样本与总体

第25章 样本与总体

初三数学

主讲教师：张华云

第一讲 用样本估计总体

教学目的：1. 让同学们体会普查和抽样调查的必要性及各自的优缺点；

2. 使同学们掌握抽样必须遵循的两个原则：所取的样本要足够大和所取的样本要具有代表性，并会根据这个原则来判断取样是否合理；

3. 让同学们重视用计算器产生随机数的方法来抽取样本，并会用计算器来计算一组数据的相关统计量，如平均数、标准差、方差、中位数和众数等．

教学重点：1. 判断取样是否合理，自己用合适的方法取样；

2. 用计算器产生随机数来抽取样本并会用计算器对所取数据的相

关统计量进行分析及对总体进行预测．

一、简单的随机抽样

概念：

总体：所要调查的对象的全体叫做总体；

个体：组成总体的每一个考察对象叫做个体；

样本：从个体中抽出的一部分个体叫做样本；

样本容量：样本中所包含的个体数目叫做样本容量．

（一）、 普查与抽样调查

普查是通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本的方式来收集数据的．

注意：虽然抽样具有随机性，但是为了尽可能准确地用样本来估计总体， 需要：(1) 所取的样本要足够大；

(2) 所取的样本要具有代表性，不能有偏向，更不能遗漏某一群体．

（二）、 例题

例1. 检查一个人的血型需要抽取血样，这时的总体和样本分别是什么？

答：总体是一个人的血型，样本是血样的血型．

例2. 为了了解某一城市的气温情况，小王观测二月份每天的气温得到本市日 平均气温为23.6C；小英观察了元月至三月份每天的气温，得出本市日平均气温为21.4C；小强观察了二月份、五月份、八月份、十一月份每天的气温，得到本市日平均气温为18.7C．请你根据抽样调查的原则，判断他们三人观察到的结论谁更可靠？为什么？

答：小强的结论更可靠．因为小王观测的是一个月的气温情况，选取的样本不够大，没有代表性；小英观察了三个月的气温情况，但因为他的调查结果局限于春季，不能推广到全年，结论也不可靠；小强虽然也只观察了四个月的气温情况，但他所选取的月份分别代表了春、夏、秋、冬的气温，所以小强观察到的结论更可靠．

例3. 判断下面这几个抽样调查选取样本的方式是否合适，并说明理由．

(1) 一灯泡厂欲了解一批灯泡的使用寿命，从中抽取了10只25瓦的灯泡进行了测量；

(2) 为了了解市场上月饼的质量情况，对某商店的所有月饼打碎进行检查；

(3) 为调查某一地区的教师素质，调查了该地区所有县城教师的素质情况． 答：(1) 不合适；因为样本不够大；(2) 不合适；因为太浪费人力、才力；

(3) 不合适；虽然样本够大，但是不具有代表性．

例4. 某校有六个年级，每个年级有12个班，全校共有3602人，在下述情况下中如何用简单的随机抽样方法分别选取样本？（用计算器产生随机数）

(1) 在全校的所有年级中随机抽取一个年级；

(2) 在全校的所有班级中随机抽取三个班级；

(3) 在全校3602名学生中随机抽取100名学生．

答：(1) 从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取1个数；

(2) 从1，2，…，72这72个数中随机取3个数；

(3) 从1，2，…，3602这3602个数中随机取100个数．

二、用样本估计总体

（一）、抽样调查可靠吗？

通过上面的学习可知，如果按照抽样调查的原则（样本足够大、样本具有代表性）去获得样本，再通过分析样本的频数分布直方图、平均数、标准差等统计量去分析样本的有关情况，那么就可以对总体的情况进行一定的估计和预测，虽然可能会存在一定的误差，但是这是在允许的范围之内的．

注意：要求会用计算器产生随机数的方法进行样本的选取、并会计算一组数

据的平均数、中位数、众数、标准差、方差（借助于计算器）．

概念：对于一组数据x1，x2,xn， 它的平均数x_x1x2xn； n

它的中位数指的是把一组数据从小到大依次排列后，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）；

它的众数指的是一组数据中出现次数最多的数据，众数可以不止一个，也可以没有．

标准差s（二）、例题

例5. 某路公交车总站设在一居民小区附近，为了了解高峰时段从总站乘车出行的人数，随机抽查了10个班次的乘车人数，结果如下：20、23、26、25、29、28、30、25、21、23．

(1) 计算这10个班次乘车人数的平均数；

(2) 如果在高峰时段从总站共发车60个班次，根据上面的计算结果，估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少人？

解：(1) 乘车人数的平均数为1(202323)25（人）； 10 (2) 估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有25601500（人）．

例6. 在一次田径比赛中，共有60名选手报名参加，其中14岁的有12人，15岁的有27人，16岁的有21人，你能很快算出这些选手的平均年龄吗？ 解：这些选手的平均年龄为14121527162115.15（岁） 60

例7. 某厂用罐头分装机分装某种鱼罐头（每只罐头的标准质量为207g），为了监控分装质量，该厂定期对罐头的质量进行抽查，并规定抽检产品的平均质量与标准质量相差大于5g或者罐头质量的标准差大于8g时，就认为该分装机运行不正常，将对它进行检修，现抽取了20个罐头，它们的质量（单位g）如下： 200、205、208、212、223、199、193、208、204、200、

208、201、215、190、193、206、215、198、206、216．

请通过计算说明该分装机工作是否正常？

解：用计算器算得抽检产品的平均质量为205g，标准差约为：8.33g；因为

8.33>8，所以该分装机工作不正常，需要检修．

1例8. 若一个样本是3、1、a、1、3、3，它们的平均数x是a的，求这个3_

样本的标准差．

解：x_3(1)a1(3)3a3aa3，由题意得：，解得：a3． 6636

于是这组数据的标准差为：

例9. 某农户在山上种了苹果树44株，现进入第三年收获，收获时，先随意采摘5株果树上的苹果，称得每株果树上的苹果重量如下：（单位：千克）35，35，34，39，37．

(1) 根据样本平均数估计，这年苹果的总产量约是多少？

(2) 若市场上苹果售价为5元/千克，则这年该农户卖苹果的收入约达到多少元？

(3) 已知该农户第一年卖苹果收入为5500元，根据以上估计，试求第二年、第三年卖苹果收入的年平均增长率．

解：(1) 样本平均数为x353534393736（千克），于是可以估计出5

这年苹果的总产量约为：36441584（千克）．

(2) 这年该农户卖苹果的收入约为：158457920（元）．

(3) 设第二年、第三年卖苹果收入的年平均增长率为x，

则有5500(1x)27920，解得x20%（舍负）．答略．

第25章 样本与总体

初三数学

主讲教师：张华云

第一讲 用样本估计总体

教学目的：1. 让同学们体会普查和抽样调查的必要性及各自的优缺点；

2. 使同学们掌握抽样必须遵循的两个原则：所取的样本要足够大和所取的样本要具有代表性，并会根据这个原则来判断取样是否合理；

3. 让同学们重视用计算器产生随机数的方法来抽取样本，并会用计算器来计算一组数据的相关统计量，如平均数、标准差、方差、中位数和众数等．

教学重点：1. 判断取样是否合理，自己用合适的方法取样；

2. 用计算器产生随机数来抽取样本并会用计算器对所取数据的相

关统计量进行分析及对总体进行预测．

一、简单的随机抽样

概念：

总体：所要调查的对象的全体叫做总体；

个体：组成总体的每一个考察对象叫做个体；

样本：从个体中抽出的一部分个体叫做样本；

样本容量：样本中所包含的个体数目叫做样本容量．

（一）、 普查与抽样调查

普查是通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本的方式来收集数据的．

注意：虽然抽样具有随机性，但是为了尽可能准确地用样本来估计总体， 需要：(1) 所取的样本要足够大；

(2) 所取的样本要具有代表性，不能有偏向，更不能遗漏某一群体．

（二）、 例题

例1. 检查一个人的血型需要抽取血样，这时的总体和样本分别是什么？

答：总体是一个人的血型，样本是血样的血型．

例2. 为了了解某一城市的气温情况，小王观测二月份每天的气温得到本市日 平均气温为23.6C；小英观察了元月至三月份每天的气温，得出本市日平均气温为21.4C；小强观察了二月份、五月份、八月份、十一月份每天的气温，得到本市日平均气温为18.7C．请你根据抽样调查的原则，判断他们三人观察到的结论谁更可靠？为什么？

答：小强的结论更可靠．因为小王观测的是一个月的气温情况，选取的样本不够大，没有代表性；小英观察了三个月的气温情况，但因为他的调查结果局限于春季，不能推广到全年，结论也不可靠；小强虽然也只观察了四个月的气温情况，但他所选取的月份分别代表了春、夏、秋、冬的气温，所以小强观察到的结论更可靠．

例3. 判断下面这几个抽样调查选取样本的方式是否合适，并说明理由．

(1) 一灯泡厂欲了解一批灯泡的使用寿命，从中抽取了10只25瓦的灯泡进行了测量；

(2) 为了了解市场上月饼的质量情况，对某商店的所有月饼打碎进行检查；

(3) 为调查某一地区的教师素质，调查了该地区所有县城教师的素质情况． 答：(1) 不合适；因为样本不够大；(2) 不合适；因为太浪费人力、才力；

(3) 不合适；虽然样本够大，但是不具有代表性．

例4. 某校有六个年级，每个年级有12个班，全校共有3602人，在下述情况下中如何用简单的随机抽样方法分别选取样本？（用计算器产生随机数）

(1) 在全校的所有年级中随机抽取一个年级；

(2) 在全校的所有班级中随机抽取三个班级；

(3) 在全校3602名学生中随机抽取100名学生．

答：(1) 从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取1个数；

(2) 从1，2，…，72这72个数中随机取3个数；

(3) 从1，2，…，3602这3602个数中随机取100个数．

二、用样本估计总体

（一）、抽样调查可靠吗？

通过上面的学习可知，如果按照抽样调查的原则（样本足够大、样本具有代表性）去获得样本，再通过分析样本的频数分布直方图、平均数、标准差等统计量去分析样本的有关情况，那么就可以对总体的情况进行一定的估计和预测，虽然可能会存在一定的误差，但是这是在允许的范围之内的．

注意：要求会用计算器产生随机数的方法进行样本的选取、并会计算一组数

据的平均数、中位数、众数、标准差、方差（借助于计算器）．

概念：对于一组数据x1，x2,xn， 它的平均数x_x1x2xn； n

它的中位数指的是把一组数据从小到大依次排列后，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）；

它的众数指的是一组数据中出现次数最多的数据，众数可以不止一个，也可以没有．

标准差s（二）、例题

例5. 某路公交车总站设在一居民小区附近，为了了解高峰时段从总站乘车出行的人数，随机抽查了10个班次的乘车人数，结果如下：20、23、26、25、29、28、30、25、21、23．

(1) 计算这10个班次乘车人数的平均数；

(2) 如果在高峰时段从总站共发车60个班次，根据上面的计算结果，估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少人？

解：(1) 乘车人数的平均数为1(202323)25（人）； 10 (2) 估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有25601500（人）．

例6. 在一次田径比赛中，共有60名选手报名参加，其中14岁的有12人，15岁的有27人，16岁的有21人，你能很快算出这些选手的平均年龄吗？ 解：这些选手的平均年龄为14121527162115.15（岁） 60

例7. 某厂用罐头分装机分装某种鱼罐头（每只罐头的标准质量为207g），为了监控分装质量，该厂定期对罐头的质量进行抽查，并规定抽检产品的平均质量与标准质量相差大于5g或者罐头质量的标准差大于8g时，就认为该分装机运行不正常，将对它进行检修，现抽取了20个罐头，它们的质量（单位g）如下： 200、205、208、212、223、199、193、208、204、200、

208、201、215、190、193、206、215、198、206、216．

请通过计算说明该分装机工作是否正常？

解：用计算器算得抽检产品的平均质量为205g，标准差约为：8.33g；因为

8.33>8，所以该分装机工作不正常，需要检修．

1例8. 若一个样本是3、1、a、1、3、3，它们的平均数x是a的，求这个3_

样本的标准差．

解：x_3(1)a1(3)3a3aa3，由题意得：，解得：a3． 6636

于是这组数据的标准差为：

例9. 某农户在山上种了苹果树44株，现进入第三年收获，收获时，先随意采摘5株果树上的苹果，称得每株果树上的苹果重量如下：（单位：千克）35，35，34，39，37．

(1) 根据样本平均数估计，这年苹果的总产量约是多少？

(2) 若市场上苹果售价为5元/千克，则这年该农户卖苹果的收入约达到多少元？

(3) 已知该农户第一年卖苹果收入为5500元，根据以上估计，试求第二年、第三年卖苹果收入的年平均增长率．

解：(1) 样本平均数为x353534393736（千克），于是可以估计出5

这年苹果的总产量约为：36441584（千克）．

(2) 这年该农户卖苹果的收入约为：158457920（元）．

(3) 设第二年、第三年卖苹果收入的年平均增长率为x，

则有5500(1x)27920，解得x20%（舍负）．答略．