第5章 时间序列分析
5.1 时间序列的基本问题
5.1.1时间序列的概念
时间序列是指反映客观现象的同一指标在不同时间上的数值，按时间先后顺序排列而形成的序列，它由两个基本要素组成：一个是现象的所属时间；另一个是反映该现象的同一指标在不同时间条件下的具体数值。也称为时间数列，或动态数列。
例如，表5.1是一个国内生产总值及其部分构成统计表。
时间序列可以描述客观现象发展变化的状况、过程和规律，利用时间序列资料可以计算一系列动态分析指标，通过时间序列分析，可以揭示客观现象发展变化的趋势,为预测、决策提供依据。
5.1.2 时间序列的分类
时间序列可以分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列三种。其中绝对数时间序列是最基本的时间序列，其余两种是在其基础上派生的。
1、绝对数时间序列，简称绝对序列：它是把同一总量指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列而形成的时间序列。绝对序列反映现象在不同时间上所达到的总量及其增减变化的过程。绝对序列有时期序列和时点序列两种。
时期序列是由时期绝对数数据所构成的时间序列，其中的每个数值反映现象在一段时间内
发展过程的总量。
时点序列是由时点绝对数数据所构成的时间序列，其中的每个数值反映现象在某一时点上所达到的水平。
时期序列中的各个数数值可以相加，各个数数值的和表示了在所对应的时期之内事物及其现象的发展总量。而时点序列中各个数数值相加通常没有明确的意义；
时期序列中各项数值的大小与所包括的时期长短有直接关系，时点序列中各数数值与其时点间隔长短没有直接关系。
2、相对数时间序列：它是把一系列同类的统计相对数按照时间先后顺序排列起来而形成的时间序列，反映事物之间对比关系的变化情况。
3、平均数时间序列：它是把一系列同类的统计平均数按照时间先后顺序排列起来而形成的时间序列，表现事物一般水平的变化过程的发展趋势。 参看上表格。
5.1.3编制时间序列的原则
编制时间序列的目的是要通过对序列中各个时期指标值进行比较，以达到研究客观现象的发展变化状况、过程及其规律。因此，保证序列中各个指标值的可比性,是编制时间序列必须遵循的基本原则。具体要求是： 1、指标数值所属时间的长短应当统一。对时期序列来说，数值所包含的时期长短应当相同，即年与年排，月与月排；对时点序列来说，相邻数值之间的时间间隔应尽可能一致。
2、指标数值所属的总体范围、内容涵义、计算口径、计算方法等都应当可比,计量单位要一致。
在实际分析过程中，对时间序列中的可比性问题不能绝对化，有时由于资料的限制，只要大体可比、能正确说明问题就可以了。
5.2 时间序列的水平分析
时间序列分析的水平指标是以绝对数形式表示的动态分析指标，包括发展水平、平均发展水平、增长水平和平均增长水平等指标。
5.2.1 发展水平
发展水平，又称为发展量，是指时间序列中的每一项具体指标数值，反映的是现象在不同时间发展所达到的规模和水平。发展水平是动态分析的基础指标。
不论是时间序列的编制还是计算各种动态指标，都需要正确地计算发展水平，进行发展水
平分析。
发展水平指标，可以表现为总量指标，如工资总额、企业职工总数、原材料消耗总额、利润总额等；也可以表现为相对指标或平均指标，如人口出生率、工人劳动生产率、单位产品原材料消耗量等。
在时间序列a0,a1, ,an-1,an中，根据发展水平在时间序列中所处位置的不同，有： 最初水平时间序列中第一项指标值，用a0表示。 最末水平时间序列中最后一项指标值，用an表示。
中间水平时间序列中除最初水平与最末水平以外的所有各期发展水平，即为时间序列中的
a1, ,an-1各项。
作为比较基础时期的发展水平就叫基期水平，即包括时间序列中的a0,a1, ,an-1各项。 作为分析时期的发展水平就叫报告期水平，即包括时间序列中的a1, ,an-1,an各项。 根据发展水平作动态分析的说明时，习惯上用“增加到”、“增加为”、“降低到”、“降低为”、“发展到”、“发展为”等文字表示。在“发展”、“增加”、“降低”等之后必须要有一个“到”或“为”字，不能遗漏。
5.2.2平均发展水平
平均发展水平是对时间序列中各个指标值加以平均所得到的平均数，又叫序时平均数，或叫动态平均数。它反映现象在一段时期内发展过程所达到的一般水平。
序时平均数与静态平均数既有共同之处，也有区别。共同之处是二者都是将现象各个变量值的差异抽象化了，概括出了现象在数量上达到的一般水平。二者的区别在于：序时平均数是将现象在不同时间上的数量差异平均了，从动态上说明现象在一段时期内发展变化达到的一般水平；而静态平均数则是将总体各单位在同一时期内某个标志值的数量差异平均了，反映的是总体在某个具体时间条件下达到的一般水平。
平均发展水平除了在动态分析中反映某种现象达到的一般水平外，还可以用来消除现象在短时间内波动的影响，便于观察现象发展的基本趋势。此外，还可以解决时间序列分析中某些可比性问题。
由于资料的特性不同,序时平均数的计算方法也不同。既可以在绝对序列中计算,也可以在相对序列和平均序列中计算。其中，在绝对序列中计算序时平均数是最基本的。
（1）绝对序列的序时平均数
绝对序列又分为时期序列和时点序列，二者计算序时平均数的方法不一样。
1）根据时期序列计算序时平均数。由时期序列的特点，采用简单算术平均法，用时期序列各个指标值之和除以时期项数。其计算公式为：
=
1
(a1+a2+ +an) n
式中：—序时平均数；ai—时间序列各个时期发展水平；n—时期项数。
例:某企业一月份产值为125万元，二月份产值为130万元，三月份产值为135万元，则按上式计算第一季度平均月产值为：
1
=(125+130+135)=130（万元）。
3
2）根据时点序列计算序时平均数。由时点序列的特点，有连续间隔相等、连续间隔不等、
不连续间隔相等和不连续间隔不等的时点序列。每一种情况下，计算序时平均数的方法都不一样。下面分别予以说明。
①由连续间隔相等的时点序列资料计算序时平均数。这种时点序列资料是逐日登记并逐日排列的，用简单算术平均数计算序时平均数，即以各个时点指标值之和除以时点项数。其计算公式的符号与(10.1)一样，即：
例:已知某企业一个月内每天的职工人数，要求计算该月每天平均职工人数,就可以用每天职工人数除以该月的日历日数。
②由连续间隔不等的时点序列资料计算序时平均数。这种时点序列资料不是逐日变动，只在发生变动时进行登记，也就是说这种资料相邻两个指标值之间的时间间隔不尽相同，其序时平均数用时间间隔作权数计算加权算术平均数。其计算公式为：
=
1
(a1+a2+ +an) n
=
aff
i
ii
式中：fi—各指标值之间的时间间隔，其余符号同前。
例:某企业某年一月份的产品库存变动资料如表#，要求计算该企业一月份平均库存量。
表# 某企业一月份产品库存变动资料
利用公式计算得到该企业一月份平均库存量： =
aff
i
ii
=
50⨯4+70⨯7+60⨯6+46⨯7+34⨯6+40⨯1
=52.12(台）
4+7+6+7+6+1
③由不连续间隔相等的时点序列资料计算序时平均数。这种性质的时点序列资料计算序时平均数，要求假定各指标值在相邻两个时点之间的变动是均匀的，先计算两个时点指标值的简单平均数，然后再根据这些平均数进行简单平均。其计算公式的最终形式为：
=
111
(a1+a2+ +an-1+an) n-122
公式的明显特点是第一项和最后一项的指标值各取一半，因此，习惯上称这种计算方法为
“首尾折半法”。其中，n-1为时间间隔数目，比时点序列的项数少１个。 例:设某企业某年第三季度职工人数为：6月30日435人，7月31日452人，8月31日462人，9月30日576人。要求计算该企业平均职工人数。
按式计算的该企业平均职工人数为：
=
111
(⨯435+425+462+⨯576)=473(人） 4-122
④由不连续间隔不等的时点序列资料计算序时平均数。这种性质的时点序列资料计算序时平均
数，同样要假定各指标值在相邻两个时点之间的变动是均匀的，先计算两个时点指标值的简单平均数，然后再根据这些平均数以时间间隔作权数计算加权平均数。其计算公式的最终形式为：
⎛a2+a3⎫⎛an-1+an⎛a1+a2⎫
f+f+ ⎪2 ⎪1 222⎝⎭⎝⎭⎝ =
f1+f2+ fn-1
⎫⎪fn-1⎭
例：某企业某年钢材库存量资料如表#。
表# 某企业钢材库存量资料
计算该企业钢材月平均库存量为；
⎛13+12⎫⎛12+15⎫⎛15+14⎫ ⎪⨯4+ ⎪⨯3+ ⎪⨯5
222⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =
4+3+5
＝
163
＝13.58(吨) 12
（2）相对序列的序时平均数
在各种相对序列中，除动态相对序列情况特殊外，均不能直接由相对序列本身计算，而是根据相对数本身的计算原则，通过计算形成相对序列的分子序列、分母序列的序时平均数，再对比求得，即按下面公式计算。
=
式中： —相对序列（含所有比值性质的序列）的序时平均数。
相对序列的分子序列/分母序列的构成有时期指标／时期指标，时期指标／时点指标，时点指标／时期指标，时点指标／时点指标四大类。总的原则是分子序列为时期序列按时期序列处理，为时点序列按时点序列处理；同样，分母序列为时期序列按时期序列处理，为时点序列按时点序列处理。
例：根据表#的资料，要求计算某企业2007年第2季度产值计划平均完成程度。
表# 某企业2007年第2季度产值计划完成情况资料
从表#的资料可以发现,产值计划完成程度是由实际产值与计划产值对比而得,而用作对比的两个指标均为时期指标，因而按式计算其产值计划平均完成程度为： =
a=500+612+832=1944=1.0232 b500+600+8001900
5.2.3增长水平
增长水平，简称增长量，是时间序列中两个发展水平之差，反映某种现象在一段时期内数量增减的绝对水平。其计算公式为：
增长量＝报告期水平－基期水平
增长量的数值大于０为增加的绝对数量，称为增加量或增长量；增长量的数值小于０为减少的绝对数量，称为减少量或降低量。
根据对比的基期不同，增长量可以分为逐期增长量和累积增长量。
（1）逐期增长量——是指报告期水平与其前一期水平之差，表示现象逐期增减的数量，用符号表示为：
ai-ai-1 (i=1,2,„,n)
（2）累积增长量——是指报告期水平与某一固定时期水平之差，表示现象在一段时期内总的增减量，用符号表示为：
ai-a0 (i=1,2,„,n) 逐期增长量与累积增长量之间的数量关系是： 1)各个逐期增长量之和等于累积增长量，即：
(a1-a0)+(a2-a1)+ +(an-an-1)=an-a0 2)相邻两个累积增长量之差等于相应的逐期增长量。
（3）平均增长量——是时间序列中各个逐期增长水平的平均数，反映现象在一段时期内
平均每期增长量的一般水平，其计算公式为：
平均增长量=
逐期增长量之和累积增长量
=
逐期增长量个数时间序列项数-1
用符号表示为：
(a1-a0)+(a2-a1)+ +(an-an-1)
n
=
an-a0
n
5.3 时间序列的速度分析
时间序列的速度指标是以相对数形式表示的动态分析指标，包括发展速度、平均发展速度、增减速度以及平均增减速度等指标。下面分别予以说明。
5.3.1发展速度
发展速度是两个时期发展水平对比而得到的结果，表明现象发展的程度，说明报告期水平是基期水平的百分之几（或若干倍）。其计算公式为：
发展速度=
报告期水平
基期水平
由于对比基础不同，发展速度有环比发展速度和定基发展速度两种。
环比发展速度是指报告期水平与其前一期水平对比而得到的结果，反映现象逐期发展的程度。其计算公式为：
ai
(i=1,2,„,n) a i-1
定基发展速度是指报告期水平与某一固定时期水平对比而得到的结果，反映现象在一段较
长时期内总的发展程度，又称为“总速度”。其计算公式为：
ai
(i=1,2,„,n) a 0
环比发展速度与定基发展速度之间存在如下数量关系：
1)各环比发展速度的连乘积等于定基发展速度，即：
a1aaa
⨯2⨯ ⨯n=n a1an-1a0
a0
2)相邻两个定基发展速度之商，等于相应的环比发展速度，即：
aiaai
÷i-1= (i=0,1,2,„,n) aaa0i-1 0
5.3.2平均发展速度
平均发展速度是对各环比发展速度计算的一种序时平均数，反映现象在一个较长时期内速度变化的平均程度。平均发展速度指标在经济分析中应用非常广泛，它在对现象的发展作趋势速度预测和编制长远规划中起着重要作用。
平均发展速度的计算有多种方法，我们介绍其中一种：几何平均法。
由于现象发展的总速度不等于各环比发展速度之和，而等于各环比发展速度的连乘积。因此,在计算平均发展速度时,不能用算术平均法,而需要用几何平均法。
根据总速度等于各环比发展速度的关系及其符号表示法，计算平均发展速度的公式还可以表示为：
x=
_
1⨯2⨯ ⨯n (*) a0a1an-1n
(**) a0
或： x=
_
上述公式从数学意义上来说是等价的。但在应用上需要注意，二者用于不同的目的。 (*)式用于已知各环比发展速度或时间序列的完整资料计算平均发展速度；而(**)式只适用于在资料不完整的条件下进行推算。
5.3.3 增长速度
增减速度是根据增减量与基期水平对比而求得的一种相对数,反映现象在一段时期内数量增减的方向和程度的动态分析指标,说明报告期水平比基期水平增减了多少倍或百分之几。其计算公式为：
增减速度=
报告期水平-基期水平增减量
=
基期水平基期水平
或者用发展速度减１而求得。
发展速度大于“１”，增减速度大于“０”，表明现象增长的程度；反之，发展速度小于“１”，
增减速度小于“０”，表明现象降低的程度。
同样，增减速度由于对比基础不同，分为环比增减速度和定基增减速度两种。
环比增减速度是逐期增减量与其前一期水平之比，表明现象逐期的增减程度，其计算公式为：
逐期增减量
环比增减速度= =环比发展速度-（或1-100%）
前一期水平
定基增减速度是累积增减量与某一固定时期的发展水平之比，表明现象在较长时期内总的增减程度，其计算公式为：
定基增减速度=
累积增减量
=定基发展速度-（或1-100%）
最初水平
定基增减速度和环比增减速度都是发展速度的派生指标，它只反映增减部分的相对程度，所以，环比增减速度的连乘积不等于定基增减速度。如果要由环比增减速度计算定基增减速度，必须将环比增减速度加1或100％再连乘，然后将所得结果减1或100％才能得到。
另外，如果两个时期的发展水平表明的是不同方向的指标数值，则不宜计算增减速度。例如，某企业基期亏损100万元，报告期盈利80万元，如果按上述公式计算企业利润的变动程度，将得到：
80-(-100)180
==－1.8(倍)
-100-100
上述计算结果显然不合理，对这种情况只能用文字表述。
5.3.4 平均增长速度
平均增减速度是说明现象在一段时期内逐期平均增减程度的指标。
平均增减速度也不能直接根据环比增减速度加以平均求得，而应根据它与平均发展速度的各项按下列公式计算，即：
平均增长速度＝平均发展速度－1(或－100％)
同样，平均发展速度大于“1”，平均增减速度大于“0”，表示现象在一段时期内逐期平均递增的程度，反之,平均发展速度小于“1”,平均增减速度小于“0”,表示现象在一段时期内逐期平均递减的程度。
5.4 时间序列的趋势分析
5.4.1 时间序列的构成因素和分解模型
研究时间序列的一个重要目的，就是要掌握事物发展变化的规律和趋势，对现象未来发展的可能状态进行认识，为经济决策服务。时间序列的趋势分析提供了一系列有效的方法。
1、时间序列构成的因素
时间序列的形成是各种不同的影响事物发展变化的因素共同作用的结果。影响事物发展变化的因素很多，有起决定性作用的基本因素，也有起临时作用的、局部作用的偶然因素。影响时间序列的因素归纳起来有四类，即长期趋势、季节变动、循环波动和不规则变动。 (1)长期趋势
长期趋势是指现象在一段较长时期内,持续呈现为同一方向发展变化的趋势。
它是由某种起决定性作用的因素的影响而形成的趋势。分析长期趋势，可以掌握事物发展变化的基本特点。 (2)季节变动
季节变动是指现象因受自然条件或社会经济季节因素的影响，在一年或更短的时间内，随时序变化而引起的有规律的周期性变动。一般以一年为周期，也有以月、周、日为周期的。认识和掌握季节变动，对于近期行动决策有重要作用。 (3)循环波动
循环波动是指现象发生周期较长（一年以上）的涨落起伏的变动。它与季节变动有明显区别，一是周期较长且不固定；二是规律显现没有季节变动明显；三是影响因素的性质不一样。 (4)不规则变动
不规则变动是指由于意外的自然或社会的偶然因素引起的无周期的波动。它除了受以上各种变动的影响以外，还受临时的、偶然的或不明原因而引起的非周期性、非趋势性随机变动。不规则变动是无法预知的。
现象变动趋势分析就是要把时间序列受各类因素的影响状况分别测定出来，搞清研究对象发展变化的原因及其规律，为预测未来和决策提供依据。
2、时间序列的分解模型
将构成时间序列的因素与时间序列的关系按照一定的假设，用一定的数学关系式表示，就形成了时间序列的分解模型。主要有两种假设，即有两种最基本的分解模型：加法模型和乘法模型。
设时间序列为Ｙ，长期趋势为Ｔ，季节变动为Ｓ，循环波动为Ｃ，不规则变动为Ｉ，则两种模型可表述如下： (1)加法模型
假设四个因素是相互独立的，则时间序列各期水平的数值可视为四个因素相加的总和，其分解模型为：
Ｙ＝Ｔ＋Ｓ＋Ｃ＋Ｉ
根据上述关系式，为测定某种因素的影响，只需从时间序列数值中减去其余因素即可。 (2)乘法模型
假设四个因素变动之间存在某些相互影响的关系，则时间序列各期水平的数值就是四种因素相乘的乘积，其分解模型为： Ｙ＝Ｔ×Ｓ×Ｃ×Ｉ
根据上述关系式，为测定某种因素的影响，用其余因素的乘积去除时间序列数值即可。
实际工作中应采用哪一种模型进行分析为宜，要视研究对象的性质，研究目的及所掌握的资料的情况而确定。
注意不同公式中各项的单位。
在现阶段，较为成熟的趋势分析的数学方法主要是对长期趋势和季节变动的测定。
5.4.2长期趋势的测定
1、测定长期趋势的意义与目的
测定长期趋势就是用一定的方法对时间序列进行修匀，以消除序列中季节变动、循环波动和不规则变动等因素的影响，以显示出现象变动的基本趋势，作为预测的依据。具体说来包括： （1)反映现象发展变化的趋向，掌握现象变化的规律，为经营决策和制定长远规划提供依据； （2)为统计预测提供必要的条件；
（3)将长期趋势从时间序列中分离出来，更好地测定和分析其余因素的变动。 2、测定长期趋势的方法
测定长期趋势的方法主要有时距扩大法、移动平均法和数学模型法。数学模型法又有线性模型和非线性模型。下面分别予以说明。 （1)时距扩大法
时距扩大法是对长期的时间序列资料进行统计修匀的一种最简便的方法。它是将原时间序列中各项指标加以合并，扩大每段计算所包括的时间，得出较长时距的新序列，以消除偶然因素的影响，显示出现象变动的基本趋势。 应用时距扩大法应当注意：
①前后扩大的时距应当一致，以便相互比较；
②单纯扩大时距，以使指标数值增大的方法，只能用于时期序列，而不能用于时点序列。对时点序列要在扩大时距的基础上，求出序时平均数，才能反映现象发展的长期趋势。 （2)移动平均法
移动平均法是对原时间序列采用逐期递推移动的方法计算一系列扩大时距的序时平均数，从而形成一个新的派生的时间序列，以消除偶然因素的影响，使现象的基本趋势得以呈现。
使用移动平均法分析时间序列的变动趋势，关键在于移动步长(或叫移动项数)的选择。移
动步长为奇数时，移动平均数就是平均期中间一期的“修匀”值；移动步长为偶数时，要进行二次平均（即移正平均）。应用移动平均法应注意： ①若时间序列呈现周期性变动（如季节变动等），移动步长应与周期相同，以达到消除这些因素变动影响的的目的；
②若时间序列是时点序列，则移动平均数应按时点序列计算序时平均数的方法计算。
（3)数学模型法
数学模型法是采用适当的数学模型对时间序列配合一个方程式，并据以计算各期趋势值的方法。用数学模型配合时间序列的方法很多，最常用的主要有直线趋势模型、二次抛物线模型、
指数曲线模型、修正指数曲线模型、龚伯兹曲线模型、蒲尔—里德曲线模型等。下面分别予以说明。
①直线趋势模型
如果时间序列的逐期增减量相对稳定,即现象满足各逐期增减量大体相同的条件,可以用直线作为趋势线来描述趋势变化，据以进行分析和预测。
设趋势直线方程为：yc＝ａ＋ｂｔ 式中： yc —时间序列ｙ的长期趋势值 ｔ —时间（指的时间序号）
ａ —趋势直线的ｙ的截距，表示ｔ＝0时yc的数值
ｂ —趋势直线的斜率，表示ｔ每变动一个单位时，yc平均增减的数量
ａ、ｂ是趋势直线方程中的两个待估参数，有许多方法（如平均法、三点法、分段法、指数平滑法、最小平方法等）可采用，最常用的是最小平方法。 最小平方法的基本原理是：时间序列实际值与其趋势值的离差平方和达到一个最小值。满足这一条件的只有一条线，称为原时间序列的最适线，它使趋势线同原时间序列最佳配合。同时，这条线也满足离差之和为零的要求。
利用最小平方法(原理略)可以建立如下两个标准方程,求出ａ、ｂ的值。即:
⎧∑y=na+b∑t
⎨ 2
ty=at+bt∑∑⎩∑
将上述方程整理后可得出直接计算ａ、ｂ的两个公式为：
⎧nty-ty⎪b=2
⎨n∑t2-∑t
⎪a=-b⋅⎩
下面以某企业10年的产品销售额资料为例计算过程如表#。
表# 某企业销售额趋势预测计算表
根据表的计算资料，将有关数据联立方程式或将有关数据代入式，现若按后者计算出ａ和ｂ的值为：
10⨯4523-55⨯733⎧b==5.95752⎪⎪10⨯385-55 ⎨
73355⎪a=-5.9575⨯=40.5338⎪1010⎩
代入式则所配合的趋势方程为：
yc＝40.5338＋5.9575ｔ 若要求预测1998年的销售额，将ｔ＝11代入式，得出： yc＝40.5338＋5.9575×11＝106(万元)
若要求预测1999年的销售额，将ｔ＝12代入式，得出： yc＝40.5338＋5.9575×12＝112(万元)
现实生活中，有一些现象呈现出如上述的线性关系，但大量的现象是非线性发展的。因此，研究长期趋势变动的各种曲线模型显得十分必要。下面我们讨论的主要是曲线模型。 ②二次抛物线模型
如果现象满足二级增减量大体相同的条件，我们可以利用二次抛物线模型进行配合。其趋势方程为：
yc=a+bt+ct
方程中有三个待估参数ａ、ｂ、ｃ。仍按最小平方法求解,建立三个标准方程:
2
⎧∑y=na+b∑t+c∑t2⎪23
⎨∑ty=a∑t+b∑t+c∑t
⎪t2y=at2+bt3+ct4
∑∑∑⎩∑
表# 某企业8年间的产值资料
利用原序列计算出有关数据代入上述三个方程式，解三元一次方程组就可得出趋势方程所需要的ａ、ｂ、ｃ的估计值。
同样可用运用简捷法把上述方程式简化为：
⎧∑y=na+c∑t'2⎪
⎨ ∑t'y=b∑t'2
⎪t'2y=at'2+ct'4
∑∑⎩∑
也可以解出ａ、ｂ、ｃ的估计值。
根据上述资料，按简捷法配合二次抛物线模型，计算过程如表##。
⎧4438=8⨯a+168⨯c⎧a=502.6889⎪⎪
9226=168⨯b ⎨，解出,得到: ⎨b=54.9166
⎪99862=168⨯a+6216⨯c⎪c=2.4791⎩⎩
因此，该资料的趋势方程为：
yc=502.6889+54.9166t+2.4791t
若要求预测第9年的产值，将ｔ＝9代入)式，得出：
yc=502.6889+54.9166⨯9+2.4791⨯(9)＝1198(万元) 若要求预测第10年的产值，将ｔ＝11代入式，得出：
yc=502.6889+54.9166⨯11+2.4791⨯(11)=1407(万元)
③指数曲线模型
如果时间序列满足环比发展速度大体相同的条件，那么可以配合指数曲线模型来反映现象发展变化的趋势。其趋势方程为：
yc=ab
④修正指数曲线模型
如果时间序列满足逐期增减量的环比发展速度大体相同的条件，则可配合修正指数曲线来描述现象的变化状态。其趋势方程为：
yc=a+bc
⑤龚伯兹曲线模型
如果时间序列的对数的逐期增减量的环比速度大体相同，则可以配合龚伯兹曲线模型来描述该现象的变化状态。其趋势方程式为：
yc=ab
⑥蒲尔—里德曲线模型
如果时间序列满足其指标值的倒数的逐期增减量的环比发展速度大体相同的条件,则可配合蒲尔—里德曲线模型来描述该现象的趋势变化。其趋势方程为：
ct
t
t
2
2
2
1
=a+bct yc
5.4.3 季节变动的测定
由于季节气候（春、夏、秋、冬、晴、阴、雨等）和社会习惯（春节、端午、重阳等）等原因，客观现象普遍存在季节变动影响（电风扇的销售量、蔗糖的原料；农作物的生长、农副产品的生产；旅游人次；客运活动；医疗方面的流感、乙脑；等等）。
测定季节变动的主要目的，在于掌握季节变动的规律，为合理地组织生产和安排人民的生活提供依据。
绝大多数季节变动现象的具有三种特征：一为有规律的变动；二为每年重现变动；三为各年变化强度约略相同。这三种特征，形成一定规律，显示了分析与预测的可能性。 测定季节变动包括两方面的内容：一是测定季节变化规律，研究客观现象随季节变化而变化的状态，主要利用12月移动平均法（以及原数据平均法、全年平均比率法、平均数趋势整理法、趋势比率法、环比法、图解法等）计算季节比率（或叫季节指数）；二是根据季节变化规律对客观现象未来发展的可能状态进行预测。
5.4.3.1按月平均法
若把一年划分为若干个时间片断（通常是4个季度或12个月份，但实践中也可根据具体问题以其他时间单位分割，如以两个月为一个时间片断，以旬为时间片断，以半月为时间片断，甚至以星期为时间片断—如果有意义），则考察若干个年份的数据，就可得表#。n=12即为月份数据，n=4即为季度数据。
表# 季节变动测度基本数据格式
对时间序列进行季节变动分析时，可以发现两种情况，一是各年原始资料中有明显的季节变动，但历年同期（同月或同季）的资料无明显趋势变动，这时间序列仅受季节变动影响，而不存在长期趋势；二是时间序列中既存在明显的季节特征又有长期趋势，表现在“同比增长量”非零。对于前一种情形，可以用按月（季）平均法来测定季节变动。对后一种情形，可以用趋势剔除法来测定季节变动。
按月（季）平均法的基本步骤是：
第一步，计算时间序列中各年同期（同月或同季）的平均数。
j=1∑yij
i=1
1n
k
(j=1,2,3, n)
第二步，计算期内总平均。
=∑
j
第三步，计算季节季节指数。
jSj=
(j=1,2,3, n)
第四步，对季节比率进行分析，绘制季节指数图，利用季节指数进行时间序列的预测分析等。
例：表**是某企业最近五年来四个季度的产品产量资料。
表** 某企业近五年各产品产量情况 （单位：万件）
因趋势不明显，故可采用按季度平均法计算季节指数。
计算过程见表**。根据计算结果可知，该产品产量夏季是旺季，秋、冬为淡季，春季产量回升，接近平均水平。因此，实际生产管理过程中应该注意人力、财力、原材料等方面的准备工作与此生产季节性规律相吻合，同时还需要做好市场研究工作，通过适当的营销手段来调整季节规律，避免过于剧烈的季节性因素导致生产要素供给不足，生产能力分配的严重失衡等不利现象出现。
根据计算的季节比率，还可以进一步进行预测或制定分季度生产计划。
例如，若预计2006年的全年总产量可能达到1400万件，则平均每季350万件，各季产量初步计划可按下式进行估计：
各季初步产量计划=各季季节指数×季平均产量 据此测算出各季的预测值，分别为：
春季：0.96756×350=338.646≈339（万件） 夏季：1.64597×350=576.09≈576（万件） 秋季：0.7785×350=272.475≈272（万件） 冬季：0.60797×350=212.79≈213（万件） 当然，这只是一个参考数据。实际工作中还需要结合生产要素与生产能力进行权衡调整（如综合考虑库存成本等因素之下，春季适当多生产一些，以减轻夏季生产的压力）。
按月（季）平均法的优点是计算简单，容易理解。但它没有考虑长期趋势，如果时间序列的资料存在趋势上升或趋势下降时，用按月(季)平均法就不合适了，应先剔除长期趋势的影响，再计算季节比率。
5.4.3.2 趋势剔除法
表# 某类衬衫销售量统计及季节变动测度
T=169.495+3.805t
*
季节指数修正公式：sj=sj⋅
n
，其中n是季节数。 sj
第5章 时间序列分析
5.1 时间序列的基本问题
5.1.1时间序列的概念
时间序列是指反映客观现象的同一指标在不同时间上的数值，按时间先后顺序排列而形成的序列，它由两个基本要素组成：一个是现象的所属时间；另一个是反映该现象的同一指标在不同时间条件下的具体数值。也称为时间数列，或动态数列。
例如，表5.1是一个国内生产总值及其部分构成统计表。
时间序列可以描述客观现象发展变化的状况、过程和规律，利用时间序列资料可以计算一系列动态分析指标，通过时间序列分析，可以揭示客观现象发展变化的趋势,为预测、决策提供依据。
5.1.2 时间序列的分类
时间序列可以分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列三种。其中绝对数时间序列是最基本的时间序列，其余两种是在其基础上派生的。
1、绝对数时间序列，简称绝对序列：它是把同一总量指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列而形成的时间序列。绝对序列反映现象在不同时间上所达到的总量及其增减变化的过程。绝对序列有时期序列和时点序列两种。
时期序列是由时期绝对数数据所构成的时间序列，其中的每个数值反映现象在一段时间内
发展过程的总量。
时点序列是由时点绝对数数据所构成的时间序列，其中的每个数值反映现象在某一时点上所达到的水平。
时期序列中的各个数数值可以相加，各个数数值的和表示了在所对应的时期之内事物及其现象的发展总量。而时点序列中各个数数值相加通常没有明确的意义；
时期序列中各项数值的大小与所包括的时期长短有直接关系，时点序列中各数数值与其时点间隔长短没有直接关系。
2、相对数时间序列：它是把一系列同类的统计相对数按照时间先后顺序排列起来而形成的时间序列，反映事物之间对比关系的变化情况。
3、平均数时间序列：它是把一系列同类的统计平均数按照时间先后顺序排列起来而形成的时间序列，表现事物一般水平的变化过程的发展趋势。 参看上表格。
5.1.3编制时间序列的原则
编制时间序列的目的是要通过对序列中各个时期指标值进行比较，以达到研究客观现象的发展变化状况、过程及其规律。因此，保证序列中各个指标值的可比性,是编制时间序列必须遵循的基本原则。具体要求是： 1、指标数值所属时间的长短应当统一。对时期序列来说，数值所包含的时期长短应当相同，即年与年排，月与月排；对时点序列来说，相邻数值之间的时间间隔应尽可能一致。
2、指标数值所属的总体范围、内容涵义、计算口径、计算方法等都应当可比,计量单位要一致。
在实际分析过程中，对时间序列中的可比性问题不能绝对化，有时由于资料的限制，只要大体可比、能正确说明问题就可以了。
5.2 时间序列的水平分析
时间序列分析的水平指标是以绝对数形式表示的动态分析指标，包括发展水平、平均发展水平、增长水平和平均增长水平等指标。
5.2.1 发展水平
发展水平，又称为发展量，是指时间序列中的每一项具体指标数值，反映的是现象在不同时间发展所达到的规模和水平。发展水平是动态分析的基础指标。
不论是时间序列的编制还是计算各种动态指标，都需要正确地计算发展水平，进行发展水
平分析。
发展水平指标，可以表现为总量指标，如工资总额、企业职工总数、原材料消耗总额、利润总额等；也可以表现为相对指标或平均指标，如人口出生率、工人劳动生产率、单位产品原材料消耗量等。
在时间序列a0,a1, ,an-1,an中，根据发展水平在时间序列中所处位置的不同，有： 最初水平时间序列中第一项指标值，用a0表示。 最末水平时间序列中最后一项指标值，用an表示。
中间水平时间序列中除最初水平与最末水平以外的所有各期发展水平，即为时间序列中的
a1, ,an-1各项。
作为比较基础时期的发展水平就叫基期水平，即包括时间序列中的a0,a1, ,an-1各项。 作为分析时期的发展水平就叫报告期水平，即包括时间序列中的a1, ,an-1,an各项。 根据发展水平作动态分析的说明时，习惯上用“增加到”、“增加为”、“降低到”、“降低为”、“发展到”、“发展为”等文字表示。在“发展”、“增加”、“降低”等之后必须要有一个“到”或“为”字，不能遗漏。
5.2.2平均发展水平
平均发展水平是对时间序列中各个指标值加以平均所得到的平均数，又叫序时平均数，或叫动态平均数。它反映现象在一段时期内发展过程所达到的一般水平。
序时平均数与静态平均数既有共同之处，也有区别。共同之处是二者都是将现象各个变量值的差异抽象化了，概括出了现象在数量上达到的一般水平。二者的区别在于：序时平均数是将现象在不同时间上的数量差异平均了，从动态上说明现象在一段时期内发展变化达到的一般水平；而静态平均数则是将总体各单位在同一时期内某个标志值的数量差异平均了，反映的是总体在某个具体时间条件下达到的一般水平。
平均发展水平除了在动态分析中反映某种现象达到的一般水平外，还可以用来消除现象在短时间内波动的影响，便于观察现象发展的基本趋势。此外，还可以解决时间序列分析中某些可比性问题。
由于资料的特性不同,序时平均数的计算方法也不同。既可以在绝对序列中计算,也可以在相对序列和平均序列中计算。其中，在绝对序列中计算序时平均数是最基本的。
（1）绝对序列的序时平均数
绝对序列又分为时期序列和时点序列，二者计算序时平均数的方法不一样。
1）根据时期序列计算序时平均数。由时期序列的特点，采用简单算术平均法，用时期序列各个指标值之和除以时期项数。其计算公式为：
=
1
(a1+a2+ +an) n
式中：—序时平均数；ai—时间序列各个时期发展水平；n—时期项数。
例:某企业一月份产值为125万元，二月份产值为130万元，三月份产值为135万元，则按上式计算第一季度平均月产值为：
1
=(125+130+135)=130（万元）。
3
2）根据时点序列计算序时平均数。由时点序列的特点，有连续间隔相等、连续间隔不等、
不连续间隔相等和不连续间隔不等的时点序列。每一种情况下，计算序时平均数的方法都不一样。下面分别予以说明。
①由连续间隔相等的时点序列资料计算序时平均数。这种时点序列资料是逐日登记并逐日排列的，用简单算术平均数计算序时平均数，即以各个时点指标值之和除以时点项数。其计算公式的符号与(10.1)一样，即：
例:已知某企业一个月内每天的职工人数，要求计算该月每天平均职工人数,就可以用每天职工人数除以该月的日历日数。
②由连续间隔不等的时点序列资料计算序时平均数。这种时点序列资料不是逐日变动，只在发生变动时进行登记，也就是说这种资料相邻两个指标值之间的时间间隔不尽相同，其序时平均数用时间间隔作权数计算加权算术平均数。其计算公式为：
=
1
(a1+a2+ +an) n
=
aff
i
ii
式中：fi—各指标值之间的时间间隔，其余符号同前。
例:某企业某年一月份的产品库存变动资料如表#，要求计算该企业一月份平均库存量。
表# 某企业一月份产品库存变动资料
利用公式计算得到该企业一月份平均库存量： =
aff
i
ii
=
50⨯4+70⨯7+60⨯6+46⨯7+34⨯6+40⨯1
=52.12(台）
4+7+6+7+6+1
③由不连续间隔相等的时点序列资料计算序时平均数。这种性质的时点序列资料计算序时平均数，要求假定各指标值在相邻两个时点之间的变动是均匀的，先计算两个时点指标值的简单平均数，然后再根据这些平均数进行简单平均。其计算公式的最终形式为：
=
111
(a1+a2+ +an-1+an) n-122
公式的明显特点是第一项和最后一项的指标值各取一半，因此，习惯上称这种计算方法为
“首尾折半法”。其中，n-1为时间间隔数目，比时点序列的项数少１个。 例:设某企业某年第三季度职工人数为：6月30日435人，7月31日452人，8月31日462人，9月30日576人。要求计算该企业平均职工人数。
按式计算的该企业平均职工人数为：
=
111
(⨯435+425+462+⨯576)=473(人） 4-122
④由不连续间隔不等的时点序列资料计算序时平均数。这种性质的时点序列资料计算序时平均
数，同样要假定各指标值在相邻两个时点之间的变动是均匀的，先计算两个时点指标值的简单平均数，然后再根据这些平均数以时间间隔作权数计算加权平均数。其计算公式的最终形式为：
⎛a2+a3⎫⎛an-1+an⎛a1+a2⎫
f+f+ ⎪2 ⎪1 222⎝⎭⎝⎭⎝ =
f1+f2+ fn-1
⎫⎪fn-1⎭
例：某企业某年钢材库存量资料如表#。
表# 某企业钢材库存量资料
计算该企业钢材月平均库存量为；
⎛13+12⎫⎛12+15⎫⎛15+14⎫ ⎪⨯4+ ⎪⨯3+ ⎪⨯5
222⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =
4+3+5
＝
163
＝13.58(吨) 12
（2）相对序列的序时平均数
在各种相对序列中，除动态相对序列情况特殊外，均不能直接由相对序列本身计算，而是根据相对数本身的计算原则，通过计算形成相对序列的分子序列、分母序列的序时平均数，再对比求得，即按下面公式计算。
=
式中： —相对序列（含所有比值性质的序列）的序时平均数。
相对序列的分子序列/分母序列的构成有时期指标／时期指标，时期指标／时点指标，时点指标／时期指标，时点指标／时点指标四大类。总的原则是分子序列为时期序列按时期序列处理，为时点序列按时点序列处理；同样，分母序列为时期序列按时期序列处理，为时点序列按时点序列处理。
例：根据表#的资料，要求计算某企业2007年第2季度产值计划平均完成程度。
表# 某企业2007年第2季度产值计划完成情况资料
从表#的资料可以发现,产值计划完成程度是由实际产值与计划产值对比而得,而用作对比的两个指标均为时期指标，因而按式计算其产值计划平均完成程度为： =
a=500+612+832=1944=1.0232 b500+600+8001900
5.2.3增长水平
增长水平，简称增长量，是时间序列中两个发展水平之差，反映某种现象在一段时期内数量增减的绝对水平。其计算公式为：
增长量＝报告期水平－基期水平
增长量的数值大于０为增加的绝对数量，称为增加量或增长量；增长量的数值小于０为减少的绝对数量，称为减少量或降低量。
根据对比的基期不同，增长量可以分为逐期增长量和累积增长量。
（1）逐期增长量——是指报告期水平与其前一期水平之差，表示现象逐期增减的数量，用符号表示为：
ai-ai-1 (i=1,2,„,n)
（2）累积增长量——是指报告期水平与某一固定时期水平之差，表示现象在一段时期内总的增减量，用符号表示为：
ai-a0 (i=1,2,„,n) 逐期增长量与累积增长量之间的数量关系是： 1)各个逐期增长量之和等于累积增长量，即：
(a1-a0)+(a2-a1)+ +(an-an-1)=an-a0 2)相邻两个累积增长量之差等于相应的逐期增长量。
（3）平均增长量——是时间序列中各个逐期增长水平的平均数，反映现象在一段时期内
平均每期增长量的一般水平，其计算公式为：
平均增长量=
逐期增长量之和累积增长量
=
逐期增长量个数时间序列项数-1
用符号表示为：
(a1-a0)+(a2-a1)+ +(an-an-1)
n
=
an-a0
n
5.3 时间序列的速度分析
时间序列的速度指标是以相对数形式表示的动态分析指标，包括发展速度、平均发展速度、增减速度以及平均增减速度等指标。下面分别予以说明。
5.3.1发展速度
发展速度是两个时期发展水平对比而得到的结果，表明现象发展的程度，说明报告期水平是基期水平的百分之几（或若干倍）。其计算公式为：
发展速度=
报告期水平
基期水平
由于对比基础不同，发展速度有环比发展速度和定基发展速度两种。
环比发展速度是指报告期水平与其前一期水平对比而得到的结果，反映现象逐期发展的程度。其计算公式为：
ai
(i=1,2,„,n) a i-1
定基发展速度是指报告期水平与某一固定时期水平对比而得到的结果，反映现象在一段较
长时期内总的发展程度，又称为“总速度”。其计算公式为：
ai
(i=1,2,„,n) a 0
环比发展速度与定基发展速度之间存在如下数量关系：
1)各环比发展速度的连乘积等于定基发展速度，即：
a1aaa
⨯2⨯ ⨯n=n a1an-1a0
a0
2)相邻两个定基发展速度之商，等于相应的环比发展速度，即：
aiaai
÷i-1= (i=0,1,2,„,n) aaa0i-1 0
5.3.2平均发展速度
平均发展速度是对各环比发展速度计算的一种序时平均数，反映现象在一个较长时期内速度变化的平均程度。平均发展速度指标在经济分析中应用非常广泛，它在对现象的发展作趋势速度预测和编制长远规划中起着重要作用。
平均发展速度的计算有多种方法，我们介绍其中一种：几何平均法。
由于现象发展的总速度不等于各环比发展速度之和，而等于各环比发展速度的连乘积。因此,在计算平均发展速度时,不能用算术平均法,而需要用几何平均法。
根据总速度等于各环比发展速度的关系及其符号表示法，计算平均发展速度的公式还可以表示为：
x=
_
1⨯2⨯ ⨯n (*) a0a1an-1n
(**) a0
或： x=
_
上述公式从数学意义上来说是等价的。但在应用上需要注意，二者用于不同的目的。 (*)式用于已知各环比发展速度或时间序列的完整资料计算平均发展速度；而(**)式只适用于在资料不完整的条件下进行推算。
5.3.3 增长速度
增减速度是根据增减量与基期水平对比而求得的一种相对数,反映现象在一段时期内数量增减的方向和程度的动态分析指标,说明报告期水平比基期水平增减了多少倍或百分之几。其计算公式为：
增减速度=
报告期水平-基期水平增减量
=
基期水平基期水平
或者用发展速度减１而求得。
发展速度大于“１”，增减速度大于“０”，表明现象增长的程度；反之，发展速度小于“１”，
增减速度小于“０”，表明现象降低的程度。
同样，增减速度由于对比基础不同，分为环比增减速度和定基增减速度两种。
环比增减速度是逐期增减量与其前一期水平之比，表明现象逐期的增减程度，其计算公式为：
逐期增减量
环比增减速度= =环比发展速度-（或1-100%）
前一期水平
定基增减速度是累积增减量与某一固定时期的发展水平之比，表明现象在较长时期内总的增减程度，其计算公式为：
定基增减速度=
累积增减量
=定基发展速度-（或1-100%）
最初水平
定基增减速度和环比增减速度都是发展速度的派生指标，它只反映增减部分的相对程度，所以，环比增减速度的连乘积不等于定基增减速度。如果要由环比增减速度计算定基增减速度，必须将环比增减速度加1或100％再连乘，然后将所得结果减1或100％才能得到。
另外，如果两个时期的发展水平表明的是不同方向的指标数值，则不宜计算增减速度。例如，某企业基期亏损100万元，报告期盈利80万元，如果按上述公式计算企业利润的变动程度，将得到：
80-(-100)180
==－1.8(倍)
-100-100
上述计算结果显然不合理，对这种情况只能用文字表述。
5.3.4 平均增长速度
平均增减速度是说明现象在一段时期内逐期平均增减程度的指标。
平均增减速度也不能直接根据环比增减速度加以平均求得，而应根据它与平均发展速度的各项按下列公式计算，即：
平均增长速度＝平均发展速度－1(或－100％)
同样，平均发展速度大于“1”，平均增减速度大于“0”，表示现象在一段时期内逐期平均递增的程度，反之,平均发展速度小于“1”,平均增减速度小于“0”,表示现象在一段时期内逐期平均递减的程度。
5.4 时间序列的趋势分析
5.4.1 时间序列的构成因素和分解模型
研究时间序列的一个重要目的，就是要掌握事物发展变化的规律和趋势，对现象未来发展的可能状态进行认识，为经济决策服务。时间序列的趋势分析提供了一系列有效的方法。
1、时间序列构成的因素
时间序列的形成是各种不同的影响事物发展变化的因素共同作用的结果。影响事物发展变化的因素很多，有起决定性作用的基本因素，也有起临时作用的、局部作用的偶然因素。影响时间序列的因素归纳起来有四类，即长期趋势、季节变动、循环波动和不规则变动。 (1)长期趋势
长期趋势是指现象在一段较长时期内,持续呈现为同一方向发展变化的趋势。
它是由某种起决定性作用的因素的影响而形成的趋势。分析长期趋势，可以掌握事物发展变化的基本特点。 (2)季节变动
季节变动是指现象因受自然条件或社会经济季节因素的影响，在一年或更短的时间内，随时序变化而引起的有规律的周期性变动。一般以一年为周期，也有以月、周、日为周期的。认识和掌握季节变动，对于近期行动决策有重要作用。 (3)循环波动
循环波动是指现象发生周期较长（一年以上）的涨落起伏的变动。它与季节变动有明显区别，一是周期较长且不固定；二是规律显现没有季节变动明显；三是影响因素的性质不一样。 (4)不规则变动
不规则变动是指由于意外的自然或社会的偶然因素引起的无周期的波动。它除了受以上各种变动的影响以外，还受临时的、偶然的或不明原因而引起的非周期性、非趋势性随机变动。不规则变动是无法预知的。
现象变动趋势分析就是要把时间序列受各类因素的影响状况分别测定出来，搞清研究对象发展变化的原因及其规律，为预测未来和决策提供依据。
2、时间序列的分解模型
将构成时间序列的因素与时间序列的关系按照一定的假设，用一定的数学关系式表示，就形成了时间序列的分解模型。主要有两种假设，即有两种最基本的分解模型：加法模型和乘法模型。
设时间序列为Ｙ，长期趋势为Ｔ，季节变动为Ｓ，循环波动为Ｃ，不规则变动为Ｉ，则两种模型可表述如下： (1)加法模型
假设四个因素是相互独立的，则时间序列各期水平的数值可视为四个因素相加的总和，其分解模型为：
Ｙ＝Ｔ＋Ｓ＋Ｃ＋Ｉ
根据上述关系式，为测定某种因素的影响，只需从时间序列数值中减去其余因素即可。 (2)乘法模型
假设四个因素变动之间存在某些相互影响的关系，则时间序列各期水平的数值就是四种因素相乘的乘积，其分解模型为： Ｙ＝Ｔ×Ｓ×Ｃ×Ｉ
根据上述关系式，为测定某种因素的影响，用其余因素的乘积去除时间序列数值即可。
实际工作中应采用哪一种模型进行分析为宜，要视研究对象的性质，研究目的及所掌握的资料的情况而确定。
注意不同公式中各项的单位。
在现阶段，较为成熟的趋势分析的数学方法主要是对长期趋势和季节变动的测定。
5.4.2长期趋势的测定
1、测定长期趋势的意义与目的
测定长期趋势就是用一定的方法对时间序列进行修匀，以消除序列中季节变动、循环波动和不规则变动等因素的影响，以显示出现象变动的基本趋势，作为预测的依据。具体说来包括： （1)反映现象发展变化的趋向，掌握现象变化的规律，为经营决策和制定长远规划提供依据； （2)为统计预测提供必要的条件；
（3)将长期趋势从时间序列中分离出来，更好地测定和分析其余因素的变动。 2、测定长期趋势的方法
测定长期趋势的方法主要有时距扩大法、移动平均法和数学模型法。数学模型法又有线性模型和非线性模型。下面分别予以说明。 （1)时距扩大法
时距扩大法是对长期的时间序列资料进行统计修匀的一种最简便的方法。它是将原时间序列中各项指标加以合并，扩大每段计算所包括的时间，得出较长时距的新序列，以消除偶然因素的影响，显示出现象变动的基本趋势。 应用时距扩大法应当注意：
①前后扩大的时距应当一致，以便相互比较；
②单纯扩大时距，以使指标数值增大的方法，只能用于时期序列，而不能用于时点序列。对时点序列要在扩大时距的基础上，求出序时平均数，才能反映现象发展的长期趋势。 （2)移动平均法
移动平均法是对原时间序列采用逐期递推移动的方法计算一系列扩大时距的序时平均数，从而形成一个新的派生的时间序列，以消除偶然因素的影响，使现象的基本趋势得以呈现。
使用移动平均法分析时间序列的变动趋势，关键在于移动步长(或叫移动项数)的选择。移
动步长为奇数时，移动平均数就是平均期中间一期的“修匀”值；移动步长为偶数时，要进行二次平均（即移正平均）。应用移动平均法应注意： ①若时间序列呈现周期性变动（如季节变动等），移动步长应与周期相同，以达到消除这些因素变动影响的的目的；
②若时间序列是时点序列，则移动平均数应按时点序列计算序时平均数的方法计算。
（3)数学模型法
数学模型法是采用适当的数学模型对时间序列配合一个方程式，并据以计算各期趋势值的方法。用数学模型配合时间序列的方法很多，最常用的主要有直线趋势模型、二次抛物线模型、
指数曲线模型、修正指数曲线模型、龚伯兹曲线模型、蒲尔—里德曲线模型等。下面分别予以说明。
①直线趋势模型
如果时间序列的逐期增减量相对稳定,即现象满足各逐期增减量大体相同的条件,可以用直线作为趋势线来描述趋势变化，据以进行分析和预测。
设趋势直线方程为：yc＝ａ＋ｂｔ 式中： yc —时间序列ｙ的长期趋势值 ｔ —时间（指的时间序号）
ａ —趋势直线的ｙ的截距，表示ｔ＝0时yc的数值
ｂ —趋势直线的斜率，表示ｔ每变动一个单位时，yc平均增减的数量
ａ、ｂ是趋势直线方程中的两个待估参数，有许多方法（如平均法、三点法、分段法、指数平滑法、最小平方法等）可采用，最常用的是最小平方法。 最小平方法的基本原理是：时间序列实际值与其趋势值的离差平方和达到一个最小值。满足这一条件的只有一条线，称为原时间序列的最适线，它使趋势线同原时间序列最佳配合。同时，这条线也满足离差之和为零的要求。
利用最小平方法(原理略)可以建立如下两个标准方程,求出ａ、ｂ的值。即:
⎧∑y=na+b∑t
⎨ 2
ty=at+bt∑∑⎩∑
将上述方程整理后可得出直接计算ａ、ｂ的两个公式为：
⎧nty-ty⎪b=2
⎨n∑t2-∑t
⎪a=-b⋅⎩
下面以某企业10年的产品销售额资料为例计算过程如表#。
表# 某企业销售额趋势预测计算表
根据表的计算资料，将有关数据联立方程式或将有关数据代入式，现若按后者计算出ａ和ｂ的值为：
10⨯4523-55⨯733⎧b==5.95752⎪⎪10⨯385-55 ⎨
73355⎪a=-5.9575⨯=40.5338⎪1010⎩
代入式则所配合的趋势方程为：
yc＝40.5338＋5.9575ｔ 若要求预测1998年的销售额，将ｔ＝11代入式，得出： yc＝40.5338＋5.9575×11＝106(万元)
若要求预测1999年的销售额，将ｔ＝12代入式，得出： yc＝40.5338＋5.9575×12＝112(万元)
现实生活中，有一些现象呈现出如上述的线性关系，但大量的现象是非线性发展的。因此，研究长期趋势变动的各种曲线模型显得十分必要。下面我们讨论的主要是曲线模型。 ②二次抛物线模型
如果现象满足二级增减量大体相同的条件，我们可以利用二次抛物线模型进行配合。其趋势方程为：
yc=a+bt+ct
方程中有三个待估参数ａ、ｂ、ｃ。仍按最小平方法求解,建立三个标准方程:
2
⎧∑y=na+b∑t+c∑t2⎪23
⎨∑ty=a∑t+b∑t+c∑t
⎪t2y=at2+bt3+ct4
∑∑∑⎩∑
表# 某企业8年间的产值资料
利用原序列计算出有关数据代入上述三个方程式，解三元一次方程组就可得出趋势方程所需要的ａ、ｂ、ｃ的估计值。
同样可用运用简捷法把上述方程式简化为：
⎧∑y=na+c∑t'2⎪
⎨ ∑t'y=b∑t'2
⎪t'2y=at'2+ct'4
∑∑⎩∑
也可以解出ａ、ｂ、ｃ的估计值。
根据上述资料，按简捷法配合二次抛物线模型，计算过程如表##。
⎧4438=8⨯a+168⨯c⎧a=502.6889⎪⎪
9226=168⨯b ⎨，解出,得到: ⎨b=54.9166
⎪99862=168⨯a+6216⨯c⎪c=2.4791⎩⎩
因此，该资料的趋势方程为：
yc=502.6889+54.9166t+2.4791t
若要求预测第9年的产值，将ｔ＝9代入)式，得出：
yc=502.6889+54.9166⨯9+2.4791⨯(9)＝1198(万元) 若要求预测第10年的产值，将ｔ＝11代入式，得出：
yc=502.6889+54.9166⨯11+2.4791⨯(11)=1407(万元)
③指数曲线模型
如果时间序列满足环比发展速度大体相同的条件，那么可以配合指数曲线模型来反映现象发展变化的趋势。其趋势方程为：
yc=ab
④修正指数曲线模型
如果时间序列满足逐期增减量的环比发展速度大体相同的条件，则可配合修正指数曲线来描述现象的变化状态。其趋势方程为：
yc=a+bc
⑤龚伯兹曲线模型
如果时间序列的对数的逐期增减量的环比速度大体相同，则可以配合龚伯兹曲线模型来描述该现象的变化状态。其趋势方程式为：
yc=ab
⑥蒲尔—里德曲线模型
如果时间序列满足其指标值的倒数的逐期增减量的环比发展速度大体相同的条件,则可配合蒲尔—里德曲线模型来描述该现象的趋势变化。其趋势方程为：
ct
t
t
2
2
2
1
=a+bct yc
5.4.3 季节变动的测定
由于季节气候（春、夏、秋、冬、晴、阴、雨等）和社会习惯（春节、端午、重阳等）等原因，客观现象普遍存在季节变动影响（电风扇的销售量、蔗糖的原料；农作物的生长、农副产品的生产；旅游人次；客运活动；医疗方面的流感、乙脑；等等）。
测定季节变动的主要目的，在于掌握季节变动的规律，为合理地组织生产和安排人民的生活提供依据。
绝大多数季节变动现象的具有三种特征：一为有规律的变动；二为每年重现变动；三为各年变化强度约略相同。这三种特征，形成一定规律，显示了分析与预测的可能性。 测定季节变动包括两方面的内容：一是测定季节变化规律，研究客观现象随季节变化而变化的状态，主要利用12月移动平均法（以及原数据平均法、全年平均比率法、平均数趋势整理法、趋势比率法、环比法、图解法等）计算季节比率（或叫季节指数）；二是根据季节变化规律对客观现象未来发展的可能状态进行预测。
5.4.3.1按月平均法
若把一年划分为若干个时间片断（通常是4个季度或12个月份，但实践中也可根据具体问题以其他时间单位分割，如以两个月为一个时间片断，以旬为时间片断，以半月为时间片断，甚至以星期为时间片断—如果有意义），则考察若干个年份的数据，就可得表#。n=12即为月份数据，n=4即为季度数据。
表# 季节变动测度基本数据格式
对时间序列进行季节变动分析时，可以发现两种情况，一是各年原始资料中有明显的季节变动，但历年同期（同月或同季）的资料无明显趋势变动，这时间序列仅受季节变动影响，而不存在长期趋势；二是时间序列中既存在明显的季节特征又有长期趋势，表现在“同比增长量”非零。对于前一种情形，可以用按月（季）平均法来测定季节变动。对后一种情形，可以用趋势剔除法来测定季节变动。
按月（季）平均法的基本步骤是：
第一步，计算时间序列中各年同期（同月或同季）的平均数。
j=1∑yij
i=1
1n
k
(j=1,2,3, n)
第二步，计算期内总平均。
=∑
j
第三步，计算季节季节指数。
jSj=
(j=1,2,3, n)
第四步，对季节比率进行分析，绘制季节指数图，利用季节指数进行时间序列的预测分析等。
例：表**是某企业最近五年来四个季度的产品产量资料。
表** 某企业近五年各产品产量情况 （单位：万件）
因趋势不明显，故可采用按季度平均法计算季节指数。
计算过程见表**。根据计算结果可知，该产品产量夏季是旺季，秋、冬为淡季，春季产量回升，接近平均水平。因此，实际生产管理过程中应该注意人力、财力、原材料等方面的准备工作与此生产季节性规律相吻合，同时还需要做好市场研究工作，通过适当的营销手段来调整季节规律，避免过于剧烈的季节性因素导致生产要素供给不足，生产能力分配的严重失衡等不利现象出现。
根据计算的季节比率，还可以进一步进行预测或制定分季度生产计划。
例如，若预计2006年的全年总产量可能达到1400万件，则平均每季350万件，各季产量初步计划可按下式进行估计：
各季初步产量计划=各季季节指数×季平均产量 据此测算出各季的预测值，分别为：
春季：0.96756×350=338.646≈339（万件） 夏季：1.64597×350=576.09≈576（万件） 秋季：0.7785×350=272.475≈272（万件） 冬季：0.60797×350=212.79≈213（万件） 当然，这只是一个参考数据。实际工作中还需要结合生产要素与生产能力进行权衡调整（如综合考虑库存成本等因素之下，春季适当多生产一些，以减轻夏季生产的压力）。
按月（季）平均法的优点是计算简单，容易理解。但它没有考虑长期趋势，如果时间序列的资料存在趋势上升或趋势下降时，用按月(季)平均法就不合适了，应先剔除长期趋势的影响，再计算季节比率。
5.4.3.2 趋势剔除法
表# 某类衬衫销售量统计及季节变动测度
T=169.495+3.805t
*
季节指数修正公式：sj=sj⋅
n
，其中n是季节数。 sj