求导，令

u n (x )=nx n -1(1-x )-2x n (1-x )=0

2

2

得出全部极值可疑点x =0，1，

n

, 因为 n +2

⎛n ⎫u n ⎪>u n (0)=u n (1)=0

n +2⎝⎭

⎛n ⎫

所以，u n ⎪为u n (x )在[0,1]上的最大值，因此，

⎝n +2⎭

x (1-x )

n

2

⎛n ⎫≤ ⎪⎝n +2⎭

n

n ⎫⎛1- ⎪ ⎝n +2⎭

2

2

2

n ⎫⎛n ⎫4⎛

≤ 1-=≤⎪ ⎪2

n +2n +2n ⎝⎭⎝⎭

∞

42

又∑2收敛，故由M 判别法知，函数项级数∑x n (1-x )在[0,1]上一致收敛. n =1n n =1

∞

注意 定理3是一种很简便而又有技巧性的判别法，但是这个方法有很大的局限性，即用它判别的函数项级数不仅一致收敛，而且还是绝对收敛的。但如果函数项级数是一致收敛的，并且它还是条件收敛的，此时运用定理3进行判别就会失效。[5]

若函数项级数条件收敛，此时要判别其一致敛散性，通常使用狄尼克雷或阿贝尔判别法，它们可以在一定程度上弥补上述的局限性。

五 利用狄尼克雷判别法

定理4 若级数∑u n (x )v n (x )满足下面三个条件：

[6]

n =1∞

1）函数项级数∑u n (x )的部分和函数列u n (x )= ∑u k (x )（n =1,2⋅⋅⋅）在区间I 上一

∞∞

n =1

k =1

致有界

2）对于每一个x ∈I ，函数列{v n (x )}关于n 是单调的。 3）在区间I 上函数项级数v n (x )⇒0, （n →∞）， ∞

则级数∑u n (x )v n (x )在区间I 上一致收敛.

n =1∞

例5 证明：函数项级数∑

sin x

在[δ,2π-δ](0

n )上一致收敛。 ∞

证 求级数∑sin x

n

的部分和S n (x )=n =1n ∑sin kx

k =1

n

S n (x )=∑sin kx

k =1

n

=

12sin kx sin x

2sin ∑

k =1

2

2

1

n

=

[co s(k -1) x -cos(k +1

) x ] 2sin x ∑k =1222

co s 1x -cos(1=n +) x

2sin

x 2

对∀x ∈[δ,2π-δ]，∀n ∈N +. 有：

∞

S n =

∑sin kx

k =1

co s 11 =

x -cos(n +) x

2sin

x 2

≤

1x 2sin

2

≤

1sin

2

⎧1⎫

即函数项级数∑sin nx 的部分和函数列在[δ,2π-δ]上一致有界，而数列⎨⎬单调递

⎩n ⎭n =1

∞

减，且趋近于零0，当然在[δ,2π-δ]上也是一致收敛于0. 根据狄尼克雷判别法，函数项级数∑

sin x

在区间[δ,2π-δ]上一致收敛。 n n =1

∞

在题目中若能看出级数收敛和有界等隐含条件时，若使用狄尼克雷判别法失效，此时要想得到较确切的判别方法，可以依据这些题目的条件选择适当的方法对其敛散性进行判断，通常选择阿贝尔判别法则显得相对简便，在很大程度上可以提高解题速度。

六 利用阿贝尔判别法

定理5 若级数∑u n (x )v n (x )满足下面三个条件：

[6]

n =1∞

1）函数项级数∑u n (x )在区间I 上一致收敛

n =1

∞

2）对于每一个x ∈I ，函数列{v n (x )}关于n 是单调的。

∃M >0，使得3）函数列{v n (x )}在区间I 上一致有界，即对所有的x ∈I 和n ∈N +，

v n (x )≤M .

则函数项级数∑u n (x )v n (x )在区间I 上一致收敛。

n =1

∞

1n -t

例6 假设b >0. a 1, a 2⋅⋅⋅均为常数，级数∑a n 收敛，试证：a t e dt 在[0, b ]∑n ⎰n ! n =1n =10

上一致收敛。

证 1）由题意知∑a n 收敛，显然关于x 一致收敛

n =1∞

∞∞

x

11

2）0≤⎰t n e -t dt ≤⎰t n e -t dt =1(∀n ∈N , ∀x ∈[0, b ])

n ! 0n ! 0

x +∞

1

利用欧拉积分，因为⎰t e dt =Γ(n +1) =n ! ，即⎰t n e -t dt 一致有界

n ! 0

n -t

+∞x

3）当n >b 时，∀x ∈[0, b ]

11t n -t 1n -t n +1-t

t e dt =t e dt ≤t e dt ⎰⎰⎰n ! 0n +1n ! 0n +1! 0

∞

1n -t 1

即⎰t e dt 关于n 单调，故由Abel 判别法，∑a n ⎰t n e -t dt 在[0, b ]上一致收敛. n ! 0n ! 0n =1

x

x

x x x

上面各种判别法都有各自的优点，同时每一种方法对不同的题目时又具有一定的局限性和适用范围，，也就是说，在遇到具体实际问题时，用以上的方法判别级数收敛性可能显得有些复杂，甚至是无法下手，下面再给出一种新的方法，即利用狄尼定理。

七 应用Dini 定理

定理6

[7]

设函数项级数∑u n (x )在区间[a , b ]上点态收敛于S (x )，如果

n =1

∞

（1）u n (x )∈C [a , b ] （n =1,2…） （2）S (x )∈C [a , b ]

（3）对∀x ∈[a , b ]，∑u n (x )是正项级数或负项级数，则∑u n (x )在[a , b ]上一

n =1

n =1

∞

∞

致收敛于S (x ).

例7 证明：函数项级数∑x n (Inx )在区间[0,1]上一致收敛.

2

n =1∞

证 对∀n ∈N ，∀x ∈[0,1]. 有u n (x )≥0，补充定义

n

u n (0)=lim x (Inx )=0+

x →0

2

则u n (x )∈[0,1]. 计算和函数，当x =0,1时，显见有S (0)=S (1)=0，当x ∈(0,1) . 时，有

S (x ) =(Inx )

2

∑x n =(Inx )

n =1

∞

2

x

，于是得出 1-x

⎧2x ⎪In x S (x ) =⎨1-x

⎪0⎩

x ∈(0,1)x =0,1

n

S (x ) =lim S (x ) =0注意到lim 可见, 故由Dini 定理知S (x ) ∈C (0,1)x (Inx )在∑+-

x →0

x →1

∞

2

n =1

[0,1]上一致收敛。

本文对函数项级数一致收敛的一些常用判别法进行了详细的阐述和总结，并对每种方法都给予了典型例题，可以看出判别方法的有效性与多样性，并且希望通过对判别法的总结，使大家在学习和探讨函数项级数一致收敛问题时，能够更加准确和熟练的的运用各种判别法。同时，也可以看出，有些题目可以一题多解，深层掌握各个知识点间的联系，通过分析和比较选用最合适的判别法，问题就会迎刃而解，有助于拓展解题思路，进行发散性思维，以提高快速准确解题的能力。

另外，运用泛函分析和复变函数中的有关知识也可以判别一致收敛，例如导数判别法，比式以及根式判别法，利用它们来判别级数的一致收敛性也是可行的。本文虽没有给出详细的介绍，但这也是一个值的深入讨论的问题。

参考文献：

[1]华东师大数学系. 数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.30-32.

[2]陈纪修, 复旦大学数学系主编. 数学分析（下册第三版）[M].上海:上海科学技术出版社，2001. 25-27.

[3]刘玉莲, 傅沛仁. 数学分析[M].北京:高等教育出版社,1992.48.

[4]裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2006.586. [5]张筑生. 数学分析新讲[M].北京:北京出版社,2004.49.

[6]吉米多维奇. 数学分析例题集题解[M].济南:山东科学技术出版社,1999.300. [7]钱吉林. 数学分析题解精粹（第二版）[M].武汉:湖北长江集团崇文书局,2009.364. [8]裘兆泰, 王承国, 章仰文编. 数学分析学习指导[M].北京:科学出版社,2004.78. [9]毛一波. 函数项级数一致收敛性的判定[J].重庆文理学院学报,2006,5(4):55-56.

[10] Walter Rudin.Principles of Mathematical Analysis [M].Bei Jing ：McGraw-Hill.1996.87.

函数项级数一致收敛的判别

姓名： 学号： 指导老师：

摘要：函数项级数问题是数学分析中极其重要的部分，判别其一致收敛的方法有多种。本文探讨了对函数项级数一致收敛的判别方法, 并对有关的注意事项进行了分析。 关键字：函数项级数 一致收敛 判别法

Judgment on Uniform Convergence for Function Series

Name: Student Number: Advisor:

Abstract: Issue of function series plays a very important role in Mathematical Analysis.There are various methods to judging the uniform convergence of function series .This paper gives several methods of juding the uniform convergence of function series. Apart from that, the paper also analysizes some relative points that need to be paid special attention. Key words: Function series Uniformly convergence Judgment

在数学分析中级数问题是一个特别重要的问题。级数内容主要分为两大块，即数

项级数与函数项级数。数项级数通常被认为是函数项级数的一个典型例子，而函数项级数，在某种意义上，是对数项级数的延伸。在研究内容和性质上，它们又有着许多类似的地方，例如使用第n 个部分和数列的敛散性来判断级数的敛散性，以及判别收敛性的方法等。对于函数项级数，研究它的性质和一致收敛的判别则是学习的重点，并且它还是研究级数问题最重要的工具，对进一步研究函数项级数的性质起着重要的作用。教材中判别一致收敛的方法有很多，下面给出一种最基本的方法，即根据一致收敛的定义来进行判别。

一 利用一致收敛的定义

定义1： 设函数项级数∑u n (x )在D 上和函数为S (x )，称R n (x )=S x (

[1]

n =1∞

)-S n (x )

为函数项级数∑u n (x )的余项.

n =1

∞

定义2： 设函数项级数∑u n (x )在区间I 上收敛于和函数S (x )，若任给

[1]

n =1

∞

ε>0, ∃N ∈N +，∀n >N ，∀x ∈I ，有S (x )-S n (x )=R n (x )

∑u (x )在区间I 上一致收敛或一致收敛于和函数S (x ).

n n =1

∞

例1 证明：函数项级数∑x n 在[0,1-δ](其中0

n =1

∞

证 因为 ∀x ∈[0,1)，有

S (x )-S n (x )=R n (x )=x +x

n

n +1

x n x n

+... ==

1-x 1-x

∀x ∈[0,1-δ], ∀ε>0, 要使不等式

(1-δ)

S (x )-S n (x )=R n (x )=≤

1-x δ

成立，从不等式

n

(1-δ)

δ

解得

n >

取

n

In εδ,

In 1-δ⎡In εδ⎤ N=⎢⎥

⎣In 1-δ⎦

于是

⎡In εδ⎤

∀ε>0, ∃N=⎢⎥∈N +

In 1-δ⎣⎦

∀n >N ，∀x ∈[0,1-δ]

有

S (x )-S n (x )

即函数项级数∑x n 在[0,1-δ]一致收敛。

n =1

∞

以上的方法判别函数项级数∑u n (x )的一致收敛性，都必须要给出和函数S (x )，

n =1

∞

如果在题目中没有给出或者很难计算出和函数S (x )，那么怎样才能判别它的一致收

敛性，这时可以使用余项法来进行判断。

二 利用余项的一致收敛性

定理1 函数项级数∑u n (x )在区间D 上一致收敛于S (x )的充要条件是：

[2]

n =1∞

lim SUP R n (x )=lim SUP S (x )-S n (x )=0.

x →∞x ∈D

x →∞x ∈D

n (-1)

例2 证明：函数项级数∑2在(-∞, +∞)内一致收敛. 2

n +x n =1

∞

n

x 2-y 2y '

证 设函数f (y )=2，则f (y )=，可见∀x ∈(-∞, +∞), 当n 充分2222y +x (x +y )

大时，级数通项的绝对值因而

n

趋于0，（当n →∞），故该级数为Leibniz 级数，22

n +x

R n (x )≤

∞

n

n +1

(n +1)

2

+x 2

≤

1

→0 （当n →∞） n +1

n (-1)

所以函数级数∑2在(-∞, +∞)内一致收敛. 2

n +x n =1

注意 如果函数项级数的和函数或余项易于求得，判别它的一致收敛性可应用上述的定义2或定理1.

有时虽然知道函数项级数∑u n (x )在区间I 上收敛，但很难求得它的和函数或

n =1∞

余项，这时候，如果要想判别此函数项级数在区间I 上的敛散性，可以通过分析级数本身的结构和组合特点，并对相关的判别法进行比较，选择最恰当的方法，下面给出Cauchy 判别法。

三 利用Cauchy 准则判别

定理2 函数项级数∑u n (x )在区间D 上一致收敛的充要条件为：对任意给定

[3]

n =1∞

的ε>0, 存在正整数N =N (ε)，使得当n >N 时，对一切x ∈D 和任意的p ∈N +，，都有: S n +p (x )-S n (x )

⎛x n x n +1⎫

例3 证明：函数项级数∑ -⎪在区间[-1,1]上一致收敛

n +1⎭n =1⎝n

∞

证 ∀x ∈1, 1[-]. 即x ≤1 ∀ε>0, 要使不等式

⎛x n +1x n +2⎫⎛x n +2x n +3⎫⎛x n +p x n +p +1⎫

S n +p (x )-S n (x )= ---⎪+ ⎪+⋅⋅⋅+ ⎪

⎝n +1n +2⎭⎝n +2n +3⎭⎝n +p n +p +1⎭

⎛x n +1x n +p +1⎫

-= ⎪ n +1n +p +1⎝⎭

≤

x

n +1

n +1n +p +1

+

x

n +p +1

≤

112

+

成立. 从不等式

2

解得

2 n >-1

ε

取

⎡2⎤ N=⎢-1⎥，

⎣ε⎦

于是，

⎡2⎤

∀ε>0, ∃N=⎢-1⎥∈N +，∀n >N ，∀p ∈N +，

ε⎣⎦

⎛x n x n +1⎫

有 S n +p (x )-S n (x )

n +1⎭n =1⎝n

∞

通过上文的几个例题，我们可以看出，判别函数项级数的一致收敛性的方法有很多，这就要求大家在平时学习时，要学会善于总结。在做题目的过程中，我们会发现有这样一类级数，它们可以通过各项的特点来判别，比如对级数的通项进行适当放大，这样就会显得更加简便，下面给出利用weierstrass 判别法。

四 利用weierstrass 判别法

定理3 设函数项级数∑u n (x )定义在数集D 上，∑M n 为收敛的正项级数，

[4]

n =1

∞

若∀x ∈D ，每一项u n (x )满足u n (x )≤M n n =1,2⋅⋅⋅，则函数项级数∑u n (x )在数集

n =1

∞

D 上一致收敛.

例4 证明：函数项级数∑x n (1-x )在闭区间[0,1]上一致收敛.

2

n =1

∞

证 对通项u n (x )=x n (1-x )求导，令

u n (x )=nx n -1(1-x )-2x n (1-x )=0

2

2

得出全部极值可疑点x =0，1，

n

, 因为 n +2

⎛n ⎫u n ⎪>u n (0)=u n (1)=0

n +2⎝⎭

⎛n ⎫

所以，u n ⎪为u n (x )在[0,1]上的最大值，因此，

⎝n +2⎭

x (1-x )

n

2

⎛n ⎫≤ ⎪⎝n +2⎭

n

n ⎫⎛1- ⎪ ⎝n +2⎭

2

2

2

n ⎫⎛n ⎫4⎛

≤ 1-=≤⎪ ⎪2

n +2n +2n ⎝⎭⎝⎭

∞

42

又∑2收敛，故由M 判别法知，函数项级数∑x n (1-x )在[0,1]上一致收敛. n =1n n =1

∞

注意 定理3是一种很简便而又有技巧性的判别法，但是这个方法有很大的局限性，即用它判别的函数项级数不仅一致收敛，而且还是绝对收敛的。但如果函数项级数是一致收敛的，并且它还是条件收敛的，此时运用定理3进行判别就会失效。[5]

若函数项级数条件收敛，此时要判别其一致敛散性，通常使用狄尼克雷或阿贝尔判别法，它们可以在一定程度上弥补上述的局限性。

五 利用狄尼克雷判别法

定理4 若级数∑u n (x )v n (x )满足下面三个条件：

[6]

n =1∞

1）函数项级数∑u n (x )的部分和函数列u n (x )= ∑u k (x )（n =1,2⋅⋅⋅）在区间I 上一

∞∞

n =1

k =1

致有界

2）对于每一个x ∈I ，函数列{v n (x )}关于n 是单调的。 3）在区间I 上函数项级数v n (x )⇒0, （n →∞）， ∞

则级数∑u n (x )v n (x )在区间I 上一致收敛.

n =1∞

例5 证明：函数项级数∑

sin x

在[δ,2π-δ](0

n )上一致收敛。 ∞

证 求级数∑sin x

n

的部分和S n (x )=n =1n ∑sin kx

k =1

n

S n (x )=∑sin kx

k =1

n

=

12sin kx sin x

2sin ∑

k =1

2

2

1

n

=

[co s(k -1) x -cos(k +1

) x ] 2sin x ∑k =1222

co s 1x -cos(1=n +) x

2sin

x 2

对∀x ∈[δ,2π-δ]，∀n ∈N +. 有：

∞

S n =

∑sin kx

k =1

co s 11 =

x -cos(n +) x

2sin

x 2

≤

1x 2sin

2

≤

1sin

2

⎧1⎫

即函数项级数∑sin nx 的部分和函数列在[δ,2π-δ]上一致有界，而数列⎨⎬单调递

⎩n ⎭n =1

∞

减，且趋近于零0，当然在[δ,2π-δ]上也是一致收敛于0. 根据狄尼克雷判别法，函数项级数∑

sin x

在区间[δ,2π-δ]上一致收敛。 n n =1

∞

在题目中若能看出级数收敛和有界等隐含条件时，若使用狄尼克雷判别法失效，此时要想得到较确切的判别方法，可以依据这些题目的条件选择适当的方法对其敛散性进行判断，通常选择阿贝尔判别法则显得相对简便，在很大程度上可以提高解题速度。

六 利用阿贝尔判别法

定理5 若级数∑u n (x )v n (x )满足下面三个条件：

[6]

n =1∞

1）函数项级数∑u n (x )在区间I 上一致收敛

n =1

∞

2）对于每一个x ∈I ，函数列{v n (x )}关于n 是单调的。

∃M >0，使得3）函数列{v n (x )}在区间I 上一致有界，即对所有的x ∈I 和n ∈N +，

v n (x )≤M .

则函数项级数∑u n (x )v n (x )在区间I 上一致收敛。

n =1

∞

1n -t

例6 假设b >0. a 1, a 2⋅⋅⋅均为常数，级数∑a n 收敛，试证：a t e dt 在[0, b ]∑n ⎰n ! n =1n =10

上一致收敛。

证 1）由题意知∑a n 收敛，显然关于x 一致收敛

n =1∞

∞∞

x

11

2）0≤⎰t n e -t dt ≤⎰t n e -t dt =1(∀n ∈N , ∀x ∈[0, b ])

n ! 0n ! 0

x +∞

1

利用欧拉积分，因为⎰t e dt =Γ(n +1) =n ! ，即⎰t n e -t dt 一致有界

n ! 0

n -t

+∞x

3）当n >b 时，∀x ∈[0, b ]

11t n -t 1n -t n +1-t

t e dt =t e dt ≤t e dt ⎰⎰⎰n ! 0n +1n ! 0n +1! 0

∞

1n -t 1

即⎰t e dt 关于n 单调，故由Abel 判别法，∑a n ⎰t n e -t dt 在[0, b ]上一致收敛. n ! 0n ! 0n =1

x

x

x x x

上面各种判别法都有各自的优点，同时每一种方法对不同的题目时又具有一定的局限性和适用范围，，也就是说，在遇到具体实际问题时，用以上的方法判别级数收敛性可能显得有些复杂，甚至是无法下手，下面再给出一种新的方法，即利用狄尼定理。

七 应用Dini 定理

定理6

[7]

设函数项级数∑u n (x )在区间[a , b ]上点态收敛于S (x )，如果

n =1

∞

（1）u n (x )∈C [a , b ] （n =1,2…） （2）S (x )∈C [a , b ]

（3）对∀x ∈[a , b ]，∑u n (x )是正项级数或负项级数，则∑u n (x )在[a , b ]上一

n =1

n =1

∞

∞

致收敛于S (x ).

例7 证明：函数项级数∑x n (Inx )在区间[0,1]上一致收敛.

2

n =1∞

证 对∀n ∈N ，∀x ∈[0,1]. 有u n (x )≥0，补充定义

n

u n (0)=lim x (Inx )=0+

x →0

2

则u n (x )∈[0,1]. 计算和函数，当x =0,1时，显见有S (0)=S (1)=0，当x ∈(0,1) . 时，有

S (x ) =(Inx )

2

∑x n =(Inx )

n =1

∞

2

x

，于是得出 1-x

⎧2x ⎪In x S (x ) =⎨1-x

⎪0⎩

x ∈(0,1)x =0,1

n

S (x ) =lim S (x ) =0注意到lim 可见, 故由Dini 定理知S (x ) ∈C (0,1)x (Inx )在∑+-

x →0

x →1

∞

2

n =1

[0,1]上一致收敛。

本文对函数项级数一致收敛的一些常用判别法进行了详细的阐述和总结，并对每种方法都给予了典型例题，可以看出判别方法的有效性与多样性，并且希望通过对判别法的总结，使大家在学习和探讨函数项级数一致收敛问题时，能够更加准确和熟练的的运用各种判别法。同时，也可以看出，有些题目可以一题多解，深层掌握各个知识点间的联系，通过分析和比较选用最合适的判别法，问题就会迎刃而解，有助于拓展解题思路，进行发散性思维，以提高快速准确解题的能力。

另外，运用泛函分析和复变函数中的有关知识也可以判别一致收敛，例如导数判别法，比式以及根式判别法，利用它们来判别级数的一致收敛性也是可行的。本文虽没有给出详细的介绍，但这也是一个值的深入讨论的问题。

参考文献：

[1]华东师大数学系. 数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.30-32.

[2]陈纪修, 复旦大学数学系主编. 数学分析（下册第三版）[M].上海:上海科学技术出版社，2001. 25-27.

[3]刘玉莲, 傅沛仁. 数学分析[M].北京:高等教育出版社,1992.48.

[4]裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2006.586. [5]张筑生. 数学分析新讲[M].北京:北京出版社,2004.49.

[6]吉米多维奇. 数学分析例题集题解[M].济南:山东科学技术出版社,1999.300. [7]钱吉林. 数学分析题解精粹（第二版）[M].武汉:湖北长江集团崇文书局,2009.364. [8]裘兆泰, 王承国, 章仰文编. 数学分析学习指导[M].北京:科学出版社,2004.78. [9]毛一波. 函数项级数一致收敛性的判定[J].重庆文理学院学报,2006,5(4):55-56.

[10] Walter Rudin.Principles of Mathematical Analysis [M].Bei Jing ：McGraw-Hill.1996.87.